Tubos Sonoros

Teoria Completa

Introdução

Já reparou como o flautista manipula o som emitido pela flauta?

Basta colocar um dedo em um dos furos da flauta e o som emitido já sai diferente de antes. Mas por que o som muda só com esse ato de tapar um furo?

Quando o flautista tapa um furo o comprimento de onda do som dentro da flauta muda, mudando também a sua frequência e por isso ouvimos um som diferente.

A flauta é um tipo de tubo sonoro e existem dois tipos de tubos: os tubos abertos e os tubos fechados, bora aprender sobre eles?

Tubo Aberto

O que você precisa entender?

As ondas formadas nos tubos sonoros são resultado de uma superposição de ondas em frequências de ressonância. Onde as ondas se encontram temos os nós e nos pontos de máximo temos as amplitudes máximas.

Num tubo aberto, a onda sempre apresenta amplitudes máximas nas extremidades e a configuração das ondas em frequência de ressonância no tubo muda com o número harmônico n que é exatamente a quantidade de nós formados no tubo.

O primeiro caso pode ser chamado de harmônico fundamental ou primeiro harmônico ( n = 1 ) , e a partir disso segundo harmônico ( n = 2 ) e por aí vai.

Além do número de nós podemos olhar quantos comprimentos de onda temos no tubo, lembrando que o comprimento de onda vai de um ponto máximo até o outro da mesma onda.

Olhando para as figuras podemos ver que para n = 1 , temos dentro do tubo apenas meio comprimento de onda, e podemos dizer que o comprimento do tubo é:

l = λ 2

E a cada nó novo, temos dentro do tubo mais meio comprimento de onda.

A partir disso, podemos escrever o comprimento do tubo em função do comprimento de onda e do número de nós n :

l = n λ 2

Então, nesse caso, podemos verificar que as frequências de ressonância são dadas pela seguinte fórmula:

f n = 2 n 4 v l

onde n é o número harmônico ou número de nós, l é o comprimento do tubo e v a velocidade da onda.

Ué, mas porque não simplificamos o 4 e o 2 na equação? Depois de explicar tubos fechados a gente conversa sobre isso, beleza?

Tubo Fechado

No tubo fechado, existe uma extremidade aberta e uma fechada.

Na aberta, a onda apresenta amplitude máxima e, na fechada, a amplitude é mínima e também é um nó.

Da mesma forma que no tubo aberto o número de nós representa o harmônico:

Aqui sempre vamos ter um número ímpar de quartos de comprimento de onda ( λ / 4 , 3 λ / 4 , 5 λ / 4 , ...)No tubo fechado a relação do comprimento l do tubo com os comprimentos de onda ficará então:

l = n λ 4

Onde n é o número de nós no tubo ou número harmônico.

Nesse caso, a frequência é dada por:

f n = 2 n - 1 4 v l

Isso para n = 1 ,   2 ,   3 ,   4 , …

Nesse caso o primeiro harmônico corresponde a n = 1 , o segundo a n = 2 , o terceiro a n = 3 , etc.

Entendeu agora por que é conveniente deixar a fórmula do tubo aberto daquele jeito?

É só lembrar que, na frequência do tubo fechado, temos que subtrair um, pois fechamos uma extremidade.

Na prática

Pra gente aprender legal vamos calcular essas tais frequências de ressonância pro tubo abaixo. Nesse caso vamos considerar que a velocidade do som se mantém pros dois casos v = 340 m / s .

Pro caso do tubo fechado temos o primeiro harmônico e podemos ver isso pelo número de nós n = 1 .

E a frequência de ressonância é:

f n = 2 n - 1 4 v l = 2 × 1 - 1 4 × 340 0,2 = 425 H z

E no caso do tubo aberto também temos o primeiro harmônico e podemos ver isso pelo número de nós n = 1 .

f n = 2 n 4 v l = 2 × 1 3 × 340 0,2 = 1133,33 H z

Comparando as frequências a gente observa que pro tubo aberto a frequência de ressonância é bem maior do que pro tubo fechado, pra uma mesma velocidade e mesmo harmônico.

Um outro tipo de questão muito comum é aquele que faz afirmações do tipo:

“O deslocamento é máximo na extremidade do tubo aberto pois há um nó da onda de pressão neste ponto.”

