MHS + Colisões

Teoria Completa

Vamos aprender agora a resolver um tipo diferente de questão, no qual existem colisões envolvendo um móvel que está em MHS ou colisões que geram um MHS.

Do que eu estou falando? Imagine a seguinte cena:

Temos um projétil que se aproxima de um bloco preso a uma mola.

Para o nosso exemplo, vamos supor que o projétil fica alojado no bloco após a colisão.

Como era de se esperar, após a colisão, os dois objetos, o bloco e o projétil, passarão a se mover juntos. E qual será o movimento?

O movimento será um MHS, graças a mola.

A análise desse tipo de problema terá duas etapas:

  • Cálculo da conservação do momento linear e;
  • Cálculo da conservação da energia mecânica.

Conservação do momento Linear

Seja M a massa do bloco e m   a massa do projétil.

A velocidade do projétil é v .

Pela conservação do momento, o momento inicial será igual ao momento final:

Q i = Q f

Assim:

m v = M + m v f

Por que colocamos a soma no lado direito? Porque os dois móveis passam andar juntos, com uma mesma velocidade v f .

Assim:

v f = m v M + m

E essa será a velocidade final do conjunto.

Conservação da energia e MHS resultante

Bom, como a gente tinha falado, essa colisão vai gerar um MHS.

O mais importante nesse ponto será determinar a amplitude do movimento.

E como faremos isso? Por conservação da energia mecânica.

No início, a mola não está comprimida, mas o conjunto bloco e projétil possuem uma velocidade inicial, que calculamos no item anterior.

Usando a equação:

k A 2 2 = k x 2 2 + m t o t a l v 2 2

Para o estado inicial: x = 0 . Então:

k A 2 2 = m t o t a l v f 2 2

Sacou? No início, só há energia cinética. Assim, vamos ter:

A = v f . m t o t a l k

Onde:

v f = m v M + m

E:

m t o t a l = M + m

Resumindo:

Primeiro: Faça a conservação do momento.

Segundo: Faça a conservação da energia mecânica no MHS.

Bora fazer uns exercícios sobre isso agora.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Um bloco de massa M , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a um suporte rígido por duas molas de constante elástica k 1 e k 2 , de modo que k 2 = 3 ∙ k 1 . Uma bala ( bala Juquinha, de preferência... pra quê falar de mais violência ) de massa m e velocidade v atinge o bloco como mostrado na figura abaixo (e fica grudada nele).

De posse dessas informações, determine a velocidade do conjunto imediatamente após a colisão e a amplitude do movimento harmônico simples associado.

(Obs.: Dica do Dexter – Confira o nosso material de associação de molas)

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Passo 1

Beleza....Vamos resolver logo essa parte da velocidade que é de boas....Vamos relembrar a conservação de momento linear para colisões que vimos lááá nas priscas eras de Física 1.

Antes da colisão, a bala Juquinha tinha velocidade v e o bloco tinha velocidade nula, logo, o momento linear inicial é:

Q i = m v + M . 0 = m v

Após a colisão, tanto o bloco quanto a bala Juquinha se deslocam com a mesma velocidade v 2 :

M v 2 + m v 2 = Q f

Como Q i = Q f :

v 2 M + m = m v

v 2 = m v M + m

E essa é a velocidade do conjunto logo após a colisão!

Passo 2

Show de bola! Já calculamos a velocidade linear do conjunto logo após a colisão. Precisamos calcular agora qual será a amplitude do movimento oscilatório do conjunto. E aí??? Será que deu ruim???

Sabe como vamos resolver esse problema, jovem padawan? Usando a Força? (Quem pegou a referência de Star Wars aí?)

Mais do que isso! Usaremos a Energia! Bom, mais precisamente a conservação dela .

Vamos considerar como início do movimento o momento em que a bala atinge o bloco. Nesse momento, a mola ainda não se comprimiu, certo? Looogo, a energia mecânica é só a energia cinética “recém-adquirida” pela colisão da bala:

E M i = M + m v 2 2 2 = M + m 2 . m v M + m 2

Bom, e depois? Depois disso, o bloco vai comprimir a mola pouco a pouco, até que essa atinja uma compressão máxima. Essa compressão máxima será a amplitude do movimento A .

