Introdução a Ondas Sonoras

Teoria Completa

Introdução a Ondas Sonoras

Existem várias formas de se “enxergar” as ondas, balançando uma corda, por exemplo. Mas o som também é uma onda, qualquer som que ouvimos é transmitido por ondas, são o que chamamos de ondas sonoras! Infelizmente, não podemos ver essas ondas, já pensou se desse?! Mas podemos estudar várias características delas, vamos ver!

Vamos entender melhor o que é uma onda sonora?

Vamos usar uma definição genérica e considerar que a onda sonora é qualquer onda mecânica longitudinal.

Onde uma onda longitudinal é aquela em que a direção de propagação é a mesma direção de oscilações do meio.

E ser uma onda mecânica significa que ela tem necessidade de um meio para propagar!

Por isso, as ondas sonoras são ondas de pressão e ondas de deslocamento, pois exercem uma pressão e o meio se desloca à medida que a onda se propaga.

Módulo de compressibilidade a velocidade do som

O módulo de compressibilidade é o que mede se um gás pode ser muito ou pouco comprimido.

Quando o gás pode ser muito comprimido, o módulo de compressibilidade é baixo, e quando pode ser pouco comprimido, é alto.

O módulo de compressibilidade é representado pela letra B . Ele pode ser calculado por:

B = ρ v 2

Onde ρ é a densidade do gás e v a velocidade do som.

Daí tiramos que a velocidade do som pode ser calculada assim:

v = B ρ

Velocidade supersônica

Você já deve ter ouvido falar nisso, certo? Existem jatos que voam com velocidades supersônicas, que é quando se ultrapassa a velocidade do som em um meio.

Importante você saber: a velocidade do som no ar é dada por:

v a r = 340   m / s

Quando um objeto se desloca a uma velocidade superior a essa (velocidade supersônica), ele rompe a barreira do som e ocorre um estampido ou estalo.

Ondas Progressivas

Mas como é que eu escreveria uma onda sonora?

Ah, som é uma onda, então o som também deve ter uma função do tipo abaixo que o descreva, certo?

y x , t = A c o s k x ∓ ω t + φ

Vamos entender um pouco de como funciona uma onda sonora matematicamente.

Vamos fazer isso analisando os deslocamentos e variações de pressão associados a uma onda sonora que se propaga no ar. Beleza? Vamos lá!

Função de deslocamento

A função que descreve o deslocamento de uma onda sonora é bem parecida com a função que aprendemos para uma onda qualquer.

Essa função é:

s x , t = s m c o s k x - ω t

Sendo:

s m = a m p l i t u d e

Obs: O deslocamento de uma onda sonora pode ser representado tanto por uma função cossenoidal quanto senoidal, tá? :)

Exemplo de gráfico da função deslocamento:

Função da variação de pressão

Bom, as ondas de pressão são funções que indicam a variação de pressão de um gás com o passar do tempo.

Essas funções têm uma ligação com a função deslocamento da onda sonora e se relacionam por:

p x , t = - B ∂ s x , t ∂ x

Vamos derivar a expressão de s ( x , t ) que vimos antes e reescrever essa acima:

p x , t = - B . ∂ s x , t ∂ x = - B . - s m k s e n k x - ω t = B k s m s e n ( k x - ω t )

Então, a função da variação de pressão é:

∆ p = B k s m s e n ( k x - ω t )

B é o módulo de compressibilidade e vale:

B = ρ v 2

Assim, podemos montar a seguinte equação:

∆ p = ρ v ² k s m s e n ( k x - ω t )

Onde

Δ p m = ρ v 2 k s m . Podemos substituir por k = ω v e chegamos a:  

Δ p m = ρ v ω s m

A parte s e n k x - ω t   justifica o caráter oscilatório do gráfico.

Se liga em como é o gráfico!

Lembrando que todas as relações que usamos para ondas, valem nas ondas sonoras também!! Afinal, elas continuam sendo ondas, não vamos excluí-las só por serem sonoras né?

Então, por exemplo, se tivermos uma onda descrita por:

s x , t = ( 2 ∙ 10 - 2 ) c o s 0,5 π x - 300 π t

E quisermos saber sua velocidade, como poderíamos fazer?

Bom, comparando com o que vimos logo ali em cima na função deslocamento de uma onda, podemos chegar que:

k = 0,5 π

e

ω = 300 π

Com isso, sabemos que em uma onda vale:

v = λ f

Para achar o valor de λ :

k = 2 π λ → λ = 2 π k

→ λ = 4   m

Para achar o valor de f :

ω = 2 π f → f = ω 2 π

→ f = 150   H z

Agora é só substituir na fórmula da velocidade:

v = λ f → v = 4 ∙ 150 = 600   m / s

Bom!! É isso que precisamos saber, vamos para os exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Física 2, Prova 2, 2014.1 – ME02

Uma onda sonora:

  1. Se propaga no vácuo com uma velocidade de 340   m/s
  2. Não se propaga no vácuo pois é acompanhada de um transporte de matéria.
  3. Transporta energia
  4. É uma onda de pressão
  5. É uma onda de deslocamento

São verdadeiras:

  1. I , I I e I V
  2. I I , I I I e I V
  3. I , I V e V
  4. I I I , I V e V
  5. I I , I V e V
  6. I , I I e I I I
  7. I I , I I I , I V e V
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Passo 1

Vamos ver as afirmações

I )

Falso,

A onda sonora não se propaga no vácuo, porque ela é uma onda mecânica

Passo 2

I I )

Falso,

A onda sonora é uma onda mecânica, e como vimos na teoria ela transporta energia e não matéria. Ela não se propaga no vácuo porque o transporte de energia, na onda sonora, é feita pela diferença de pressão no meio, como no vácuo não tem pressão ela não se desloca.

