Interferência de Ondas Sonoras

Teoria Completa

Introdução

Assim como as ondas transversais, as ondas sonoras também sofrem interferência.

Se a gente colocasse dois aparelhos de som, um no ponto S 1 e outro no ponto S 2 , o que aconteceria no ponto P da figura abaixo?

A propagação das ondas sonoras causaria interferência no ponto P , e existem dois casos importantes pra gente analisar.

Quando as ondas chegam no ponto em fase e quando as ondas chegam num ponto em fases diferentes.

Interferência Construtiva

O primeiro caso é quando as ondas saem em fase e chegam em fase no ponto P.

Se colocarmos essas ondas alinhadas vamos poder perceber o seguinte:

Nesse caso as ondas saem da mesma posição e chegam no ponto P da mesma forma, num mínimo.

Quando as ondas chegam no ponto com o mesmo comportamento, dizemos que elas chegam em fase, e a interferência naquele ponto P , é uma interferência construtiva.

Podemos perceber, que a onda que sai de S 1 , percorre um caminho menor, em relação a onda que sai de S 2 . Pra gente ver isso melhor basta contarmos quantos comprimentos de onda temos em cada percurso.

Então com isso temos:

L 1 = 1 λ

L 2 = 2 λ

E pra interferência construtiva a diferença de caminho tem sempre que ter um resultado inteiro de comprimento de onda.

∆ L = L 2 - L 1 = 2 λ - l λ = λ

Num caso geral pra interferência construtiva.

∆ L = n λ

Onde n = 0,1 , 2 … .

Interferência Destrutiva

O segundo caso é quando as ondas chegam de forma diferente no ponto P , dá uma olhada na figura.

Se colocarmos as ondas alinhadas vamos poder analisar melhor o que acontece ali, mas de cara a gente já vê que elas não chegam na mesma fase.

E aqui a gente pode ver que uma onda chegou com a amplitude máxima e a outra com amplitude mínima. Quando as ondas chegam desse jeito no ponto ocorre a interferência destrutiva.

No geral como é a diferença de caminho da interferência construtiva? Bom vamos descobrir, pela figura sabemos que:

L 1 = 2 λ

L 2 = 2,5 λ

Então:

∆ L = L 2 - L 1 = 2,5 λ - 2 λ = 0,5 λ

Opa deu um valor quebrado de λ , e é isso mesmo! No caso da interferência destrutiva a diferença de caminho no geral vai ser um múltiplo de 0,5 λ .

∆ L = n + 1 2 λ

Onde n = 0,1 , 2,3 …

Diferença de fase

Pra gente entender a diferença de fase é fundamental termos fixado a diferença de caminho. Então o que é a diferença de fase?

Vamos aprender olhando essas duas equações de onda, você vê algo diferente entre elas?

y 1 = A s e n k x - ω t

y 2 = A s e n ( k x - ω t + ϕ )

Esse ϕ que aparece na segunda onda é a diferença de fase ela é responsável por fazer a onda chegar em fase diferente num determinado ponto, se liga nesse gráfico comparando as ondas.

Onde θ = k x - ω t .

Se você somar uma fase qualquer vai adiantar a função seno, por exemplo se ϕ = π 4 no ponto x , t = ( 0,0 ) a função de onda tem valor y = A s e n π 4 = 0,7 A .

Tá, mas qual é a relação da diferença de fase com o comprimento de onda?

Bom se pensarmos que a cada 2 π a onda completa um comprimento λ , podemos dizer que pra um comprimento de onda ∆ L o ângulo será a diferença de fase ϕ .

ϕ 2 π = Δ L λ

Rearrumando temos:

ϕ = Δ L λ . 2 π

Para termos interferência totalmente construtiva, precisamos que a diferença de fase seja nula, ou um múltiplo inteiro de 2 π . Sob essas condições, temos que as interferências totalmente construtivas ocorrem sempre que:

ϕ = m .   2 π

m = Δ L λ

m = 0,1 , 2,3

Vamos fazer um teste com as nossas equações de onda para m = 1 , bora somar as duas ondas no ponto.

y x , t = y 1 + y 2

y x , t = A s e n k x - ω t + A s e n k x - ω t + m 2 π

Como m = 1 :

y x , t = A s e n k x - ω t + A s e n k x - ω t + 1 × 2 π

E se liga:

s e n x + 2 π = s e n x

Então:

y x , t = A s e n k x - ω t + A s e n k x - ω t

E aqui temos a equação que mostra a interferência construtiva dessas ondas:

y x , t = 2 A s e n k x - ω t

No ponto onde k x - ω t = π 2 teremos a amplitude máxima e a interferência construtiva vai resultar:

y m á x = 2 A

Graficamente a interferência construtiva dessas ondas que possuem diferença de fase 2 π pode ser resumida nessa imagem.

