Introdução ao MHS

Resumo Completo

O que é MHS?

MHS significa Movimento Harmônico Simples.

O que isso quer dizer?

Movimento harmônico é um movimento oscilatório, ou seja, que apresenta algumas propriedades que se repetem com o tempo (como a posição x ( t ) , a velocidade v ( t ) , aceleração a ( t ) , etc).

A estrutura de um movimento harmônico sempre vai ser dada por funções seno ou cossenos (isso que vai gerar as repetições). Por exemplo:

x t = 2 cos 3 t

y t = sen t

E por que se chama movimento harmônico simples?

Movimento harmônico simples significa que é um movimento harmônico que não tem atrito. Existem ainda os MHAs, que são movimentos harmônicos amortecidos. Mas não se preocupe com eles agora.

Equação do MHS

Como a gente viu, a equação do MHS vai ser ou uma função seno ou uma função cosseno.

No geral, ela vai ter o seguinte formato:

x t = A c o s ω t + φ

Ou:

x t = A s e n ( ω t + φ )

Essa é a chamada equação da posição de um MHS.

Nessa equação, temos:

A : Representa a amplitude do movimento.

ω : Representa a frequência angular.

φ : Representa a fase do movimento.

Mas o que significa cada uma dessas coisas?

Bom, nós vamos entender melhor nos exercícios, mas por hora, basicamente temos o seguinte:

A : É o maior “afastamento” possível que o objeto que está executando o MHS pode ter da origem.

ω : É uma espécie de velocidade angular. É dada em r a d / s . A expressão geral pra ela é:

ω = 2 π T = 2 π f

Onde T é o período do movimento, ou seja, o tempo de um ciclo total.

A frequência é o inverso do período:

f = 1 T

φ : É o ângulo inicial do movimento. Tem a ver com a posição inicial do objeto.

Velocidade e aceleração

E como são as equações da velocidade e da aceleração pros MHS?

Muito simples, basta a gente derivar (:

Derivando uma vez:

x t = A c o s ω t + φ d x t d t = - ω A s e n ( ω t + φ )

v t = - ω A s e n ω t + φ

Repare que, como o seno varia entre -1 e +1, então temos a velocidade máxima:

v m a x = ω A

E o objeto fica variando entre as velocidades ω A e - ω A .

Para a aceleração, derivamos outra vez:

d v t d t = - ω 2 A c o s ω t + φ

A aceleração máxima é:

a m a x = ω 2 A

Defasagem entre a velocidade e aceleração

Aqui vamos ver que existe uma defasagem entre as funções seno e cosseno.

Exemplo:

Quando cos 0 = 1 , temos que s e n 0 = 0 .

Ou quando s e n π 2 = 1 , temos que cos π 2 = 0 .

Isso quer dizer que as funções estão defasadas por π 2 .

Isso também vai acontecer com a velocidade e com a aceleração:

  • Quando a aceleração for máxima, a velocidade será mínima (zero).
  • Quando a velocidade for máxima, a aceleração será mínima (zero).

Posições de velocidade nula e aceleração nula

Vamos tentar descobrir as posições onde a velocidade de um MHS torna-se nula intuitivamente. Veja a figura:

A bolinha azul está se movendo para a esquerda, em MHS, com velocidade não nula. Pra completar o Ciclo do MHS, ela deve chegar até a extremidade esquerda e voltar.

Onde a velocidade se anulará então?

No extremo - A , pois ali a velocidade muda de sentido.

Isso acontece também pro extremo direito. Então, podemos dizer que:

v x = A = v x = - A = 0

Show?

Bom, como vimos antes, onde há um mínimo de velocidade há um máximo de aceleração. Assim:

A aceleração será máxima em x = A e x = - A .

Vamos analisar de novo o movimento da partícula. Como a velocidade se anula nas extremidades, temos que o valor inicial dela, em x = A , seja 0, e em x = - A também. Porém, ela se move nessa trajetória, logo, a partir das extremidades a velocidade tende a crescer.

Onde ocorre o máximo da velocidade?

Em x = 0 .

Pelos motivos que vimos antes, a aceleração se anula em x = 0 .

Olha o resuminho bizu!!!

Bora fazer uns exercícios disso aí (:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 107-11

A função: x = 6,0 m . c o s ( 3 π r a d / s . t + π 3 r a d ) descreve o movimento harmônico simples de um corpo. Em t = 2,00 s , quais são:

  1. O deslocamento.
  2. A velocidade.
  3. A aceleração.
  4. A fase do movimento.
  5. A frequência.
  6. O período.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a)

Basta a gente aplicar o valor t = 2,00 s na função:

x 2,00 = 6 . cos 6 π + π 3 = 6 . 1 2 = 3,00 m

Por que cos 6 π + π 3 = 0,5 ?

Porque :

cos 6 π + π 3 = cos π 3 = cos   60 °

Isso é uma propriedade trigonométrica:

Toda vez que somamos a um ângulo um número inteiro de voltas(um múltiplo de 2 π , como 6 π ) , os senos e cossenos desse ângulo vão ser os mesmos que o do ângulo inicial.

Beleza, mas nós calculamos a posição, certo? Queremos o deslocamento, logo, precisamos descontar desse valor a posição inicial.

E qual é a posição inicial? A posição para t = 0 :

x 0 = 6 cos π 3 = 3,00 m

Opa, então o deslocamento será:

d = 3,00 - 3,00 = 0

Perceba que esse deslocamento é um vetor( no caso calculamos o módulo dele) e por isso é nulo.

