Equação Diferencial da Onda

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Teoria

Introdução

Fala aí, você já deve ter ouvido falar em algum lugar que ondas se comportam dessa forma aqui certo?

Até agora nós só tínhamos aprendido sobre ondas harmônicas, o nome pode ser novo mas são aquelas ondas descritas por senos e cossenos como essa aqui:

y x , t = A s e n ( k x - ω t )

Mas e se eu te dissesse que podemos ter uma onda com uma configuração como essa aqui embaixo, você acreditaria?

Pois é, esse gráfico bem doidão pode representar sim uma onda. A diferença é que nesse caso não seria uma onda harmônica descrita por um seno ou cosseno, mas sim por uma função diferente que no nosso caso é essa aqui:

y x , t = A e - x b + t

Beleza, mas como podemos avaliar se isso é de fato uma onda?

Temos uma equação que vai ser fundamental na hora da gente avaliar isso, se liga:

Equação Diferencial da Onda

A equação, que é uma equação com derivadas parciais, é essa coisa linda aqui:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ 2 y ∂ t 2

Onde v x é a velocidade da onda que também é conhecida como:

v x = λ f = λ T

Onde λ é o comprimento da onda, T é o período e f é a frequência.

Nossa! Mas pra que isso serve?

Bom, é o seguinte: essa equação serve como uma “identidade” para as ondas. Ou seja, caso seja dito que uma determinada função descreve o comportamento de uma onda, essa função vai ter que satisfazer essa equação.

Huum, e como vamos “testar a identidade” de uma função dessas?

Vamos fazer um pequeno exemplo:

O movimento de uma onda harmônica qualquer é descrito por:

y x , t = A c o s ( k x + ω t )

Rearranjando a equação da onda:

v x 2 = ∂ 2 y ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais da função e depois vamos jogar na relação acima:

∂ y ∂ x = - k A s e n k x + ω t → ∂ 2 y ∂ x 2 = - k 2 A c o s ( k x + ω t )

E:

∂ y ∂ t = - ω A s e n k x + ω t → ∂ 2 y ∂ t 2 = - ω 2 A c o s ( k x + ω t )

Agora usando a relação:

v x 2 = ∂ 2 y ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2     → v x 2 =   - ω 2 A c o s k x + ω t - k 2 A c o s k x + ω t = ω k 2

Lembrando que ω = 2 π T e k = 2 π λ :

v x 2 = ω k 2 → v x 2 = 2 π T 2 π λ 2 = λ T 2

E tirando a raíz:

v x = λ T

Que é como se dá a velocidade da onda.

Sendo assim, concluímos que essa era realmente uma onda!

Se no final das contas, você encontrar algo diferente, provavelmente a função não descreve uma onda. MAS dê uma revisada nos seus cálculos, pois é comum cometer alguns errinhos aqui!

Esse teste pode ser aplicado a qualquer função que descreva uma onda, não precisa ser harmônica (ter seno ou cosseno).

Então se aplicarmos o teste na nossa equação daquele gráfico diferente poderíamos avaliar se ela descreve uma onda ou não:

y x , t = A e - x b + t

Mas pra essa equação aí temos um outro método que pode ser bem interessante da gente avaliar, se liga!

Soluções da equação de onda (uma outra forma de se checar)

Beleza, então, se uma dada função representa uma onda, ela tem que satisfazer a equação diferencial de onda. Mas isso também equivale a dizer que a função é uma solução da equação diferencial de onda.

Show? O legal dessas soluções é que elas seguem um mesmo padrão, que é o:

y = f x - v t

Ou

y = g x + v t

Ou ainda, de forma mais geral, é uma combinação das duas:

y x , t = f x - v t + g x + v t

E essa velocidade v é aquela velocidade da onda mesmo:

v = λ f = λ T

Então você deve estar se perguntando: “Beleza, mas e aí?”

E aí que sabendo disso, você pode testar se uma dada equação representa uma onda sem usar a equação diferencial: basta que você chegue à conclusão que a função segue o padrão acima.

Vamos tentar aplicar o método na equação que vimos no começo e avaliar se é ou não uma onda, se liga:

y x , t = A e - x b + t

Nosso foco aqui é o trecho que se parece com uma daquelas funções mostradas:

- x b + t

Vamos manipular ele um pouquinho:

- 1 b ( x + b t )

Se ligou? O que tá dentro dos parênteses já tá bem parecido com o modelo que o método mostrou, mas pra essa equação ser de fato uma onda devemos ter a seguinte igualdade:

b = v

E aí parte dos parênteses fica com essa cara:

- 1 v ( x + v t )

Bem parecida com essa função aqui:

y = g x + v t

Então temos uma onda aí caso b = v .

