Reflexão e Inversão de Pulsos em Corda

Teoria Completa

Reflexão e Inversão de Pulsos em Corda

E agora, vamos dar uma olhada em como as ondas se comportam.

A primeira coisa que vamos ver aqui é como as ondas são refletidas quando chegam a uma extremidade do meio.

É comum também considerarmos apenas um pulso, ou seja, uma única perturbação que se desloca, de tal forma:

Então vamos ver os tipos de extremidade, que são dois: extremidade fixa e extremidade livre.

  1. Extremidade fixa:
  2. O pulso é refletido com amplitude invertida. Dizemos, neste caso, que o pulso inverteu de fase:

    Ou seja: o pulso volta de cabeça pra baixo.

  3. Extremidade livre:

Só muda a direção da velocidade do pulso. Dizemos, neste caso, que o pulso manteve a mesma fase:

Nesse caso, o pulso volta do mesmo jeito que foi.

Usando a equação de onda em problemas de reflexão

Em alguns casos, a gente vai precisar usar o conceito de equação de onda se relacionando com reflexão.

Lembra da equação diferencial da onda?

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2 →   ∂ 2 y ∂ x 2 - 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2 = 0

Então, vimos que ela tem uma solução geral, que é assim:

y x , t = f x - v t + g x + v t

Onde f e g são funções quaisquer. Beleza? Bom, mas pra que usamos isso?

Vamos fazer um exemplo:

A onda de equação g ( x + v t ) está se propagando em uma corda homogênea. Em x = 0 , essa corda tem uma extremidade fixa. Escreva a equação da onda refletida.

Solução:

Em x = 0 , existe um nó, já que ali que os pulsos da onda se invertem. Assim, podemos dizer que:

y 0 , t = 0

Além disso, como o enunciado te deu g ( x + v t ) , você precisa encontrar a f ( x - v t ) , que retrata a onda refletida, que vai se somar com a onda que tá vindo, retratada por g ( x + v t ) .

Antes da reflexão, não existia essa parcela de equação que retrata a onda refletida.

Era como se:

f x - v t = 0

Então:

y x , t = f x - v t + g x + v t

y 0 , t = f - v t + g v t = 0

f - v t = - g v t

Beleza? Mas como o produto de uma velocidade pelo tempo nos dá uma distância, podemos fazer a seguinte mudança:

x ' = - v t

Então:

f x ' = - g - x '

Agora, fazendo mais uma mudança de variável:

x ' = x - v t

Então:

f x - v t = - g - x - v t

f x - v t = - g - x + v t

E pronto! A solução é:

y r e f l e t i d a x , t = - g - x + v t

Pulso passando de uma corda pra outra

Agora vamos ver um ultimo caso, que é quando um pulso passa de uma corda para outra de material diferente.

Vamos imaginar primeiro a seguinte situação: um pulso passando para uma corda com densidade linear de massa maior que a anterior.

E agora o que vai acontecer?? Então, nesse caso, o pulso inverterá a sua fase (como se tivesse uma extremidade fixa!)

Beleza! Mas e se o contrario acontece? E se o pulso passa para uma corda com densidade linear de massa menor que a anterior?

Bom, nesse caso não tem inversão de fase!

Era isso que eu tinha pra falar pra você! Bora pros exercícios agora?

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Exercício Resolvido #1

UFRJ, Física 2, Prova 2, 2014.1 – Questão M01

Dois pulsos de formas diferentes se propagam com velocidade v numa corda esticada de comprimento L . A corda tem sua extremidade esquerda fixa num suporte, mas a extremidade da direita pode oscilar livremente. Num dado instante a situação da corda é aquela mostrada na figura. Esta EXATA situação irá se repetir exatamente após um intervalo de tempo mínimo dado por:

  1. Δ t = L / v
  2. Δ t = 2 L / v
  3. Δ t = 3 L / v
  4. Δ t = 4 L / v
  5. Δ t = 6 L / v
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Passo 1

Vamos ver como fica cada momento refletindo nos dois pontos, o da direita não muda a fase, enquanto o da esquerda inverte.

No início temos a figura da questão, depois fica

Da primeira para a segunda ele anda L , da segunda para a terceira de novo L , e assim por diante, até ir da quarta para a quinta, que é a posição inicial.

Isso resulta em:

Δ S = L + L + L + L = 4 L

Vamos ter:

v = Δ S Δ t

v = 4 L Δ t

Δ t = 4 L v

Resposta

Letra D

Exercício Resolvido #2

Uma onda é enviada por uma corda homogênea presa pela extremidade da direita. O perfil instantâneo da onda está ilustrado na figura abaixo.

Identifique o perfil instantâneo da mesma onda depois que ela se reflete na extremidade direita da corda.

a)

b)

c)

d)

e)

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Passo 1

Como a extremidade é fixa, o pulso é refletido com amplitude invertida. Além disso, o ponto que chegou primeiro à extremidade direita, presa, é o primeiro ponto a voltar. Consequentemente o último a chegar é o último a voltar.

