Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

Teoria Completa

Velocidade de uma onda na corda

Anteriormente, vimos que a velocidade de uma onda está relacionada ao comprimento de onda e à frequência através de:

v = λ f

Entretanto, podemos dizer que ela é determinada também pelas propriedades do meio!

No caso da corda...

Quando se trata da velocidade de uma onda na corda, podemos calculá-la a partir da tensão no fio e da densidade linear da corda.

Uma figura clássica que ilustra isso é essa aqui:

Se a massa do bloco é 5kg e a densidade linear da corda é μ = 0,5 k g / m , qual será essa velocidade na corda?

A equação que relaciona a força T , tração exercida no fio, a densidade linear da corda μ e a velocidade da onda na corda v é a seguinte:

v = T μ

Onde μ é a densidade linear de massa, que se for constante é μ = m L .

Onde a tração na corda é o próprio peso do bloco que está em repouso:

T = P = m g

Substituindo temos:

v = 5 × 10 0,5 = 10 m / s

É isso que você tem que saber! Uma fórmula mágica que resolve todos os exercícios.

Esse fenômeno que a gente viu acontece no violão, quando afinamos as cordas a tração se modifica mudando por consequência a velocidade e alterando o som emitido.

Potência média de uma onda

Quando produzimos uma onda em uma corda esticada, fornecemos energia para que a corda se mova (lembre-se: todo mundo precisa de energia para se mover).

Conforme a onda vai se movendo na corda e se afastando de nós, vimos que ela vai transportando energia tanto na forma de energia cinética quanto na de potencial elástica.

Agora vamos ver como calcular a taxa média com a qual essa energia é transmitida.

A taxa média de energia transmitida não é nada mais do que a potência média da onda.

Como quantificamos isso?

Vamos calcular a potência média pro nosso exemplo da corda se aquele movimento tem uma frequência de 20 H z e uma amplitude 0,1 m .

A potência média é dada por:

P m e d = 2 μ v π A f 2

Onde:

v é a velocidade da onda.

μ é a densidade linear da corda. Lembra disso? A densidade linear de massa é μ = m L

A é a amplitude.

f é a frequência.

Essa fórmula assusta né? Mas tem um jeito bom de gravar!

Me vê dois ‘piaf’ quadrados” – seja lá o que isso quer dizer. =)

Se você se lembrar dessa frase, vai lembrar que:

P m e d = μ v × 2 × π A f 2

Também podemos chamar a potência média de intensidade, ou seja:

I = P m e d = μ v × 2 × π A f 2

Observação 1: colocando as unidades de μ , v , A e f no SI, a unidade de potência é W (watt).

Não sei se você se ligou mas temos todos os nossos valores no S I então é só a gente substituir os nossos valores na equação e calcular a intensidade, se liga:

μ = 0,5 k g / m

v = 10 m / s

A = 0,1 m

f = 20 H z

I = P m é d = 0,5 × 10 × 2 × π × 0,1 × 20 2 = 394,8 W

Observação 2: Você também pode encontrar a expressão acima nessa forma aqui:

P m e d = 1 2 μ v ω 2 A 2

Pra chegar nela é só lembrar que ω = 2 π f

Observação 3: Outra equação que pode aparecer é a potência instantânea mais roots que é a origem da nossa potência aqui em cima!

P = - F ∂ y ( x , t ) ∂ x ∂ y ( x , t ) ∂ t

Onde F é a força sobre a corda (geralmente a tensão) e y ( x , t ) é a função da onda! Essa fórmula não é muito cobrada, mas a gente não pode dar bobeira não, hein! ;)

E o que seria a densidade de energia por comprimento?

Bom, a gente pode chegar nessa expressão bem facilmente. Só você pensar que a densidade de energia por comprimento é algo do tipo:

δ = d E d x

E que a potência por definição é:

P m e d = d E d t

P m e d d t = d E

E aí é só jogar na outra equação:

δ = P m é d d t d x

E o termo d t / d x   nada mais é que o inverso da velocidade v = d x / d t então reescrevendo a equação temos:

δ = P m é d v

Beleza? Essa é a chamada densidade média de energia total da corda.

