Posição e Fase do MHS

Teoria Completa

Até agora nós vimos equações que descrevem o MHS, que são equações desse tipo:

Equação da posição:

x t = A c o s ( ω t + φ )

Lembrando que na equação da posição poderia aparecer um seno também, mas na maioria das vezes aparece como cosseno mesmo.

Bora fazer um exemplo aqui, uma máquina de medir a força do golpe tem uma mola acoplada a plataforma como mostrada na figura

E tem a seguinte equação da posição.

x t = 4 c o s 2 π t + π 4

Para essa equação, esboçar o gráfico x × t do movimento.

Vamos trazer rapidinho quem é cada um nessa parada!

Para montar o gráfico, nossa maior preocupação é encontrar os pontos de máximo/mínimo onde a derivada da função vale 0 e onde a função corta a origem que é x t = 0 .

Como a função é cosseno a gente sabe que o resultado do cosseno fica sempre nos limites [-1,1], então o gráfico vai variar no intervalo [-A, A]. Sabendo que esses são os valores máximos e mínimos a gente não precisa usar derivada vamos analisar a equação:

Ponto mínimo:

x t = - 4

Como a gente falou o mínimo do gráfico que é um cosseno é a amplitude multiplicada pelo menor valor de cosseno que é sempre -1.

Assim:

- 4 = 4 cos ⁡ 2 π t + π 4

Aqui temos que:

cos ⁡ 2 π t + π 4 = - 1

A gente sabe que cos ⁡ π = - 1 , então:

2 π t + π 4 = π

Cortando π , temos:

2 t = 1 - 1 4 = 3 4

E isolando t, para a função de valor -4.

t ( - 4 ) = 3 8 s

Ponto máximo:

Seguiremos a mesma ideia e aqui já podemos dizer que o máximo é quando o cosseno da função é 1.

cos ⁡ 2 π t + π 4 = 1

A gente sabe que cos ⁡ 2 π = 1 , também poderíamos usar cos(0) porém nos daria um tempo negativo, o que não é muito legal de trabalhar.

2 π t + π 4 = 2 π

2 t = 2 - 1 4

E enfim isolando t   e lembrando que é para quando a função vale 4.

t ( 4 ) = 7 8 s

Ponto onde x t = 0 :

E por último a função pra ser zero precisa ter algum múltiplo de π / 2   que não seja múltiplo de π e como escolhemos o intervalo [ π , 2 π ] é interessante pegarmos alguém entre os dois vamos escolher 3 π / 2 .

cos ⁡ 2 π t + π 4 = 0

Daí o argumento do cosseno deve ser 3 π / 2 .

2 π t + π 4 = 3 π 2

2 t = 3 2 - 1 4

Enfim isolando totalmente t e lembrando que é t para quando a função dá zero:

t 0 = 5 8 s

Esses são os pontos mais importantes pra você esboçar o seu gráfico, a partir disso o movimento será repetido vamos esboçar o trecho inicial, também é interessante saber quanto vale x ( t = 0 ) só pra saber da onde a gente vai partir.

x 0 = 4 × cos ⁡ π 4 = 2,83 m

Desenhando então o gráfico:

Agora já sabemos montar o gráfico!! Mas e interpretar ele? Bom, vamos ver as características mais importantes dele, então, pra gente sair daqui craque, sabendo tudo!

Características gerais

Os gráficos seguirão o padrão seno ou cosseno, como nos exemplos abaixo:

Gráfico de função cosseno:

Características.

O gráfico deu uma função cosseno tem valor 1, quando o argumento da função é zero então na origem começa no valor máximo, e valor -1 quando o argumento é π . Cuidado só que no MHS traçamos os gráficos posição x tempo, então acabam sendo gráficos um pouco diferentes já que o argumento da função depende de outros fatores.

Gráfico de função seno:

Características.

O gráfico deu uma função seno tem valor 1, quando o argumento da função é π 2 , e valor 0 quando o argumento é 0 ou - π .

No segundo gráfico, temos uma marcação: A .   Essa é a nossa amplitude - maior distância atingida em x .

Período

O período vai ser o intervalo de tempo que o MHS leva pra repetir um ciclo.

Esse ciclo geralmente terá uma dessas duas aparências:

Assim:

Ou assim:

Beleza, para achar o período é só pegar o intervalo de tempo entre os extremos.

Observação: Caso o gráfico esteja deslocado (com uma fase), tente visualizar esses espaços no gráfico deslocado também. O importante é lembrar que o período sempre gera um ciclo completo.

A partir do valor do período, você pode calcular a frequência angular:

ω = 2 π T

E a frequência do movimento que é dada por:

f = 1 T

Fase

E se o gráfico não começar no 0 ou na amplitude? E se começar assim:

Nesse caso, teremos uma constante de fase φ diferente de 0 e como encontrar?

