Interferência por Meio de Propagação

Teoria Completa

Diferentes meios de propagação

Vamos montar em casa dois pontos de Wi-Fi, um na sala e outro no corredor, pra pegar melhor no meu quarto.

Meu quarto fica no meio dos dois, e eu estava usando a internet sem problemas, até que minha mãe colocou um balde transparente de água entre os dois, e do nada, minha internet não funciona mais! Que droga foi essa?

A luz se propaga com diferentes velocidades em diferentes meios

Quando ondas eletromagnéticas saem de duas fontes em fase, não é só a diferença de caminho que pode atrapalhar as duas: os meios pelos quais elas se propagam também podem tirá-las de fase...

Acontece que, quando a luz passa pela água sua velocidade diminui, o que faz com que o caminho dela não seja mais equivalente a quando ela está se propagando só no ar. Isso é por causa da refração!

A velocidade da luz no ar, na água, em um cristal, em óleo, ou em outros meios é diferente para cada um, e é medida pelo índice de refração n m e i o de cada um. Quanto maior o índice de refração, menor a velocidade da luz no meio.

Diferença de fase para dois meios diferentes

Para acharmos as condições de interferência nesse caso, vamos jogar dois feixes de laser num copo com água e óleo, e checar se na saída eles estão ou não em fase.

Uma coisa importante de se considerar, que está representado na imagem, é que o comprimento de onda da luz no óleo e na água é diferente. Assim como a velocidade, quanto maior o índice de refração, menor o comprimento de onda.

λ m e i o = λ 0 n m e i o

Onde λ 0 é o comprimento de onda da luz no vácuo.

Agora, vamos ver qual a diferença de fase em múltiplos do comprimento de onda. Considere que o óleo e que a água tem mesma espessura L . Vamos chamar o óleo de m e i o   1 e a água de m e i o   2 . Assim, o número de comprimentos de onda no óleo e na água são:

N 1 = L λ 1 = L ∙ n 1 λ 0

N 2 = L λ 2 = L ∙ n 2 λ 0

Ok... e a diferença de fase?

Bem, agora a gente subtrai! (Considerando que n 1 > n 2 )

ϕ m ú l t i p l o = n 1 - n 2 ∙ L λ 0

Sendo que se a diferença de fase for de um número inteiro de comprimentos de onda, a interferência é construtiva. Se for um múltiplo de meio comprimento de onda, a interferência é destrutiva. (no caso dos sinais terem mesma amplitude)

Também podemos passar isso para radianos! Como a diferença de fase para um comprimento de onda é 2 π , para o nosso caso vai ser:

ϕ = n 1 - n 2 ∙ 2 π L λ 0

E para aqueles casos mais importantes, de interferência destrutiva e construtiva?

Para a destrutiva:

ϕ = 2 m + 1 π

m + 1 2 λ 0 = n 1 - n 2 ∙ L

m = 0 ,   1,2 ,   3 , …

Para a construtiva:

ϕ = 2 m π

m ∙ λ 0 = n 1 - n 2 ∙ L

m = 0 ,   1 ,   2 ,   3 , …

Mas afinal, e para o caso da minha mãe com o balde de água?

O caminho no balde não é igual ao caminho no ar!

Bem, neste caso em específico, fora a parte do balde, o resto dos caminhos no ar são iguais. Ou seja, só vai importar mesmo a diferença de fase por meio de propagação.

Mas se esses caminhos restantes fossem diferentes, então você teria que ver a diferença de fase por causa do meio de propagação e por causa da diferença de caminhos!

Tendo as duas, você pode somá-las!

Agora vamos para os exercícios, pra ficar monstrão! No pain no gain!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 100-5.

Na Fig. 35-4, suponha que duas ondas com um comprimento de onda de 400 n m , que se propagam no ar, estão inicialmente em fase.

Uma atravessa uma placa de vidro com um índice de refração n 1 = 1,60 e espessura L ; a outra atravessa uma placa de plástico com um índice de refração n 2 = 1,50 e a mesma espessura.

  1. Qual é o menor valor de L para a qual as ondas deixam as placas com uma diferença de fase de 5,65   r a d ?
  2. Se as ondas chegam ao mesmo ponto com a mesma amplitude, a interferência é totalmente construtiva, totalmente destrutiva, mais próxima de construtiva ou mais próxima de destrutiva?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Inicialmente, veja que os dois raios de luz atravessam a mesma distância nos meios com diferentes índices de refração.

Logo, a diferença de fase entre os dois será dada apenas por essa diferença de índice de refração. Como vimos, ela será dada (em radianos) por:

ϕ = n 1 - n 2 ∙ 2 π L λ 0

Passo 2

Agora, para usar essa equação, o problema nos dá algumas informações:

Índice de refração do meio 1: n 1 = 1,60

Índice de refração do meio 2: n 2 = 1,50

Comprimento de onda da luz no vácuo: λ 0 = 400 n m

Diferença de fase na saída: ϕ = 5,65   r a d

Assim, substituindo na equação, temos:

5,65 = 1,60 - 1,50 ∙ 2 π 400 ∙ L

L = 5,65 ∙ 400 0,10 ∙ 2 π ≅ 3596,90   n m

Passo 3

Uma observação: por que o problema diz que esse é o “menor valor de L ” para essa diferença de fase?

Porque outros valores possíveis seriam 3996,90 n m , 4396,90   n m , e por aí vai. Peraí, como assim?!

