Introdução a Ondas

Resumo Completo

O que são ondas?

Se você jogar uma pedrinha em um lago, vai perceber uma perturbação na superfície. Após algum tempo, você vai notar que a mesma quantidade de água que havia no lago continua lá.

Essa é a principal ideia sobre ondas: Elas transportam energia (o que causou a perturbação) mas não matéria (por isso a quantidade de massa do lago permanece constante).

Onda mecânica ou eletromagnética?

Existem diferentes tipos de ondas e diferentes formas de agrupá-las. A primeira forma de agrupá-las é pelo meio de propagação. Basicamente,

  • Ondas mecânicas: precisam de um meio material para se propagar. Ex: Som, ondas sísmicas (terremotos), ondas do mar.
  • Ondas eletromagnéticas: Não precisam de um meio pra se propagar. Ex: Luz, ondas de rádio, micro-ondas.

É por isso que a luz do Sol consegue viajar lá de longe até você, mas não conseguimos ouvir nada que venha do espaço. Ou seja, aqueles sons das explosões de Star Wars são todos fake, já que no espaço não há matéria para o som se propagar. :(

Onda transversal ou longitudinal?

Vamos ver agora uma forma de diferenciar as ondas pela direção de propagação:

  1. Ondas transversais: as oscilações são perpendiculares à direção de propagação da onda. Por exemplo a luz.
  2. Ondas longitudinais: as oscilações são paralelas à direção de propagação da onda (mesma direção). Por exemplo o som.

Ondas Harmônicas

Esse é, de longe, o tipo de onda mais importante, e o que mais vai cair na sua prova!

Onda harmônica é qualquer onda que possa ser descrita por um simples seno ou por um simples cosseno.

A equação da onda harmônica é a seguinte (escolhemos cosseno aqui arbitrariamente):

y = A cos k x ω t + ϕ

Onde:

A é a amplitude;

k   é o número de onda:

k = 2 π λ

Onde λ é o comprimento da onda, que significa o espaço percorrido pela onda em um período.

v é a velocidade da onda:

v = λ T = λ f

Já que λ é o espaço percorrido em um período, nada mais justo que a velocidade seja dada pela expressão acima, né?

ω é a frequência angular:

ω = 2 π f = 2 π T

ϕ é a constante de fase.

E quanto ao sinal que vem antes do ω t ? Como saber se é + ou - ?

Simples, usamos + se a onda estiver se propagando no sentido negativo do eixo x , e - se for no sentido positivo.

Relação ω , k   e   v

Essa relação é muito importante. Ela é facilmente deduzida:

v = λ f

v = λ f = 2 π f 2 π λ

v = ω k

Velocidade e Aceleração de um ponto da corda

Cada ponto da corda fica oscilando pra cima e pra baixo, à medida que a onda se propaga pro lado, certo?

Então, como calcular essa velocidade na direção y ?

Fácil! É só derivar no tempo:

v y = y t = t [ A   c o s ( k x ± ω t + ϕ ) ]

v y = ω A sen k x ± ω t + ϕ

Repare que, como o seno varia de -1 a +1, a velocidade varia entre - ω A v y + ω A . Então,

v y m á z = ω A

Se quiséssemos a aceleração, basta derivar de novo

a y = v y t = 2 y t 2 = ω 2 A cos k x ± ω t + ϕ

a y m a x = ω 2 A

Gráficos de ondas

Vamos considerar que a equa�o da onda tem a forma cossenoidal:

y = A cos k x - ω t + ϕ

Temos duas opções de gráficos possíveis: um gráfico y   v s   x (fixando em um tempo t : gráfico-instantâneo) ou um gráfico y   v s   t (fixando em uma posição x : gráfico-história) .

Vamos, por exemplo, analisar o gráfico de y por x que representa essa função de onda para t = 0 :

Gráfico-Instantâneo (t fixo):

Gráfico-História (x fixo):

A é a amplitude;

λ é o comprimento de onda;

T é o período.

Sabemos que A é sempre o valor máximo que o gráfico atinge e A , o mínimo. Isso acontece porque tanto a função seno quanto a cosseno variam de - 1 até 1 .

λ e T também são tranquilos da gente identificar no gráfico! Basta encontrarmos uma oscilação completa.

Mas como encontramos a constante de fase?

Em t = 0 , temos: y ( x , 0 ) = A cos k x + ϕ

Se analisarmos a função de onda em x = 0 , ficaremos com uma equação da seguinte forma:

y 0,0 = A   c o s ( ϕ )

ϕ = arccos y 0,0 A

Basta pegar os valores de A e de y ( 0,0 ) do gráfico (seja o y   v s   t , ou y   v s   x )!