Sacou? Isso vai te ajudar em algumas questões onde aplicar derivadas for muito difícil!

Partiu fazer uns exercícios?

Soluções da equação de onda (uma outra forma de se checar)

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por:

y x , t = 3,00   m m s e n [ 4,00 m - 1 x - 7,00 s - 1 t ]

Passo 1

Vamos aplicar a fórmula da equação de ondas:

v x 2 = ∂ 2 y ∂ t 2 / ∂ 2 y ∂ x 2

Sabendo que essa onda tem fórmula:

y x , t = A s e n ( k x - ω t )

Sendo A = 3,00 ;

K = 4,00 ;

ω = 7,00 .

Passo 2

Podemos resolver literalmente, primeiro:

∂ y ∂ x = + k A c o s k x - ω t → ∂ 2 y ∂ x 2 = - k 2 A s e n ( k x - ω t )

∂ y ∂ t = - ω A c o s k x - ω t → ∂ 2 y ∂ t 2 = - ω 2 A s e n ( k x - ω t )

Então, chegamos em:

v x 2 = - ω 2 A s e n k x - ω t - k 2 A s e n k x - ω t = ω 2 k 2 = 7 2 4 2

v x = 7 4 = 1,75 m s

Resposta

1,75 m s

Exercício Resolvido #2

Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por

y x , t = 2,00   m m 20   m - 1 x - 4,00 s - 1 t 0,5

Passo 1

Temos uma equação de onda um pouco diferente agora. Colocando as unidades no SI:

y x , t = 0,002   m 20   m - 1 x - 4,00 s - 1 t 0,5

Como ele quer determinar a velocidade em função da equação de onda, vamos aplicar:

v x 2 = ∂ y 2 ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2

Passo 2

Vamos fazer por partes:

∂ y ∂ t = 0,002 * 0,5 2 0 x - 4,00 t - 1 2   * - 4,00 = - 0,004 2 0 x - 4,00 t - 1 2

∂ y 2 ∂ t 2 =   - 0,004 * - 1 2 2 0 x - 4,00 t - 3 2 * - 4,00 = - 0,008 2 0 x - 4,00 t - 3 2

∂ y ∂ x = 0,002 * 0,5 2 0 x - 4,00 t - 1 2 * 2 0 = 0,0 2 2 0 x - 4,00 t - 1 2

∂ 2 y ∂ x 2 = 0,0 2 * - 1 2 2 0 x - 4,00 t - 3 2 * 2 0 = - 0 , 2 2 0 x - 4,00 t - 3 2

Passo 3

Agora, podemos aplicar na fórmula:

v x 2 = ∂ y 2 ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2 = - 0,008 2 0 x - 4,00 t - 3 2 - 0 , 2 2 0 x - 4,00 t - 3 2

v x 2 = 0,04

v x = 0,2   m / s

Resposta

v x = 0 , 2   m / s

Exercício Resolvido #3

Em uma corda ideal é produzida a seguinte perturbação:

y x , t = e - x / b 2 e 2 x t / b e - t 2 a  

Onde o eixo x é horizontal e aponta para a direita e a e b são constantes positivas. Podemos afirmar que esta perturbação

  1. Não representa uma onda em propagação
  2. É a superposição de duas ondas que se propagam em sentidos opostos
  3. É uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a
  4. É uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade v = a
  5. É uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = b
  6. É uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade v = b
  7. É uma onda que se propaga par a direita com velocidade v = a / b
  8. É uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade v = a / b

Passo 1

Vamos começar arrumando aquele cara lindão ali:

y x , t = e - x / b 2 e 2 x t / b e - t 2 a  

y x , t = e - x / b 2 + 2 x t / b - t 2 a  

y x , t = e a - x / b 2 + 2 x t / b - t 2  

Vamos escrever o expoente final de e separado só para vermos melhor:

a - x / b 2 + 2 x t / b - t 2

a - x 2 b 2 + 2 x t b - t 2

- a x 2 b 2 - 2 x t b + t 2

Consegue ver que aquele cara dentro é um produto notável?

- a x 2 b 2 - 2 x t b + t 2

- a x b - t 2

Passo 2

Uma onda precisa ser da forma

y = f x ± v t

Vamos supor inicialmente que a onda vai para a direita, ou seja, que y = f ( x - v t ) .

