Introdução ao MHS

Ver Todos os Exercícios

Teoria

O que é MHS?

MHS significa Movimento Harmônico Simples.

O que isso quer dizer?

Movimento harmônico é um movimento oscilatório, ou seja, que apresenta algumas propriedades que se repetem com o tempo (como a posição x ( t ) , a velocidade v ( t ) , aceleração a ( t ) , etc).

A estrutura de um movimento harmônico sempre vai ser dada por funções seno ou cossenos (isso que vai gerar as repetições). Por exemplo:

x t = 2 cos ⁡ 3 t

y t = sen ⁡ t

E por que se chama movimento harmônico simples?

Movimento harmônico simples significa que é um movimento harmônico que não tem atrito. Existem ainda os MHAs, que são movimentos harmônicos amortecidos. Mas não se preocupe com eles agora.

Equação do MHS

Como a gente viu, a equação do MHS vai ser ou uma função seno ou uma função cosseno.

No geral, ela vai ter o seguinte formato:

x t = A c o s ω t + φ

Ou:

x t = A s e n ( ω t + φ )

Essa é a chamada equação da posição de um MHS.

Nessa equação, temos:

A : Representa a amplitude do movimento.

ω : Representa a frequência angular.

φ : Representa a fase do movimento.

Mas o que significa cada uma dessas coisas?

Bom, nós vamos entender melhor nos exercícios, mas por ora, basicamente temos o seguinte:

A : É o maior “afastamento” possível que o objeto que está executando o MHS pode ter da origem.

ω : É uma espécie de velocidade angular. É dada em r a d / s . A expressão geral pra ela é:

ω = 2 π T = 2 π f

Onde T é o período do movimento, ou seja, o tempo de um ciclo total.

A frequência é o inverso do período:

f = 1 T

φ : É o ângulo inicial do movimento. Tem a ver com a posição inicial do objeto.

Velocidade e aceleração

E como são as equações da velocidade e da aceleração pros MHS?

Muito simples, basta a gente derivar (:

Derivando uma vez:

x t = A c o s ω t + φ → d x t d t = - ω A s e n ( ω t + φ )

v t = - ω A s e n ω t + φ

Repare que, como o seno varia entre -1 e +1, então temos a velocidade máxima:

v m a x = ω A

E o objeto fica variando entre as velocidades ω A e - ω A .

Para a aceleração, derivamos outra vez:

d v t d t = - ω 2 A c o s ω t + φ

A aceleração máxima é:

a m a x = ω 2 A

Defasagem entre a velocidade e aceleração

Aqui vamos ver que existe uma defasagem entre as funções seno e cosseno.

Exemplo:

Quando cos ⁡ 0 = 1 , temos que s e n 0 = 0 .

Ou quando s e n π 2 = 1 , temos que cos ⁡ π 2 = 0 .

Isso quer dizer que as funções estão defasadas por π 2 .

Isso também vai acontecer com a velocidade e com a aceleração:

  • Quando a aceleração for máxima, a velocidade será mínima (zero).
  • Quando a velocidade for máxima, a aceleração será mínima (zero).

Posições de velocidade nula e aceleração nula

Vamos tentar descobrir as posições onde a velocidade de um MHS torna-se nula intuitivamente. Veja a figura:

A bolinha azul está se movendo para a esquerda, em MHS, com velocidade não nula. Pra completar o Ciclo do MHS, ela deve chegar até a extremidade esquerda e voltar.

Onde a velocidade se anulará então?

No extremo - A , pois ali a velocidade muda de sentido.

Isso acontece também pro extremo direito. Então, podemos dizer que:

v x = A = v x = - A = 0

Show?

Bom, como vimos antes, onde há um mínimo de velocidade há um máximo de aceleração. Assim:

A aceleração será máxima em x = A e x = - A .

Vamos analisar de novo o movimento da partícula. Como a velocidade se anula nas extremidades, temos que o valor inicial dela, em x = A , seja 0, e em x = - A também. Porém, ela se move nessa trajetória, logo, a partir das extremidades a velocidade tende a crescer.

Onde ocorre o máximo da velocidade?

Em x = 0 .

Pelos motivos que vimos antes, a aceleração se anula em x = 0 .