Ou seja, existe sempre uma afirmação, relativa à extremidade do tubo, relacionando um máximo de deslocamento com um nó de pressão, ou vice e versa.

Como analisar isso?

Bom, a gente pode analisar dois tipos de sistema: a extremidade de um tubo que está aberta pra atmosfera e a extremidade de um tubo que está fechada pra atmosfera.

Extremidade aberta pra atmosfera

Bom, você acha que a pressão da atmosfera, de uma forma geral, oscila? NO!

Ela não oscila, sempre consideramos a pressão atmosférica como sendo P ≅ 10 5 P a .

E é por isso que, nesse caso, dizemos que existe um nó de pressão na parte aberta do tubo!!! Afinal de contas, a função:

p x , t = ρ v ² k S m s e n ( k x - ω t )

Descreve uma oscilação! Essa função se anula nas proximidades da atmosfera:

p x a t m , t = 0

E quanto ao deslocamento? O deslocamento é máximo! Por quê? Oras, porque a função p ( x , t ) é uma função regida pelo seno.

Já a função do deslocamento é regida pelo cosseno:

y x , t = S m c o s k x ∓ ω t + φ

E sabemos que a defasagem entre uma função seno e cosseno é dada por π 2 . Assim, quando a função seno se anula, como em 0 , a função cosseno tem um máximo:

s e n 0 = 0 → cos ⁡ 0   = 1

Então, quando a p ( x , t ) se anula, a função y ( x , t ) tem um máximo.

O que faz sentido se olharmos para a onda dentro do tubo aberto:

Repara só, que no ponto onde a onda está aberta para a atmosfera, temos um deslocamento máximo da onda!

y x a t m , t = S m

Extremidade fechada pra atmosfera:

Esse é o caso inverso. Se a gente olhar pra formação básica da onda de deslocamento em um tubo:

A gente percebe que nas proximidades de uma parede sólida, o deslocamento do ar é nulo, surge um nó.

Assim, o deslocamento tem um nó próximo das extremidades fechadas. Pela analogia das funções seno e cosseno que vimos, podemos dizer que ali existe um máximo de pressão.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UNICAMP-Questão 3 - P2.2012 (Noturno)

Um pequeno alto-falante é alimentado por um oscilador de áudio com uma frequência que varia de 1000   H z a 2000   H z . Um tubo cilíndrico tem 50   c m de comprimento e as duas extremidades abertas, e é colocado próximo ao alto-falante. A velocidade do som no ar no interior do tubo é 340   m / s . Para quais frequências o som do alto-falante produz ressonância no tubo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Se as duas extremidades são abertas, vamos usar a equação:

f n = n V 2 L = n 340 2 x 0,5 = 340 n

Vamos usá-la pra descobrir as frequências normais do tubo.

Para n = 3 :

f n = 340 x 3 = 1020 H z

n = 4 :

f 4 = 1360 H z

n = 5 :

f 5 = 1700 H z

E para n = 6 e maiores, as frequências saem da faixa dos alto-falantes. Logo, são essas as frequências de ressonância.

Resposta

Frequências:

1020 H z

1360 H z

1700 H z

Exercício Resolvido #2

Halliday, David, Fundamentos de física, volume 2 : ondas, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, Cap 17, Problema 41

No tubo A , a razão entre a frequência de um certo harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1,2. No tubo B , a razão entre a frequência de um certo harmônico e a frequência do harmônico precedente é 1,4 . Quantas extremidades abertas existem (a) no tubo A e (b) no tubo B ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Conhecemos as fórmulas dos tubos abertos e fechados:

  • Aberto:
  • f n = 2 n 4 v l

    n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

  • Fechado:

f n = 2 n - 1 4 v l

n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Como queremos a frequência de harmônicos sucessivos temos, primeiro para tubos abertos (duas extremidades abertas):

f n + 1 f n = 2 ( n + 1 ) 2 n → f n + 1 f n = 1 + 2 2 n = 1 + 1 n

Já para tubos fechados (uma extremidade aberta):

f n + 1 f n = 2 n + 1 - 1 2 n - 1 → f n + 1 f n = 1 + 2 2 n - 1 = 1 + 1 n - 1 2

Passo 2

a)

Agora vamos analisar o 1º caso. No tubo A , a razão entre as frequências sucessivas deu 1,2 . Em qual das expressões que encontramos acima nós podemos variar n , que é um inteiro, de forma que a razão dê 1,2 ? Vamos ver:

Se o tubo A for aberto:

1,2 = 1 + 1 n → 1 n = 0,2 → n = 10 2 = 5

Mas se o tubo for fechado, teremos:

1,2 = 1 + 1 n - 1 2

1 n - 1 2 = 1 5

n = 11 2 = 5,5

Como n tem que ser um inteiro, o tubo tem que ser aberto!