Se a interferência construtiva acontece pra múltiplos de 2 π a destrutiva vai acontecer pra múltiplos de π que não sejam múltiplos de 2 π , mas porquê?

A interferência totalmente destrutiva no ponto ocorre quando as ondas chegam totalmente opostas, e pra mudarmos o sinal de uma função seno basta somarmos π ao seu argumento.

s e n x + π = - s e n ( x )

Sendo assim para que tenhamos um múltiplo impar de π basta somarmos 1 / 2 ao m .

ϕ = m + 1 2 2 π

Rearrumando vai ficar:

ϕ = 2 m + 1 π

Sempre será múltiplo de um ímpar de π .

Se pegarmos a equação das ondas pra um múltiplo m = 1   a diferença de fase aqui seria dada por:

ϕ = 2 × 1 + 1 π = 3 π

Vamos pegar a nossa equação da interferência das ondas em P :

y x , t = A s e n k x - ω t + A s e n k x - ω t + ϕ

E substituir a diferença de fase:

y x , t = A s e n k x - ω t + A s e n k x - ω t + 3 π

Teremos o seguinte:

y x , t = A s e n k x - ω t - A s e n k x - ω t = 0

Resumindo, sendo m um número inteiro:

∆ L λ =           m ,                     i n t e r f e r ê n c i a   c o n s t r u t i v a m + 1 2 ,           i n t e r f e r ê n c i a   d e s t r u t i v a

Depois de alguns exercícios isso aí vai estar no sangue. Bora praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 2 : ondas, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, Cap 17, Problema 16

Duas ondas sonoras, produzidas por duas fontes diferentes de mesma frequência, 540   H z , se propagam na mesma direção e no mesmo sentido a 330   m / s . As fontes estão em fase. Qual é a diferença de fase das ondas em um ponto que está a 4,40   m de uma fonte e a 4,00   m da outra?

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Passo 1

Temos aqui a seguinte estrutura:

Sabemos que:

ϕ = Δ L λ . 2 π

E também:

v = λ f

Então:

λ = 330 540   m

E, substituindo na primeira, usando ∆ L igual a 0,4   m , temos:

ϕ = 0,4 330 540   .   2 π → ϕ = 4,11   r a d

Resposta

ϕ = 4,11   r a d

Exercício Resolvido #2

UNICAMP-Questão 3 - P2.2012

Uma onda sonora com comprimento de onda de 40   c m propaga-se para a direita num tubo que possui uma bifurcação (vide figura). Ao chegar à bifurcação a onda se divide em duas partes. Uma propaga-se em um tubo em forma de semicircunferência, e a outra se propaga em um tubo retilíneo. As duas ondas combinam-se mais adiante, antes de chegarem ao detector. Qual é o menor raio da semicircunferência para o qual a intensidade medida pelo detector é mínima? Se necessário, use π ≈ 3 .

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Passo 1

Bom galera, vamos primeiro identificar do que se trata o problema:

Bem, como queremos saber uma condição para que a intensidade da combinação de duas frentes de ondas seja mínima, estamos lidando com interferência.

E qual o tipo de interferência que o enunciado pede? Como ele quer uma intensidade resultante mínima, a interferência só pode ser destrutiva, afinal, numa interferência construtiva a intensidade das frentes de onda é máxima, já que elas se somam.

Pela nossa teoria, a equação que vamos usar é:

∅ = ∆ L λ . 2 π

Onde:

∅ = 2 m + 1 π

m = 1,2 , 3 , …

Ou seja, a fase é um múltiplo ímpar de π .

Passo 2

Vamos por a mão na massa:

Bom, a onda se divide em duas: uma que segue pela semicircunferência e outra que vai pela parte de baixo da mesma.

O comprimento da semicircunferência é a metade do que teria o círculo de raio r , ou seja:

L 1 = π r = 3 r

Já embaixo, a onda percorre um caminho que equivale a 2 r :

L 2 = 2 r

Logo:

∆ L = 3 r - 2 r = r

Pra usar a equação que vimos ali em cima basta saber o valor do comprimento da onda. Opa! Ele já disse isso: λ = 40 c m . Logo:

∅ = ∆ L λ . 2 π

∅ = r 40 . 2 π = r . π 20

Passo 3

Vamos analisar o resultado agora:

Para que a interferência seja destrutiva, é preciso que a diferença de fase seja um múltiplo ímpar de π e, além disso, como queremos o menor raio que gere esse efeito, precisamos, também, do menor múltiplo ímpar de π .