Olha o resuminho bizu!!!

Bora fazer uns exercícios disso aí (:

Posições de velocidade nula e aceleração nula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A função: x = 6,0 m . c o s ⁡ ( 3 π r a d / s . t + π 3 r a d ) descreve o movimento harmônico simples de um corpo. Em t = 2,00 s , quais são:

  1. O deslocamento.
  2. A velocidade.
  3. A aceleração.
  4. A fase do movimento.
  5. A frequência.
  6. O período.

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado uma função posição para um MHS.

Em alguns itens, iremos usar a fórmula dada para encontrar o deslocamento, a velocidade e a aceleração.

Nos demais itens, iremos comparar a função dada com a fórmula geral e encontrar o que se pede.

A fórmula geral da posição num MHS é:

x t = A c o s ω t + ϕ

Aonde,

A é a amplitude do movimento.

ω é a frequência angular.

ϕ é a constante de fase.

Passo 2

a)

Para encontrarmos o deslocamento no tempo t = 2,00 s , precisamos saber qual a posição no tempo t = 2,00 s e para isso, só precisamos usar a função dada e aplicar o valor t = 2,00 s :

x 2,00 = 6 . cos ⁡ 6 π + π 3 = 6 . 1 2 = 3,00 m

Por que cos ⁡ 6 π + π 3 = 0,5 ?

Porque :

cos ⁡ 6 π + π 3 = cos ⁡ π 3 = cos ⁡   60 °

Isso é uma propriedade trigonométrica:

Toda vez que somamos a um ângulo um número inteiro de voltas(um múltiplo de 2 π , como 6 π ) , os senos e cossenos desse ângulo vão ser os mesmos que o do ângulo inicial.

Beleza, mas nós calculamos a posição, certo? Queremos o deslocamento, logo, precisamos descontar desse valor a posição inicial.

E qual é a posição inicial? A posição para t = 0 :

x 0 = 6 cos ⁡ π 3 = 3,00 m

Opa, então o deslocamento será:

d → = 3,00 - 3,00 = 0

Perceba que esse deslocamento é um vetor( no caso calculamos o módulo dele) e por isso é nulo.

Ou seja: O móvel voltou para a posição inicial, mas a informação acima não quer dizer que o móvel não percorreu distâncias.

Passo 3

b)

Primeiro, precisamos derivar a fórmula:

x ( t ) = 6 c o s 3 π t + π 3

Derivando:

v t = d x t d t = - 18 π s e n 3 π r a d / s . t + π 3 r a d

Aplicando para t = 2 :

v 2 = - 18 π s e n 6 π + π 3 = - 48,97   m / s

Passo 4

c)

Novamente, derivando:

a t = - 54 π 2 cos ⁡ 3 π r a d / s . t + π 3 r a d

Aplicando para t = 2 s :

a 2 = - 54 π 2 cos ⁡ 6 π + π 3 = - 266,5   m / s 2

Passo 5

d)

Comparando a fórmula dada, com a fórmula geral:

x = 6,0 m . c o s ⁡ ( 3 π r a d / s . t + π 3 r a d )

x = A c o s ( ω t + ϕ )

Da definição, sabemos que a constante de fase é ϕ = π 3 r a d .

Passo 6

e)

Bom, na fórmula existe o valor de ω . No caso, ela vale:

ω = 3 π r a d / s

Assim fica fácil achar o período:

ω = 2 π T → T = 2 π 3 π = 2 3 s

O período vale:

T = 2 3 s

Com isso, a frequência é dada por:

f = 1 T = 3 2 = 1,5   H z

Passo 7

f)

Calculado no item anterior:

T = 2 3 s

Resposta

a)

0

b)

- 48,97   m / s

c)

- 266,5   m / s 2

d)

π 3

e)

1,5   H z

f)

T = 2 3 s

Exercício Resolvido #2

Uma partícula com massa de 1,00 .   10 - 20   k g   descreve um movimento harmônico simples com um período de 1,00   . 10 - 5 s e uma velocidade máxima de 1,00.10 3 m / s . Calcule:

(a) a frequência angular.

(b) o deslocamento máximo da partícula.