Belezinha... Assim, no final das contas (estamos chegando no final delas mesmo), a energia mecânica vai ser puramente energia potencial elástica:

k A 2 2 = E M f = k r A 2 2

Opa... Dexter mandou lembrar que k r = k 1 + k 2 = k 1 + 3 k 1 = 4 k 1 .

Bom, como a energia se conserva, a energia mecânica inicial será igual à energia mecânica final:

E M i = E M f

4 k 1 2 A 2 = M + m 2 . m v M + m 2

A = M + m 4 k 1 . m v M + m

Resposta

v 2 = m v M + m ; A = M + m 4 k 1 . m v M + m

Exercício Resolvido #2

Imagine um experimento em que temos um carrinho de massa m A , inicialmente em repouso, preso a uma mola relaxada de constante elástica k e que pode se deslocar sem atrito sobre uma mesa horizontal. Nesse experimento, um carrinho de massa m B se aproxima com uma velocidade v B e colide frontalmente com o primeiro carrinho. Após a colisão, que é completamente inelástica, os carrinhos passam a oscilar juntos.

Calcule a velocidade v D dos blocos logo após a colisão, a frequência angular ω de oscilação e a amplitude, A , do movimento.

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Passo 1

Bom, num primeiro momento a gente precisa se lembrar de um conceito lááá de Física 1...Lembra da conservação de momento linear? O quêêê??? Não se lembra??? Td bem, o Responde Aí está aqui pra isso

Se nós voltarmos lá nos nossos assuntos de Conservação do Momento Linear e de Colisões, vamos ver que:

Q t d . m o v . a n t e s = Q t d . m o v . d e p o i s

m B v B = m A v D + m B v D   → v D = m B v B m A + m B

Passo 2

Para calcularmos a frequência angular de oscilação, basta nos lembrarmos que

ω = k M

Reparou no M ali? Ele será a soma das massas dos dois carrinhos, ou seja, M = m A + m B . Aí ficou fácil, né?

ω = k M = k m A + m B

Show de bolinhas! Agora só falta calcular a Amplitude!!!

Bom...nós vamos matar isso por energia.

Nós temos a velocidade máxima dos blocos, pois é aquela que eles têm logo após o impacto.

Então temos a energia cinética máxima. Basta a gente descobrir qual é a energia potencial máxima para descobrirmos a amplitude, pois:

E P m á x = k A 2 2

E a energia cinética é:

E c m á x = m v m á x 2 2 = m A + m B . m B v B m A + m B 2 . 1 2 = m B 2 v B 2 2 m A + m B

E isso é igual a :

k A 2 2 = m B 2 v B 2 2 m A + m B

A = m B v B . 1 k m A + m B

Resposta

v D = m B v B m A + m B

A = m B v B . 1 k m A + m B

ω = k m A + m B

Exercício Resolvido #3

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 107-14.

A figura abaixo mostra o bloco 1, de massa 0,200   k g , deslizando para a direta, sobre uma superfície elevada, com uma velocidade de 8,00   m / s. O bloco sofre uma colisão elástica com o bloco 2, inicialmente em repouso, que está preso a uma mola de constante elástica 1208,5   N / m .   (Suponha que a mola não afete a colisão.) Após a colisão, o bloco 2 inicia um MHS com um período de 0,140   s e o bloco 1 desliza para fora da extremidade oposta da superfície elevada, indo cair a uma distância horizontal de d dessa superfície, depois de descer uma distância de h = 4,90   m . Qual é o valor de d ?

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Passo 1

Bom, primeiro vamos dar uma resumida nesse enunciado aí! =p

De início, temos uma colisão elástica entre as massas 1 e 2, ambas sobre a superfície elevada. Depois disso, a massa 2 entra em MHS, enquanto a massa 1 cai da superfície elevada, percorrendo uma distancia horizontal d , que é o que queremos achar.

Passo 2

Como o enunciado disse que a mola não afeta a colisão, nós podemos usar as fórmulas que nos dão as velocidades em uma colisão elástica.

Porém, antes disso, vamos achar a massa do bloco 2.

