Introdução a Ondas Sonoras

Teoria Completa

Introdução a Ondas Sonoras

O que é uma onda sonora?

A onda sonora é definida como um tipo de propagação de energia através de um meio por meio de compressão e descompressão adiabática.

Tá, mas até aqui estamos falando grego certo?

Vamos compreender pensando numa situação, imagina que temos um alto falante num meio de moléculas de ar comum, dispersas e resolvemos liga-lo. O que vai acontecer com as moléculas após o alto falante ser ligado?

Algo mais ou menos assim:

As moléculas que antes estariam dispersas agora vão se deslocar, e formar zonas de baixa pressão nos picos de deslocamento. Onde não houver deslocamento ou pouco deslocamento as moléculas vão se comprimir em zonas de alta pressão.

Essa onda mostrada é uma onda longitudinal e mecânica.

Onde uma onda longitudinal é aquela em que a direção de propagação é a mesma direção de oscilações do meio.

E ser uma onda mecânica significa que ela tem necessidade de um meio para propagar!

Por isso, as ondas sonoras são ondas de pressão e ondas de deslocamento, pois exercem uma pressão e o meio se desloca à medida que a onda se propaga.

Tá beleza, mas e aí, como vamos calcular esse tipo de onda?

Módulo de compressibilidade a velocidade do som

Existem alguns parâmetros que precisamos conhecer antes de partirmos pros cálculos e dois deles são o módulo de compressibilidade e a velocidade do som.

O módulo de compressibilidade é o que mede se um gás pode ser muito ou pouco comprimido.

Quando o gás pode ser muito comprimido, o módulo de compressibilidade é baixo, e quando pode ser pouco comprimido, é alto.

O módulo de compressibilidade é representado pela letra B . Ele pode ser calculado por:

B = ρ v 2

Onde ρ é a densidade do gás e v a velocidade do som.

Daí tiramos que a velocidade do som pode ser calculada assim:

v = B ρ

A velocidade do som no ar é uma constante que tem módulo de valor:

v s o m = 340 m / s

E se essa velocidade for superada, o que acontece?

Velocidade supersônica

Você já deve ter ouvido falar nisso, certo? Existem jatos que voam com velocidades supersônicas, que é quando se ultrapassa a velocidade do som em um meio.

v > v s o m

v > 340 m / s

Quando um objeto se desloca a uma velocidade superior a essa (velocidade supersônica), ele rompe a barreira do som e ocorre um estampido ou estalo.

Ondas Progressivas

Mas como é que eu escreveria uma onda sonora?

Ah, som é uma onda, então o som também deve ter uma função do tipo abaixo que o descreva, certo?

y x , t = A c o s k x ∓ ω t + φ

Vamos entender um pouco de como funciona uma onda sonora matematicamente.

Vamos fazer isso analisando os deslocamentos e variações de pressão associados a uma onda sonora que se propaga no ar. Beleza? Vamos lá!

Função de deslocamento

A função que descreve o deslocamento de uma onda sonora é bem parecida com a função que aprendemos para uma onda qualquer.

Essa função é:

s x , t = S m c o s k x - ω t

Sendo:

S m = a m p l i t u d e

Obs: O deslocamento pode ser dado como função seno também, mas por convenção usaremos a função cosseno, beleza?

Vamos dar uma olhada num gráfico desse tipo de função para as seguintes condições:

k = 1

t = 0

S m = 10 μ m

Ou seja:

s x = 10 cos ⁡ 1 x - 0 = 10 c o s ⁡ ( x )

Teríamos algo do tipo:

Função da variação de pressão

Bom, as ondas de pressão são funções que indicam a variação de pressão de um gás com o passar do tempo.

Essas funções têm uma ligação com a função deslocamento da onda sonora e se relacionam por:

p x , t = - B ∂ s x , t ∂ x

Vamos derivar a expressão de s ( x , t ) que vimos antes e reescrever essa acima:

p x , t = - B . ∂ s x , t ∂ x = - B . - S m k s e n k x - ω t = B k S m s e n ( k x - ω t )

B é o módulo de compressibilidade e vale:

B = ρ v 2

E reescrevendo a equação ela fica da seguinte forma:

p ( x , t ) = ρ v ² k S m s e n ( k x - ω t )

Onde

Δ p m = ρ v 2 k S m . Podemos substituir por k = ω v e chegamos a:  

Δ p m = ρ v ω S m

E enfim a equação da variação de pressão fica:

∆ p = ∆ p m s e n ( k x - ω t )

Se liga em como é o gráfico, pra um exemplo onde ∆ P m = 30 P a e temos t = 0 .