Ou seja: O móvel voltou para a posição inicial, mas a informação acima não quer dizer que o móvel não percorreu distâncias.

Passo 2

b)

Primeiro, precisamos derivar a fórmula:

v t = d x t d t = - 18 π s e n 3 π r a d / s . t + π 3 r a d

Aplicando para t = 2 :

v 2 = - 18 π s e n 6 π + π 3 = - 48,97   m / s

Passo 3

c)

Novamente, derivando:

a t = - 54 π 2 cos 3 π r a d / s . t + π 3 r a d

Aplicando para t = 2 s :

a 2 = - 54 π 2 cos 6 π + π 3 = - 266,5   m / s 2

Passo 4

d)

Da definição, sabemos que a constante de fase é π 3 r a d .

Passo 5

e)

Bom, na fórmula existe o valor de ω . No caso, ela vale:

ω = 3 π r a d / s

Assim fica fácil achar o período:

ω = 2 π T T = 2 π 3 π = 2 3 s

O período vale:

T = 2 3 s

Com isso, a frequência é dada por:

f = 1 T = 3 2 = 1,5   H z

Passo 6

f)

Calculado no item anterior:

T = 2 3 s

Resposta

a)

0

b)

- 48,97   m / s

c)

- 266,5   m / s 2

d)

π 3

e)

1,5   H z

f)

T = 2 3 s

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 106-2.

Uma partícula com massa de 1,00 .   10 - 20   k g   descreve um movimento harmônico simples com um período de 1,00   . 10 - 5 s e uma velocidade máxima de 1,00.10 3 m / s . Calcule:

(a) a frequência angular.

(b) o deslocamento máximo da partícula.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a)

Basta a gente usar a fórmula do período:

ω = 2 π T = 2 π 1,00   . 10 - 5 = 62,8.10 4   r a d / s

Passo 2

b)

O deslocamento máximo é o valor da amplitude ( A ) .

Mas nós não sabemos esse valor. Porém, sabemos o valor da velocidade máxima, dada por:

v m á x = ω A

E também sabemos ω . Assim:

A = v m á x ω = 1,00.10 3 62,8.10 4 0,0016 m = 1,6 m m

Resposta

a)

62,8.10 4   r a d / s

b)

1,6 m m

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 106-1

Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,20   c m e uma frequência de 6,60   H z ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Opa! Essa é moleza! Basta a gente aplicar:

a = - ω 2 A

Ou em módulo:

a = ω 2 A

Passo 2

Achando ω :

ω = 2 π T = 2 π f = 2 π 6,60 = 41,5   r a d / s

Agora é só aplicar mesmo:

a = 41,5 2 . 2,2.10 - 2 = 37,9   m / s 2

Resposta

37,9   m / s 2

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 106-5

Um objeto que executa um movimento harmônico simples leva 0,25 s para se deslocar de um ponto de velocidade nula para o ponto seguinte do mesmo tipo. A distância entre esses pontos é 36 cm. Calcule:

(a) o período.

(b) a frequência.

(c) a amplitude do movimento

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, nós já sabemos que os pontos de velocidade nula são os pontos das extremidades dos MHS (já que ali a partícula para e muda o sentido de sua velocidade).

Assim, podemos começar a calcular o que se pede.

Passo 2

Bom, como a partícula saiu de um ponto de velocidade nula para o outro, é de se esperar que ela percorreu uma distância 2 A .

Ou seja, vamos imaginar que ela saiu de - A e foi pra + A .

Assim:

2 A = 36 c m A = 18 c m

E essa é a resposta da letra c).

Passo 3

Quanto ao período:

O tempo decorrido entre a ida de - A para + A representa meio período, já que se o móvel fizesse o percurso de volta ele voltaria pra onde tinha saído.

Assim:

T = 2 . 0,25 s = 0,5 s

E a frequência é o inverso do período, logo:

f = 1 T = 1 0,5 = 2 H z

Resposta

a)

0,5 s

b)

2 H z

c)

18 c m

Exercício Resolvido #5

Enunciado

USP-P1-2014-Q8

Uma partícula descreve um movimento harmônico simples de período 4   s e amplitude de 5   c m . O módulo de sua velocidade ao passar por um ponto de trajetória cuja elongação é 3   c m vale:

  1. 16 π   c m / s
  2. 8 π   c m / s
  3. 4 π   c m / s
  4. 2 π   c m / s
  5. 32 π   c m / s
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, galera, aqui nós vamos usar basicamente as três equações abaixo:

x t = A c o s ω t +

v t = x ˙ t = - ω A s e n ω t +

ω = 2 π T

Passo 2

Vamos calcular primeiro o ω , dado por:

ω = 2 π T = 2 π 4 = π 2

Vamos lá! Nós queremos saber a velocidade pra uma determinada elongação x = 3 .

Vamos isolar os senos e cossenos das equações anteriores:

c o s ω t + = x A = 3 5

E

s e n ω t + = v - ω A

Agora vamos usar o fato de que:

cos 2 θ + s e n 2 θ = 1

cos 2 ω t + + s e n 2 ω t + = 1

3 5 2 + v 2 ω 2 A 2 = 1

9 25 + v 2 π 2 4 . 5 2 = 1

v 2 π 2 4 . 5 2 = 1 - 9 25 = 16 25

v 2 = π 2 4 . 25.16 25 = 4 π 2

v = 2 π c m / s

Resposta

d)

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