Velocidade e Potência de uma Onda na Corda

Teoria Completa

Velocidade de uma onda na corda

Anteriormente, vimos que a velocidade de uma onda está relacionada ao comprimento de onda e à frequência através de:

v = λ f

Entretanto, podemos dizer que ela é determinada também pelas propriedades do meio!

No caso da corda...

Quando se trata da velocidade de uma onda na corda, podemos calculá-la a partir da tensão no fio e da densidade linear da corda.

Uma figura clássica que ilustra isso é essa aqui:

A equação que relaciona a força T , tração exercida no fio, a densidade linear da corda μ e a velocidade da onda na corda v é a seguinte:

v = T μ

É isso que você tem que saber! Uma fórmula mágica que resolve todos os exercícios.

Potência média de uma onda

Quando produzimos uma onda em uma corda esticada, fornecemos energia para que a corda se mova (lembre-se: todo mundo precisa de energia para se mover).

Conforme a onda vai se movendo na corda e se afastando de nós, vimos que ela vai transportando energia tanto na forma de energia cinética quanto na de potencial elástica.

Agora vamos ver como calcular a taxa média com a qual essa energia é transmitida.

A taxa média de energia transmitida não é nada mais do que a potência média da onda.

Como quantificamos isso?

A potência média é dada por:

P m e d = 2 μ v π A f 2

Onde:

v é a velocidade da onda.

μ é a densidade linear da corda. Lembra disso? A densidade linear de massa é μ = m L

A é a amplitude.

f é a frequência.

Essa fórmula assusta né? Mas tem um jeito bom de gravar!

“Me vê dois ‘piaf’ quadrados” – seja lá o que isso quer dizer. =)

Se você se lembrar dessa frase, vai lembrar que:

P m e d = μ v × 2 × π A f 2

Também podemos chamar a potência média de intensidade, ou seja:

I = P m e d = μ v × 2 × π A f 2

Observação 1: colocando as unidades de μ , v , A e f no SI, a unidade de potência é W (watt).

Observação 2: Você também pode encontrar a expressão acima nessa forma aqui:

P m e d = 1 2 μ v ω 2 A 2

Pra chegar nela é só lembrar que ω = 2 π f

Observação 3: Outra equação que pode aparecer é a potência instantânea mais roots que é a origem da nossa potência aqui em cima!

P = - F ∂ y ( x , t ) ∂ x ∂ y ( x , t ) ∂ t

Onde F é a força sobre a corda (geralmente a tensão) e y ( x , t ) é a função da onda! Essa fórmula não é muito cobrada, mas a gente não pode dar bobeira não, hein! ;)

E o que seria a densidade de energia por comprimento?

Bom, a gente pode chegar nessa expressão bem facilmente. Só você pensar que a densidade de energia por comprimento é algo do tipo:

δ = d E d x

Show? Agora vamos olhar pra expressão da potência e reescrever a velocidade:

P m e d = 2 μ v π A f 2

P m e d = 2 μ d x d t π A f 2

P m e d . d t = 2 μ ( d x ) π A f 2

Só que o que significa o lado esquerdo da equação? É justamente o d E :

P m e d = d E d t

d E d t . d t = 2 μ d x π A f 2

d E = 2 μ d x π A f 2

d E d x = 2 μ π A f 2

Beleza? Essa é a chamada densidade média de energia total da corda.

Ok, estamos prontos pra enfrentar os exercícios agora! =)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 142-15

Qual é a velocidade de uma onda transversal em uma corda de 2,00 m de comprimento e 60,0 g de massa sujeita a uma tensão de 500   N ?

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Passo 1

Vamos usar aqui a equação da velocidade transversal em um corda em função da densidade linear e da tensão:

v = T μ

Passo 2

Mas antes, precisamos do valor da densidade linear μ .

μ = m L = 0,06 2 = 0,03 k g / m

Então,

v = T μ

v = 500 0,03 = 129 m / s

Resposta

v = 129 m / s

Exercício Resolvido #2

USP, Física 2, Prova 1, 2014.1 – Questão 2

A tensão num fio preso em ambos os extremos é duplicada sem que haja qualquer mudança considerável em seu comprimento. Qual é a razão entre as velocidades das ondas transversais nesse fio, antes e depois do aumento de tensão?