Lembrando que todas as relações que usamos para ondas, valem nas ondas sonoras também!! Afinal, elas continuam sendo ondas, não vamos excluí-las só por serem sonoras né?

Pra fixar tudo o que foi visto vamos calcular a velocidade pra onda abaixo, e também a variação máxima de pressão se essa onda se propaga no ar.

s x , t = 2 × 10 - 2 c o s 0,5 π x - 300 π t c m

Após isso vamos esboçar o gráfico da variação de pressão e da posição e compará-los.

Bom, comparando com o que vimos logo ali em cima na função deslocamento de uma onda, da equação a gente tira que:

k = 0,5 π

ω = 300 π

S m = 2 × 10 - 2 c m

Com isso, sabemos que em uma onda vale:

v = λ f

Para achar o valor de λ :

λ = 2 π k = 2 π 0,5 π

λ = 4   m

Para achar o valor de f :

ω = 2 π f

f = ω 2 π = 300 π 2 π

f = 150   H z

Agora é só substituir na fórmula da velocidade:

v = λ f

v = 4 × 150 = 600   m / s

E a variação de pressão dessa onda é dada por:

Δ p m = ρ v ω S m

Onde

ρ = ρ a r = 1,23 k g / m 3

S m = 2 × 10 - 2 c m = 2 × 10 - 4 m

∆ p m = 1,23 × 600 × 300 π × 2 × 10 - 4

∆ p m = 139 P a

Beleza, agora é só esboçarmos os dois gráficos para t = 0 e compará-los. Vamos esboçar o gráfico para um valor de x de 0 até 10 c m , e observar o comportamento.

A função deslocamento fica:

s x = 2 × 10 - 2 cos ⁡ 0,5 π x

Vamos converter a escala da amplitude pra μ m e assim a comparação será numa escala mais compatível:

2 × 10 - 4 m = 200 × 10 - 6 m = 200 μ m

s x = 200 c o s ⁡ ( 0,5 π x )

Pra esboçar esse gráfico é bem tranquilo, é só calcular a função para x = 0 ,     x = 2 ,   x = 4 e após isso repetir o movimento pois aí teremos os múltiplos de π e 2 π .

Os cálculos da trigonométrica serão feitos em radianos.

s 0 = 200 cos ⁡ 0,5 π . 0 = 200 μ m

s 2 = 200 cos ⁡ 0.5 π × 2 = - 200 μ m

s 4 = 200 × 0,5 π × 4 = 200 μ m

Daí o gráfico fica com essa cara:

E o gráfico da variação de pressão, como vai ficar para t = 0 ?

Primeiro a gente pega a equação com a amplitude encontrada.

∆ p = ∆ p m s e n ( k x - ω t )

Substituindo o valor e fazendo t = 0 :

∆ p = 139 s e n ( 0,5 π x )

E aqui os pontos importantes são os quais onde o seno dá 1 ,   0   ou - 1 e para esses pontos analisaremos os valores de x = 0 ,   x = 1 e x = 3 :

∆ p 0 = 139 s e n 0,5 π × 0 = 0

∆ p 1 = 139 s e n 0,5 π × 1 = 139 P a

∆ p 3 = 139 s e n 0,5 π × 3 = - 139 P a

E o gráfico fica desse jeito:

Comparando os dois gráficos temos:

Esse ϕ que apareceu é a diferença de fase entre as duas ondas, podemos reescrever a função da variação de pressão como um cosseno também, mas considerando essa diferença de fase entre as ondas.

∆ p = ∆ p m cos ⁡ k x - ω t + ϕ

Repara que o gráfico azul da posição tem maior amplitude nessa escala portanto é aumentado em relação ao gráfico da diferença de pressão.

Agora é partir pra prática!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Física 2, Prova 2, 2014.1 – ME02

Uma onda sonora:

  1. Se propaga no vácuo com uma velocidade de 340   m/s
  2. Não se propaga no vácuo pois é acompanhada de um transporte de matéria.
  3. Transporta energia
  4. É uma onda de pressão
  5. É uma onda de deslocamento

São verdadeiras:

  1. I , I I e I V
  2. I I , I I I e I V
  3. I , I V e V
  4. I I I , I V e V
  5. I I , I V e V
  6. I , I I e I I I
  7. I I , I I I , I V e V
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Passo 1

Vamos ver as afirmações

I )

Falso,

A onda sonora não se propaga no vácuo, porque ela é uma onda mecânica

Passo 2

I I )

Falso,

A onda sonora é uma onda mecânica, e como vimos na teoria ela transporta energia e não matéria. Ela não se propaga no vácuo porque o transporte de energia, na onda sonora, é feita pela diferença de pressão no meio, como no vácuo não tem pressão ela não se desloca.

