Difração em Fenda Simples

Teoria Completa

O que é difração?

Ainda está com o laser? Não jogou fora não, né? Show.

Então, agora, vamos apontar ele para uma fenda qualquer. Ele vai formar uma imagem como a que tá aí embaixo. Como explicar isso, pensando na propagação puramente retilínea da luz (ótica geométrica)?

Bem... não explica. Esse fenômeno é chamado difração. Ele ocorre quando a luz atinge um obstáculo que possui uma abertura (ou extremidade), e é um fenômeno puramente ondulatório.

Nesse caso, a luz se espalha e age como se fizesse uma curva (princípio de Huygens).

O quanto a luz se espalha depende da relação entre seu comprimento de onda e a largura da abertura. Além disso, quanto mais as ondas trafegam após atingir o obstáculo mais elas se espalham até chegar na parede.

Quando a parede está muito próxima, temos a chamada Difração de Fresnel, onde o resultado acaba se parecendo com o objeto iluminado (muda pouco em comparação com luz retilínea).

Se a parede estiver bem longe, temos a chamada Difração de Fraunhofer, onde o resultado parece mais com a interferência por duas fendas.

Difração produzida por uma fenda simples

Déja vu? Para figuras de interferência, consideramos duas fendas com um espaçamento da fenda muito pequena, praticamente um ponto. Assim, ela agia com uma fonte pontual de ondas esféricas (olhe a imagem de cima, com o espalhamento).

Para figuras de difração, consideraremos uma abertura maior, de largura a , com um anteparo bem longe (difração de Fraunhofer).

Vamos começar devagar: onde ficam as franjas escuras?

Imagine, primeiro, dois raios, conforme a figura abaixo.

A diferença entre os dois caminhos dos raios até o ponto P , responsável pela diferença de fase, é dada por:

r 2 - r 1 = a 2 sen ⁡ θ

Se essa defasagem entre os dois raios for de meio comprimento de onda, ocorre o cancelamento das ondas (interferência destrutiva).

r 2 - r 1 = a 2 sen ⁡ θ = λ 2

sen ⁡ θ = λ a

Nesse caso, isso vai valer para qualquer par de raios de luz que tenham distância a 2 entre eles (com o anteparo longe, a luz de todos os pontos sai paralela).

Dá pra ter uma ideia melhor disso analisando a figura abaixo. Nela, eu coloquei os raios de ondas provenientes da parte de cima da fenda da mesma cor que os raios de ondas que os cancelam provenientes da parte inferior da fenda.

Todos os pontos da metade superior vão se cancelar com os da metade inferior.

Em pontos como o ponto P , o cancelamento dos raios de ondas resultará em uma franja escura.

E agora sim! Os pontos de mínimos de interferência serão dados por:

sen ⁡ θ = m λ a

m = ± 1 , ± 2 ,   ± 3 , …

(franjas escuras na difração, fenda simples)

Mas... de onde surgiu o m ?!

Bem, poderíamos repetir o que fizemos dividindo a abertura em 4, 6, 8... partes, com distâncias entre as fontes de raios de a / 4 , a / 6 , a / 8 ... e daí teríamos todos os múltiplos inteiros de λ / a .

Posição das Franjas

Ok, sabemos exatamente o ângulo de cada franja escura em relação ao centro da figura de difração. Assim, se colocarmos uma régua na figura, podemos medir... a distância. Ela não é o ângulo.

De fato, o procedimento é o mesmo que fizemos para interferência!

Então vamos passar do desvio angular para a distância entre as franjas. Sabemos que, para pequenos ângulos:

tan ⁡ ( θ ) ≅ sen ⁡ ( θ )

Além disso, temos as condições de mínimo:

sen ⁡ ( θ ) = m λ a

m = ± 1 ,   ± 2 ,   …

E por fim, a imagem do sistema de difração nos permite encontrar a tangente do ângulo θ .

tan ⁡ ( θ ) = y L

Juntando tudo que temos até agora:

y m = L m λ a

Que é a distância da franja escura até a franja brilhante central. Para a distância entre franjas, nós subtraímos y m 2 - y m 1 , de forma que:

Δ y m = L ( m 2 - m 1 ) λ a

Para franjas escuras adjacentes:

Δ y m = L λ a

O quão brilhante são as luzes que vejo lá ao longe?