  1. 1 2 1 2
  2. 2 1 2
  3. 2 2
  4. 1 2
  5. 2
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Passo 1

Galera, aqui vamos usar a equação da velocidade transversal em uma corda em função da densidade linear e da tensão:

v = T μ

A velocidade antes da duplicação da tensão era:

v 1 = T μ

E a nova velocidade será em função da nova tensão, T 2 = 2 T :

v 2 = 2 T μ = 2 T μ = 2 v 1 .

Logo a razão entre a velocidade antes e depois fica:

v 1 v 2 = v 1 v 1 2 = 1 2 = 1 2 1 2

Resposta

Letra: a)

Exercício Resolvido #3

UERJ, Lista P1, Lista de Ondas, Questão 2

A densidade linear de uma corda é 1,6 × 10 - 4   kg/m . Uma onda transversal na corda é descrita pela equação:

y = 0,021 sen ⁡ 2,0 x + 30,0 t

Na qual x   e y   são expressos em metros e t em segundos. Determine:

a ) A velocidade de propagação da onda.

b ) A tensão na corda.

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Passo 1

Bom, galera, nesse tipo de questão o bizu é comparar a equação da onda dada com uma equação genérica das ondas.

Lembrando que essa equação genérica pode ser escrita por:

y x , t = A cos ⁡ k x ± ω t + ϕ 0

Ou, usando seno:

y x , t = A sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 0

A conversão de uma para outra se dá ajustando a fase. Não se assuste com esse fato, lembre-se que a função cosseno é uma translação da função seno!

Passo 2

a )

Bom, a equação da velocidade de uma onda em função do comprimento de onda e da frequência é:

v = λ f

Assim, se conseguirmos essas duas informações, conseguiremos calcular a velocidade!

Vamos fazer aquela comparação de equações agora:

y = 0,021 sen ⁡ 2,0 x + 30,0 t

Com:

y x , t = A sen ⁡ k x ± ω t + ϕ 0

Comparando, percebemos que:

k = 2 π λ = 2,0   m -1   ↔ λ = 2 π 2 = π   m

ω = 30,0   s -1   ↔   2 π f = ω = 30,0     ↔   f = 15 π   s -1

Pronto! Substituindo na equação da velocidade:

v = λ f   → v = π ⋅ 15 π = 15   m / s 

Passo 3

b )

Sabendo o valor da velocidade que a gente achou em a , fica fácil resolver essa! A gente só precisa lembrar dessa equação:

v = T μ    

Nós queremos saber a tensão da corda, logo:

v = T μ       → T = v 2 μ

O enunciado nos diz que μ = 1,6 ⋅ 10 - 4   kg / m , e sabemos que v = 15   m / s , então:

T = 15 2 1,6 ⋅ 10 - 4 = 0,036   N

Pronto! (:

Resposta

Respostas:

a )   15   m / s  

b )   0,036   N

Exercício Resolvido #4

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 143-25

Uma corda uniforme de massa m e comprimento L está pendurada em um teto.

Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda é função de   y , a distância da extremidade inferior, e é dada por g y

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Passo 1

Na primeira situação temos a seguinte figura:

Pela condição de equilíbrio, a tensão na corda vale m g .

E a densidade linear vale m y .

Aplicando a fórmula:

v = T μ    

v = m g m y = m g × y m

v = g y

Como queríamos demonstrar! :)

Resposta

Exercício Resolvido #5

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 143-26

Uma corda na qual ondas podem se propagar tem 2,70 m de comprimento e 260   g de massa. A tensão da corda é 36,0 N. Qual deve ser a frequência de ondas progressivas com uma amplitude de 7,70 mm para que a potência média seja 85,0   W ?

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Passo 1

Como o problema fala de potência média, podemos aplicar a fórmula:

P - = 2 μ v π A f 2

onde:

v é a velocidade da onda

μ é a densidade linear da corda

A é a amplitude

f é a frequência

Não se esqueça!

Me vê dois ‘piaf’ quadrados

P - = μ v × 2 × π A f 2

Pelo dados do problema, temos:

P - = 85,0   W

μ = 0,26 2,7 = 0,096   k g / m

A = 0,0077   m

Falta v !

Passo 2

Para descobrirmos v , aplicamos a fórmula:

v = T μ

v = 36 0,096 = 19,36   m / s

Passo 3

Agora a única incógnita é a frequência f .

P - = 2 μ v π A f 2

f 2 = P 2 μ v ( π 2 A 2 )