Ondas Estacionárias

Teoria Completa

Considerando uma corda esticada presa em suas extremidades, ao produzir uma onda senoidal que se propaga para a direita, temos que, eventualmente, essa onda será refletida na extremidade. Esse processo irá ocorrer várias vezes, de modo que teremos uma superposição de ondas, ou seja, uma interferência.

Legal! Mas pra que queremos saber isso?!

Bom, para determinadas frequências da onda senoidal produzida, essa superposição de ondas formará uma onda estacionária, tcharannnn!!! Se liga no exemplo abaixo:

Equacionando as ondas estacionárias

Vamos analisar agora o caso em que as ondas, com mesmo comprimento de onda λ e mesma amplitude A , estejam se deslocando em sentidos opostos.

Visualmente, temos a seguinte situação:

A onda resultante c da superposição das ondas a e b é chamada de onda estacionária.

E como o nome já diz, a forma de onda não se move, ou seja, os nós permanecem sempre na mesma posição e as posições de máximo e de mínimo não variam com o tempo.

Algebricamente, temos que as ondas a e b são, genericamente:

y 1 x , t = A . sen ⁡ ( k x - ω t )

y 2 x , t = A . sen ⁡ ( k x + ω t )

Agora é só somar, a onda estacionária, terá a seguinte forma:

y x , t = 2 . A . sen ⁡ k x . cos ⁡ ω t

Se liga! Utilizamos aqui a seguinte identidade trigonométrica:

sen ⁡ α + sin ⁡ β = 2 . sen ⁡ 1 2 α + β . cos ⁡ 1 2 α - β

Vamos agora descobrir os pontos onde temos os nós, onde a amplitude é zero, e os antinós, onde teremos amplitude máxima.

De acordo com a equação da onda estacionária, vemos que a amplitude é zero para os valores em que sen ⁡ k x é zero. Ou seja:

k x = n π

x = n . λ 2

Onde n = 0 ,   1 ,   2 …

Esses são os nós, que permanecem inalterados, vemos também que os nós vizinhos distam λ 2 .

Por sua vez, os pontos de máximo ocorrerão quando sin ⁡ k x = 1 , ou seja:

x = n + 1 2 λ 2  

Onde n = 0 ,   1 ,   2 ,   … Os pontos de máximo, chamados de antinós, também distam λ 2 , e estão situados nos pontos médios de nós vizinhos.

Frequência de Ressonância

Para a mesma corda do início do texto, de comprimento L , teremos algumas formações possíveis de ondas estacionárias:

Cada um desses casos são chamados modos de vibração.

O primeiro modo é chamado de modo fundamental ( n = 1 ).

Enumeramos esses modos de acordo com a figura:

Note que podemos calcular o comprimento de onda em função do comprimento total L :

Para n = 1 : λ 2 = L (Porque o modo ocupa todo o comprimento L )

Para n = 2 : λ = L

Para n = 3 : 3 λ 2 = L

Para n = 4 :         2 λ = L

Observação: Percebeu que cada “voltinha” de onda representa meio comprimento de onda, certo? No primeiro harmônico, por exemplo, λ 2 = L .

Assim:

L = n 2 λ

Como v = λ f , podemos calcular f da seguinte maneira:

f n = n 2 v L

onde f n é a frequência do enésimo modo de vibração.

Se liga aí no resumão!

Resumão

  • Ondas Estacionárias
  • y x , t = 2 . A . sen ⁡ k x . cos ⁡ ω t

    • Nós:
    • x = n . λ 2

    • Antinós:

    x = n + 1 2 λ 2

  • Frequência de Ressonância

f n = 2 n 4 v l

Energia, Momento e Potência em Ondas Estacionárias

Já estudamos a energia e o momento numa onda comum. Eles são transmitidos pelas partículas da corda. Uma vai passando pra outra, por assim dizer.

No entanto, no caso de uma onda estacionária, existem os nodos e os nodos não se movem.

Então, eles meio que bloqueiam o transporte normal de energia.

Assim, não há propagação de energia ou de momento numa onda estacionária.

A energia em uma onda estacionária está presa no espaço.

Potência

Como não tem propagação de energia nos nós e ventres, você já deve ter percebido que não vai ter taxa de energia passada de um ponto para o outro.

