Equação Diferencial da Onda

Teoria Completa

Vimos, no capitulo de introdução às ondas, que existem diferentes ondas.

Mas será que tem uma forma de descobrir que uma dada equação representa uma onda?

Tem sim! Nós vamos ver isso agora.(:

Equação Diferencial da Onda

A equação, que é uma equação com derivadas parciais, é essa coisa linda aqui:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ 2 y ∂ t 2

Nossa! Mas pra que isso serve?

Bom, é o seguinte: essa equação serve como uma “identidade” para as ondas. Ou seja, caso seja dito que uma determinada função descreve o comportamento de uma onda, essa função vai ter que satisfazer essa equação. (:

Huum, e como vamos “testar a identidade” de uma função dessas?

Vamos fazer um pequeno exemplo:

O movimento de uma onda harmônica qualquer é descrito por:

y x , t = A c o s ( k x + ω t )

Rearranjando a equação da onda:

v x 2 = ∂ 2 y ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais da função e depois vamos jogar na relação acima:

∂ y ∂ x = - k A s e n k x + ω t → ∂ 2 y ∂ x 2 = - k 2 A c o s ( k x + ω t )

E:

∂ y ∂ t = - ω A s e n k x + ω t → ∂ 2 y ∂ t 2 = - ω 2 A c o s ( k x + ω t )

Agora usando a relação:

v x 2 = ∂ 2 y ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2     → v x 2 =   - ω 2 A c o s k x + ω t - k 2 A c o s k x + ω t = ω k 2

Lembrando que ω = 2 π T e k = 2 π λ :

v x 2 = ω k 2 → v x 2 = 2 π T 2 π λ 2 = λ T 2 = v x 2   →   v x 2 = v x 2

Como chegamos a uma verdade no fim da prova, concluímos que a função realmente descreve uma onda!

Esse teste pode ser aplicado à qualquer função que descreva uma onda, não precisa ser harmônica (ter seno ou cosseno).

Se em uma questão o enunciado disser que a equação:

e b l a b l a . k + ω   e t c

Ou qualquer outra função louca descreve uma onda, você pode usar a equação da onda pra verificar se isso é verdade! Legal né? (:

Soluções da equação de onda(uma outra forma de se checar)

Beleza, então, se uma dada função representa uma onda, ela tem que satisfazer a equação diferencial de onda. Mas isso também equivale a dizer que a função é uma solução da equação diferencial de onda.

Show? O legal dessas soluções é que elas seguem um mesmo padrão, que é o:

y = f x - v t

Ou

y = g x + v t

Ou ainda, de forma mais geral, é uma combinação das duas:

y x , t = f x - v t + g x + v t

Então você deve estar se perguntando: “ Tá, e ai?”

E ai que sabendo disso, você pode testar se uma dada equação representa uma onda sem usar a equação diferencial: basta que você chegue a conclusão que a função segue o padrão acima.

Por exemplo, a função da onda harmônica é a dada abaixo. Se manipularmos as variáveis um pouco:

y x , t = A c o s k x ∓ ω t

y x , t = A c o s k x ∓ v t

Perceba que ali apareceu um v porque: k v = ω .

Sacou? Isso vai te ajudar em algumas questões onde aplicar derivadas for muito difícil (:

Mas como saberemos esse sinal que antecede v ?

Simples, usamos + se a onda estiver se propagando no sentido negativo do eixo x , e - se for no sentido positivo.

Partiu fazer uns exercícios?

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Exercício Resolvido #1

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 143-28

Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por:

y x , t = 3,00   m m s e n [ 4,00 m - 1 x - 7,00 s - 1 t ]

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Passo 1

Vamos aplicar a fórmula da equação de ondas:

v x 2 = ∂ 2 y ∂ t 2 / ∂ 2 y ∂ x 2

Sabendo que essa onda tem fórmula:

y x , t = A s e n ( k x - ω t )

Sendo A = 3,00 ;

K = 4,00 ;

ω = 7,00 .

