Pulso Não-Harmônico

Teoria Completa

Vimos até aqui ondas se propagando na corda de maneira harmônica, seguindo a equação geral com as funções seno e cosseno. Mas será que existe algo diferente disso?

Sim! O enunciado pode dar uma equação que pode representar um pulso e não uma onda.

Essa equação pode ser do tipo:

y = f ( x , t )

Existem algumas coisas que podem ser pedidas a partir dessa equação, são elas:

  • O pulso, ou seja, y , quando t = 0 ;
  • A velocidade de propagação do pulso;
  • A velocidade transversal de um dado ponto x da corda em um instante t .

Cálculo do pulso

Calcular o pulso quando t = 0   é simples. Basta substituir a variável t por zero e obter a equação y ( x , 0 ) , ok?

Aí se ele pedir o gráfico de y em função de x , basta encontrar os valores da função quando:

x = 0

x → ∞

x → - ∞

E teremos os valores para esboçar o gráfico.

Cálculo da velocidade de propagação

Já para o cálculo da velocidade de propagação, temos que fazer uma mudança de referencial. Vamos para um referencial que se move com a mesma velocidade de propagação do pulso.

Com isso, a gente começa a analisar um pulso parado, né? Se liga:

Vamos fazer um exemplo.

Se a função de um pulso variando com x e t é dada por:

y x , t = a a + x - 3 u t 2

Para mudar de referencial, temos que mudar a variável x para uma nova variável x 1 , tal que a função y ( x , t ) se transforme em y ( x 1 ) .

No nosso exemplo, é necessário que o termo 3 u t desapareça, então:

x = x 1 + 3 u t

O que resultaria em:

y x ' = a a + x 1 2

E essa última equação é a que descreve o pulso estacionário, no referencial O ' .

Portanto, a equação que relaciona x e x 1 nos dá a velocidade com que o referencial O ' está se movendo. Como essa velocidade de O ' é igual a velocidade de propagação v da onda, temos:

v = 3 u

Para descobrir o sentido da propagação, se liga no bizu:

  • Se x = x 1 + v t → O x negativo;
  • Se x = x 1 - v t → O x positivo.

Cálculo da velocidade transversal

Por último, temos o terceiro item, que nos pede a velocidade transversal de um ponto x em um instante t . Não tem mistério! Basta derivar parcialmente a equação do pulso em função de t .

Vamos usar o exemplo do item anterior:

y x , t = a a + x - 3 u t 2

Derivando parcialmente:

v y = ∂ y ( x , t ) ∂ t → v y = - a . 2 x - 3 u t .   - 3 u a + x - 3 u t 2 2

v y = x - 3 u t 6 a u a + x - 3 u t 2 2

Algumas contas aqui podem ficar difíceis, portanto, é essencial que você pratique. Bora lá!

Expandir

Exercício Resolvido #1

USP-P1-2014.1-Q11- letras a, b, c.

Um pulso, se movendo em uma corda esticada com tensão T , é descrita pela função de onda:

y x , t = b 3 b 2 + 2 x - u t 2

  1. Faça um gráfico de y x , 0 b como função de x b .
  2. Qual o valor da magnitude da velocidade de propagação do pulso e sua direção?
  3. Calcule a velocidade transversal de um dado ponto x da corda num instante t .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Bom, aqui nós vamos ter que primeiro fazer uma manipulação de variáveis pra encontrar a nossa função y x , 0 b :

y x , t = b 3 b 2 + 2 x - u t 2 → y x , 0 = b 3 b 2 + 4 x 2

Isolando b 2   no denominador e no numerador:

y x , 0 = b 2 b 2 b 1 + 4 x b 2 = b 1 + 4 x b 2

y x , 0 b x b = 1 1 + 4 x b 2

Se a gente fizer x b = 0 , vamos obter o valor 1. Se a gente fizer x b tender ao infinito, a função tende a zero, assim como se a gente fizer tender a menos infinito.

Logo, o gráfico da função fica:

Passo 2

b)

y x , t = b 3 b 2 + 2 x - u t 2

Se a gente considerar um observador O ' se movendo na mesma direção do pulso e com a mesma velocidade que ele, esse observador o veria parado, certo? Ou seja, sem dependência temporal.

Se a gente reescrever a função do pulso excluindo a parte que funciona como uma função do tempo (no caso - u t ) , podemos escrever:

y ' x ' , t ' = y ' x = b 3 b 2 + 4 x ' 2

Legal...Mas e daí?

Bom, agora a gente tem que pensar em como fizemos essa transformada. Se a gente tomar:

x = x ' + u t 2

E depois substituir na equação original:

b 3 b 2 + 2 x - u t 2 = b 3 b 2 + 2 x ' + u t 2 - u t 2 = b 3 b 2 + 4 x ' 2

Que é a equação do pulso parado.

Só que a equação x = x ' + u t 2 é justamente a equação de um móvel se movendo com velocidade u 2 na direção positiva do eixo x .

Logo, como estávamos supondo que esse observador estava se deslocando na mesma velocidade que o pulso, a velocidade do pulso será:

v = u 2

Passo 3

c)

Bom, pra se calcular a velocidade transversal de um ponto na corda num instante t qualquer, a gente precisa derivar parcialmente a função y ( x , t ) em relação a t . Ou seja:

v y = ∂ y x , t ∂ t = ∂ ∂ t b 3 b 2 + 2 x - u t 2 = 2 b 3 2 x - u t u b 2 + 2 x - u t 2 2

Isso acontece porque a gente ‘congela’ um x qualquer e apenas varia o tempo dele, ou seja, o ponto x passa a se mover pra cima e pra baixo, apenas transversalmente.

Resposta

  1. y x , 0 b x b = 1 1 + 4 x b 2
  2. v = u 2
  3. 2 b 3 2 x - u t u b 2 + 2 x - u t 2 2

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