Quem é o menor múltiplo de π ? Ora, o próprio π :

∅ = π

Logo:

π = r . π 20

r = 20 c m

Pronto (:

Resposta

r = 20 c m

Exercício Resolvido #3

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 2: ondas, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, Cap 17, Problema 68.

Você está parado 2,5   m diretamente à frente de um dos dois alto-falantes mostrados na figura. Eles estão afastados por 3,0   m de distância e emitem, em fase, um tom de 686   H z . À medida que você se afasta perpendicularmente ao alto-falante, a que distâncias do alto-falante você escuta um mínimo de intensidade sonora? A temperatura ambiente é 20 ° C .

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Passo 1

Quando temos uma questão pedindo máximos ou mínimos, temos que usar as equações de interferência, no caso de interferência destrutiva, temos:

m + 1 2 = Δ L λ

Vamos começar determinando o comprimento de onda λ . Temos que f = 686   H z e v = 340   m / s , portanto:

v = λ . f

340 = λ . 686

λ ≈ 0,5   m

Passo 2

Agora que temos o valor de λ , vamos determinar para que valores de Δ L temos mínimos:

m + 1 2 = Δ L λ

Substituindo os valores, temos:

m + 1 2 = Δ L 0,5 = Δ L 1 / 2

m + 1 2 = 2 Δ L

1 2 ( 2 m + 1 ) = 2 Δ L

Δ L = 1 4 ( 2 m + 1 )

Temos então que os mínimos ocorrem para:

∆ L = 1 4 ;   3 4 ;   5 4 ;   7 4 …

ou ainda

∆ L = 0,25 ; 0,75 ; 1,25 ; 1,75 …

Passo 3

Vamos agora determinar Δ L para a situação inicial, para sabermos qual será o próximo mínimo!

Δ L = 3 2 + 2,5 2 1 2 - 2,5

Δ L = 1,4   m

Logo, o próximo mínimo ocorre para Δ L = 1,25   m , pois, podemos ver que Δ L diminui à medida que o ouvinte se afasta do auto-falante. Uma boa forma de ver isso é pensando no limite em que a distância é grande, nesse caso, temos que o ouvinte está praticamente à mesma distância dos dois alto falantes.

Seja d a distância entre o ouvinte e o alto falante que está na sua frente, temos:

Δ L = 1,25 = 3 2 + d 2 1 2 - d

d ≈ 2,98   m

Fazendo o mesmo mimimi para os próximos mínimos, temos:

  • Δ L = 0,75   m
  • 0,75 = 3 2 + d 2 1 2 - d

    d ≈ 5,6   m

  • Δ L = 0,25   m

0,25 = 3 2 + d 2 1 2 - d

d ≈ 17,9   m

Resposta

d ≈ 2,98   m   ;   5,6   m   ;   17,9   m

Exercício Resolvido #4

UNICAMP-Questão 4 - P2.2010 – letras a,b

Na figura abaixo dois alto-falantes, separados por uma distância de 3,00   m emitem ondas sonoras em fase. Suponha que as amplitudes do som vindo dos alto-falante são aproximadamente as mesmas na posição de um ouvinte, que está a 4,00   m em linha reta em frente de um dos alto-falantes.

  1. Para que frequências na faixa de 1,00   k H z a 2,0 k H z o ouvinte escutará um sinal máximo?
  2. Para que frequências nesta faixa ele escutará um sinal mínimo?

Dado:

v s o m = 340 m \ s

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Bom, galera, nessa questão nós vamos analisar como a diferença dos percursos que as duas ondas sonoras tomam influencia na frequência da onda resultante.

Bora então!

Bem, a onda sonora do alto-falante de cima vai percorrer quantos metros até atingir o ouvinte?

A resposta é simples: como a onda se propaga em linha reta, ela vai percorrer a hipotenusa do triângulo retângulo da figura. Então:

L 1 2 = 3 2 + 4 2 → L 1 = 5 m

E a outra onda vai por baixo, logo:

L 2 = 4 m

Então a diferença de percurso é:

∆ L = 5 - 4 = 1 m

Passo 2

Agora nós vamos usar a fórmula da interferência que vimos na teoria: ϕ = Δ L λ . 2 π

Onde ϕ é diferença de fase das duas ondas.