Passo 3

I I I )

Verdadeiro

Já vimos o porquê nos passos anteriores

Passo 4

I V ) Verdadeiro,

Como vimos no passo 2, a onda mecânica depende da diferença de pressão no meio para se deslocar, uma onda de pressão é uma onda onde isso acontece.

Passo 5

V )

Verdadeiro

A onda sonora desloca as partículas quando ela passa, sendo assim uma onda de deslocamento.

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #2

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 173-9

Um aparelho de ultra-som, com uma frequência de 4,50   M H z , é usado para examinar tumores em tecidos moles.

  1. Qual é o comprimento de onda no ar das ondas sonoras produzidas pelo aparelho?
  2. Se a velocidade do som no tecido é 1500   m / s , qual é o comprimento de onda no tecido das ondas produzidas pelo aparelho?
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Passo 1

Sabemos que

λ = v f

Sabemos também que a velocidade onda no ar é 343   m \ s .

Então

λ = 343 4500000

λ = 7,62   x   10 - 5   m

Passo 2

Vamos agora aplicar a mesma relação para o tecido. A única coisa que muda é a velocidade.

λ = v f

λ = 1500 4500000 = 3,33   x   10 - 4   m

Resposta

  1. λ = 7,62   x   10 - 5   m
  2. λ = 3,33   x   10 - 4 m

Exercício Resolvido #3

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 173-10

A pressão de uma onda sonora progressiva é dada pela equação

∆ p = 1,5   P a s e n   π [ 0,900 m - 1 x - 315 s - 1 t ]

Determine

  1. A amplitude
  2. A frequência
  3. O comprimento de onda
  4. A velocidade da onda
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Passo 1

  1. Sabemos que a amplitude (valor máximo) de uma onda é sempre o valor que é multiplicado pelo seno, já que o sen é uma função que varia de - 1 até 1 .

Sendo assim, no caso da equação acima, o valor da amplitude é 1,5   P a .

Passo 2

Sabemos que ∆ p = ∆ p m sen ⁡ k x - ω t

Então no caso da questão, ∆ p = 1,5   P a s e n   π [ 0,900 m - 1 x - 315 s - 1 t ]

k = 0,9 π e w = 315 π

Sabemos também que

f = w 2 π = 315 π 2 π = 157,5   H z

Passo 3

Sabemos também que λ = 2 π k = 2 π 0,9 π = 2,22   m

Passo 4

A velocidade é igual a λ f

Então, v = λ f = 2,22 x 157,5 = 349,5   m / s

Resposta

  1. 1,5   P a
  2. 157,5   H z
  3. 2,22   m
  4. 349,5   m / s

Exercício Resolvido #4

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 173-2

Uma coluna de soldados, marchando a 120 passos por minuto, segue o ritmo da batida de uma tambor que é tocado na frente da coluna. Observa-se que os últimos soldados da coluna estão levantando o pé esquerdo quando os primeiros soldados estão levantando o pé direito. Qual é o comprimento aproximado da coluna?

Dado: velocidade do som no ar: v a r = 340   m / s .

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Passo 1

Podemos ver que o tempo que o soldado leva para trocar da perna esquerda para a perna direita é o tempo de cada passada, logo:

60 s 120 = 0,5 s

Passo 2

Como os últimos soldados estão levantando o pé esquerdo quando os primeiros soldados estão levantando o direito, chegamos a conclusão que esse tempo de cada passada, é também o tempo do som chegar do início até o o final da coluna.

Sabendo a velocidade do som no ar: v a r = 340   m / s

Podemos aplicar:

v = c t

Sendo c o comprimento da coluna:

c = v t

c = 170 m

Resposta

170 m

Exercício Resolvido #5

PUCRIO, Física 2, Prova 2, 2012.1 –2

O deslocamento das partículas em uma onda sonora que se propaga no ar, cuja densidade é 1,2   k g / m 3 , é dado pela função

s x , t = 5,0 × 10 - 6 . sen ⁡ ( 0,40 . π . x - 136 . π . t )

e ) Através de cálculos adequados, obtenha a função da variação da pressão Δ p em função de x e t , não esquecendo as unidades.

