Enunciado

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Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função aceleração a(t) aparece na Fig. 15-55 se a função posição x(t) é da forma x = x m c o s ω t + ϕ e a s = 4,0 m / s 2 ?

Passo 1

Bom, pelo gráfico, a gente percebe que em t = 0 a aceleração vale 1,00   m / s 2 e ela é no máximo 4   m / s 2 .

Se você se lembrar como é o movimento do oscilador harmônico:

x t = A c o s ω t + ϕ

Como queremos a aceleração

a ( t ) = d 2 x ( t ) d t 2 = d d t ( d d t A c o s ω t + ϕ

a ( t ) = d d t - A ω s e n ω t + ϕ

a ( t ) = - A ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ

Esse cara na frente do cosseno é a aceleração máxima, então podemos reescrever

a ( t ) = - a M cos ⁡ ω t + ϕ

Como estamos falando da condição inicial:

a ( 0 ) = - a M cos ⁡ 0 + ϕ = - acos ⁡ ϕ

cos ⁡ ϕ = - a 0 a M

Então, com isso, a gente consegue descobrir o valor de ϕ . Olha como fica

ϕ = c o s - 1 - 1,00 / 4,00 = 1 . 31   r a d 2.88   r a d

Ou seja, temos dois valores possíveis que têm cosseno igual a 1 / 4 . Mas qual deles é a nossa resposta?

Passo 2

Pra isso temos que olhar a derivada da aceleração. Isso por que a aceleração em t = 0 cresce com o tempo segundo o gráfico. Essa derivada é

d a d t = A ω 3 s e n ω t + ϕ

d a ( 0 ) d t = A ω 3 s e n ( ϕ )

Relaxa, que não precisamos calcular de fato essa derivada! Só precisamos analisar o sinal dela! Como a aceleração no gráfico do enunciado cresce com o tempo então analisando esse termo temos que ter

s e n ϕ > 0

Olhando os nossos dois possíveis candidatos

ϕ = 1.31   r a d → 2 °   q u a d r a n t e → s e n 1.31 > 0

ϕ = 2.88   r a d → 3 °   q u a d r a n t e → s e n 2.88 < 0

Como tem que ser positivo:

ϕ = 1.31   r a d

Resposta

ϕ = 1.31   r a d

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