Então, se a função for do tipo:

A t = A cos ⁡ ω t + φ

E o valor em t = 0 for A 0   , teremos que fazer:

x 0 = A cos ⁡ φ = A 0 → cos ⁡ φ = A 0 A

E assim descobriremos o valor da nossa constante de fase.

φ = arccos ⁡ A 0 A

Movimento Circular no MHS

Você sabia que um MHS pode ser interpretado como a projeção de um MCU (movimento circular uniforme)? Então, vamos ver isso com calma! Dá uma olhada no sistema massa-mola abaixo:

Onde o ângulo de fase é dado por:

θ = ω t

A é a amplitude do movimento, que é o raio do círculo.

ω   é a velocidade angular do MCU e também a frequência angular do MHS

E agora, diga se esse ângulo de fase é positivo ou negativo.

Repare que o bloco é a projeção do ponto vermelho que percorre o círculo mas qual o motivo dessa associação? Fazer isso nos ajuda a definir o sinal do ângulo de fase.

O ângulo de fase é positivo quando a gente tem a partícula indo de + A para - A ou de 0 a 180 ° ou seja:

θ = + ω t

e é negativo quando a partícula vai de - A   para + A ou de 180 ° a 360 ° .

θ = - ω t

E no nosso caso o bloco tá indo para esquerda, ou seja de + A para - A então o nosso ângulo é positivo.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P2-2015.1-2

Os gráficos abaixo descrevem o movimento de quatro osciladores harmônicos simples. Assinale a alternativa INCORRETA:

  1. Todos, exceto I I I oscilam com período de 10 s .
  2. I I e I V partem de sua posição de equilíbrio em t = 0 s .
  3. I e I I oscilam com a mesma amplitude.
  4. I I I oscila com frequência menor que todos os restantes.
  5. I I I realiza 18 oscilações por minuto.
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Passo 1

Bom, galera, o macete aqui é tentar comparar o período e a frequência de cada MHS.

Lembrando que: período é o tempo necessário para que um ciclo seja realizado e frequência é o número de oscilações por segundo.

Passo 2

Então, de cara, qual é o movimento que tem mais oscilações por segundo, ou seja, maior frequência?

É só a gente comparar quantas “ondinhas” cada MHS tem, num mesmo espaço de tempo.

Sacou?

Bom, se você entendeu certinho, percebeu que é o I I I que tem a maior frequência. (:

Passo 3

Logo, como a d) nega isso, ela é a INCORRETA!

Resposta

d)

Exercício Resolvido #2

UFRJ-P2-2013.1-M07

A figura abaixo mostra um gráfico de posição v e r s u s tempo de um oscilador harmônico simples:

A função x t que melhor descreve o movimento do oscilador harmônico mostrado no gráfico acima é dada por:

  1. x t = 15 cos ⁡ 0,1 t + π / 2
  2. x t = 15 cos ⁡ 0,1 t - π / 2
  3. x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t + π / 2
  4. x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t - π / 2
  5. x t = 30 cos ⁡ 0,1 t + π / 2
  6. x t = 30 cos ⁡ 0,1 t - π / 2
  7. x t = 30 cos ⁡ 0,2 π t + π / 2
  8. x t = 30 cos ⁡ 0,2 π t - π / 2
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Passo 1

A função nesse caso é

x t = A cos ⁡ ω t + ϕ 0

Onde

ω = 2 π f = 2 π T

Passo 2

Pelo gráfico, o período vai ser:

T = 10   s

Então:

ω = 2 π 10 = 0,2 π   r a d / s

Além disso, pode-se ver que:

A = 15   c m

Passo 3

Vamos agora achar o valor da fase.

Basta pegar um valor qualquer da função e resolver a equação. Em t = 0 :

x 0 = 15 cos ⁡ 0,2 π ⋅ 0 + ϕ 0

x 0 = 0 = 15 cos ⁡ ϕ 0

cos ⁡ ϕ 0 = 0

Então:

ϕ 0 = π 2

Ou:

ϕ 0 = 3 π 2

Precisamos saber qual dos dois casos é o válido.