Show? Vamos para os exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 141-1

Uma onda possui frequência angular de 110 rad/s e um comprimento de onda de 1,80 m. Calcule:

  1. O número de onda;
  2. A velocidade de onda.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para o item a, vamos aplicar a relação entre número de onda, comprimento de onda e frequência angular.

k = 2 π λ

k = 2 π 1,80 = 3,49   m - 1

Passo 2

Para o item b, vamos aplicar a relação:

v = ω k

ω = 110 r a d / s

E:

k = 3,49 m - 1

v = 110 3,49

v = 31,52   m / s

Resposta

  1. k = 3,49   m - 1
  2. v = 31,52   m / s

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 141-3

Uma onda senoidal se propaga em uma corda. O tempo necessário para que um certo ponto da corda se mova do deslocamento máximo até zero é 0,170   s . Quais são:

  1. O período;
  2. A frequência da corda.
  3. O comprimento de onda é 1,40   m , qual é a velocidade da onda?
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O período é o tempo que um elemento da corda leva para fazer uma oscilação completa, ou seja, retornar a sua posição original.

Logo, esse elemento se move do deslocamento máximo até zero, depois de zero até o deslocamento mínimo, do deslocamento mínimo até zero e finalmente, de zero até o deslocamento máximo.

Sendo assim, a primeira parte (se mover do deslocamento máximo até zero) corresponde a 1 4 do ciclo. Tem-se:

T = 4 x 0,170 = 0,68 s

Passo 2

Podemos relacionar frequência com período:

f = 1 T = 1 0,68 = 1,47   H z

Passo 3

Relacionando velocidade com comprimento de onda e período:

v = λ T

v = 1,40 0,68

v = 2,06   m / s

Resposta

  1. T = 0,68 s
  2. f = 1,47   H z
  3. v = 2,06   m / s

Exercício Resolvido #3

Enunciado

UFF – Lista de Exercícios de Ondas – Questão 42.

A figura é um gráfico-instantâneo, para t = 0 , de uma onda de 5,0   H z que se propaga para a esquerda.

a ) Qual é a velocidade da onda?

b ) Qual é sua constante de fase?

c ) Escreva a equação para os deslocamentos produzidos no meio por esta onda.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a )

Bom, temos aqui um gráfico de y   v s   x para t = 0 . Já sabemos como analisar esse gráfico.

Pelo gráfico, vemos que o comprimento de onda é λ = 2   m .

Sendo a frequência f = 5,0   H z , temos:

v = λ . f

v = 2 .   5,0

v = 10   m / s

Passo 2

b )

Para determinar a constante de fase, podemos analisar o gráfico. Vemos que para x = 0 , temos que D = 0   m m . Tendo em vista que D é dado por:

D x , t = A . sen 2 . π . x λ + ω . t + ϕ 0

D x = 0 , t = 0 = A . sen ϕ 0

D x = 0 , t = 0 = 1 . sen ϕ 0 = 0

ϕ 0 = 0

Aqui você poderia ter usado cosseno ao invés de seno na expressão de D . Se você fizesse isso, o resultado seria 90 ° (testa só!)

Passo 3

c )

Para determinar a equação da onda, vamos primeiro escrever a equação básica da onda e os valores que conhecemos:

D x , t = A . sen 2 . π . x λ + ω . t + ϕ 0

Podemos extrair dos gráficos as seguintes informações:

A = 1,0   m m

λ = 2,0   m

ϕ 0 = 0

ω = 2 . π . f = 10 . π   r a d / s

A equação deve ficar assim:

D x , t = 1,0 . sin 2 . π . x 2,0 + 10 . π . t

D x , t = 1,0   m m   sin π . x + 10 . π . t

Resposta

a ) v = 10   m / s

b ) ϕ 0 = 0

c ) D x , t = 1,0 . sin π . x + 10 . π . t

Exercício Resolvido #4

Enunciado

UFF – Lista de Exercícios de Ondas Harmônicas – Questão 13.

O deslocamento de uma onda que se propaga no sentido negativo do eixo y é D y , t = 5,2   c m   s e n ( 5,5 y + 72 t ) , onde y está em m , e t em s . Quais são:

a ) A frequência.

b ) O comprimento de onda.

c ) A velocidade da onda.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Então, galera! Aqui temos uma equação de onda em y e não em x . Mas não se preocupe, é a mesma coisa (só trocar x por y )!