Passo 3

I I I )

Verdadeiro

Já vimos o porquê nos passos anteriores

Passo 4

I V ) Verdadeiro,

Como vimos no passo 2, a onda mecânica depende da diferença de pressão no meio para se deslocar, uma onda de pressão é uma onda onde isso acontece.

Passo 5

V )

Verdadeiro

A onda sonora desloca as partículas quando ela passa, sendo assim uma onda de deslocamento.

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #2

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 173-9

Um aparelho de ultra-som, com uma frequência de 4,50   M H z , é usado para examinar tumores em tecidos moles.

  1. Qual é o comprimento de onda nor ar das ondas sonoras produzidas pelo aparelho?
  2. Se a velocidade do som no tecido é 1500   m / s , qual é o comprimento de onda no tecido das ondas produzidas pelo aparelho?
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Passo 1

Sabemos que

λ = v f

Sabemos também que a velocidade onda no ar é 343   m \ s .

Então

λ = 343 4500000

λ = 7,62   x   10 - 5   m

Passo 2

Vamos agora aplicar a mesma relação para o tecido. A única coisa que muda é a velocidade.

λ = v f

λ = 1500 4500000 = 3,33   x   10 - 4

Resposta

  1. λ = 7,62   x   10 - 5   m
  2. 3,33   x   10 - 4

Exercício Resolvido #3

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 173-10

A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação

∆ p = 1,5   P a s e n   π [ 0,900 m - 1 x - 315 s - 1 t ]

Determine

  1. A amplitude
  2. A frequência
  3. O comprimento de onda
  4. A velocidade da onda
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Passo 1

  1. Sabemos que a amplitude (valor máximo) de uma onda é sempre o valor que é multiplicado pelo seno, já que o sen é uma função que varia de - 1 até 1 .

Sendo assim, no caso da equação acima, o valor da amplitude é 1,5   P a .

Passo 2

Sabemos que ∆ p = ∆ p m sen ⁡ k x - ω t

Então no caso da questão, ∆ p = 1,5   P a s e n   π [ 0,900 m - 1 x - 315 s - 1 t ]

k = 0,9 π e w = 315 π

Sabemos também que

f = w 2 π = 315 π 2 π = 157,5   H z

Passo 3

Sabemos também que λ = 2 π k = 2 π 0,9 π = 2,22   m

Passo 4

A velocidade é igual a λ f

Então, v = λ f = 2,22 x 157,5 = 349,5   m / s

Resposta

  1. 1,5   P a
  2. 157,5   H z
  3. 2,22   m
  4. 349,5   m / s

Exercício Resolvido #4

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 173-2

Uma coluna de soldados, marchando a 120 passos por minuto, segue o ritmo da batida de uma tambor que é tocado na frente da coluna. Observa-se que os últimos soldados da coluna estão levantando o pé esquerdo quando os primeiros soldados estão levantando o pé direito. Qual é o comprimento aproximado da coluna?

Dado: velocidade do som no ar: v a r = 340   m / s .

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Passo 1

Podemos ver que o tempo que o soldado leva para trocar da perna esquerda para a perna direita é o tempo de cada passada, logo:

60 s 120 = 0,5 s

Passo 2

Como os últimos soldados estão levantando o pé esquerdo quando os primeiros soldados estão levantando o direito, chegamos a conclusão que esse tempo de cada passada, é também o tempo do som chegar do início até o o final da coluna.

Sabendo a velocidade do som no ar: v a r = 340   m / s

Podemos aplicar:

v = c t

Sendo c o comprimento da coluna:

c = v t

c = 170 m

Resposta

170 m

Exercício Resolvido #5

PUCRIO, Física 2, Prova 2, 2012.1 –2

O deslocamento das partículas em uma onda sonora que se propaga no ar, cuja densidade é 1,2   k g / m 3 , é dado pela função

s x , t = 5,0 × 10 - 6 . sen ⁡ ( 0,40 . π . x - 136 . π . t )

e ) Através de cálculos adequados, obtenha a função da variação da pressão Δ p em função de x e t , não esquecendo as unidades.

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Passo 1

e )

A amplitude da pressão sonora é definida por:

Δ p = v . ρ . ω . s m

Vamos começar determinando ω e v .

Pela função s ( x , t ) , vemos que:

ω = 136 . π

A função s ( x , t ) , nos dá mais uma informação, temos que o número de onda k = 0,40 . π , desse modo, o comprimento de onda é dado por:

k = 2 . π λ

0,40 . π = 2 . π λ

λ = 5,0   m

Podemos agora, determinar a velocidade, pois:

v = λ . f

ω = 2 . π . f

Ou seja:

v = λ . ω 2 . π = 5,0 . 136 . π 2 . π = 340   m / s