Passo 3

b) Já no tubo B , temos que a razão entre as frequências é de 1,4 . Vamos testar primeiramente para o tubo aberto em uma única extremidade:

1,4 = 1 + 1 n - 1 2 → n - 1 2 = 10 4 → n = 5 2 + 1 2 → n = 3

Pronto! n deu inteiro. Concluímos então que o tubo B possui apenas uma extremidade aberta.

Resposta

  1. Duas extremidades abertas
  2. Uma extremidade aberta

Exercício Resolvido #3

USP-P1-2014.1-Q5

A figura mostra uma “‘flauta” simplificada, com a extremidade D aberta. Há também uma grande abertura em A (próxima ao bocal) e dois orifícios em B e C , tais que A B = B D e B C = C D . Sabe-se que A D = 34   c m e que a velocidade do som é v = 340   m / s . Qual a frequência que se espera ouvir ao soprar a flauta com o dedo tapando B ?

  1. 20 H z
  2. Não há como excitar uma onda no tubo, já que A e D estão à mesma pressão externa.
  3. 2,5 k H z .
  4. 2 k H z .
  5. 500 H z .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom galera, eu sei que é tentador tentar aplicar essa equação aqui nessa questão:

f n = 2 n 4 v l

Mas não é por ai. Nós vamos resolver esse problema apenas lembrando das ondas de pressão que causam o som, além da geometria da flauta.

Passo 2

Bom, os pontos D e C   estão em contato direto com a atmosfera, ou seja, representam nós de pressão. Mas a gente sabe que a onda que se forma dentro de um tubo sonoro é uma onda estacionária e que, no estado fundamental, a distância entre dois nós é dada por λ 2 .

Ou seja, B C = λ 2 .

E quanto vale B C ?

O enunciado nos diz que A B = B D e que B C = C D . Se A D = 34   c m , então B D = A B = 34   c m 2 = 17 c m e B C = C D = 17   c m 2 = 8,5   c m .

Logo:

λ = 2 B C = 17   c m

Passo 3

Agora fica fácil. Já temos o comprimento de onda e a velocidade do som. Vamos achar a frequência usando:

v = λ f → f = v λ = 340 17 × 10 - 2 = 2   k H z  

Resposta

d)

Exercício Resolvido #4

UNICAMP-Questão 3 - P2.2010 Noturno

Um tubo A , que possui 1,5   m de comprimento e é aberto em suas duas extremidades, vibra na sua terceira frequência harmônica mais baixa. Outro tubo B , de comprimento L , é fechado em uma de suas extremidades e vibra em sua segunda frequência harmônica mais baixa. As frequências dos tubos A e B coincidem. Dado: v s o m = 340   m / s .

  1. Encontre as posições do tubo A em que estão os nós de deslocamento.
  2. Encontre o comprimento L do tubo B .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Bem, aqui a gente vai precisar usar a fórmula que relaciona o L do tubo com o comprimento da onda. Para um tubo aberto, essa fórmula é:

L = n λ 2

Sendo n = 3 :

L = 3 λ 2   → 2 L 3 = λ = 2 1,5 3 = 1   m

Ótimo! Agora podemos terminar a solução simplesmente desenhando a forma da onda estacionária em um tubo aberto. Essa é a forma mais simples de se visualizar! Vamos lá:

Uma onda estacionária num tubo aberto tem a seguinte forma:

Na figura temos, em sequência, n = 1 ,   2 ,   3 . Então a forma de onda que queremos é a última, n = 3 .

É fácil desenhar a forma de onda de um tubo aberto: basta a gente fazer primeiro uma “ondinha” de extensão λ 4 , depois um meio comprimento completo, depois outro, e outro... quantos forem suficientes, e depois finalizar o desenho com outra “ondinha” de extensão λ 4 .

