Tubos Sonoros

Teoria Completa

Introdução

Veremos agora como as ondas sonoras se comportam em tubos.

Podemos produzir uma onda estacionária a partir da superposição de ondas que se propagam em sentidos opostos no tubo. Os comprimentos de onda para os quais isso acontece são relacionados às frequências de ressonância, que veremos a seguir.

Existem dois tipos: os tubos abertos e os tubos fechados.

Vamos ver, agora, cada um deles.

Tubo Aberto

O que você precisa entender?

Num tubo aberto, a onda sempre apresenta amplitudes máximas nas extremidades:

Faz sentido, não é? Ela ocupa todo o espaço aberto do tubo.

Aqui sempre vamos ter um número inteiro de meios comprimento de onda ( λ / 2 , 2 λ / 2 , 3 λ / 2 , ...)

Então, nesse caso, podemos verificar que as frequências de ressonância são dadas pela seguinte fórmula:

f n = 2 n 4 v l

onde n = 1,2 , 3 . . . ; l é o comprimento do tubo e v a velocidade da onda.

Você pode também ouvir alguém se referenciar a n como o número do harmônico. Ainda, o primeiro harmônico, ou seja, quando n = 1 , é muitas vezes chamado de modo fundamental. O primeiro harmônico corresponde a n = 1 , o segundo a n = 2 , o terceiro a n = 3 , etc.

Cada “encontro” das curvas são os chamados nós.

Observação 1:

Você pode estar se perguntando: por que não simplificar o 2 , no numerador, com o 4 no denominador? Vamos ver agora o porquê disso nos tubos fechados.

Tubo Fechado

No tubo fechado, existe uma extremidade aberta e uma fechada.

Na aberta, a onda apresenta amplitude máxima e, na fechada, a amplitude é mínima:

Aqui sempre vamos ter um número ímpar de quartos de comprimento de onda ( λ / 4 , 3 λ / 4 , 5 λ / 4 , ...)

Nesse caso, a frequência é dada por:

f n = 2 n - 1 4 v l

Isso para n = 1 ,   2 ,   3 ,   4 , …

Nesse caso o primeiro harmônico corresponde a n = 1 , o segundo a n = 2 , o terceiro a n = 3 , etc.

Ou:

f n = 2 n + 1 4 v l

Para n = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 , …

Nesse caso o primeiro harmônico corresponde a n = 0 , o segundo a n = 1 , o terceiro a n = 2 , etc.

Observação 2:

Ambas as fórmulas, com 2 n - 1 e 2 n + 1 estão corretas! A diferença entre elas é o valor do n . Note que, se usamos a fórmula com 2 n - 1 , o valor de n nunca pode ser zero. Colocamos as duas fórmulas aqui e você escolhe qual usar, dependendo do que for conveniente na hora do exercício.

Entendeu agora por que é conveniente deixar a fórmula do tubo aberto daquele jeito?

É só lembrar que, na frequência do tubo fechado, temos que subtrair um, pois fechamos uma extremidade.

Observação 3:

É comum aparecer exercícios em que um recipiente vai sendo preenchido por um líquido até que o som é amplificado. Isso acontece sempre que se atinge um dos modos, como podemos ver na figura:

Quando isso acontece, dizemos que há ressonância, como em MHS (pois a amplitude máxima).

Observação 4:

Um tipo de questão muito comum é aquele que faz afirmações do tipo:

“O deslocamento é máximo na extremidade do tubo aberto pois há um nodo da onda de pressão neste ponto.”

Ou seja, existe sempre uma afirmação, relativa à extremidade do tubo, relacionando um máximo de deslocamento com um nó de pressão, ou vice e versa.

Como analisar isso?

Bom, a gente pode analisar dois tipos de sistema: a extremidade de um tubo que está aberta pra atmosfera e a extremidade de um tubo que está fechada pra atmosfera.

Extremidade aberta pra atmosfera

Bom, você acha que a pressão da atmosfera, de uma forma geral, oscila? NO!

Ela não oscila, sempre consideramos a pressão atmosférica como sendo P ≅ 10 5 P a .

E é por isso que, nesse caso, dizemos que existe um nó de pressão na parte aberta do tubo!!! Afinal de contas, a função:

p x , t = B k A s e n ( k x - ω t + φ )

Descreve uma oscilação! Essa função se anula nas proximidades da atmosfera:

p x a t m , t = 0

E quanto ao deslocamento? O deslocamento é máximo! Por quê? Oras, porque a função p ( x , t ) é uma função regida pelo seno. Já a função do deslocamento é regida pelo cosseno:

u x , t = A c o s k x ∓ ω t + φ

E sabemos que a defasagem entre uma função seno e cosseno é dada por π 2 . Assim, quando a função seno se anula, como em 0 , a função cosseno tem um máximo:

s e n 0 = 0 → cos ⁡ 0 = 1

Então, quando a p ( x , t ) se anula, a função u ( x , t ) tem um máximo.

Extremidade fechada pra atmosfera:

Esse é o caso inverso. Se a gente olhar pra formação básica da onda de deslocamento em um tubo:

A gente percebe que nas proximidades de uma parede sólida, o deslocamento do ar é nulo, surge um nó.

Assim, o deslocamento tem um nó próximo das extremidades fechadas. Pela analogia das funções seno e cosseno que vimos, podemos dizer que ali existe um máximo de pressão.

Assim:

E x t r e m i d a d e   F e c h a d a   →     N ó   d e   D e s l o c a m e n t o + M á x i m o   d e   P r e s s ã o

  E x t r e m i d a d e   A b e r t a → N ó   d e   P r e s s ã o + M á x i m o   d e   D e s l o c a m e n t o

Os exercícios desse tipo têm métodos muito semelhantes, baseados somente no uso das fórmulas de deslocamento e pressão. BORA PRATICAR!

