Teoria Completa
Vamos aprender agora a resolver um tipo diferente de questão, no qual existem colisões envolvendo um móvel que está em MHS ou colisões que geram um MHS.
Do que eu estou falando? Imagine a seguinte cena:
Temos um projétil que se aproxima de um bloco preso a uma mola.
Para o nosso exemplo, vamos supor que o projétil fica alojado no bloco após a colisão.
Como era de se esperar, após a colisão, os dois objetos, o bloco e o projétil, passarão a se mover juntos. E qual será o movimento?
O movimento será um MHS, graças a mola.
A análise desse tipo de problema terá duas etapas:
- Cálculo da conservação do momento linear e;
- Cálculo da conservação da energia mecânica.
Conservação do momento Linear
Seja a massa do bloco e a massa do projétil.
A velocidade do projétil é .
Pela conservação do momento, o momento inicial será igual ao momento final:
Assim:
Por que colocamos a soma no lado direito? Porque os dois móveis passam andar juntos, com uma mesma velocidade
Assim:
E essa será a velocidade final do conjunto.
Conservação da energia e MHS resultante
Bom, como a gente tinha falado, essa colisão vai gerar um MHS.
O mais importante nesse ponto será determinar a amplitude do movimento.
E como faremos isso? Por conservação da energia mecânica.
No início, a mola não está comprimida, mas o conjunto bloco e projétil possuem uma velocidade inicial, que calculamos no item anterior.
Usando a equação:
Para o estado inicial: Então:
Sacou? No início, só há energia cinética. Assim, vamos ter:
Onde:
E:
Resumindo:
Primeiro: Faça a conservação do momento.
Segundo: Faça a conservação da energia mecânica no MHS.
Bora fazer uns exercícios sobre isso agora.
Exercício Resolvido #1
Um bloco de massa , em repouso numa mesa horizontal sem atrito, é ligado a um suporte rígido por duas molas de constante elástica e , de modo que . Uma bala bala Juquinha, de preferência... pra quê falar de mais violência
De posse dessas informações, determine a velocidade do conjunto imediatamente após a colisão e a amplitude do movimento harmônico simples associado.
(Obs.: Dica do Dexter – Confira o nosso material de associação de molas)
Passo 1
Beleza....Vamos resolver logo essa parte da velocidade que é de boas....Vamos relembrar a conservação de momento linear para colisões que vimos lááá nas priscas eras de Física 1.
Antes da colisão, a bala Juquinha tinha velocidade e o bloco tinha velocidade nula, logo, o momento linear inicial é:
Após a colisão, tanto o bloco quanto a bala Juquinha se deslocam com a mesma velocidade
Como :
E essa é a velocidade do conjunto logo após a colisão!
Passo 2
Show de bola! Já calculamos a velocidade linear do conjunto logo após a colisão. Precisamos calcular agora qual será a amplitude do movimento oscilatório do conjunto. E aí??? Será que deu ruim???
Sabe como vamos resolver esse problema, jovem padawan? Usando a Força? (Quem pegou a referência de Star Wars aí?)
Mais do que isso! Usaremos a Energia! Bom, mais precisamente a conservação dela .
Vamos considerar como início do movimento o momento em que a bala atinge o bloco. Nesse momento, a mola ainda não se comprimiu, certo? Looogo, a energia mecânica é só a energia cinética “recém-adquirida” pela colisão da bala:
Bom, e depois? Depois disso, o bloco vai comprimir a mola pouco a pouco, até que essa atinja uma compressão máxima. Essa compressão máxima será a amplitude do movimento
Belezinha... Assim, no final das contas (estamos chegando no final delas mesmo), a energia mecânica vai ser puramente energia potencial elástica:
Opa... Dexter mandou lembrar que .
Bom, como a energia se conserva, a energia mecânica inicial será igual à energia mecânica final:
Resposta
;
Exercício Resolvido #2
Imagine um experimento em que temos um carrinho de massa , inicialmente em repouso, preso a uma mola relaxada de constante elástica e que pode se deslocar sem atrito sobre uma mesa horizontal. Nesse experimento, um carrinho de massa se aproxima com uma velocidade e colide frontalmente com o primeiro carrinho. Após a colisão, que é completamente inelástica, os carrinhos passam a oscilar juntos.
Calcule a velocidade dos blocos logo após a colisão, a frequência angular de oscilação e a amplitude, , do movimento.
Passo 1
Bom, num primeiro momento a gente precisa se lembrar de um conceito lááá de Física 1...Lembra da conservação de momento linear? O quêêê??? Não se lembra??? Td bem, o Responde Aí está aqui pra isso
Se nós voltarmos lá nos nossos assuntos de Conservação do Momento Linear e de Colisões, vamos ver que:
Passo 2
Para calcularmos a frequência angular de oscilação, basta nos lembrarmos que
Reparou no ali? Ele será a soma das massas dos dois carrinhos, ou seja, . Aí ficou fácil, né?
Show de bolinhas! Agora só falta calcular a Amplitude!!!
Bom...nós vamos matar isso por energia.
Nós temos a velocidade máxima dos blocos, pois é aquela que eles têm logo após o impacto.
Então temos a energia cinética máxima. Basta a gente descobrir qual é a energia potencial máxima para descobrirmos a amplitude, pois:
E a energia cinética é:
E isso é igual a :
Resposta
Exercício Resolvido #3
A figura abaixo mostra o bloco 1, de massa , deslizando para a direta, sobre uma superfície elevada, com uma velocidade de s. O bloco sofre uma colisão elástica com o bloco 2, inicialmente em repouso, que está preso a uma mola de constante elástica (Suponha que a mola não afete a colisão.) Após a colisão, o bloco 2 inicia um MHS com um período de e o bloco 1 desliza para fora da extremidade oposta da superfície elevada, indo cair a uma distância horizontal de dessa superfície, depois de descer uma distância de . Qual é o valor de ?
Passo 1
Bom, primeiro vamos dar uma resumida nesse enunciado aí! =p
De início, temos uma colisão elástica entre as massas 1 e 2, ambas sobre a superfície elevada. Depois disso, a massa 2 entra em MHS, enquanto a massa 1 cai da superfície elevada, percorrendo uma distancia horizontal , que é o que queremos achar.
Passo 2
Como o enunciado disse que a mola não afeta a colisão, nós podemos usar as fórmulas que nos dão as velocidades em uma colisão elástica.
Porém, antes disso, vamos achar a massa do bloco 2.
Como temos a frequência com que ele oscila após a colisão a e constante da mola, podemos fazer:
Só basta a gente calcular
Assim:
Passo 3
Agora vamos escrever a equação da conservação do momento pra essa colisão:
Além dessa, temos a equação da conservação da energia:
Show?? Temos duas incógnitas ali: (velocidades dos blocos após a colisão).
Resolvendo o sistema acima, encontramos pra
Passo 4
Agora é só cinemática!!!! Essa velocidade, , vai ser a velocidade do bloquinho 1 após a colisão. Como ele vai cair da mesa, essa vai ser a velocidade inicial do lançamento oblíquo.
Então, pra achar o alcance, vamos usar:
Onde é o tempo de queda. E como se calcula ele mesmo? Lembrando das fórmulas de lançamento oblíquo, a gente pode escrever:
Aplicando o valor da altura do enunciado:
Assim:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Um bloco de é unido a uma mola e colocado em uma superfície horizontal sem atrito. Uma força horizontal de é necessária para manter o bloco em repouso quando é puxado de de sua posição de equilíbrio. O bloco é liberado do repouso a partir deste ponto e realiza um movimento harmônico simples.
- Encontre a constante de força da mola e a frequência de oscilação.
- Determine a energia cinética máxima do bloco.
- Considere agora que o bloco esteja em repouso na sua posição de equilíbrio e um projétil de massa com velocidade de atinge o bloco, como mostra a figura (a) abaixo. O projétil fica preso no bloco, como mostrado na figura (b), e o sistema bloco+projétil passa a oscilar num movimento harmônico simples. Determine a amplitude do MHS resultante.
- Se o projétil do item c) atingir o bloco quando este se encontra com velocidade nula na posição , qual será a nova amplitude do movimento?
Passo 1
Bora lá! Primeiramente temos um sistema massa-mola que começará a entrar em MHS, após ter sido afastado de da sua posição de equilíbrio. Queremos encontrar algumas informações sobre o MHS que ele realiza. Depois, vamos considerar que ocorre uma colisão entre esse bloco e um projétil que fica preso nele.
Passo 2
a)
Aqui queremos encontrar a constante de força da mola e a frequência de oscilação.
O enunciado te deu o da mola e a força gerada por ela, então, para calcular a constante:
E a frequência angular é dada por:
A frequência de oscilação será:
Passo 3
b)
A energia cinética máxima ocorre quando toda a energia mecânica é cinética. Ou seja:
E a energia mecânica máxima é dada por:
Onde é a amplitude do movimento.
E qual a amplitude do movimento? Nesse caso, vale:
Então:
Então:
Passo 4
c)
Bom, galera, aqui vamos lembrar um pouco do que sabemos sobre colisões.
Como o sistema é isolado de forças externas, podemos dizer que o momento se conserva e então:
Então:
Essa é a velocidade do conjunto corpo mais bloco.
Beleza, mas e aí? Não queremos isso. Queremos saber é qual a amplitude do MHS.
Basta a gente lembrar que a energia cinética máxima é igual a , então:
Calculando
Então, usando a equação anterior:
Passo 5
d)
Após o choque, a velocidade continua a mesma que a do item c), só que agora temos também energia potencial. Então:
Resposta
a)
b)
c)
d)
Exercício Resolvido #5
Um carrinho de massa , inicialmente em repouso no ponto , está preso a uma mola relaxada de constante elástica e pode se deslocar sem atrito sobre uma mesa horizontal. Um carrinho de massa se aproxima com uma velocidade e colide frontalmente com o carrinho . Após a colisão, que é completamente inelástica, os carrinhos passam a oscilar juntos. Encontre, em função dos dados acima,
- A velocidade dos blocos logo após a colisão.
- A frequência angular de oscilação e a amplitude, , do movimento.
- Considerando o instante de choque, obtenha a constante de fase e escreva a posição em função do tempo,
- Suponha que ao atingir a posição o carrinho se solte do sistema. Encontre a nova velocidade do carrinho ao passar pelo ponto
Passo 1
a)
Bem, aqui a gente só precisa lembrar da conservação de momento linear em colisões. Se tiver alguma dúvida, dê uma olhada lá no nosso guia de colisões.
Passo 2
b)
Vamos precisar também lembrar dos conceitos de energia. Nós temos a velocidade máxima dos blocos, pois é aquela que eles têm logo após o impacto.
Então temos a energia cinética máxima. Sabemos que essa energia cinética máxima é igual à energia potencial máxima:
E a energia cinética é:
Assim:
E a frequência angular é facilmente achada usando-se a fórmula:
Passo 3
c)
A função é a função que nos dá a posição de um MHS, então ela tema a forma:
Temos todas as informações, menos a . Só que pelo enunciado, em , . Então:
Ou seja, um múltiplo ímpar de
Vamos analisar o sinal da velocidade em pra saber mais da constante de fase:
Em
ou
Então:
Ou
Com e dados na letra b.
Passo 4
d)
Quando o carrinho se solta em , a energia mecânica se conserva.
Isso quer dizer que vamos ter que calcular a energia mecânica naquele ponto e depois calcular ela no ponto , onde a velocidade é máxima. Assim, lembrando que a massa do sistema diminuiu, podemos escrever:
Então:
Resposta
a)
b)
c)
d)