Como tinha falado lá em interferência, esse brilho de cada ponto da figura de difração não é nada mais que o reflexo da intensidade do seu campo elétrico.

Para podermos encontrar a intensidade em cada ponto da nossa figura, nós usaremos novamente os fasores, que são a ferramenta suprema para encontrar o resultado da superposição de ondas eletromagnéticas!

Vamos dividir a fenda em pontos igualmente espaçados.

Assim, digamos que o raio na extremidade superior seja o 1° raio. A sua diferença de fase para o 2°, logo abaixo, será δ , para o 3° será 2 δ , e assim por diante.

Dessa forma, a diferença de fase entre o 1° raio e o raio n será:

ϕ = n δ

O diagrama de fasores terá a seguinte forma.:

Mas a nossa fenda não são vários pontos. Ela é (pasmem) uma fenda. Então, a gente poderia ir dividindo ela em quantidades maiores de pontos, e nossas setas formariam um arco.

Agora, a matemática envolvida não é trivial (gastei 2 horas tentando entender a imagem enquanto eu escrevia isso), mas a ideia é usar que o ângulo do arco em radianos é ϕ , e que o raio é o arco dividido pelo ângulo. Depois, você tem um triângulo isósceles com o raio e o traço vermelho.

O resultado disso tudo vai ser que a amplitude do campo elétrico resultante é:

E P = 2 E 0 ϕ sen ⁡ ϕ / 2

E P = E 0 sen ⁡ ϕ / 2 ϕ / 2  

Logo, a intensidade é dada por:

I P = I c e n sen ⁡ ϕ / 2 ϕ / 2 2

Que é o quadrado da amplitude do campo elétrico. Nesta fórmula, I c e n é a intensidade da franja central. Isso é porque E 0 sendo o tamanho do arco é igual a soma da amplitude de todos os nossos mini-fasores, que corresponde à franja brilhante central. Essa intensidade também corresponde à intensidade da luz incidente, I c e n = I 0 .

Assim como quando estudamos interferência, podemos calcular a diferença de fase através da seguinte equação:

ϕ = 2 π   a sen ⁡ θ λ  

Logo, podemos escrever a intensidade da seguinte forma:

I = I 0 sen ⁡ [ π   a sen ⁡ θ / λ ] π   a sen ⁡ θ / λ 2

Agora vamos Robin, para os bat-exercícios!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 137-4.

Qual deve ser a razão entre a largura da fenda e o comprimento de onda para que o primeiro mínimo de difração de uma fenda isolada seja observado para θ = 45,0 ° ?

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Passo 1

Sabemos que os mínimos de difração são dados por:

sen ⁡ θ = m λ a

m = ± 1 ,   ± 2 ,   ± 3 , …

Queremos encontrar a razão λ a tal que o primeiro mínimo de difração seja observado para θ = 45 ° .

Passo 2

Olhando os valores possíveis de m , vemos que o primeiro mínimo de difração corresponde a m = ± 1 . Por enquanto, vamos usar m = 1 .

Além disso, o seno corresponde ao nosso ângulo é sen ⁡ ( 45 ° ) = 2 2 .

Substituindo, temos:

2 2 = λ a

Assim, a razão entre a largura da fenda e o comprimento de onda será

a λ = 2 2 = 2

Passo 3

O valor m = - 1 corresponderia aos mínimos de difração abaixo do máximo central, ou seja, a um ângulo θ < 0 .

Resposta

A razão entre a largura da fenda e o comprimento de onda é 2 .

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 143-82.

