Gráficos do MHS

Teoria Completa

Até agora nós vimos equações que descrevem o MHS, que são equações desse tipo:

Equação da posição:

x t = A c o s ( ω t + φ )

Equação da velocidade:

v t = - ω A s e n ω t + φ

Equação da aceleração:

a t = - ω 2 A c o s ( ω t + φ )

*Lembrando que na equação da posição poderia aparecer um seno também, sem problemas!

Então, por exemplo, se tivéssemos o movimento:

x t = 4 c o s 2 π t + π 2

Saberíamos que ω = 2 π ; φ = π 2 ; A = 4 ; Mas como ficaria o gráfico desse cara?

Para montar o gráfico, nossa maior preocupação é encontrar os pontos de máximo/mínimo e onde a função vale 0 . Basicamente, vamos substituindo os valores em t e depois vamos conectar os pontos. Aqui, no exemplo:

t = 0 → x 0 = 0 . Então, já sabemos que o gráfico passa na origem.

t = 1 4 → x 1 4 = - 4

t = 1 2 → x 1 2 = 0

t = 3 4 → x 3 4 = 4

t = 1 → x 1 = 0

Agora só precisamos conectar os pontos e repetir isso até ficarmos satisfeitos hahah

Olha como ficaria nosso gráfico:

Agora já sabemos montar o gráfico!! Mas e interpretar ele? Bom, vamos ver as características mais importantes dele, então, pra gente sair daqui craque, sabendo tudo!

Características gerais

Os gráficos seguirão o padrão seno ou cosseno, como nos exemplos abaixo:

No segundo gráfico, temos uma marcação: A .   Essa é a nossa amplitude - maior distância atingida em x .

Nesse exemplo, usamos um gráfico da posição. Caso fosse um gráfico da velocidade ou aceleração, teríamos, no lugar do A , a velocidade máxima ou aceleração máxima, respectivamente.

Período

O período vai ser o intervalo de tempo que o MHS leva pra repetir um ciclo.

Esse ciclo geralmente terá uma dessas duas aparências:

Assim:

Ou assim:

Beleza, para achar o período é só pegar o intervalo de tempo entre os extremos.

Observação: Caso o gráfico esteja deslocado (com uma fase), tente visualizar esses espaços no gráfico deslocado também. O importante é lembrar que o período sempre gera um ciclo completo.

A partir do valor do período, você pode calcular a frequência angular ou a de oscilação:

ω = 2 π T

f = 1 T

Fase

E se o gráfico não começar no 0 ou na amplitude? E se começar assim:

Nesse caso, teremos uma constante de fase φ diferente de 0.

Então, se a função for do tipo:

a t = a m á x cos ⁡ ω t + φ

E o valor em t = 0 for a 0 , teremos que fazer:

a 0 = a m á x cos ⁡ φ = a 0 → cos ⁡ φ = a 0 a m á x → φ = arccos ⁡ a 0 a m á x

E assim descobriremos o valor da nossa constante de fase.

Movimento Circular no MHS

Você sabia que um MHS pode ser interpretado como a projeção de um MCU (movimento circular uniforme)? Então, vamos ver isso com calma! Dá uma olhada na figura abaixo:

A figura representa um carrinho em uma roda gigante, que está executando um MCU. A sombra desse MCU, no chão, é um MHS.

Mas então, como deduzir a equação do MHS a partir de um MCU?

Vamos ver essa outra figura pra ficar mais claro:

A partícula vermelha está executando um MCU. A partícula preta um MHS. Pelo triângulo retângulo da figura, a gente consegue perceber que:

x = r c o s θ

Mas quem é r ? r é a amplitude do MHS, que é igual ao raio do MCU. Assim:

r = A

E θ ? θ é dado por:

θ = ω t

Onde esse ω é a velocidade angular no MCU e a frequência angular no MHS. Sacou? O ω tem dois significados nos dois movimentos distintos.