Se o valor de v der negativo quer dizer que errei o sentido : )

Comparando com a perturbação:

y = e - a x / b - t 2

É meio parecido, mas queremos ali no parênteses x - v t .

Vamos voltar a fazer “matemágica” no expoente:

- a x b - t 2 = - a 1 b x - b t 2 = - a b 2 x - b t 2

Agora temos:

y = e - a b 2 x - b t 2

Se considerarmos z = x - b t , a nossa f z será:

f z = e - a b 2 z 2

Estamos no caso onde:

y = f x - v t

Como temos uma subtração ali, o sentido da onda é para direita e temos:

v = b

Resposta

Letra E

Exercício Resolvido #4

Qual das seguintes funções é uma solução para a equação de onda, sendo a e b constantes reais?

  1. y = x 2 - t 2
  2. y = s e n a x 2 s e n b t
  3. y = log ⁡ a x 2 - t 2 - log ⁡ b x - t
  4. y = exp ⁡ a x s e n b t
  5. y = c o s ⁡ ( a x + t x - t )

Passo 1

Bom, galera, pra gente checar se uma equação é solução da equação de onda, basta a gente manipular ela até que ela chegue no formato de uma solução da equação de onda.

Basicamente, vamos precisar lembrar da solução da equação de onda que é da forma:

y x , t = f x ± v t

Passo 2

Vamos checar uma por uma então:

y = x 2 - t 2

y = x + t . x - t

Chegamos a um formato parecido com esse aqui:

y = g x + v t f x - v t

Que não tem o formato de solução.

b)

Essa aqui então, está toda errada. Tem um coeficiente não linear, isso é, aquele x 2 ali, além de estar multiplicando a outra função também. Tá mais ou menos assim:

y = f x 2 g v t

Passo 3

  1. Vamos usar aqueles macetes de logaritmos aqui:

log ⁡ a x 2 - t 2 - log ⁡ b x - t = log ⁡ a x 2 - t 2 b x - t

log ⁡ a x 2 - t 2 b x - t = log ⁡ a x - t x + t b x - t = log ⁡ a b x + t

Viu? Cortamos o ( x - t ) com o de baixo. Bom, então:

y = log ⁡ a b x + t

E essa tá no formato: y = g x + v t

Então essa é uma solução (:

A resposta correta é:

c)

Mas vamos resolver as outras como forma de exercício.

Passo 4

d) Essa aqui tá toda errada que nem a b).

Perceba uma coisa: Geralmente quando tem uma função de t multiplicando outra função de x , não dá pra manipular. Então, essa tá mais ou menos no formato abaixo:

f x g t

Passo 5

e) Aqui, de novo, temos um produto. Só que agora, esse produto tá envolvido por outra função. De qualquer forma, não serve também, pois temos:

  c o s ⁡ ( a x + t x - t )

h g x + v t f x - v t

Resposta

c)

Exercício Resolvido #5

Considere uma corda cuja tensão e a densidade linear são dadas por T e σ , respectivamente, e a equação de movimento é representada por

σ ∂ 2 ∂ t 2 y = T ∂ 2 ∂ x 2 y

  1. Considerando uma onda nesta corda escrita por
  2. y x ,   t = A s e n 2 π λ x - c t

    Obtenha c em termos de σ e T .

  3. Qual é o período da onda? Tem que justificar a definição do período utilizado.

Passo 1

a)

Beleza, aqui a gente vai ter que primeiro reconhecer quem é c naquela fórmula:

Como:

k = 2 π λ

Então:

y r x , t = A s e n k x - c t = A s e n k x - k c t

Comparando com a formula geral das ondas:

y x , t = A s e n k x - ω t

Então:

k c = ω   → c = ω k

Mas pela relação:

k v = ω → v = ω k

Então:

c = v

Ou seja, c é a velocidade da onda.

Passo 2

Agora vamos usar a equação de onda pra resolver o resto da parada:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2

Então:

v 2 = ∂ 2 y ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2

Agora, olhando pra cá:

σ ∂ 2 ∂ t 2 y = T ∂ 2 ∂ x 2 y

A gente pode manipular isso e chegar em:

σ ∂ 2 ∂ t 2 y ∂ 2 ∂ x 2 y = T

σ v 2 = T

v 2 = T σ → v = T σ

Show? Mas lembrando que:

c = v → c = T σ  

Passo 3

b)

Como o comprimento de onda é dado como conhecido, afinal de contas ele aparece na fórmula, temos que:

v = c = λ T

Então:

T = λ c

Resposta

a)

c = T σ

b)

T = λ c

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