Substituindo a potência que calculamos e a velocidade que já tínhamos, a equação vai ficar:

δ = 394,8 10 = 39,48 J m  

Também podemos encontrar a expressão da densidade média diretamente, substituindo a potência média:

δ = P m é d v

δ = 2 μ v π A f 2 v

δ = 2 μ π A f 2

Ok, estamos prontos pra enfrentar os exercícios agora! =)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 142-15

Qual é a velocidade de uma onda transversal em uma corda de 2,00 m de comprimento e 60,0 g de massa sujeita a uma tensão de 500   N ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos usar aqui a equação da velocidade transversal em um corda em função da densidade linear e da tensão:

v = T μ

Passo 2

Mas antes, precisamos do valor da densidade linear μ .

μ = m L = 0,06 2 = 0,03 k g / m

Então,

v = T μ

v = 500 0,03 = 129 m / s

Resposta

v = 129 m / s

Exercício Resolvido #2

USP, Física 2, Prova 1, 2014.1 – Questão 2

A tensão num fio preso em ambos os extremos é duplicada sem que haja qualquer mudança considerável em seu comprimento. Qual é a razão entre as velocidades das ondas transversais nesse fio, antes e depois do aumento de tensão?

  1. 1 2 1 2
  2. 2 1 2
  3. 2 2
  4. 1 2
  5. 2
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Galera, aqui vamos usar a equação da velocidade transversal em uma corda em função da densidade linear e da tensão:

v = T μ

A velocidade antes da duplicação da tensão era:

v 1 = T μ

E a nova velocidade será em função da nova tensão, T 2 = 2 T :

v 2 = 2 T μ = 2 T μ = 2 v 1 .

Logo a razão entre a velocidade antes e depois fica:

v 1 v 2 = v 1 v 1 2 = 1 2 = 1 2 1 2

Resposta

Letra: a)

Exercício Resolvido #3

UERJ, Lista P1, Lista de Ondas, Questão 2

A densidade linear de uma corda é 1,6 × 10 - 4   kg/m . Uma onda transversal na corda é descrita pela equação:

y = 0,021 sen ⁡ 2,0 x + 30,0 t

Na qual x   e y   são expressos em metros e t em segundos. Determine:

a ) A velocidade de propagação da onda.

b ) A tensão na corda.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, galera, nesse tipo de questão o bizu é comparar a equação da onda dada com uma equação genérica das ondas.

Lembrando que essa equação genérica pode ser escrita por:

y x , t = A cos ⁡ k x ± ω t + ϕ 0

Ou, usando seno:

y x , t = A sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 0

A conversão de uma para outra se dá ajustando a fase. Não se assuste com esse fato, lembre-se que a função cosseno é uma translação da função seno!

Passo 2

a )

Bom, a equação da velocidade de uma onda em função do comprimento de onda e da frequência é:

v = λ f

Assim, se conseguirmos essas duas informações, conseguiremos calcular a velocidade!

Vamos fazer aquela comparação de equações agora:

y = 0,021 sen ⁡ 2,0 x + 30,0 t

Com:

y x , t = A sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 0

Comparando, percebemos que:

k = 2 π λ = 2,0   m -1   ↔ λ = 2 π 2 = π   m

ω = 30,0   s -1   ↔   2 π f = ω = 30,0     ↔   f = 15 π   s -1

Pronto! Substituindo na equação da velocidade:

v = λ f   → v = π ⋅ 15 π = 15   m / s 

Passo 3

b )

Sabendo o valor da velocidade que a gente achou em a , fica fácil resolver essa! A gente só precisa lembrar dessa equação:

v = T μ    

Nós queremos saber a tensão da corda, logo:

v = T μ       → T = v 2 μ

O enunciado nos diz que μ = 1,6 ⋅ 10 - 4   kg / m , e sabemos que v = 15   m / s , então:

T = 15 2 1,6 ⋅ 10 - 4 = 0,036   N

Pronto! (:

Resposta

Respostas:

a )   15   m / s  

b )   0,036   N

Exercício Resolvido #4

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 143-25

Uma corda uniforme de massa m e comprimento L está pendurada em um teto.

Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda é função de   y , a distância da extremidade inferior, e é dada por g y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Na primeira situação temos a seguinte figura:

Pela condição de equilíbrio, a tensão na corda vale m g .

E a densidade linear vale m y .