Assim:

x = A c o s ω t

Mas ali consideramos que o movimento se inicia no θ 0 = 0 . Se ele iniciar com uma fase inicial, teremos:

θ 0 = φ

Assim:

x t = A c o s ω t + φ

Pronto, e chegamos, a partir do triângulo retângulo da figura do MCU, na equação do MHS. (:

#PartiuExercitar!

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Exercício Resolvido #1

UFRJ-P2-2015.1-2

Os gráficos abaixo descrevem o movimento de quatro osciladores harmônicos simples. Assinale a alternativa INCORRETA:

  1. Todos, exceto I I I oscilam com período de 10 s .
  2. I I e I V partem de sua posição de equilíbrio em t = 0 s .
  3. I e I I oscilam com a mesma amplitude.
  4. I I I oscila com frequência menor que todos os restantes.
  5. I I I realiza 18 oscilações por minuto.
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Passo 1

Bom, galera, o macete aqui é tentar comparar o período e a frequência de cada MHS.

Lembrando que: período é o tempo necessário para que um ciclo seja realizado e frequência é o número de oscilações por segundo.

Passo 2

Então, de cara, qual é o movimento que tem mais oscilações por segundo, ou seja, maior frequência?

É só a gente comparar quantas “ondinhas” cada MHS tem, num mesmo espaço de tempo.

Sacou?

Bom, se você entendeu certinho, percebeu que é o I I I que tem a maior frequência. (:

Passo 3

Logo, como a d) nega isso, ela é a INCORRETA!

Resposta

d)

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P2-2013.1-M07

A figura abaixo mostra um gráfico de posição v e r s u s tempo de um oscilador harmônico simples:

A função x t que melhor descreve o movimento do oscilador harmônico mostrado no gráfico acima é dada por:

  1. x t = 15 cos ⁡ 0,1 t + π / 2
  2. x t = 15 cos ⁡ 0,1 t - π / 2
  3. x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t + π / 2
  4. x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t - π / 2
  5. x t = 30 cos ⁡ 0,1 t + π / 2
  6. x t = 30 cos ⁡ 0,1 t - π / 2
  7. x t = 30 cos ⁡ 0,2 π t + π / 2
  8. x t = 30 cos ⁡ 0,2 π t - π / 2
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Passo 1

A função nesse caso é

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ 0

Onde

ω = 2 π f = 2 π T

Passo 2

Pelo gráfico, o período vai ser:

T = 10   s

Então:

ω = 2 π 10 = 0,2 π   r a d / s

Além disso, pode-se ver que:

A = 15   c m

Passo 3

Vamos agora achar o valor da fase.

Basta pegar um valor qualquer da função e resolver a equação. Em t = 0 :

x 0 = 15 cos ⁡ 0,2 π ⋅ 0 + ϕ 0

x 0 = 0 = 15 cos ⁡ ϕ 0

cos ⁡ ϕ 0 = 0

Então:

ϕ 0 = π 2

Ou:

ϕ 0 = 3 π 2

Precisamos saber qual dos dois casos é o válido.

Passo 4

Vamos pegar outro ponto:

x 2,5 = 15

Veja que no ponto t = 2,5   s x = 15   m . Isso que eu to usando aqui!

x 2,5 = 15 cos ⁡ 0,2 π ⋅ 2,5 + ϕ 0

Vamos ter:

15 = 15 cos ⁡ 0,2 π ⋅ 2,5 + ϕ 0

1 = cos ⁡ 0,2 π ⋅ 2,5 + ϕ 0

1 = cos ⁡ π 2 + ϕ 0

Como os ângulos que tem cosseno igual a um são 2 π e zero, vamos ter:

π 2 + ϕ 0 = 2 π

ϕ 0 = 2 π - π 2 = 3 π 2

Podíamos ter também:

π 2 + ϕ 0 = 0

ϕ 0 = - π 2

Que é o mesmo ângulo, só que um é escrito de forma negativa e outro de forma positiva, mas são equivalentes. Vamos usar a negativa, porque as alternativas não tem 3 π / 2 . Logo:

x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t - π 2

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #3

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 106-10

Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função posição x ( t )