Difração em Fenda Simples

Teoria Completa

O que é difração?

Se apontarmos um laser para uma fenda única qualquer, ele vai formar uma imagem como a que tá aí embaixo.

Os pontos de luz são conhecidos como franjas claras ou máximos e onde não tem luz chamamos de franjas escuras ou mínimos.

Pera aí, você tá me dizendo que uma única fonte de luz pode formar vários pontos de luz ao passar por uma fenda?

É isso mesmo e eu quero saber o seguinte, como explicar isso, pensando na propagação puramente retilínea da luz (ótica geométrica)?

Bem... não explica. Esse fenômeno é chamado difração. Ele ocorre quando a luz atinge um obstáculo que possui uma abertura (ou extremidade), e é um fenômeno puramente ondulatório.

Nesse caso, a luz se espalha e age como se fizesse uma curva (princípio de Huygens).

O quanto a luz se espalha depende da relação entre seu comprimento de onda e a largura da abertura. Além disso, quanto mais as ondas trafegam após atingir o obstáculo mais elas se espalham até chegar na parede.

Quando a parede está muito próxima, temos a chamada Difração de Fresnel, onde o resultado acaba se parecendo com o objeto iluminado (muda pouco em comparação com luz retilínea).

Se a parede estiver bem longe, temos a chamada Difração de Fraunhofer que foi mostrada na figura inicial, onde alguns pontos estavam iluminados e outros não.

Posição das angular das Franjas

Vamos aprender difração por uma fenda (Fraunhofer), observando os tipos de problema que podem aparecer.

O primeiro caso é encontrar o ângulo de algum ponto onde a luz não aparece. Então como encontrar o ângulo pra esse ponto 1 da figura? Sabendo que a fenda mede 5 μ m de largura e o comprimento da onda da luz vermelha é 700 n m .

Imagine, primeiro, dois raios, conforme a figura abaixo.

A diferença entre os dois caminhos dos raios até o ponto P , responsável pela diferença de fase, é dada por:

r 2 - r 1 = a 2 sen ⁡ θ

Se essa defasagem entre os dois raios for de meio comprimento de onda, ocorre o cancelamento das ondas (interferência destrutiva).

r 2 - r 1 = a 2 sen ⁡ θ = λ 2

Rearrumando temos o seguinte:

sen ⁡ θ = λ a

E substituindo os valores temos:

s e n θ 1 = 700 × 10 - 9 5 × 10 - 6 = 0,14

θ 1 = a r c s e n 0,14 = 8,04 °

Tá beleza, mas e se me pedissem outros pontos mínimos onde a luz não aparece, tipo esse aqui?

No geral a gente vai usar a mesma equação usada no primeiro ponto só que os mínimos são múltiplos e seguem um padrão, por isso, podemos reescrever então a equação da seguinte forma.

sen ⁡ θ = m λ a

m = ± 1 , ± 2 ,   ± 3 , …

(franjas escuras na difração, fenda simples)

Mas... de onde surgiu o m ?!

O m é o número do mínimo de interferência a partir do referencial que é o centro. No primeiro ponto a gente calculou o ângulo para m = 1 , ou seja, o primeiro mínimo a partir do centro.

A figura agora pede m = 2 a partir do centro, sendo assim:

s e n θ 2 = 2 × 70 × 10 - 9   5 × 10 - 6

θ 2 = a r c s e n 0,28 = 16,26 °

Beleza, então se te pedirem pra calcular um ângulo de algum ponto mínimo você tá craque. E se te pedirem a posição de um ponto máximo?

Aqui basta você adicionar ao seu m o valor de + 1 / 2 e a equação pra um máximo vai ficar:

a s e n θ = m + 1 2 λ

E se a gente quiser a distância ao invés do ângulo?

Posição das Franjas

Ok, sabemos exatamente o ângulo de cada franja escura em relação ao centro da figura de difração. Assim, se colocarmos uma régua na figura, podemos medir... a distância. Ela não é o ângulo.

Como medir a distância do ponto 2? A qual encontramos o ângulo por último se a parede está afastada de 2 metros da nossa fenda?

Começaremos pelas condições de mínimo:

sen ⁡ ( θ ) = m λ a

m = ± 1 ,   ± 2 ,   …

Vamos analisar a imagem e encontrar a posição das franjas escuras usando trigonometria.

tan ⁡ ( θ ) = y L

para pequenos ângulos:

tan ⁡ ( θ ) ≅ sen ⁡ ( θ )

E com a equação do mínimo temos:

m λ a = s e n θ = y L

Rearrumando teremos y para cada m :

y m = L m λ a

Que é a distância da franja escura até a franja brilhante central.

E se quiséssemos a distância de uma franja clara era só usarmos a regra usada pra posição angular de somar ao m   + 1 2

y m + 1 2 = L m + 1 2 λ a

Então vamos calcular a distância da segunda franja clara, ou seja, pra m = 2 .

y 2 = 2 × 2 × 700 × 10 - 9 5 × 10 - 6 = 0,56 m

E a franja clara de m = 2 ?

y 2 + 1 2 = 2 × ( 2 + 0,5 ) × 700 × 10 - 9 5 × 10 - 6 = 0,7 m

Se a gente quisesse a distância entre franjas, nós subtraímos y m 2 - y m 1 , de forma que:

Δ y m = L ( m 2 - m 1 ) λ a

Tipo a distância entre m = 5 e m = - 1 .