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Passo 1

e )

A amplitude da pressão sonora é definida por:

Δ p = v . ρ . ω . s m

Vamos começar determinando ω e v .

Pela função s ( x , t ) , vemos que:

ω = 136 . π

A função s ( x , t ) , nos dá mais uma informação, temos que o número de onda k = 0,40 . π , desse modo, o comprimento de onda é dado por:

k = 2 . π λ

0,40 . π = 2 . π λ

λ = 5,0   m

Podemos agora, determinar a velocidade, pois:

v = λ . f

ω = 2 . π . f

Ou seja:

v = λ . ω 2 . π = 5,0 . 136 . π 2 . π = 340   m / s  

Passo 2

Quando o deslocamento s ( x , t ) for zero, a pressão será máxima ou mínima, portanto, a função variação de pressão terá um diferença de fase de π 2 em relação ao deslocamento.

Agora que já temos tudo calculado, podemos substituir e determinar a variação de pressão Δ p :

Δ p = v . ρ . ω . s m

Δ p = 340 .   1,2 .   136 . π .   5,0 × 10 - 6 . sen ⁡ ( 0,40 . π . x - 136 . π . t - π 2 )

Δ p = 0,87 . sen ⁡ 0,40 . π . x - 136 . π . t - π 2

Sabendo da relação, sin ⁡ a - π 2 = - cos ⁡ a , temos que:

Δ p = - 0,87 . cos ⁡ 0,40 . π . x - 136 . π . t

Resposta

e ) Δ p = - 0,87 . cos ⁡ 0,40 . π . x - 136 . π . t

Exercício Resolvido #6

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 173-11

Se a forma de uma onda sonora que se propaga no ar é:

s x , t = 6,0   n m c o s ⁡ ( k x + 3000 r a d s t + φ )

Quanto tempo uma mólecula de ar no caminho onda leva para se mover entre os deslocamentos s = 2,0   n m e s f = - 2,0 n m ?

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Passo 1

Quando s = 0 , consideramos x = 0 e t = 0 e podemos descobrir φ

Quando fazemos isso na equação, chegamos a:

0 = 6,0   n m c o s ⁡ ( φ )

cos ⁡ φ = 0

φ = π 2

Passo 2

Vimos então que como a diferença de fase é de π 2 , podemos escrever a equação de s , como:

s x , t = 6,0   n m s e n ⁡ ( k x + 3000 r a d s t )

Não se esqueça! Seno e cosseno são complementares!

Como estamos analisando o deslocamento, podemos colocar, x = 0 , pois ele é descrito em função do tempo.

No ponto x = 0 , a função é descrita como:

s = 6,0   n m s e n ( 3000 t )

Vamos agora calcular o valor de t para s = 2 n m .

2 n m = 6,0 n m s e n ( 3000 t )

1 3 = s e n 3000 t

3000 t   = sin - 1 ⁡ 1 3

3000   t = 0,340

t = 0,1133   m s

Passo 3

Vimos que para o deslocamento de 2 n m , o tempo t é 0,1133   m s .

Então, para o deslocamento de 4   n m ,   de 2   n m até - 2   n m , o tempo t é 0,1133   m s   x   2 = 0,23   m s .

Resposta

0,23   m s

Exercício Resolvido #7

USP, Física 2, Prova 1, 2014.1 – Questão 3

As funções de onda de pressão, densidade e deslocamento de uma onda sonora unidimensional são, respectivamente, p x , t , ρ ( x , t ) e u ( x , t ) . Podemos dizer que:

  1. ρ ( x , t ) e p x , t estão sempre em quadratura( defasagem de π 2 ) .
  2. p x , t e u ( x , t ) interferem de maneira destrutiva.
  3. As três funções estão sempre em fase.
  4. ρ ( x , t ) e p x , t estão sempre em fase.
  5. p x , t e u ( x , t ) estão sempre em fase.
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Passo 1

Bom galera, aqui a gente vai precisar lembrar as equações que relacionam o deslocamento com a variação de pressão e densidade .Elas são:

p x , t = - B ∂ u x , t ∂ x

Onde B é o módulo de compressibilidade.

E a densidade vai ser:

ρ x , t - ρ 0 = ρ 0 ∂ u x , t ∂ x </