Acontece que, se somarmos 2 π na nossa diferença de fase, nós temos “fisicamente” a mesma situação! Os pontos de uma onda correspondentes ao da outra continuariam sendo os mesmos. Em questões de comprimento, isso equivale a termos mais 40 0   n m .

Passo 4

b)

Uma diferença de fase de meio comprimento de onda, que causa interferência totalmente destrutiva, é equivalente a uma diferença de fase de π ≅ 3,1416   r a d .

Uma diferença de fase de um comprimento de onda, que causa interferência totalmente construtiva, é equivalente a uma diferença de fase de 2 π ≅ 6,2832   r a d .

Avaliando a nossa diferença de 5,65   r a d , ela é mais próxima de ser totalmente construtiva.

Resposta

a)

L = 3596,90   n m

b)

A interferência é mais próxima de totalmente construtiva.

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 101-11

Na Fig. 35-4, suponha que as duas ondas luminosas, cujo comprimento de onda no ar é 620 n m , têm inicialmente uma diferença de fase de π   r a d . Os índices de refração dos materiais são n 1 = 1,45 e n 2 = 1,65 . Determine:

  1. O menor valor de L para o qual as duas ondas estão exatamente em fase depois de atravessar os dois materiais.
  2. O segundo menor valor de L para o qual as duas ondas estão exatamente em fase depois de atravessar os dois materiais.

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Passo 1

a)

As ondas inicialmente têm uma diferença de fase π .

Além disso, após atravessarem os dois materiais teremos mais uma diferença, devido à diferença de índice de refração dos materiais:

ϕ = n 2 - n 1 ∙ 2 π λ 0 ∙ L

Logo, a diferença de fase total será:

ϕ = n 2 - n 1 ∙ 2 π λ 0 ∙ L + π

Para eles estarem exatamente em fase, eles devem ter uma diferença de fase de um múltiplo inteiro de 2 π . Isso significa que a diferença de fase vai ser de:

ϕ = m ∙ 2 π

m = 1 ,   2 , …

m - 1 2 ∙ λ 0 = n 2 - n 1 ∙ L

Passo 2

O problema nos dá os índices de refração dos materiais, n 2 = 1,65 e n 1 = 1,45 , e o comprimento de onda da luz incidente no vácuo, λ 0 = 620   n m .

O menor valor de L é aquele dado pela menor diferença de fase possível, que corresponde a m = 1 . Assim:

L = 1 2 ∙ 620 1,65 - 1,45 = 1550   n m

Passo 3

b)

Se eu pegar uma diferença de fase e somar 2 π , a situação física é a mesma. Como a diferença de fase para interferência construtiva é de 2 π , sempre que eu somar 2 π a ela eu terei de novo a mesma situação! Por isso que colocamos como condição que ϕ = m ∙ 2 π .

Com isso, o segundo menor valor de L possível corresponde a m = 2 . Assim:

L = 3 2 ∙ 620 1,65 - 1,45 = 4650   n m

Resposta

a)

L = 1550   n m

b)

L = 4650   n m

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 101-13.

Duas ondas luminosas no ar, de comprimento de onda 600,0   n m , estão inicialmente em fase. As ondas passam por camadas de plástico, como na Fig.35-37, com L 1 = 4,00 μ m , L 2 = 3,50 μ m , n 1 = 1,40 e n 2 = 1,60 .

  1. Qual é a diferença de fase, em comprimentos de onda, quando as ondas saem dos dois blocos?
  2. Se as ondas são superpostas em uma tela, com a mesma amplitude, a interferência é totalmente construtiva, totalmente destrutiva, mais próxima de construtiva ou mais próxima de destrutiva?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Neste caso, a situação do problema mudou um pouco, pois o comprimento de cada meio é diferente. Mas tem uma forma de passarmos por cima disso.

Vamos considerar um meio 3 (o ar) logo depois do meio 2, e considerar a diferença de fase causada pela passagem por 2 em comparação a 1 e depois do meio 3 em comparação ao 1.

As equações serão, em múltiplos do comprimento de onda:

ϕ 2 - 1 = n 2 - n 1 ∙ L 2 λ 0

ϕ 3 - 1 = n 3 - n 1 ∙ ( L 1 - L 2 ) λ 0

A diferença de fase total será a soma das duas.

ϕ = 1 λ 0 ∙ n 2 - n 1 ∙ L 2 + n 3 - n 1 ∙ L 1 - L 2

Passo 2

De acordo com o enunciado, temos que n 1 = 1,40 , n 2 = 1,60 e, como o meio 3 é ar, podemos aproximar seu índice de refração por n 3 ≅ 1,00 .

O comprimento de onda da luz incidente é de 600,0   n m = 0,6   μ m e a largura de cada meio é L 1 = 4,00   μ m e L 2 = 3,50   μ m .

ϕ = 1 0,6 ∙ 0,20 ∙ 3,50 - 0,40 ∙ 0,50 = 0,7 - 0,2 0,6 ≅ 0,833

A diferença de fase é de 0,833 comprimentos de onda.

Passo 3

b)

A interferência é totalmente destrutiva quando ela é um múltiplo inteiro do comprimento de onda acrescido de meio comprimento de onda ( m λ + 0,5 λ ), enquanto ela é totalmente construtiva quando ela é um múltiplo inteiro do comprimento de onda.

Como a diferença de fase está mais próximo de 1 comprimento de onda que de 0,5 comprimentos de onda, a interferência é mais próxima de construtiva.

Resposta

a)

A diferença de fase é de 0,833 comprimentos de onda.

b)

A interferência está mais próxima de ser construtiva.

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