Logo, nos nós e ventres a potência é igual a 0 :

P v e n t r e = P n ó = 0

Vamos para os exercícios?

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Exercício Resolvido #1

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 144-40

Uma corda com 125 cm de comprimento tem uma massa de 2,00 g e um tensão de 7,00   N .

  1. Qual é a velocidade de uma onda nesta corda?
  2. Qual é a frequência de ressonância mais baixa desta corda?
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Passo 1

  1. Vamos aplicar aqui a relação entre velocidade, densidade linear e tensão:
  2. v = T μ

    μ = 0,002 1,25 = 0,0016

    v = 7 0,0016 = 66,14 m / s

    Passo 2

  3. Sabemos que a frequência de ressonância é calculada por:

f n = 2 n 4 v l

Como é pedida a mais frequência de ressonância mais baixa, usaremos o modo de vibração valendo 1 .

f n = 2 4 66,14   1,25

f n = 26,46   H z

Resposta

  1. 66,14 m / s
  2. f n = 26,46   H z

Exercício Resolvido #2

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 144-41

Para um fio com 10,0 m de comprimento, 100 g de massa e uma tensão de 250 N , determine, para as ondas estacionárias formadas:

  1. A menor frequência
  2. A segunda menor frequência mais baixa
  3. A terceira menor frequência .
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Passo 1

Vamos começar aplicando aqui a relação entre velocidade, densidade linear e tensão:

v = T μ

μ = 0,1 10 = 0,01

v = 250 0,01 = 158,11   m / s

Passo 2

Sabemos que a frequência de ressonância é calculada por:

f n = 2 n 4 v l

Vamos aplicar para cada item

  1. Na menor frequência, o modo será igual a 1( n = 1 ) . Logo:
  2. f 1 = 2 4 158,11 10

    f 1 = 7,9   H z

  3. Na segunda menor frequência, o modo será igual a 2
  4. f 2 = 4 4 v l = 15,81   H z

  5. Na terceira menor frequência, o modo será igual a 3

f 3 = 6 4 v l = 23,7   H z

Resposta

  1. 7,9   H z
  2. 15,81   H z
  3. 23,7   H z

Exercício Resolvido #3

UFF – Lista de Exercícios de Ondas - Questão 40

Quando uma massa M é amarrada à extremidade de um barbante longo e fino, suspenso pelo teto, a frequência do segundo harmônico do barbante é 200   H z . Acrescentando-se uma carga adicional de 1,0   k g à massa pendurada, a frequência do segundo harmônico aumenta para 245   H z . Qual é o valor de M ?

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Passo 1

Para determinar o valor de M , precisamos relacionar as duas frequências em função da massa. Temos que a frequência é dada por:

v = λ . f → f = v λ

Podemos relacionar a velocidade à tração:

v = T μ

Onde T é a tração e μ é a densidade linear da corda. Juntando as duas equações, temos:

f = T μ λ

Para a primeira situação, temos:

f 1 = M . g μ λ

Para a segunda situação, temos:

f 2 = ( M + 1 ) . g μ λ

Dividindo as equações, temos:

f 1 f 2 = M . g μ λ ( M + 1 ) . g μ λ

f 1 f 2 = M ( M + 1 )

Substituindo os valores, temos:

200 245 = M ( M + 1 )

0,666 = M M + 1

M ≈ 2,0 k g

Resposta

M ≈ 2,0 k g

Exercício Resolvido #4

UERJ, Física 2, Lista para P1, Lista de Ondas, Extra - 8

Uma corda de nylon de uma guitarra tem uma densidade linear de 7,2   g/m e está sob tensão 150   N . Os suportes fixos distam 90   cm . A corda vibra no trem de onda estacionário visto na figura a seguir.

Calcule:

a ) A velocidade

b ) O comprimento de onda

c ) A frequência das ondas componentes cuja superposição causa esta vibração

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Passo 1

Primeiro vamos resolver a a ) :

Encontrar a velocidade é simples nesse caso, pois temos a Tensão da corda e a sua densidade linear. A gente deve usar essa equação, então:

v = T μ

Sendo:

T = 150   N

μ = 7,2   g / m = 7,2 ⋅ 10 - 3   kg/m