Bom, se a diferença de fase é múltiplo de 2 π , ocorre uma interferência construtiva e a frequência é máxima na onda resultante (:.

Vamos analisar essa situação:

ϕ = 2 π n

n = 1,2 , 3,4 …

Logo:

2 π n = Δ L λ . 2 π

n = Δ L λ

Show!

Bem, mas o que a gente quer saber são as frequências que cabem em uma determinada faixa, né?

Então vamos substituir a frequência nessa bagaça:

λ = v f

n = ∆ L λ = ∆ L f v

f = n v ∆ L

Sendo ∆ L = 1 :

f = n v

Ok! Quase tudo pronto! Agora precisamos saber os valores de f que estão entre 1 k H z e 2 k H z :

Para n = 3 :

f = 3.340 = 1020 H z

Na faixa!

n = 4 :

f = 4 x 340 = 1360 H z

Na faixa!

n = 5 :

f = 5 x 340 = 1700 H z

Na faixa!

Pra valores maiores de n a frequência ultrapassa 2 k H z .

Então as frequências que estão entre 1 k H z e 2 k H z para as quais o ouvinte escutará um sinal de máximo são: 1020 ,   1360   e 1700 H z .

Passo 3

b)

O raciocínio aqui vai ser quase o mesmo que o do item anterior, só que como agora queremos sinais mínimos, a diferença de fase entre as ondas deve ser um múltiplo ímpar de π :

2 n + 1 π =   ϕ = Δ L λ . 2 π

n = 0,1 , 2,3 …

Manipulando a equação pra fazer aparecer a frequência, como no item anterior, vamos ter:

2 n + 1 π = ∆ L λ 2 π

∆ L f v . 2 = 2 n + 1

f = 2 n + 1 2 ∆ L . v

Sendo ∆ L = 1 :

f = 2 n + 1 v 2

Quando n = 3 :

f = 7 2 . 340 = 1190 H z

Tá na faixa!

Quando n = 4 :

f = 9 2 . 340 = 1530 H z

Tá na faixa!

Quando n = 5 :

f = 1870 H z

Tá na faixa!

Pra valores maiores de n surgem frequências acima de 2 k H z .

Resposta

a)

1020 ,   1360   e 1700 H z

b)

1190 H z

1530 H z

1870 H z

Exercício Resolvido #5

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 2 : ondas, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, Cap 17, Problema 22

A Fig. 17-38 mostra quatro fontes sonoras pontuais isotrópicas uniformemente espaçadas ao longo de um eixo x . As fontes emitem sons de mesmo comprimento de onda λ e mesma amplitude s m e estão em fase. Um ponto P é mostrado sobre o eixo x . Suponha que quando as ondas se propagam até P a amplitude se mantém praticamente constante. Que múltiplo de s m corresponde à amplitude da onda resultante em P se a distância d mostrada na figura é (a) λ / 4 , (b) λ / 2 , (c) λ ?

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Passo 1

O enunciado pede para desconsiderarmos a redução da amplitude com a distância, portanto, iremos analisar somente a interferência causada pelas 4 fontes em fase. Então vamos relembrar a relação da interferência com a diferença de caminho:

∆ L λ =           m ,                     i n t e r f e r ê n c i a   c o n s t r u t i v a m + 1 2 ,         i n t e r f e r ê n c i a   d e s t r u t i v a

Passo 2

  1. Com d = λ 4 , temos que:
  2. ∆ L λ = 1 4

    Como m é inteiro, parece que ele não se encaixa em nenhum caso, né? Calma! Se liga na distância entre a 1ªe a 3ª fonte, ela vale λ 2 , ou seja:

    ∆ L 1 ª - 3 ª λ = 1 2

    Portanto, elas vão agir destrutivamente, fazendo com que as ondas dessas duas fontes não cheguem em P . Perceba que o fenômeno acontece da mesma maneira para a 2ª e 4ª fonte. Logo:

    A = 0

    Passo 3

  3. Já para d = λ 2 , o mesmo fenômeno acontece, mas com os pares 1ª – 2ª e 3ª – 4ª. Logo:
  4. A = 0

    Passo 4

  5. Com d = λ a história é diferente: a 1ª e a 2ª fonte irão emitir ondas que chegaram em fase em P .

E mais! O mesmo fenômeno irá acontecer com a 2ª e 3ª fonte, bem como a 3ª e a 4ª. Ou seja, a amplitude que chega ao ponto P é 4 vezes maior que a amplitude original.

A = 4 s m

Resposta

  1. 0
  2. 0
  3. 4 s m

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