Passo 1

a)

Basta a gente usar a fórmula do período:

ω = 2 π T = 2 π 1,00   . 10 - 5 = 62,8.10 4   r a d / s

Passo 2

b)

O deslocamento máximo é o valor da amplitude ( A ) .

Mas nós não sabemos esse valor. Porém, sabemos o valor da velocidade máxima, dada por:

v m á x = ω A

E também sabemos ω . Assim:

A = v m á x ω = 1,00.10 3 62,8.10 4 ≅ 0,0016 m = 1,6 m m

Resposta

a)

62,8.10 4   r a d / s

b)

1,6 m m

Exercício Resolvido #3

Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,20   c m e uma frequência de 6,60   H z ?

Passo 1

Opa! Essa é moleza! Basta a gente aplicar:

a = - ω 2 A

Ou em módulo:

a = ω 2 A

Passo 2

Achando ω :

ω = 2 π T = 2 π f = 2 π 6,60 = 41,5   r a d / s

Agora é só aplicar mesmo:

a = 41,5 2 . 2,2.10 - 2 = 37,9   m / s 2

Resposta

37,9   m / s 2

Exercício Resolvido #4

Um objeto que executa um movimento harmônico simples leva 0,25 s para se deslocar de um ponto de velocidade nula para o ponto seguinte do mesmo tipo. A distância entre esses pontos é 36 cm. Calcule:

(a) o período.

(b) a frequência.

(c) a amplitude do movimento

Passo 1

Bom, nós já sabemos que os pontos de velocidade nula são os pontos das extremidades dos MHS (já que ali a partícula para e muda o sentido de sua velocidade).

Assim, podemos começar a calcular o que se pede.

Passo 2

Bom, como a partícula saiu de um ponto de velocidade nula para o outro, é de se esperar que ela percorreu uma distância 2 A .

Ou seja, vamos imaginar que ela saiu de - A e foi pra + A .

Assim:

2 A = 36 c m → A = 18 c m

E essa é a resposta da letra c).

Passo 3

Quanto ao período:

O tempo decorrido entre a ida de - A para + A representa meio período, já que se o móvel fizesse o percurso de volta ele voltaria pra onde tinha saído.

Assim:

T = 2 . 0,25 s = 0,5 s

E a frequência é o inverso do período, logo:

f = 1 T = 1 0,5 = 2 H z

Resposta

a)

0,5 s

b)

2 H z

c)

18 c m

Exercício Resolvido #5

Uma partícula descreve um movimento harmônico simples de período 4   s e amplitude de 5   c m . O módulo de sua velocidade ao passar por um ponto de trajetória cuja elongação é 3   c m vale:

  1. 16 π   c m / s
  2. 8 π   c m / s
  3. 4 π   c m / s
  4. 2 π   c m / s
  5. 32 π   c m / s

Passo 1

Bom, galera, aqui nós vamos usar basicamente as três equações abaixo:

x t = A c o s ω t + ∅

v t = x ˙ t = - ω A s e n ω t + ∅

ω = 2 π T

Passo 2

Vamos calcular primeiro o ω , dado por:

ω = 2 π T = 2 π 4 = π 2

Vamos lá! Nós queremos saber a velocidade pra uma determinada elongação x = 3 .

Vamos isolar os senos e cossenos das equações anteriores:

c o s ω t + ∅ = x A = 3 5

E

s e n ω t + ∅ = v - ω A

Agora vamos usar o fato de que:

cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1

cos 2 ⁡ ω t + ∅ + s e n 2 ω t + ∅ = 1

3 5 2 + v 2 ω 2 A 2 = 1

9 25 + v 2 π 2 4 . 5 2 = 1

v 2 π 2 4 . 5 2 = 1 - 9 25 = 16 25

v 2 = π 2 4 . 25.16 25 = 4 π 2

v = 2 π c m / s

Resposta

d)

Exercícios de Livros Relacionados

A função x = 6,0   m c o s ⁡ [ ( 3 π   r a d / s )   t
Duas partículas oscilam em movimento harmônico simples ao longo de um
Um objeto que executa um movimento harmônico simples leva 0,25  
Uma partícula executa um MHS linear com uma frequência de 0,25 H z em