Ondas Estacionárias

Teoria Completa

Introdução

Já brincou de pular corda?

Se por acaso a gente amarrar a corda em algum ponto fixo na parede e começar a movimentar ela pra cima e pra baixo, como ela vai se comportar?

Vamos dar uma olhada no esquema e imaginar o que acontece com a corda.

No primeiro momento você impulsiona a corda e ela vai fazer um movimento ondulatório na direção da parede.

Repara que o sentido da velocidade indica pra onde essa onda se propaga.

Após chegar na parede a onda vai ser refletida e voltar totalmente oposta a onda que saiu da pessoa pra parede, se liga:

E quando isso acontecer as duas ondas vão se chocar, e para algumas frequências específicas o choque dessas ondas vai resultar na seguinte onda:

Os nós vão ocorrer sempre nas extremidades das cordas e também nos encontros das ondas, como mostrado na figura, esses pontos tem a característica da amplitude do movimento ser 0.

Os ventres são os pontos máximos da onda estacionária onde a amplitude é máxima.

Esse tipo de onda tem a característica dos nós e ventres não se movimentarem ao longo do tempo, e por isso são chamadas de ondas estacionárias.

As frequências específicas que geram o fenômeno são conhecidas como frequências de ressonância e estudaremos elas mais pra frente, beleza?

Tá legal, mas e os cálculos?

Equacionando as ondas estacionárias

Vamos imaginar um exemplo de duas ondas indo em direções opostas como foi mostrado e cada uma tem a seguinte equação da onda:

y 1 = A s e n ( k x - ω t )

y 2 = A s e n k x + ω t

Ué, mas como eu sei que elas estão opostas?

Basta olhar pro sinal dentro do seno, se for negativo o sinal ela se desloca pro sentido positivo do eixo. Se for positivo o sinal ela se desloca pro sentido negativo do eixo.

A dica é lembrar que o sinal indica o sentido oposto do deslocamento ok?

Somando as duas ondas teremos:

y x , t = y 1 + y 2

y x , t = A s e n k x - ω t + A s e n ( k x + ω t )

y x , t = A s e n k x - ω t + s e n k x + ω t

Aplicando as duas identidades abaixo na equação de onda vamos conseguir uma equação melhor para ondas estacionárias.

s e n a + b = s e n a c o s b + s e n b c o s a

s e n a - b = s e n a c o s b - s e n b c o s a

E no exemplo temos exatamente a soma desses dois termos aí que vai nos dar a seguinte relação:

s e n a + b + s e n a - b = 2 s e n a c o s b

Então considerando que:

a = k x

b = ω t

Teremos a equação:

y x , t = 2 A s e n k x cos ⁡ ω t

Em frequências de ressonância o tempo não vai influenciar e a equação para ondas estacionárias será:

y x = 2 A s e n ( k x )

Repara que agora a onda pode ter uma amplitude muito maior já que fizemos a superposição de duas ondas.

Posição dos nós e Ventres

Vamos agora descobrir os pontos onde temos os nós, onde a amplitude é zero e os antinós ou ventres, onde teremos amplitude máxima.

De acordo com a equação da onda estacionária, vemos que a amplitude é zero para os valores em que sen ⁡ k x é zero. Ou seja:

k x = n π

Onde:

k = 2 π λ

Então substituindo k :

2 π λ x = n π

Temos enfim a equação da posição dos nós em função de λ .

x = n λ 2

Onde n = 0 ,   1 ,   2 …

Tá, mas quem vai ser λ nesse caso? É um comprimento de onda que é o comprimento da oscilação completa da onda.

Se a gente olhar a figura que usamos no inicio poderemos ver que entre dois nós tem o espaço de meio comprimento de onda, se liga:

Vamos fazer um teste com a equação da onda estacionária e ver se funciona o cálculo da posição dos nós.

Como k x = n π podemos reescrever a equação da amplitude em função de n .

y n = 2 A s e n n π

Quando n = 0 , estamos na extremidade da corda então temos:

y n = 0 = 2 A s e n 0 . π = 0

x = 0 . λ 2 = 0

Amplitude y =   0, posição x = 0 .

Vamos testar pra n = 1

y n = 1 = 2 A s e n π = 0

x = 1 λ 2

Amplitude y = 0 , posição x = λ / 2  

Isso mostra que a equação funciona pra encontrar a posição dos nós visto que a amplitude neles é zero.

Tá, mas e os pontos máximos, como encontrar?