Beleza! A gente consegue ver claramente onde ficam os nós. Eles ficam em:

d 1 = λ 4 = 0,25   m

d 2 = λ 4 + λ 2 = 3 λ 4 = 0,75   m

d 3 = λ + λ 4 = 5 λ 4 = 1,25   m

E essas são as posições dos três nós!

Passo 2

b)

Aqui a gente mata a questão simplesmente igualando as frequências, já que elas são iguais.

Mas vamos antes montar a expressão pra frequência do tubo B , que é um tubo fechado:

  f B n = 2 n + 1 v 4 L ,     n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

OBSERVAÇÃO: Você também poderia encontrar a fórmula   f B n = 2 n - 1 v 4 L ,     n =   1 ,   2,3 ,   …

Repare que as duas fórmulas, apesar de parecerem diferentes, são iguais. Porque em um dos casos n começa em zero, e no outro em 1 . Assim, os valores acabam sendo idênticos. Sacou?

Fim da observação.

Lembrando que queremos achar o tal do L ! Vamos usar:

f B n = 2 n + 1 v 4 L ,     n = 0 ,   1 ,   2 ,   …

Como n começa em n = 0 o nosso segundo harmônico é em n = 1 , logo:

f B n = 3 v 4 L  

E agora vamos montar a expressão pra frequência de A :

f A n = n v 2 L = 3 v 2 L A = 3 v 2 × 1,5 = v

Logo, comparando os dois:

f A n = f B n

v = 3 v 4 L → L = 3 4

L = 0,75   m  

Resposta

a)

d 1 = λ 4 = 0,25   m

d 2 = λ 4 + λ 2 = 3 λ 4 = 0,75   m

d 3 = λ + λ 4 = 5 λ 4 = 1,25   m

b)

L = 0,75   m

Exercício Resolvido #5

UFRJ-P2-2014.2-Q4(III e IV)

Considere dois tubos de ar de mesmo comprimento e mesma seção transversal, um deles fechado numa das extremidades, e o outro, aberto em ambas, e ondas sonoras propagando-se nestes tubos. Considere as afirmações abaixo:

I ) O deslocamento é máximo na extremidade do tubo aberto pois há um máximo de onda de pressão neste ponto.

I I )   O deslocamento é máximo na extremidade do tubo aberto pois há um nodo da onda de pressão neste ponto.

I I I ) O comprimento de onda do modo fundamental, no tubo fechado, é o dobro do comprimento de onda deste modo no tubo aberto.

I V )   O comprimento de onda do modo fundamental, no tubo aberto, é o dobro do comprimento de onda deste modo no tubo fechado.

Qual(is) da(s) afirmação(ões) acima é(são) verdadeira(s)?

  1. I I I .
  2. I e I I .
  3. I e I I I
  4. I e I V
  5. I I e I V .
  6. I I I e I V .
  7. I I e I I I .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lembrar dos padrões de deslocamento que aparecem nos tubos abertos e fechados.

Aberto:

Fechado:

Passo 2

Vamos lá:

I :   Nas extremidades dos tubos abertos não pode haver um máximo de pressão pelo seguinte motivo: ali o ar que tá dentro do tubo, um ar com pressão oscilante, entra em contato com o ar da atmosfera, que tem uma pressão fixa. Então nas pontas dos tubos abertos existem, na verdade, nós de pressão.

I I :   Aí sim tá certo. Podemos ver isso com o padrão das ondas estacionárias nos tubos abertos e também por causa do lance da pressão fixa da atmosfera. Lembre-se de uma coisa: onde tem nó de pressão tem máximo de deslocamento e vice-versa.

Passo 3

I I I : Pra um tubo aberto, temos que:

n λ 2 = L   → λ = 2 L n

Modo fundamental implica em n = 1 . Logo:

λ = 2 L

Para um tubo fechado, temos que:

2 n + 1 λ 4 = L → λ = 4 L 2 n + 1

No modo fundamental, n = 0 :

λ = 4 L

Ou seja, realmente o comprimento é o dobro do tubo aberto.

Passo 4

I V : Acabamos de ver que não é o comprimento do aberto que é o dobro do fechado, e sim o contrário.

Logo, a resposta certa é:

g)

Resposta

g)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas