Energia do MHS

Teoria Completa

E como será que a energia se comporta no MHS? Será que ela se conserva?

Sim, ela se conserva!

Bom, vamos primeiro analisar a equação da energia potencial para um sistema massa-mola em MHS.

Imaginemos uma mola de constante k e uma massa m acoplada a ela.

A energia potencial relacionada a essa mola quando ela tem uma elongação (ou deslocamento) x é dada por:

E p = k x 2 2

Ora, mas como vimos antes, x   pode ser expresso por:

x t =   A cos ⁡ ω t + φ

Onde A é a amplitude máxima do movimento!

Então podemos reescrever a equação da energia potencial como:

E p = k A c o s ω t + φ 2 2 = k A 2 cos 2 ⁡ ω t + φ 2  

Legal! Agora vamos analisar a energia cinética do movimento. A gente aprende no curso de mecânica que a energia cinética pode ser calculada por:

E c = m v 2 2

Só que já vimos que, para o MHS, a velocidade é calculada por essa expressão:

v ( t ) = - ω A   s e n ( ω t + φ )

Logo, a gente pode reescrever a equação da energia cinética assim:

E c = m ω A s e n ω t +   φ 2 2 = m ω 2 A 2 s e n 2 ω t + φ 2

Como ω = k m   → k = m ω 2 ! Logo, substituindo na equação de cima:

E c = k A 2 s e n 2 ω t + φ 2

Agora, se somarmos a energia cinética e a energia potencial:

E p + E c = k A 2 cos 2 ⁡ ω t + φ 2   +   k A 2 s e n 2 ω t + φ 2 = k A 2 2 cos 2 ⁡ ω t + φ + s e n 2 ω t + φ

Lembra que cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 1 ?

Sabendo disso, podemos prosseguir:

k A 2 2 cos 2 ⁡ ω t + φ + s e n 2 ω t + φ = k A 2 2

Olha que interessante: descobrimos que a soma da energia cinética com a potencial para um dado deslocamento x   é igual a energia potencial máxima, ou seja, aquela que corresponde ao deslocamento x = A (:

E no fim das contas, a expressão que você deve lembrar é essa:

E t o t a l = E p o t e n c i a l + E c i n é t i c a

k A 2 2 = k x 2 2 + m v 2 2

Essa é a equação da conservação da energia pro MHS.

Agora, vamos observar como a energia varia com a posição da nossa massa em MHS:

Alguns pontos que temos que notar:

  • Quando a energia cinética é máxima, a energia potencial é nula e vice-versa;
  • Quando x = 0 , a energia cinética é máxima e igual à energia total;
  • Quando x = ± A , a energia potencial é máxima e igual à energia total.

Bora fazer uns exercícios pra fixar. (:

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 108-27

Determine a energia mecânica de um sistema bloco-mola com uma constante de 1,3   N / c m e uma amplitude de oscilação de 2,4   c m .

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Passo 1

Bom, aqui a gente vai usar a equação:

k A 2 2 = k x 2 2 + m v 2 2

Passo 2

Mas veja só: o enunciado te pediu a energia mecânica do sistema...ou seja, a energia total!

Isso equivale a dizer que ele está pedindo a soma:

k x 2 2 + m v 2 2

Porém, podemos usar o lado esquerdo da equação e calcular a energia mecânica do sistema usando a amplitude máxima:

E M = k A 2 2

Passo 3

Show? Agora só aplicar os valores do enunciado.

No entanto, você deve ter percebido que os valores não estão em metros.

Vamos converter as unidades antes, então:

k = 1,3 N / c m = 130 N / m

E:

A = 2,4 c m = 2,4.10 - 2 m

Agora sim:

E M = k A 2 2 = 130 . 2,4.10 - 2 2 2 = 3,7 4.10 - 2   J

Resposta

E M = 3,7 4.10 - 2   J

Exercício Resolvido #2

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 15, pp 108-28

Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de 1,00 J uma amplitude de 10,0   c m e uma velocidade máxima de 1,20   m / s . Determine:

(a) a constante elástica

(b) a massa do bloco

(c) a frequência da oscilação.

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Passo 1

a)

Nessa primeira letra a gente pode usar a relação:

E M = k A 2 2

Lembra?

E k A 2 2 representa a energia mecânica do sistema, ou seja, a sua energia total.

Bom, temos o valor da energia mecânica e temos o A , fica fácil achar k :

1,00 = k 10.10 - 2 2 2

k = 2.1,00 10.10 - 2 2 = 200   N / m

Passo 2

b):

Aqui a gente vai ter que pensar um pouco diferente.

O enunciado nos deu a velocidade máxima do bloco. O que acontece com a energia mecânica quando o bloco atinge a velocidade máxima?

A energia mecânica se torna toda cinética. Ou seja:

E m e c = K m á x = 1 2 m v m á x 2

Sacou? Não há energia potencial, nesse caso.

Novamente, temos todos os dados necessários pra achar m :

1,00 = m . 1,20 2 2

2.1,00 1,20 2 = m = 1,39   k g

Passo 3

c)

Pra achar a frequência, basta a gente usar a relação:

ω = k m

Aplicando os valores:

ω = 200 1,39 ≅ 12,0   r a d / s

Essa é a frequência angular. A linear será:

ω = 2 π f → f = ω 2 π = 12,0 2 π ≅ 1,9   H z

Resposta

a)

k = 200   N / m

b)

m = 1,39   k g

c)

f = 1,9   H z

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P2-2014.2-Q6

No momento em que começa a ser observada ( t = 0 ) , uma partícula de massa m ligada a uma mola ideal de constante k se afasta da origem e sua energia potencial vale metade da energia mecânica total. Sobre sua constante de fase δ , podemos afirmar que:

  1. s e n δ = 1 2
  2. s e n δ = 2 2
  3. s e n δ = - 1 2
  4. s e n δ = 3 2
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Passo 1

Podemos descrever o movimento de um MHS com a equação:

x t = A s e n ω t + δ

Queremos descobrir informações sobre a sua constante de fase δ a partir de informações de sua energia.

Passo 2

O enunciado nos diz que quando o tempo vale zero, a energia potencial vale a metade da energia mecânica total.

Bom, a energia potencial é dada por:

E p = k x 2 2

Onde x = x t = A s e n ω t + δ

E a energia mecânica total dada por:

E M = k A 2 2

Pois A é o maior deslocamento possível pra partícula do MHS.

Como a energia potencial é igual à metade a energia mecânica total, quando t = 0 , temos que:

k x 2 2 = k A 2 4   → x = ± 2 2 A

Passo 3

Sendo t = 0 , vamos comparar o valor de x achado com a expressão do deslocamento:

x 0 = A s e n 0 + δ = ± 2 2 A

A s e n δ = ± 2 2 A   → s e n δ = ± 2 2

No entanto, só existe a opção s e n δ = + 2 2

Resposta

b)

Exercício Resolvido #4

Um sistema massa-mola é colocado pra oscilar de modo que o gráfico abaixo mostra a energia cinética do bloco em função do tempo. Sabendo que a massa do sistema é M = 10Kg, qual é a amplitude do movimento em metros?

(a) 9 π 5

(b) 18 / ( π 5 )  

(c) 9 5 / ( π )  

(d) 18

(e) 18 5

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Passo 1

Bom, se já chegamos até aqui, já sabemos que um bloquinho como esse conectado a uma mola realiza um movimento harmônico simples (MHS).

Show de bola... E pelo princípio de conservação da energia mecânica, sabemos que a energia total mecânica (cinética + potencial) desse sistema é constante.

Mais um show de bola... E quando a mola está completamente esticada, sabemos que E p o t é máxima e E c i n é nula.

Olha o show de bola novamente... E quando a mola está completamente relaxada, E p o t é nula e E c i n é máxima.

Show de bolas

Looogo,

E = E p o t + E c i n

E = E p o t m a x = E c i n m a x

E a energia potencial:

E p o t = 1 2 k x 2

Então:

E p o t m a x = 1 2 k A 2

Onde A é o deslocamento máximo, ou seja, amplitude que queremos determinar.

Passo 2

Do gráfico, E c i n m a x = 9,0   J :

E p o t m a x = E c i n m a x

1 2 k A 2 = 9,0

A 2 = 9 × 2 k

A = 3 2 k

Passo 3

Opa! Cancela o Show de bolas! Mas como podemos usar o k ali na fórmula???

Pode voltar com o Show de bolas... Nós vamos te dar o caminho...