Passo 4

Vamos pegar outro ponto:

x 2,5 = 15

Veja que no ponto t = 2,5   s x = 15   m . Isso que eu to usando aqui!

x 2,5 = 15 cos ⁡ 0,2 π ⋅ 2,5 + ϕ 0

Vamos ter:

15 = 15 cos ⁡ 0,2 π ⋅ 2,5 + ϕ 0

1 = cos ⁡ 0,2 π ⋅ 2,5 + ϕ 0

1 = cos ⁡ π 2 + ϕ 0

Como os ângulos que tem cosseno igual a um são 2 π e zero, vamos ter:

π 2 + ϕ 0 = 2 π

ϕ 0 = 2 π - π 2 = 3 π 2

Podíamos ter também:

π 2 + ϕ 0 = 0

ϕ 0 = - π 2

Que é o mesmo ângulo, só que um é escrito de forma negativa e outro de forma positiva, mas são equivalentes. Vamos usar a negativa, porque as alternativas não tem 3 π / 2 . Logo:

x t = 15 cos ⁡ 0,2 π t - π 2

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #3

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 106-10

Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função posição x ( t ) aparece na figura abaixo, se a função posição é da forma x = x m cos ⁡ ( ω t +   ∅ ) ? A escala do eixo vertical é definida por x 3 = 6,0 cm.

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Passo 1

Bom, se x 3 = 6,0 , cada divisão do gráfico em x representa 2,0 , já que temos 3 divisões da origem até x 3 .

Beleza. E para t = 0 , qual será o valor da função?

Como a curva encontra o eixo x na primeira divisão abaixo da origem, temos:

x 0 = - 2,0 c m

Além disso, olhando no gráfico de novo, vemos que a maior “altura” é x 3 = 6 .

Logo, essa é a amplitude do MHS:

A = x m = 6,0 c m

Passo 2

Pra descobrir a fase, então, basta que a gente aplique o valor da função em t = 0 :

x 0 = 6,0 cos ⁡ ω 0 + φ = - 2

cos ⁡ φ = - 2 6 = - 1 3

Assim, a fase vai ser o arco cujo cosseno é - 1 3 :

φ = arccos ⁡ - 1 3

φ = 109,47 °

Mas também podemos ter φ = 250,53 ° . E agora, como saber qual o certo?

Passo 3

Podemos ver o seguinte: a derivada da curva num ponto é igual a inclinação da reta tangente naquele ponto, certo?

Então, pegando o ponto t = 0 , teremos:

d x ( t ) d t = - 6 ω s e n ω t + φ → d x 0 d t = - 6 ω s e n φ

Temos que 6 ω > 0 . Como podemos ver na figura, a inclinação da reta tangente é negativa em t = 0 . Logo, devemos ter:

s e n φ > 0

Assim, concluímos que φ = 109,47 ° .

Resposta

φ = 109,47 °

Exercício Resolvido #4

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 110-66

A figura abaixo mostra a posição x ( t ) de um bloco oscilando em MHS na extremidade de uma mola ( t s = 40,0   m s ) . Quais são

a) a velocidade e b) o módulo da aceleração radial de uma partícula circular uniforme correspondente?

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Passo 1

a)

Bom, a gente quer achar a velocidade do MCU correspondente a esse MHS.

Lembre-se que a velocidade do MCU pode ser escrita como:

v = ω R

Onde, no caso, R = A , ou seja, o raio do MCU é igual a amplitude do MHS.

Olhando no gráfico, percebemos que A = 7 c m = 0,07 m

Então:

v = ω A

Mas não sabemos o valor de ω . Porém, fica fácil descobrir pelo gráfico o valor do período. Olhando direito, percebemos que t s = T = 40,0   m s ;

Assim:

ω = 2 π T = 2 π 40.10 - 3 = 2000 π 40 = 50 π

Assim:

v = ω A = 50 π . 0,07 ≅ 11   m / s

Passo 2

b)

A aceleração radial da qual o enunciado fala é a aceleração centrípeta.

Essa é dada por:

a c t p = v 2 R = ω 2 R 2 R = ω 2 R

Agora é só fazer R = A e substituir os valores:

a c t p = ω 2 A = 50 π 2 . 0,07 ≅ 1727,2   m / s 2

Resposta

a)   11   m / s

b) 1727,2   m / s 2

Exercício Resolvido #5

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 112-100-Modificada

Qual é a constante da fase do oscilador harmônico cuja função aceleração a ( t ) aparece na Fig. 15-56 se a função posição x ( t ) é da forma x = x m cos ⁡ ( ω t + φ   ) e a s = 4,0   m / s 2 ?

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Passo 1

Aqui a gente vai seguir o nosso esquema pra determinar a fase do oscilador. Porém, temos uma diferença: o nosso gráfico é da aceleração, já a função dada, do deslocamento.

Assim, precisamos lembrar que se:

x t = x m cos ⁡ ( ω t +   φ )

v t = - x m ω s e n ω t + φ

a t = - x m ω 2 cos ⁡ ω t + φ

Perceba que a gente apenas derivou ali em cima.

Passo 2

Agora vamos olhar no gráfico: o a s é a quarta divisão na escala vertical. Logo, como a s = 4,0 m / s 2 , cada divisão valerá 1,0 m / s 2 .

Pelo gráfico, a gente consegue perceber que o valor da aceleração quando t = 0 vale 1,0   m / s 2 .