Como temos a frequência com que ele oscila após a colisão a e constante da mola, podemos fazer:

ω = k m → m = k ω 2

Só basta a gente calcular ω :

ω = 2 π T = 2 π 0,14 = 44,8   r a d / s

Assim:

m = 1208,5 44,8 2 ≅ 0,60   k g

Passo 3

Agora vamos escrever a equação da conservação do momento pra essa colisão:

m 1 v 1 = - m 1 v 1 ' + m 2 v 2

Além dessa, temos a equação da conservação da energia:

m 1 v 1 2 2 = m 1 v 1 2 ' 2 + m 2 v 2 2 2

Show?? Temos duas incógnitas ali: v 2 e   v 1 ' (velocidades dos blocos após a colisão).

Resolvendo o sistema acima, encontramos pra v 1 ' :

v 1 ' = 4,00   m / s

Passo 4

Agora é só cinemática!!!! Essa velocidade, 4,0   m / s , vai ser a velocidade do bloquinho 1 após a colisão. Como ele vai cair da mesa, essa vai ser a velocidade inicial do lançamento oblíquo.

Então, pra achar o alcance, vamos usar:

d = v 0 t q

Onde t q é o tempo de queda. E como se calcula ele mesmo? Lembrando das fórmulas de lançamento oblíquo, a gente pode escrever:

t q = 2 H g

Aplicando o valor da altura do enunciado:

t q = 2.4,9 9,8 = 1 s

Assim:

d = 4,00 . 1 = 4,00   m

Resposta

d = 4,00   m

Exercício Resolvido #4

PUCRIO-P1-2013.2-Q2

Um bloco de 2,00 k g é unido a uma mola e colocado em uma superfície horizontal sem atrito. Uma força horizontal de 20 N é necessária para manter o bloco em repouso quando é puxado de 0,200   m de sua posição de equilíbrio. O bloco é liberado do repouso a partir deste ponto e realiza um movimento harmônico simples.

  1. Encontre a constante de força da mola e a frequência de oscilação.
  2. Determine a energia cinética máxima do bloco.
  3. Considere agora que o bloco esteja em repouso na sua posição de equilíbrio e um projétil de massa 0,10 k g com velocidade de 21 m / s atinge o bloco, como mostra a figura (a) abaixo. O projétil fica preso no bloco, como mostrado na figura (b), e o sistema bloco+projétil passa a oscilar num movimento harmônico simples. Determine a amplitude do MHS resultante.
  4. Se o projétil do item c) atingir o bloco quando este se encontra com velocidade nula na posição x = 0,20 m , qual será a nova amplitude do movimento?
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Passo 1

Bora lá! Primeiramente temos um sistema massa-mola que começará a entrar em MHS, após ter sido afastado de 0,200   m da sua posição de equilíbrio. Queremos encontrar algumas informações sobre o MHS que ele realiza. Depois, vamos considerar que ocorre uma colisão entre esse bloco e um projétil que fica preso nele.

Passo 2

a)

Aqui queremos encontrar a constante de força da mola e a frequência de oscilação.

O enunciado te deu o x da mola e a força gerada por ela, então, para calcular a constante:

F = k x   → k = F x = 20 0,2 = 100   N / m

E a frequência angular é dada por:

ω = k m = 100 2 = 7,07   r a d / s

A frequência de oscilação será:

ω = 2 π f   → f = ω 2 π = 7,07 2 π = 1,13   H z

Passo 3

b)

A energia cinética máxima ocorre quando toda a energia mecânica é cinética. Ou seja:

E c = E M

E a energia mecânica máxima é dada por:

E M = k A 2 2

Onde A é a amplitude do movimento.

E qual a amplitude do movimento? Nesse caso, vale:

A = 0,200 m

Então:

E M = k A 2 2 = 100 . 0,2 2 2 = 2,0   J

Então:

E c m á x = 2,0   J

Passo 4

c)

Bom, galera, aqui vamos lembrar um pouco do que sabemos sobre colisões.

Como o sistema é isolado de forças externas, podemos dizer que o momento se conserva e então:

m v 1 = M + m v 2

Então:

v 2 = m v 1 M + m

Essa é a velocidade do conjunto corpo mais bloco.

Beleza, mas e aí? Não queremos isso. Queremos saber é qual a amplitude do MHS.