Um experimento de difração de fenda única utiliza uma luz com um comprimento de onda de 420 n m , que incide perpendicularmente em uma fenda com 5,10 μ m de largura. A tela de observação está a 3,20 m de distância da fenda.

Qual é a distância na tela entre o centro da figura de difração e o segundo mínimo de difração?

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Passo 1

A distância entre o centro da figura de difração e o mínimo de ordem m quando os ângulos são bem pequenos é dada aproximadamente por:

y m = L m λ a

Onde λ é o comprimento de onda da luz, a é a abertura da fenda e L é a distância entre a fenda e a tela de observação.

Passo 2

Para o segundo mínimo de difração:

m = 2

E o enunciado nos diz que:

  • λ = 420   n m = 420 ∙ 10 - 9   m
  • a =   5,10   μ m = 5,10 ∙ 10 - 6   m
  • L = 3,20   m

Substituindo:

y 2 = 3,20 ∙ 2 ∙ 420 ∙ 10 - 9 5,10 ∙ 10 - 6 ≅ 527,1 ∙ 10 - 3   m = 0,527   m

Passo 3

Vamos agora tentar resolver sem a aproximação para ângulos pequenos, só para podermos comparar as respostas.

A distância angular entre o segundo mínimo de difração e o centro da figura é dada por:

sen ⁡ θ = m λ a = 2 ∙ 420 ∙ 10 - 9 5,10 ∙ 10 - 6 ≅ 164,7 ∙ 10 - 3

θ = sen - 1 ⁡ ( 0,1647 ) ≅ 0,165

Passo 4

Para achar a distância linear, usamos a tangente do ângulo:

tan ⁡ ( θ ) = y L

Rearrumando:

y = L ∙ tan ⁡ θ ≅ 3,2 ∙ tan ⁡ 0,165 ≅ 0,534   m

O erro relativo de termos usado a aproximação de pequenos ângulos é de:

0,534 - 0,527 0,534 ≅ 0,013 = 1,3 %

Ou seja, nós erraríamos por apenas 1,3 % . Vamos usar o valor exato na resposta final, mas lembrando que poderíamos usar o valor com a aproximação sem medo (ahn vai, 1 % é baixo, a gente pode ignorar).

Resposta

A distância do segundo mínimo de difração até o centro da tela é de 0,534   m .

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 137-2.

Um feixe de luz com um comprimento de onda de 441 nm incide em uma fenda estreita.

Em uma tela situada a 2,00m de distância a separação entre o segundo mínimo de difração e o máximo central é 1,50 c m .

  1. Calcule o ângulo de difração θ do segundo mínimo.
  2. Determine a largura da fenda.
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Passo 1

a)

Tendo a distância do segundo mínimo ao máximo central da figura de difração podemos achar o ângulo pela tangente do mesmo.

tan ⁡ ( θ ) = y L

O enunciado nos diz essa distância y = 1,50   c m = 0,015   m e a distância da fenda até o anteparo L = 2,00   m .

tan ⁡ ( θ ) = 0,015 2 = 0,0075

θ = tan - 1 ⁡ ( 0,0075 ) ≅ 0,0075   r a d

Para transformar de radianos para graus nós usamos uma regra de 3, considerando que π   r a d corresponde a 180 ° :

θ ≅ 0,0075 π ∙ 180 ° ≅ 0,43 °

Passo 2

b)

Já tendo o ângulo entre o centro da figura e o segundo mínimo, podemos usar a condição de interferência destrutiva para fenda de largura a .

sen ⁡ ( θ ) = m λ a

Lembrando que sendo o segundo mínimo temos m = 2 e que o enunciado nos diz que a luz tem um comprimento de onda de 441   n m , substituindo e rearranjando:

a = m λ sen ⁡ ( θ ) = 2 ∙ 441 sen ⁡ ( 0,0075   r a d ) ≅ 117   601,1   n m ≅ 117,6   μ m