Aplicando a fórmula:

v = T μ    

v = m g m y = m g × y m

v = g y

Como queríamos demonstrar! :)

Resposta

Exercício Resolvido #5

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 143-26

Uma corda na qual ondas podem se propagar tem 2,70 m de comprimento e 260   g de massa. A tensão da corda é 36,0 N. Qual deve ser a frequência de ondas progressivas com uma amplitude de 7,70 mm para que a potência média seja 85,0   W ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Como o problema fala de potência média, podemos aplicar a fórmula:

P - = 2 μ v π A f 2

onde:

v é a velocidade da onda

μ é a densidade linear da corda

A é a amplitude

f é a frequência

Não se esqueça!

Me vê dois ‘piaf’ quadrados

P - = μ v × 2 × π A f 2

Pelo dados do problema, temos:

P - = 85,0   W

μ = 0,26 2,7 = 0,096   k g / m

A = 0,0077   m

Falta v !

Passo 2

Para descobrirmos v , aplicamos a fórmula:

v = T μ

v = 36 0,096 = 19,36   m / s

Passo 3

Agora a única incógnita é a frequência f .

P - = 2 μ v π A f 2

f 2 = P 2 μ v ( π 2 A 2 )  

f = 1 π A   P 2 μ v  

Substituindo os valores, chegamos a:

f = 197,68   H z

Resposta

f = 197,68   H z

Exercício Resolvido #6

PUC, Física 2, Prova 2, 2012.1 – Questão 1 - Modificada

Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido negativo do eixo x . A Figura abaixo mostra o deslocamento em função da posição no instante t = 0 . A tensão na corda é 3,6   N e a massa específica linear 25   g / m . Assuma que a onda é da forma y x , t = y m . sen ⁡ ( k . x ± ω . t + ϕ ) .

a ) Determine a amplitude.

b ) Encontre a velocidade da onda e a frequência da onda.

c ) Calcule a taxa média de transporte de energia.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Analisando o gráfico, podemos ver que a distância do eixo até um ponto de máximo, ou seja, a amplitude é:

y m = 5,0   c m = 0,05   m

Passo 2

b )

Para determinar a velocidade, podemos usar a seguinte relação:

v = T μ

Substituindo os valores, temos:

v = 3,6 0,025

v = 144 = 12   m / s

Perceba que tivemos que passar a densidade linear para o S.I!

Para calcular a frequência, podemos usar a seguinte relação:

v = λ f

Do gráfico, λ = 400   c m = 4   m . Então:

12 = 4 f

f = 3   H z

Novamente tivemos que passar para o S.I! Fique esperto!

Passo 3

c )

A potencia média, taxa média de transporte de energia, é dada por:

P - = μ . v . 2 . π . A . f 2

Onde A é a amplitude, substituindo os valores, temos:

P - = 0,025 .   12 .   2 .   π . 0,05.3 2

P - = 0,133   W

Resposta

a ) y m = 0,05   m .

b ) v = 12   m / s ; f = 3 H z

c ) P - = 0,133   W

Exercício Resolvido #7

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 143-26

Energia é transmitida a uma taxa P 1 por uma onda de frequência f 1 em uma corda sob tensão T 1 . Qual é a nova taxa de transmissão de energia P 2 em termos de P 1

  1. Se a tensão é aumentada para T 2 = 4 T 1 ?
  2. Se, em vez disso, a frequência é reduzida para f 2 = f 1 2 ?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A taxa de energia transmitida é justamente a potência média.

Então vamos aplicar a fórmula:

P m é d = 2 μ v π A f 2

Como: v = T μ

Chegamos a:

P m é d 1 = 2 μ T 1 μ π A f 1 2

Passo 2

Então se quadriplicamos a tensão:

P m é d 2 = 2 μ 4 T 1 μ π A f 1 2

P m é d 2 = 4 μ T 1 μ π A f 1 2

Ou seja, P m é d 2 = 2 P m é d 1 .

Passo 3

Com a frequência, vamos fazer a mesma coisa:

P m é d 1 = 2 μ T 1 μ π A f 1 2

Como f 2 = f 1 2 :

P m é d 2 = 2 μ T 1 μ π A f 1 2 2

P m é d 2 = 2 μ T 1 μ π A f 1 2 4

Vemos então que:

P m é d 2 = P m é d 1 4

Resposta

  1. P m é d 2 = 2 P m é d 1
  2. P m é d 2 = P m é d 1 4

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