Passo 2

Podemos resolver literalmente, primeiro:

∂ y ∂ x = + k A c o s k x - ω t → ∂ 2 y ∂ x 2 = - k 2 A s e n ( k x - ω t )

∂ y ∂ t = - ω A c o s k x - ω t → ∂ 2 y ∂ t 2 = - ω 2 A s e n ( k x - ω t )

Então, chegamos em:

v x 2 = - ω 2 A s e n k x - ω t - k 2 A s e n k x - ω t = ω 2 k 2 = 7 2 4 2

v x = 7 4 = 1,75 m s

Resposta

1,75 m s

Exercício Resolvido #2

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 143-29

Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por

y x , t = 2,00   m m 20   m - 1 x - 4,00 s - 1 t 0,5

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Passo 1

Temos uma equação de onda um pouco diferente agora. Colocando as unidades no SI:

y x , t = 0,002   m 20   m - 1 x - 4,00 s - 1 t 0,5

Como ele quer determinar a velocidade em função da equação de onda, vamos aplicar:

v x 2 = ∂ y 2 ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2

Passo 2

Vamos fazer por partes:

∂ y ∂ t = 0,002 * 0,5 2 0 x - 4,00 t - 1 2   * - 4,00 = - 0,004 2 0 x - 4,00 t - 1 2

∂ y 2 ∂ t 2 =   - 0,004 * - 1 2 2 0 x - 4,00 t - 3 2 * - 4,00 = - 0,008 2 0 x - 4,00 t - 3 2

∂ y ∂ x = 0,002 * 0,5 2 0 x - 4,00 t - 1 2 * 2 0 = 0,0 2 2 0 x - 4,00 t - 1 2

∂ 2 y ∂ x 2 = 0,0 2 * - 1 2 2 0 x - 4,00 t - 3 2 * 2 0 = - 0 , 2 2 0 x - 4,00 t - 3 2

Passo 3

Agora, podemos aplicar na fórmula:

v x 2 = ∂ y 2 ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2 = - 0,008 2 0 x - 4,00 t - 3 2 - 0 , 2 2 0 x - 4,00 t - 3 2

v x 2 = 0,04

v x = 0,2   m / s

Resposta

v x = 0 , 2   m / s

Exercício Resolvido #3

UFRJ , Física 2, Prova 2, 2013.1 – Questão ME06

Em uma corda ideal é produzida a seguinte perturbação:

y x , t = e - x / b 2 e 2 x t / b e - t 2 a  

Onde o eixo x é horizontal e aponta para a direita e a e b são constantes positivas. Podemos afirmar que esta perturbação

  1. Não representa uma onda em propagação
  2. É a superposição de duas ondas que se propagam em sentidos opostos
  3. É uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = a
  4. É uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade v = a
  5. É uma onda que se propaga para a direita com velocidade v = b
  6. É uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade v = b
  7. É uma onda que se propaga par a direita com velocidade v = a / b
  8. É uma onda que se propaga para a esquerda com velocidade v = a / b
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Passo 1

Vamos começar arrumando aquele cara lindão ali:

y x , t = e - x / b 2 e 2 x t / b e - t 2 a  

y x , t = e - x / b 2 + 2 x t / b - t 2 a  

y x , t = e a - x / b 2 + 2 x t / b - t 2  

Vamos escrever o expoente final de e separado só para vermos melhor:

a - x / b 2 + 2 x t / b - t 2

a - x 2 b 2 + 2 x t b - t 2

- a x 2 b 2 - 2 x t b + t 2

Consegue ver que aquele cara dentro é um produto notável?

- a x 2 b 2 - 2 x t b + t 2

- a x b - t 2

Passo 2

Uma onda precisa ser da forma

y = f x ± v t

Vamos supor inicialmente que a onda vai para a direita, ou seja, que y = f ( x - v t ) .

Se o valor de v der negativo quer dizer que errei o sentido : )

Comparando com a perturbação:

y = e - a x / b - t 2

É meio parecido, mas queremos ali no parênteses x - v t .

Vamos voltar a fazer “matemágica” no expoente:

- a x b - t 2 = - a 1 b x - b t 2 = - a b 2 x - b t 2

Agora temos:

y = e - a b 2 x - b t 2

Se considerarmos z = x - b t , a nossa f z será:

f z = e - a b 2 z 2

Estamos no caso onde:

y = f x - v t