Bom, do gráfico podemos determinaro período da onda, pois de um máximo até um mínimo de energia cinética temos um tempo de 3 segundos. Quando a mola está completamente esticada, temos um mínimo de energia cinética; quando ela passa pelo ponto de equilíbrio, temos um máximo de energia cinética. Isso corresponde a 1 / 4 do movimento total... Então o período da onda será:

T = 4 × ( 3   s ) = 12   s

No MHS, temos que:

T = 2 π m k

k = 2 π m T

Substituindo na amplitude:

A = 3 2 k

A = 3 2 × T 2 π m

Como m   =   10 kg e T   =   12   s :

A = 3 2 × 12 2 π 10

A = 18 π 5   m  

Resposta

(b) 18 / ( π 5 )  

Exercício Resolvido #5

USP-P1-2009-Q3

Um oscilador harmônico possui frequência ω e amplitude A .

  1. Quais são os valores dos módulos da posição e da velocidade quando a energia potencial elástica for igual a energia cinética? (Suponha que U = 0 no momento de equilíbrio)
  2. Quantas vezes isso ocorre em cada ciclo? Qual é o intervalo de tempo entre duas ocorrências?
  3. No momento em que o deslocamento é A 2 qual a fração da energia total do sistema referente a energia cinética e a qual corresponde a energia potencial?
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Passo 1

Bom, galera, aqui vamos usar as equações de energia do MHS. Ou seja:

m v 2 2 + k x 2 2 = k A 2 2 = E C + E P

Além disso, vamos usar também a equação da posição em função do tempo:

x t = A c o s ω t + φ

E da velocidade ( derivada da função acima):

v t = - ω A s e n ω t + φ

Simbora!

Passo 2

a)

Aqui a gente encontra uma situação onde a energia cinética é igual a energia potencial. Isso é:

E C = E P = k x 2 2

E C + E P = 2 E P = k A 2 2

2 . k x 2 2 = k A 2 2

x 2 = A 2 2

x = ± A 2

Por outro lado, como a energia potencial é igual a cinética:

2 E C = k A 2 2

2 . m v 2 2 = k A 2 2

m v 2 = k A 2 2

v = ± A . k m . 1 2

Lembrando que ω = k m :

v = ± A . ω 2

Passo 3

b)

Lembrando que, em um ciclo, a partícula se move de A até – A e depois volta de – A para A . Então, usando o resultado do item anterior:

x = ∓ A 2

A energia cinética se iguala a energia potencial quatro vezes vezes no ciclo.

Passo 4

Beleza, agora nós queremos saber a diferença de tempo entre as duas ocorrências x = ∓ A 2 . Como faremos isso? Usando a função que define a posição em função do tempo:

x t = A c o s ω t + φ

Vamos supor que em t = 0 o corpo esteja em + A . Então:

x 0 = A c o s 0 + φ = A

cos ⁡ φ = 1   →     φ = 0

Beleza, então a função é:

x t = A c o s ω t

Agora vamos descobrir o tempo t 1 e t 2 em que ocorre primeiro x t 1 = A 2 e x t 2 = - A 2 . Assim:

A c o s ω t 1 = A . 1 2 → cos ⁡ ω t 1 = 1 2

ω t 1 = arccos ⁡ 1 2 = π 4

t 1 = π 4 ω

Ali a gente só percebeu que o ângulo que gera um cosseno igual a 1 2 = 2 2 é o π 4 .

Fazendo a mesma coisa com a outra posição:

A c o s ω t 2 = - A . 1 2 → cos ⁡ ω t 2 = - 1 2

ω t 2 = arccos ⁡ - 1 2 = 3 π 4

t 2 = 3 π 4 ω

Então, o tempo que estamos procurando será:

t a = t 2 - t 1 = 3 π 4 ω - π 4 ω = π 2 ω

Passo 5

c)

Bom, pra calcular a energia potencial é simples:

E p = k A 2 2 2 = k A 2 8

E pra calcular a fração:

f E P = k A 2 8 k A 2 2 = 1 4

Beleza! Agora, pra calcular a fração de energia cinética, basta subtrair esse valor de 1:

f E c = 1 - 1 4 = 3 4

Resposta

a)

x = A . 1 2

v = A . ω 2

b)

t a = π 2 ω

c)

f E P = 1 4

f E c = 3 4

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