Basta a gente lembrar que a energia cinética máxima é igual a k A 2 2 , então:

k A 2 2 = ( m + M ) v 2 2 2

Calculando v 2 :

v 2 = m v 1 M + m = 0,1.21 2,00 + 0,1 = 1   m / s

Então, usando a equação anterior:

100 A 2 2 = 2,1.1 2 2

A 2 = 2,1 100 → A = 2,1 100 = 0,145   m

Passo 5

d)

Após o choque, a velocidade continua a mesma que a do item c), só que agora temos também energia potencial. Então:

E M = E C + E P

k A 2 2 = m + M v 2 2 + k x 2 2

100 . A 2 2 = 2,1 . 1 2 2 + 100 . 0,2 2 2

A 2 = 2,1 + 4 100 → A = 6,1 100 ≅ 0,25 m

Resposta

a)

k = 100   N / m

f = 1,13   H z

b)

E c m á x = 2,0   J

c)

A = 0,145   m

d)

A ≅ 0,25 m

Exercício Resolvido #5

PUCRIO-P1-2014.1-Q2

Um carrinho A de massa m a , inicialmente em repouso no ponto O , está preso a uma mola relaxada de constante elástica k e pode se deslocar sem atrito sobre uma mesa horizontal. Um carrinho B de massa m B se aproxima com uma velocidade v B e colide frontalmente com o carrinho A . Após a colisão, que é completamente inelástica, os carrinhos passam a oscilar juntos. Encontre, em função dos dados acima,

  1. A velocidade v D dos blocos logo após a colisão.
  2. A frequência angular ω de oscilação e a amplitude, x M , do movimento.
  3. Considerando t = 0 o instante de choque, obtenha a constante de fase e escreva a posição em função do tempo, x t .
  4. Suponha que ao atingir a posição ( - x M ) o carrinho B se solte do sistema. Encontre a nova velocidade do carrinho A ao passar pelo ponto O .
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Passo 1

a)

Bem, aqui a gente só precisa lembrar da conservação de momento linear em colisões. Se tiver alguma dúvida, dê uma olhada lá no nosso guia de colisões.

m B v B = m A v D + m B v D   → v D = m B v B m A + m B

Passo 2

b)

Vamos precisar também lembrar dos conceitos de energia. Nós temos a velocidade máxima dos blocos, pois é aquela que eles têm logo após o impacto.

Então temos a energia cinética máxima. Sabemos que essa energia cinética máxima é igual à energia potencial máxima:

E P m á x = E c m á x = k A 2 2

E a energia cinética é:

E c m á x = m v m á x 2 2 = m A + m B . m B v B m A + m B 2 . 1 2 = m B 2 v B 2 2 m A + m B

Assim:

k A 2 2 = m B 2 v B 2 2 m A + m B

A = m B v B . 1 k m A + m B

E a frequência angular é facilmente achada usando-se a fórmula:

ω = k m = k m A + m B

Passo 3

c)

A função x ( t ) é a função que nos dá a posição de um MHS, então ela tema a forma:

x t = A c o s ω t + φ

Temos todas as informações, menos a φ . Só que pelo enunciado, em t = 0 , x 0 = 0 . Então:

x 0 = 0   → A c o s φ = 0

cos ⁡ φ = 0

φ = 2 n + 1 π 2

Ou seja, um múltiplo ímpar de π 2 .

Vamos analisar o sinal da velocidade em t = 0 pra saber mais da constante de fase:

v t = d x t d t = - ω A s e n ω t + φ

Em t = 0 :

v t > 0 →   - ω A s e n φ > 0

s e n φ < 0

φ = - π 2   ou φ = 3 π 2

Então:

x t = A c o s ω t + 3 π 2

Ou

x t = A c o s ω t - π 2

Com A e ω dados na letra b.

Passo 4

d)

Quando o carrinho se solta em - A , a energia mecânica se conserva.

Isso quer dizer que vamos ter que calcular a energia mecânica naquele ponto e depois calcular ela no ponto x = 0 , onde a velocidade é máxima. Assim, lembrando que a massa do sistema diminuiu, podemos escrever:

E M = k A 2 2

E c = m A v 2 2 2

Então:

k A 2 2 = m A v 2 2 2   → v 2 = A . k m A = m B v B . 1 k m A + m B . k m A

v 2 = m B v B . 1 m A m A + m B

Resposta

a)

v D = m B v B m A + m B

b)

A = m B v B . 1 k m A + m B

ω = k m A + m B

c)

x t = A c o s ω t + 3 π 2

x t = A c o s ω t - π 2

d)

v 2 = m B v B . 1 m A m A + m B

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