Passo 3

Assim, podemos dizer que:

a 0 = 1,0

a 0 = - a s cos ⁡ ω 0 + φ

Repare que aqui o a s é a amplitude da aceleração, que vale:

a s = x m ω 2

Como o gráfico que temos é da aceleração, podemos usar o a s direto como a amplitude dele, porque já temos essa amplitude, sem precisar fazer x m ω 2 . Beleza? Então:

a 0 = - 4 cos ⁡ ω . 0 + φ = 1

cos ⁡ φ = - 1 4

Assim, considerando o intervalo de [ 0 ° , 360 ° ] :

φ = arccos ⁡ - 1 4 = 104,5 °

Também poderíamos ter: φ = 255,5 ° . E agora, como saber qual é o valor correto?

Passo 4

Bom, podemos pensar que a derivada da curva é dada por:

d a ( t ) d t = a s ω s e n ω t + φ

Em t = 0 , essa derivada é igual a inclinação da reta tangente na curva nesse ponto. Podemos observar que essa inclinação é positiva, logo:

a s s e n ω 0 + φ = a s ω s e n φ > 0

Como a s ω > 0 , temos que ter:

s e n φ > 0

Logo, só o ângulo de 104,5 ° satisfaz essa inequação.

Resposta

104,5 °

Exercício Resolvido #6

PUCRIO-P1-2013.1-Q2

Durante um conserto de uma roda-gigante com raio de 40 metros, um técnico deixa apenas um dos carrinhos instalado. Para testes, a roda é acionada por volta de meio-dia, até atingir uma velocidade angular constante correspondente a uma volta a cada 180 segundos, no sentido anti-horário. O técnico então observou que a sombra do carrinho projetada no chão descreve um movimento harmônico simples. Suponha que o técnico começou a observar a sombra quando o carrinho se encontrava no alto da trajetória. (Adote o ponto central da projeção como origem do eixo x e considere que a sombra possui velocidade inicial negativa).

  1. Encontre a amplitude do movimento da sombra projetada no solo.
  2. Encontre o período e a frequência angular deste movimento.
  3. Escreva as equações que descrevem a posição, a velocidade e a aceleração da sombra em função do tempo neste movimento harmônico simples.
  4. Faça um gráfico da sombra em função do tempo para dois períodos. No gráfico devem estar indicados, numericamente, os valores máximo e mínimo da posição e os tempos em que a sombra atinge esses pontos.
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Passo 1

a)

Galera, aqui a gente precisa perceber apenas uma coisa: um MHS pode ser encarado como uma projeção de um MCU.

A figura abaixo ilustra isso:

Tá vendo a linha preta embaixo do círculo? Essa é a representação do MHS.

Bom, com isso, podemos responder a primeira pergunta: qual a amplitude?

Pela figura, percebemos que a amplitude é o raio do círculo.

Então:

A = R = 40   m

Passo 2

b)

Seguindo a mesma idéia de antes, é fácil perceber que o período, frequência e a frequência angular do movimento serão os mesmo que o do MCU.

Então, o período do MHS já está dado no enunciado.

Segundo o enunciado, a roda gigante completa uma volta a cada 180   s . Isso quer dizer que o período é justamente esse:

T = 180 s

E a frequência angular é:

ω = 2 π 180 = π 90   r a d / s ≅ 0,0349   r a d / s

Passo 3

c)

A posição segue o modelo dos MHS e é dada por:

x t = A c o s ω t + φ

Já sabemos quase tudo, menos a fase ( φ ).

Bom, a informação que temos é que o movimento do carrinho, e de sua sombra, começa quando o carrinho se encontra no ponto mais alto da trajetória. Nesse caso, a projeção da sua sombra se encontra na origem do sistema que descreve o MHS( aquela linha preta lá de cima).

Então, depois de tanto blá blá blá, o que quero dizer é que:

x 0 = 0

Ou seja:

x 0 = A c o s φ = 0 → cos ⁡ φ = 0 →   φ = π 2

Show! Então:

x t = 40 cos ⁡ 0,0349 t + π 2

Pra achar a velocidade e a aceleração, basta a gente derivar esse equação uma vez e depois derivar de novo:

v t = - 1,40 s e n 0,0349 t + π 2

a t = - 0,0487 cos ⁡ 0,0349 t + π 2

Passo 4

d)

Basta a gente pegar sucessivos valores de tempo pra formar o gráfico:

Resposta

a)

A = R = 40   m

b)

T = 180 s

ω ≅ 0,0349   r a d / s

c)

x t = 40 cos ⁡ 0,0349 t + π 2

v t = - 1,40 s e n 0,0349 t + π 2

a t = - 0,0487 cos ⁡ 0,0349 t + π 2

d)