D y , t = 5,2   c m   s e n ( 5,5 y + 72 t )

Vamos lá achar as informações pedidas, comparando com a nossa equação:

y = A . sin k x ± ω t + ϕ 0

Passo 2

Olhando para a equação da onda, podemos extrair as seguintes informações:

A = 5,2   c m

k = 5,5   r a d / m

ω = 72   r a d / s

Onde A é a amplitude, k é o número de onda e ω é a velocidade angular.

a )

Para determinar a frequência, podemos utilizar a seguinte relação:

              ω = 2 . π . f

f = ω 2 . π 72 2 . π = 11,5   H z

Passo 3

b )

Para determinar o comprimento de onda, podemos usar a seguinte relação:

k = 2 . π λ

λ = 2 . π k 2 . π 5,5 = 1,1   m

Passo 4

c )

Para determinar a velocidade da onda, temos:

v = λ . f

Substituindo, temos:

v = 1,1 .   11,5

v = 12,7   m / s

Resposta

a ) f = 11,5   H z

b ) λ = 1,1   m

c ) v = 12,7   m / s

Exercício Resolvido #5

Enunciado

PUC, Física 2, Prova 2, 2012.1 – a,b,c,d - Modificada

Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido negativo do eixo x . A Figura abaixo mostra o deslocamento em função da posição no instante t = 0 . A velocidade da onda é de 12   m / s . Assuma que a onda é da forma y x , t = y m . sen ( k . x ± ω . t + ϕ ) .

a ) Determine a amplitude e o comprimento de onda.

b ) Encontre o período e o sinal que precede ω .

c ) Determine a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda.

d ) Determine a constante de fase ϕ .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a )

Analisando o gráfico, podemos ver que a distância do eixo até um ponto de máximo, ou seja, a amplitude é:

y m = 5,0   c m = 0,05   m

O comprimento de onda, a distância entre dois pontos de máximo, é:

λ = 400   c m = 4   m

Passo 2

b )

Para calcular a período, podemos usar a seguinte relação:

v = λ T

12 = 4 T

T = 0,33   s

Como ele diz que a onda se propaga no sentido negativo, temos que o sinal que precede ω deve ser positivo + .

Passo 3

c )

Para determinar a velocidade máxima, devemos calcular a primeira derivada em relação ao tempo da função y ( x , t ) :

y ˙ x , t = u y t = y m . ω . cos k . x + ω . t + ϕ

A velocidade será máxima quando cos ( k . x + ω . t + ϕ ) for igual a 1 , quando isso ocorrer, temos:

u m t = y m . ω . 1 = y m . 2 . π T . 1

u m t = 0,05 . 2 . π 0,33 . 1 = 0,95   m / s

u m = 0,95   m / s

Passo 4

d )

Para determinar a constante de fase, devemos utilizar a função y ( x , t ) , pois sabemos do gráfico que y 0,0 = 0,04 .

Na equação, temos:

y x , t = y m . sen ( k . x + ω . t + ϕ )

y 0,0 = 0,05 . sen k . 0 + ω . 0 + ϕ = 0,04

sin ϕ = 0,04 0,05

ϕ 53 °

Resposta

a ) y m = 0,05   m ; λ = 4   m

b ) T = 0,33   s ;

O sinal que precede ω é positivo + .

c ) u m = 0,95   m / s

d ) ϕ 53 °

Exercício Resolvido #6

Enunciado

PUC, Física 2, Prova 2, 2011.1 – letras a,b
  1. Escreva, literalmente, a expressão de uma onda harmônica progressiva unidimensional, propagando-se no sentido positivo do eixo x, em termos da amplitude A , da frequência f e do comprimento de onda λ .
  2. A partir dessa expressão, determine a velocidade máxima com que um elemento do meio se movimenta.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a)

A expressão é:

y x , t = A s e n ( k x - ω t + φ )

Sabemos que:

k = 2 π λ ( Número de onda)

ω = 2 π f (frequência angular)

φ :   Fase inicial.