A resposta que é mais se adéqua a essas duas coisas é a da A.

Resposta

Letra A.

Exercício Resolvido #3

A figura mostra duas fotografias de um pulso numa corda feita de dois materiais diferentes, unidos por uma junção indicada pela linha pontilhada. A fotografia superior foi tirada antes do pulso gerado à esquerda atingir a junção e a fotografia inferior, num instante posterior à chegada do pulso à junção.

Pode-se concluir que:

a) O comprimento de onda do pulso transmitido é menor que aquele da onda refletida.

b) O material à direita da junção é mais denso que o à esquerda.

c) A junção atua como uma extremidade fixa.

d) O material à esquerda da junção é mais denso que o à direita.

e) A situação é fisicamente impossível, já que os pulsos incidente e refletidos devem ter a mesma altura.

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Passo 1

Se o pulso refletido tem a orientação oposta ao pulso incidente então a corda de onde veio o pulso tem densidade linear de massa menor.

Se o pulso refletido tem a mesma orientação que o pulso incidente então a corda de onde veio o pulso tem densidade linear de massa maior.

Assim como o pulso refletido tem a mesma orientação que o pulso incidente a corda à esquerda tem densidade de massa maior.

Resposta

Letra (D)

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Física 2, Prova 2, 2015.1 – Questão 3

Considere uma onda dada por f ( x - v t ) que atinge a extremidade de uma corda, fixa em x = 0 . Neste caso, qual é a forma da onda refletida?

  1. y r = f ( - x - v t )
  2. y r = f ( - x + v t )
  3. y r = - f ( + x - v t )
  4. y r = - f ( - x - v t )
  5. y r = f ( x + v t )
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Passo 1

Bom, galera, aqui a gente vai ter que usar o conceito de solução geral da equação de onda unidimensional:

∂ 2 y x , t ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 y x , t ∂ t 2

A solução geral é:

y x , t = f x - v t + g x + v t

O que vamos fazer aqui? Bem, o enunciado nos deu uma função parecida com a primeira equação acima. A nossa missão é achar a outra:

g x + v t

No entanto, vamos prestar atenção numa coisa. Antes que a onda bata lá em x = 0 , nós consideramos que:

g x + v t = 0

Vamos lá.

Passo 2

Bom, a onda inverte a sua fase em x = 0 .:

Então, ali y 0 , t = 0 .

Show? Então vamos escrever:

y 0 , t = 0

y 0 , t = f - v t + g v t = 0

g v t = - f ( - v t )

Passo 3

Beleza?

Bom, mas o produto de uma velocidade com tempo nos dá uma distância, certo? Então podemos fazer isso:

x ' = v t

Então:

g x ' = - f ( - x ' )

Ok. Mas as equações acima são funções. Então podemos usar mudança de variáveis ali.

Como queremos encontrar o valor de:

g x + v t

Podemos chamar:

x ' = x + v t

Assim:

g x + v t = - f - x - v t

Pronto (:

d)

Resposta

d)

Exercício Resolvido #5

Um pulso que se propaga com velocidade de v = 30 m/s numa corda de comprimento L   =   2 00   m com a extremidade x = L fixa é descrito pela função y ( x ,   t )   =   y 0 e - ln ⁡ a x - v t 3 , onde y 0 = 15 cm e a = 8,0 m - 3 . A função que representa o pulso refletido em um instante t logo após sua primeira reflexão em x = L é:

a)   y x , t - y 0 e - ln ⁡ a x + v t + 2 L 3

b)   y x , t y 0 e - ln ⁡ a - x - v t + 2 L 3

c)   y x , t = - y 0 e - b ( L - x - v t ) 3

d)   y x , t - y 0 e ln ⁡ a x + v t - 2 L 3

e)   y x , t - y 0 e - ln ⁡ a - x - v t + 2 L 3

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Passo 1

Antes de sair explicando, um parênteses....(expressão um pouco assustadora essa y ( x ,   t )   =   y 0 e - ln ⁡ a x - v t 3 , né?)

Bom, mas não se assuste, jovem...Vamos ver que a questão é bem tranquilinha

Vamos chamar a nossa onda assustadora y ( x ,   t )   =   y 0 e - ln ⁡ a x - v t 3 de uma f ( x - v t ) . Por que isso? Só porque identificamos esse termo na expressão, beleza?

Show de bola...Sendo assim, a onda refletia será uma função g ( x + v t ) , certo? Uma função de onda qualquer, mas com sinal positivo no v t porque ela ta se propagando no sentido contrário da onda original.

A onda que tá se propagando na corda é do tipo:

y x , t = g x + v t + f ( x - v t )

Veja que antes da reflexão do pulso:

g x + v t = 0

Então:

y x , t = f ( x - v t )

Beleza! Como a extremidade L é fixa, vamos ter, depois da reflexão:

y L , t = g L + v t + f L - v t = 0