Que? Franja negativa? Sim abaixo do centro da figura as franjas são negativas segundo o referencial!

∆ y m = 2 × 5 - - 1 × 700 × 10 - 9 5 × 10 - 6

Se liga no sinal hein!

∆ y m = 2 × 6 × 0,14 = 1,68   m

Para franjas escuras próximas, tipo m = 1 e m = 2 a equação ficaria:

Δ y m = L λ a

O quão brilhante são as luzes que vejo lá ao longe?

Cada luz que a gente vê brilha por causa da sua intensidade, a luz central é maior e mais extensa e quanto mais a gente se afasta do centro menor é esse brilho, olha como vai ficar o gráfico de intensidade das luzes conforme o ângulo aumenta.

Pra intensidade da luz vale mais a pena a gente concentrar os nossos esforços em lembrar da fórmula do que deduzi-la.

I P = I 0 sen ⁡ ϕ / 2 ϕ / 2 2

Assim como quando estudamos interferência, podemos calcular a diferença de fase através da seguinte equação:

ϕ = 2 π   a sen ⁡ θ λ  

Vamos calcular a intensidade do nosso mínimo pra ver quão diferente é essa intensidade do máximo central, para o mínimo m = 1

Lembrando que pra m = 1 , s e n θ = 0,14 .

ϕ = 2 π × 5 × 10 - 6 × 0,14 700 × 10 - 9 = 6,28 °

Então temos:

I 1 = I 0 s e n 6,28 6,28 2 = 3,04 × 10 - 4 I 0

Ou seja, quase zero, então a gente conferiu pela intensidade que esse ponto é realmente um mínimo.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 137-4.

Qual deve ser a razão entre a largura da fenda e o comprimento de onda para que o primeiro mínimo de difração de uma fenda isolada seja observado para θ = 45,0 ° ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Sabemos que os mínimos de difração são dados por:

sen ⁡ θ = m λ a

m = ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 , …

Queremos encontrar a razão λ a tal que o primeiro mínimo de difração seja observado para θ = 45 ° .

Passo 2

Olhando os valores possíveis de m , vemos que o primeiro mínimo de difração corresponde a m = ± 1 . Por enquanto, vamos usar m = 1 .

Além disso, o seno corresponde ao nosso ângulo é sen ⁡ ( 45 ° ) = 2 2 .

Substituindo, temos:

2 2 = λ a

Assim, a razão entre a largura da fenda e o comprimento de onda será

a λ = 2 2 = 2

Passo 3

O valor m = - 1 corresponderia aos mínimos de difração abaixo do máximo central, ou seja, a um ângulo θ < 0 .

Resposta

A razão entre a largura da fenda e o comprimento de onda é 2 .

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 143-82.

Um experimento de difração de fenda única utiliza uma luz com um comprimento de onda de 420 n m , que incide perpendicularmente em uma fenda com 5,10 μ m de largura. A tela de observação está a 3,20 m de distância da fenda.

Qual é a distância na tela entre o centro da figura de difração e o segundo mínimo de difração?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A distância entre o centro da figura de difração e o mínimo de ordem m quando os ângulos são bem pequenos é dada aproximadamente por:

y m = L m λ a

Onde λ é o comprimento de onda da luz, a é a abertura da fenda e L é a distância entre a fenda e a tela de observação.

Passo 2

Para o segundo mínimo de difração:

m = 2

E o enunciado nos diz que:

  • λ = 420   n m = 420 ∙ 10 - 9   m
  • a =   5,10   μ m = 5,10 ∙ 10 - 6   m
  • L = 3,20   m

Substituindo:

y 2 = 3,20 ∙ 2 ∙ 420 ∙ 10 - 9 5,10 ∙ 10 - 6 ≅ 527,1 ∙ 10 - 3   m = 0,527   m

Passo 3

Vamos agora tentar resolver sem a aproximação para ângulos pequenos, só para podermos comparar as respostas.

A distância angular entre o segundo mínimo de difração e o centro da figura é dada por:

sen ⁡ θ = m λ a = 2 ∙ 420 ∙ 10 - 9 5,10 ∙ 10 - 6 ≅ 164,7 ∙ 10 - 3

θ = sen - 1 ⁡ ( 0,1647 ) ≅ 0,165

Passo 4

Para achar a distância linear, usamos a tangente do ângulo:

tan ⁡ ( θ ) = y L

Rearrumando:

y = L ∙ tan ⁡ θ ≅ 3,2 ∙ tan ⁡ 0,165 ≅ 0,534   m

O erro relativo de termos usado a aproximação de pequenos ângulos é de:

0,534 - 0,527 0,534 ≅ 0,013 = 1,3 %

Ou seja, nós erraríamos por apenas 1,3 %