Podemos escrever essa expressão assim também:

y x , t = A s e n 2 π λ x - 2 π f t + φ = A s e n 2 π x λ - f t + φ

Passo 2

b)

Bom, a velocidade máxima vai ser a máxima taxa de variação de y . Logo, vai ser o máximo de:

y x , t t = - ω A c o s ( k x - ω t + φ )

Essa é a chamada velocidade transversal de uma onda. Essa expressão tem um máximo quando a parte do cosseno se iguala à 1. Com isso igualado à 1, fica:

y x , t m á x t = - ω A = - 2 π f A = v m á x

v m á x = 2 π f A

Resposta

a)

A s e n 2 π x λ - f t + φ

b)

v m á x = 2 π f A

Exercício Resolvido #7

Enunciado

PUC, Física 2, Prova 2, 2014.2 – Questão 1

Uma onda senoidal se propaga ao longo de uma corda sob tensão. A figura 1 fornece a inclinação da corda y x ao longo do eixo x no instante t = 0 . Suponha que a equação da onda progressiva é do tipo y x , t = y m s e n k x ω t + φ

  1. Calcule a amplitude da onda progressiva.
  2. Calcule a constante de fase.
  3. A figura 2 mostra dois instantes diferentes de um pedaço da mesma onda progressiva da figura 1. Na figura t 1 = 1,0   s , t 2 = 1,04 s e A = 10 c m .

  4. Calcule a frequência da onda progressiva.
  5. Escreva a equação y ( x , t ) , com os valores pra y m , k ,   ω e φ , e com o sinal correto em frente a ω , baseando-se na análise das figuras 1 e 2.
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a)

Bom, sabemos que a função de uma onda harmônica é do tipo:

y x , t = y m s e n k x ω t + φ

Então:

y x , t x = k y m c o s k x ω t + φ

Sabemos que essa derivada tem um máximo quando:

y x , t x = k y m

E pelo gráfico:

k y m = 0,4

Passo 2

Outra informação que podemos tirar do gráfico é acerca do comprimento de onda. Pelo gráfico, vemos que os picos se repetem a cada 0,5 m . Isso quer dizer que a cada 0,5 m a onda completa um ciclo, o que quer dizer que:

λ = 0,5 m

E como:

k = 2 π λ = 2 π 0,5 = 4 π

Então:

k y m = 0,4   y m = 0,4 4 π 3,18   x 10 - 2 m

Passo 3

b)

A função da derivada nos dá:

y x , t x = k y m c o s k x ω t + φ

Substituindo t = 0   e x = 0 :

y 0,0 x = k y m c o s φ

Só que sabemos que nesse ponto temos:

y 0,0 x = k y m   k y m = k y m c o s φ cos φ = 1

Logo:

φ = 0

Passo 4

c)

Bom, o caminho pra se calcular a frequência passa por calcular a velocidade:

v = A t 2 - t 1 = 10 x 10 - 2 1,04 - 1,00 = 2,5   m / s

Então:

λ f = v   f = v λ = 2,5 0,5 = 5,0   H z

Passo 5

d)

A equação segue o padrão:

y x , t = y m s e n k x + ω t + φ

E:

ω = 2 π f = 10 π s - 1

Então, lembrando de todas as variáveis que calculamos:

y x , t = 3,18 x 10 - 2 s e n ( 4 π x + 10 π t )

Resposta

a)

y m 3,18   x 10 - 2 m

b)

φ = 0

c)

f = 5,0   H z

d)

y x , t = 3,18 x 10 - 2 s e n ( 4 π x + 10 π t )

Exercício Resolvido #8

Enunciado

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 142-6

A figura abaixo mostra a velocidade transversal u em função do tempo t para o ponto de uma corda situado em x = 0 , quando uma onda passa por ele. A escala do eixo vertical é definida por u s = 4,0   m / s . A onda tem a forma y x , t = A s e n k x - ω t + φ . Qual é o valor de φ ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Sendo y x , t = A s e n k x - ω t + φ

Podemos dizer que

y x , t t = - ω A c o s k x - ω t + φ

Como para o gráfico mostrado, x = 0 , então:

y 0 , t t = - ω A c o s - ω t + φ

u = - ω A c o s - ω t + φ

Passo 2

Analisando a equação, vemos que:

ω A = u m á x

Pois:

- 1 c o s - ω t + φ 1

No gráfico, u m á x = 5 m / s

Passo 3

Pelo gráfico, podemos ver também que quando t = 0 , u = - 4 m / s .

Logo:

- 4 = - 5 c o s + φ

φ = cos - 1 4 5

φ = - 0,64   r a d ou 0,64   r a d

Passo 4

Para descobrirmos qual é o valor certo vamos derivar a função do gráfico u = - ω A c o s - ω t + φ

u t = - ω ² A s e n ( - ω t + φ )

Pelo gráfico, vemos que no ponto t = 0 , a função é crescente. Então, a derivada é maior que zero.

- ω 2 A s e n φ > 0

Logo,

s e n φ < 0

Se o seno é menor que zero, o ângulo é do terceiro ou quarto quadrante. Logo:

φ = - 0,64   r a d

É importante lembrar que quando acrescentamos n 2 π , sendo n qualquer número inteiro, o ângulo também é válido como resposta.