Por sua vez, os pontos de máximo ocorrerão quando sin ⁡ k x = 1 , ou seja:

k x = n + 1 2 π

O máximo vai acontecer pra todo múltiplo de π / 2   que não é múltiplo de π .

Substituindo k :

2 π λ x = n + 1 2 π

E enfim isolando x temos:

x = n + 1 2 λ 2  

Onde n = 0 ,   1 ,   2 ,   … Os pontos de máximo, chamados de antinós, também distam λ 2 , e estão situados nos pontos médios de nós vizinhos.

Vamos fazer um teste pra n = 1 e ver se no ventre encontramos o valor da amplitude máxima.

Reescrevendo a equação de onda estacionária pro ventre temos:

y n = 2 A s e n n + 1 2 π

Substituindo o valor de n = 1 :

y 1 = 2 A s e n 1 + 1 2 π

y 1 = - 2 A

Encontramos o valor negativo, mas o que nos interessa é o módulo da amplitude que deu 2 A .

Então temos um ponto de máximo mesmo, e agora podemos calcular sua posição:

x = 1 + 1 2 λ 2

x = 3 4 λ

Frequência de Ressonância

Para a mesma corda do início do texto, de comprimento L , teremos algumas formações possíveis de ondas estacionárias:

Cada desses casos são conhecidos como modos de vibração ou harmônicas.

O primeiro modo é chamado de modo fundamental ( n = 1 ), ou primeira harmônica.

Enumeramos esses modos de acordo com a figura:

Note que podemos calcular o comprimento de onda em função do comprimento total L :

Para n = 1 : λ 2 = L (Porque o modo ocupa todo o comprimento L )

Para n = 2 : λ = L

Para n = 3 : 3 λ 2 = L

Para n = 4 :         2 λ = L

E também conseguimos descobrir quantos nós e ventres teremos para cada harmônica:

Número de nós = n + 1

Número de ventres = n

Observação: Percebeu que cada “voltinha” de onda representa meio comprimento de onda, certo? No primeiro harmônico, por exemplo, λ 2 = L .

Assim:

L = n 2 λ

Como v = λ f , podemos calcular f da seguinte maneira:

f n = n 2 v L

onde f n é a frequência do enésimo modo de vibração.

Se liga aí no resumão!

Resumão

  • Ondas Estacionárias
  • y x , t = 2 . A . sen ⁡ k x . cos ⁡ ω t

    • Nós:
    • x = n . λ 2

    • Antinós ou Ventres:

    x = n + 1 2 λ 2

  • Frequência de Ressonância

f n = 2 n 4 v l

Energia, Momento e Potência em Ondas Estacionárias

Já estudamos a energia e o momento numa onda comum. Eles são transmitidos pelas partículas da corda. Uma vai passando pra outra, por assim dizer.

No entanto, no caso de uma onda estacionária, existem os nós e os nós não se movem.

Então, eles meio que bloqueiam o transporte normal de energia.

Assim, não há propagação de energia ou de momento numa onda estacionária.

A energia em uma onda estacionária está presa no espaço.

Potência

Como não tem propagação de energia nos nós e ventres, você já deve ter percebido que não vai ter taxa de energia passada de um ponto para o outro.

Logo, nos nós e ventres a potência é igual a 0 :

P v e n t r e = P n ó = 0

Vamos para os exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 144-40

Uma corda com 125 cm de comprimento tem uma massa de 2,00 g e um tensão de 7,00   N .

  1. Qual é a velocidade de uma onda nesta corda?
  2. Qual é a frequência de ressonância mais baixa desta corda?
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Passo 1

  1. Vamos aplicar aqui a relação entre velocidade, densidade linear e tensão:
  2. v = T μ

    μ = 0,002 1,25 = 0,0016

    v = 7 0,0016 = 66,14 m / s

    Passo 2

  3. Sabemos que a frequência de ressonância é calculada por:

f n = 2 n 4 v l

Como é pedida a mais frequência de ressonância mais baixa, usaremos o modo de vibração valendo 1 .

f n = 2 4 66,14   1,25

f n = 26,46   H z

Resposta

  1. 66,14 m / s
  2. f n = 26,46   H z

Exercício Resolvido #2

Halliday e Resnick, Fundamentos de Física, Volume 2, 8ª edição, Cap 16, pp 144-41

Para um fio com 10,0 m de comprimento, 100 g de massa e uma tensão de 250 N , determine, para as ondas estacionárias formadas:

  1. A menor frequência
  2. A segunda menor frequência mais baixa
  3. A terceira menor frequência .
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Passo 1

Vamos começar aplicando aqui a relação entre velocidade, densidade linear e tensão:

v = T μ

μ = 0,1 10 = 0,01

v = 250 0,01 = 158,11   m / s

Passo 2

Sabemos que a frequência de ressonância é calculada por:

f n = 2 n 4 v l

Vamos aplicar para cada item

  1. Na menor frequência, o modo será igual a 1( n = 1 ) . Logo:
  2. f 1 = 2 4 158,11 10

    f 1 = 7,9   H z

  3. Na segunda menor frequência, o modo será igual a 2
  4. f 2 = 4 4 v l = 15,81   H z

  5. Na terceira menor frequência, o modo será igual a 3

f 3 = 6 4 v l = 23,7   H z

Resposta

  1. 7,9   H z
  2. 15,81   H z
  3. 23,7   H z

Exercício Resolvido #3

UFF – Lista de Exercícios de Ondas - Questão 40

Quando uma massa M é amarrada à extremidade de um barbante longo e fino, suspenso pelo teto, a frequência do segundo harmônico do barbante é 200   H z . Acrescentando-se uma carga adicional de 1,0   k g à massa pendurada, a frequência do segundo harmônico aumenta para 245   H z . Qual é o valor de M ?

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Passo 1

Para determinar o valor de M , precisamos relacionar as duas frequências em função da massa. Temos que a frequência é dada por:

v = λ . f → f = v λ

Podemos relacionar a velocidade à tração:

v = T μ

Onde T é a tração e μ é a densidade linear da corda. Juntando as duas equações, temos:

f = T μ λ

Para a primeira situação, temos:

f 1 = M . g μ λ

Para a segunda situação, temos:

f 2 = ( M + 1 ) . g μ λ

Dividindo as equações, temos:

f 1 f 2 = M . g μ λ ( M + 1 ) . g μ λ

f 1 f 2 = M ( M + 1 )

Substituindo os valores, temos:

200 245 = M ( M + 1 )

0,666 = M M + 1

M ≈ 2,0 k g

Resposta

M ≈ 2,0 k g

Exercício Resolvido #4

UERJ, Física 2, Lista para P1, Lista de Ondas, Extra - 8

Uma corda de nylon de uma guitarra tem uma densidade linear de 7,2   g/m e está sob tensão 150   N . Os suportes fixos distam 90   cm . A corda vibra no trem de onda estacionário visto na figura a seguir.

Calcule:

a ) A velocidade

b ) O comprimento de onda

c ) A frequência das ondas componentes cuja superposição causa esta vibração

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Passo 1

Primeiro vamos resolver a a ) :

Encontrar a velocidade é simples nesse caso, pois temos a Tensão da corda e a sua densidade linear. A gente deve usar essa equação, então:

v = T μ

Sendo:

T = 150   N

μ = 7,2   g / m = 7,2 ⋅ 10 - 3   kg/m

Temos:

v = T μ   → v = 150 7,2 ⋅ 10 - 3 ≅ 144,3   m / s

Pronto! Vamos usar essa informação também na c ) .

Passo 2

b )

Como a onda é estacionária, a gente pode usar a relação:

L = n λ 2

Onde L é comprimento total do fio. Isolando λ :

λ = 2 L n

Como são 3 picos, ou 3 metades de onda, n = 3 .   Além disso, o enunciado nos diz que L = 90   cm = 0,9   m . Substituindo:

λ = 2 ⋅ 0,9 3 = 0,6   m

Passo 3

c)

Nas letras anteriores a gente conseguiu achar o v ! Agora, queremos a frequência, por isso vamos utilizar esse valor na equação:

f n = n v 2 L

Aplicando o valor de v e n :

f n = n v 2 L → f 3 = 3 ⋅ 144,3 2 ⋅ 0,9 = 240,5   Hz

Resposta

Resposta:

a ) 144,3   m / s

b ) 0,6   m

c )   240,5   Hz

Exercício Resolvido #5

UFRJ, Física 2, Prova 2, 2013.1 – M08

Enquanto a corda de uma guitarra está vibrando, você toca levemente em um ponto que se situa na metade da corda para garantir que a corda não vibra naquele ponto. Que modos normais NÃO podem estar presentes na corda enquanto você a segura assim?

  1. Todos os modos vão estar presentes.
  2. Todos os modos com número par de nodos.
  3. Todos os modos com número ímpar de nodos.
  4. Somente o modo fundamental pois tem nodo no centro
  5. Somente o terceiro modo pois não tem nodo no centro.
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Passo 1

Quando temos uma corda presa por dois pontos podemos ter uma quantidade inteira positiva de nodos. Então, entre um extremo da corda e seu dedo será igual tanto pela direita como pela esquerda já que a onda deve ser simétrica, então temos

nodo s direita = n

nodo s esquerda = n

nodo s totais = n + n + 3

nodo s totais = 2 n + 3

Teremos então só nodos ímpares, e não poderemos ter nodos pares.

Resposta

Letra B

Exercício Resolvido #6

USP, Física 2, Prova 2, 2013 – Questão 3

A taxa de transferência de energia por uma onda ao longo de uma corda (a potência instantânea) é dada por:

P x , t = - F . ∂ y x , t ∂ x . ∂ y x , t ∂ t                                                                                                             ( 1 )

Onde F é a tensão.

  1. Usando a expressão (1), obtenha P ( x , t ) para uma onda estacionária dada por:
  2. y x , t = A s e n k x cos ⁡ ω t                                                                                                                 ( 2 )

  3. Calcule a potência média por período P m e d transportada pela onda para todo o   x .
  4. Para uma onda estacionária dada pela expressão (2), faça gráficos de P ( x , t ) e do deslocamento y ( x , t ) em função de x para: t = 0 , t = π 4 ω , t = π 2 ω , e t = 3 π 4 ω .
  5. Qual o valor da potência instantânea nos nós e nos ventres da onda?
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Passo 1

a)

Bom, aqui a gente só precisa calcular as duas derivadas parciais da fórmula e fazer o produto entre elas. F é a tensão da corda, então vamos considerá-la como um dado do problema. Assim:

Derivando a expressão em relação ao tempo:

∂ y x , t ∂ t = - ω A s e n k x s e n ( ω t )

E em relação a x :

∂ y x , t ∂ x = k A c o s k x c o s ( ω t )

Logo:

P = - F . ∂ y x , t ∂ x . ∂ y x , t ∂ t   →     P = - F ( - ω A s e n k x s e n ω t ) ( k A c o s k x c o s ω t ) )

Bom, o produto vai dar positivo. Arrumando isso:

P = F k ω A 2 ( cos ⁡ k x s e n k x ) ( c o s ω t s e n ω t )

Usando a expressão:

s e n 2 θ = 2 s e n θ cos ⁡ θ → s e n θ cos ⁡ θ = s e n 2 θ 2

Vamos usar isso pra cos ⁡ k x s e n k x e c o s ω t s e n ω t :

P = 1 4 F A 2 ω k . ( s e n 2 k x sen ⁡ 2 ω t )

Passo 2

b)

O valor médio tem uma dependência temporal, certo? Então, olhando pra expressão da potência, nós podemos concluir que a potência média vai depender do termo da expressão que depende do tempo, ou seja, sen ⁡ 2 ω t .

E qual o valor médio disso?

Bem, sen ⁡ 2 ω t é uma função senoidal, logo tem valor 0 em um período como o valor médio. (Lembra, o seno varia de - 1 a 1, entre eles fica o 0 ).

Logo, a potência média será:

P m e d = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x ( sen ⁡ 2 ω t = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x . 0 = 0

Passo 3

c)

Pra t = 0 :

y x , 0 = A s e n k x

E:

P x , t = 0 = P m e d

Logo o gráfico normalizado será:

Onde a linha contínua representa y ( x , 0 ) e pontilhada a potência.

Para t = π 4 ω :

y x , π 4 ω = A s e n k x cos ⁡ ω π 4 ω = A s e n k x cos ⁡ π 4 = 2 2 A s e n k x

E a potência:

P x , π 4 ω = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x ( sen ⁡ 2 ω . π 4 ω = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x ( sen ⁡ π 2 = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x

Logo:

Para t = π 2 ω :

y x , π 2 ω = A s e n k x cos ⁡ ω π 2 ω = A s e n k x cos ⁡ π 2 = 0

E a potência:

P x , π 2 ω = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x ( sen ⁡ 2 ω . π 2 ω = 0

Logo:

Pra t = 3 π 4 ω :

y x , 3 π 4 ω = A s e n k x cos ⁡ ω 3 π 4 ω = A s e n k x cos ⁡ 3 π 4 = - 2 2 A s e n k x