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Exercício Resolvido #1

UNICAMP-Questão 3 - P2.2012 (Noturno)

Um pequeno alto-falante é alimentado por um oscilador de áudio com uma frequência que varia de 1000   H z a 2000   H z . Um tubo cilíndrico tem 50   c m de comprimento e as duas extremidades abertas, e é colocado próximo ao alto-falante. A velocidade do som no ar no interior do tubo é 340   m / s . Para quais frequências o som do alto-falante produz ressonância no tubo?

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Passo 1

Se as duas extremidades são abertas, vamos usar a equação:

f n = n V 2 L = n 340 2 x 0,5 = 340 n

Vamos usá-la pra descobrir as frequências normais do tubo.

Para n = 3 :

f n = 340 x 3 = 1020 H z

n = 4 :

f 4 = 1360 H z

n = 5 :

f 5 = 1700 H z

E para n = 6 e maiores, as frequências saem da faixa dos alto-falantes. Logo, são essas as frequências de ressonância.

Resposta

Frequências:

1020 H z

1360 H z

1700 H z

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 2 : ondas, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, Cap 17, Problema 41

No tubo A , a razão entre a frequência de um certo harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1,2. No tubo B , a razão entre a frequência de um certo harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1,4 . Quantas extremidades abertas existem (a) no tubo A e (b) no tubo B ?

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Passo 1

Conhecemos as fórmulas dos tubos abertos e fechados:

  • Aberto:
  • f n = 2 n 4 v l

    n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

  • Fechado:

f n = 2 n - 1 4 v l

n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Como queremos a frequência de harmônicos sucessivos temos, primeiro para tubos abertos (duas extremidades abertas):

f n + 1 f n = 2 ( n + 1 ) 2 n → f n + 1 f n = 1 + 2 2 n = 1 + 1 n

Já para tubos fechados (uma extremidade aberta):

f n + 1 f n = 2 n + 1 - 1 2 n - 1 → f n + 1 f n = 1 + 2 2 n - 1 = 1 + 1 n - 1 2

Passo 2

a)

Agora vamos analisar o 1º caso. No tubo A , a razão entre as frequências sucessivas deu 1,2 . Em qual das expressões que encontramos acima nós podemos variar n , que é um inteiro, de forma que a razão dê 1,2 ? Vamos ver:

Se o tubo A for aberto:

1,2 = 1 + 1 n → 1 n = 0,2 → n = 10 2 = 5

Mas se o tubo for fechado, teremos:

1,2 = 1 + 1 n - 1 2

1 n - 1 2 = 1 5

n = 11 2 = 5,5

Como n tem que ser um inteiro, o tubo tem que ser aberto!

Passo 3

b) Já no tubo B , temos que a razão entre as frequências é de 1,4 . Vamos testar primeiramente para o tubo aberto em uma única extremidade:

1,4 = 1 + 1 n - 1 2 → n - 1 2 = 10 4 → n = 5 2 + 1 2 → n = 3

Pronto! n deu inteiro. Concluímos então que o tubo B possui apenas uma extremidade aberta.

Resposta

  1. Duas extremidades abertas
  2. Uma extremidade aberta

Exercício Resolvido #3

USP-P1-2014.1-Q5

A figura mostra uma “‘flauta” simplificada, com a extremidade D aberta. Há também uma grande abertura em A (próxima ao bocal) e dois orifícios em B e C , tais que A B = B D e B C = C D . Sabe-se que A D = 34   c m e que a velocidade do som é v = 340   m / s . Qual a frequência que se espera ouvir ao soprar a flauta com o dedo tapando B ?

  1. 20 H z
  2. Não há como excitar uma onda no tubo, já que A e D estão à mesma pressão externa.
  3. 2,5 k H z .
  4. 2 k H z .
  5. 500 H z .
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Passo 1

Bom galera, eu sei que é tentador tentar aplicar essa equação aqui nessa questão:

f n = 2 n 4 v l

Mas não é por ai. Nós vamos resolver esse problema apenas lembrando das ondas de pressão que causam o som, além da geometria da flauta.

Passo 2

Bom, os pontos D e C   estão em contato direto com a atmosfera, ou seja, representam nós de pressão. Mas a gente sabe que a onda que se forma dentro de um tubo sonoro é uma onda estacionária e que, no estado fundamental, a distância entre dois nós é dada por λ 2 .

Ou seja, B C = λ 2 .

E quanto vale B C ?

O enunciado nos diz que A B = B D e que B C = C D . Se A D = 34   c m , então B D = A B = 34   c m 2 = 17 c m e B C = C D = 17   c m 2 = 8,5   c m .

Logo:

λ = 2 B C = 17   c m

Passo 3

Agora fica fácil. Já temos o comprimento de onda e a velocidade do som. Vamos achar a frequência usando:

v = λ f → f = v λ = 340 17 × 10 - 2 = 2   k H z  

Resposta

d)

Exercício Resolvido #4

UNICAMP-Questão 3 - P2.2010 Noturno

Um tubo A , que possui 1,5   m de comprimento e é aberto em suas duas extremidades, vibra na sua terceira frequência harmônica mais baixa. Outro tubo B , de comprimento L , é fechado em uma de suas extremidades e vibra em sua segunda frequência harmônica mais baixa. As frequências dos tubos A e B coincidem. Dado: v s o m = 340   m / s .

  1. Encontre as posições do tubo A em que estão os nós de deslocamento.
  2. Encontre o comprimento L do tubo B .
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Passo 1

a)

Bem, aqui a gente vai precisar usar a fórmula que relaciona o L