Resposta

φ = - 0,64   r a d

Exercício Resolvido #9

Enunciado

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 146-64

A figura abaixo mostra a aceleração transversal a y em função do tempo t do ponto x = 0 de uma corda, quando uma onda com a forma geral y x , t = A s e n k x - ω t + φ passa pelo ponto. A escala do eixo vertical é definida por a s = 400 m / s ² . Qual é o valor de φ ?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Sendo: y x , t = A s e n k x - ω t + φ

Podemos dizer que:

y x , t t = - ω A c o s k x - ω t + φ

Derivando mais uma vez para acharmos a aceleração transversal chegamos a:

( - ω A c o s k x - ω t + φ ) t = - ω ² A s e n ( k x - ω t + φ )

Passo 2

Como x = 0 :

a = - ω ² A s e n ( - ω t + φ )

Já que seno varia de - 1 até 1 :

ω ² A = a m á x i m o

Pelo gráfico da figura, a m á x i m o = a s = 400 m / s ² .

Passo 3

Pelo gráfico podemos ver também que quando t = 0 , a = - 100 m / s ² .

Logo:

- 100 = - 400 s e n φ

φ = sen - 1 1 4

φ = 14,47 ° ou φ = 180 ° - 14,47 ° = 165,53 °

φ = 0,25   r a d ou φ = π - 0,25 = 2,9   r a d

Passo 4

Pra saber qual o valor correto da constante de fase, podemos fazer:

a 0 , t t = ω 3 A cos - ω t + φ

Como essa derivada acima é igual a inclinação da tangente na curva, no ponto t = 0 , temos que a curva é decrescente, logo:

a 0,0 t = ω 3 A cos φ < 0

Assim:

φ = π - 0,25 = 2,9   r a d

É importante lembrar que quando acrescentamos n 2 π , sendo n qualquer número inteiro, o ângulo também é válido como resposta.

Resposta

φ = 2,9   r a d

Exercício Resolvido #10

Enunciado

PUC, Física 2, Prova 2, 2011.1 – letras a,b

A função de onda para uma onda progressiva em uma corda esticada é (em unidades do SI):

Suponha que a corda possui uma massa por unidade de comprimento de 5,00 x 10 - 3   k g / m .

  1. Obtenha o comprimento de onda, a velocidade e o sentido de propagação da onda.
  2. Obtenha o valor máximo de velocidade transversal da corda. Para a posição x = 0 , em que instantes esse valor máximo ocorre? (Dê os dois primeiros, para t > 0 ) .
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a)

Aqui, vamos identificar as variáveis que queremos comparando com a equação geral da onda:

y x , t = A c o s k x + ω t + π 4

Lembrando que:

k = 2 π λ

Então:

2 π λ = 4 π λ = 0,50   m

E:

ω = 10 π

E o sentido da propagação é negativo, já que estamos somando a frequência angular e não subtraindo.

Passo 2

Falta ainda calcular a velocidade de propagação.

Usando a relação:

k v = ω v = ω k = 10 π 4 π = 2,5   m / s

Passo 3

b)

Lembra como a gente calcula a velocidade transversal? É a derivada parcial daquela função lá de cima em relação ao tempo:

y x , t t = v ( x , t ) = - 0,06 . 10 π s e n 10 π t + 4 π x + π 4

v x , t = - 0,6 π s e n 10 π t + 4 π x + π 4

Para x = 0 :

v 0 , t = - 0,6 π s e n 10 π t + π 4

Passo 4

Quando a velocidade terá um máximo?

Se o que queremos é o maior valor positivo, vai ser quando o “ângulo” do seno for igual a 3 π 2 , para que o seno seja igual a - 1 . Assim:

10 π t + π 4 = 3 π 2   10 π t = 6 π 4 - π 4

t = 5 π 4 . 1 10 π = 1 8 = 0,125   s

E esse é o tempo para o qual temos a velocidade máxima.

Quando o seno for igual a - 1 :

v m á x 0 , t = - 0,6 π . - 1 = 0,6 π = 1,88   m / s

E o segundo valor? Basta a gente acrescentar π a mais em 3 π 2 :

10 π t + π 4 = 3 π 2 + π

10 π t = 3 π 2 + π - π 4

10 π t = 2 , 25 π t = 0 , 2 25 s

Resposta

a)

λ = 0,50   m

v = 2,5   m / s

Sentido negativo.

b)

t = 0,125     e   t = 0,2 25 s

v m á x 0 , t = 1,88   m / s

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