Difração por uma Fenda Circular

Teoria Completa

Difração por orifício circular

Quando a luz incide num buraco redondo, o fenômeno de difração muda um pouco.

No caso das fendas retangulares, tínhamos várias franjas paralelas.

Agora, para orifícios circulares como por exemplo, as lentes de uma câmera fotográfica, teremos vários anéis claros e escuros circundando um disco central, que é chamado disco de Airy.

E não podemos usar o mesmo procedimento para achar os mínimos de difração nesse caso. E agora, quem poderá nos ajudar?

Não tema! Ainda podemos encontrar o primeiro mínimo de difração se consertarmos ligeiramente a fórmula da difração por fenda simples.

Se o diâmetro do orifício é d e o comprimento de onda é λ , o desvio angular θ 1 do primeiro anel escuro em relação ao centro do círculo é dado por:

sen ⁡ θ 1 = 1,22 λ d

Isso só vale para o primeiro mínimo!

(Note que, na fenda simples, tínhamos sen ⁡ ( θ 1 ) = λ a , onde a era a largura da abertura. Ou seja, só consertamos a fórmula por um fator de 1,22 )

Lembrando-se da aproximação de pequenos ângulos, também podemos dizer que:

θ 1 ≅ 1,22 λ d

E também, se a distância até o anteparo é R , e o raio do primeiro anel escuro é y , temos a situação da figura abaixo

A tangente de θ é dada por

t g θ = y R

Na aproximação de ângulos pequenos temos que θ ≈ t g ( θ ) ≈ s e n ( θ ) . Assim

y R = 1,22 λ d

Encontrar a posição dos mínimos seguintes não é tão simples, e em geral também não costuma ser importante.

Além disso, o gráfico de intensidade tem a forma muito parecida com o da difração por fenda simples.

Com a diferença que os pontos dos máximos e dos mínimos são diferentes.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 139-22

Halos entópticos. Quando uma pessoa olha para uma lâmpada de rua em uma noite escura a lâmpada parece estar cercada de anéis claros e escuros (daí o nome halos), que são na verdade uma figura de difração circular como a da Fig.36-10, com o máximo central coincidindo com a luz direta da lâmpada.

A difração é produzida por estruturas da córnea ou do cristalino do olho (daí o nome entópticos).

Se a lâmpada é monocromática, com um comprimento de onda de 550 n m , e o primeiro anel escuro subentende um diâmetro angular de 2,5 ° do ponto de vista do observador, qual é o diâmetro (linear) da estrutura que produz a figura de difração?

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Passo 1

A condição para o primeiro mínimo de difração no caso de aberturas circulares é:

sen ⁡ θ 1 = 1,22 λ D

O ângulo θ 1 é o ângulo entre o centro da figura de difração e o primeiro anel escuro.

O problema nos diz que o diâmetro angular do primeiro anel escuro é θ = 2,5 ° que é o ângulo entre dois pontos diametralmente opostos do anel. Por isso:

θ 1 = θ 2 = 1,25 °

Além disso, λ = 550   n m é o comprimento de onda da luz incidente e D é o diâmetro da abertura circular que produz a figura de difração.

Passo 2

Rearranjando a equação do primeiro mínimo:

D = 1,22 λ sen ⁡ θ 1

Substituindo os valores dados:

D = 1,22 ∙ 550 sen ⁡ ( 1,25 ° ) ≅ 30   758,81   n m ≅ 30,76   μ m

Resposta

O diâmetro da estrutura que produz a figura de difração é 30,76   μ m .

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 139-29, modificado

Os aparelhos de radar de ondas milimétricas produzem um feixe mais estreito que os aparelhos de radar convencionais de micro-ondas, o que os torna menos vulneráveis aos mísseis anti-radar.

  1. Calcule a largura angular 2 θ do máximo central, do primeiro mínimo de um lado ao primeiro mínimo do outro, para um radar de 220 G H z com uma antena circular com 55,0 c m de diâmetro. (A frequência foi escolhida para coincidir com uma “janela” atmosférica de baixa absorção.)
  2. Qual é o valor de 2 θ para uma antena circular convencional, com 2,3 m de diâmetro, que trabalha com um comprimento de onda de 1,6 c m ?
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Passo 1

Letra a)

O ângulo do centro do máximo central até um ponto do primeiro anel escuro é dado por:

sen ⁡ ( θ 1 ) = 1,22 λ D

Onde D é o diâmetro da abertura circular que, no caso, é a antena. Isso significa que D = 55,0   c m = 0,55   m

Temos λ é o comprimento de onda da luz. Contudo o enunciado não nos dá esse valor: invés disso, ele nos diz a frequência da onda.

As ondas eletromagnéticas têm uma velocidade constante c = 3 ∙ 10 8   m / s dada por:

λ f = c

λ = c f

A frequência dada é de f = 220   G H z = 220 ∙ 10 9   H z .

Passo 2

A nossa equação rearrumada fica:

sen ⁡ ( θ 1 ) = 1,22 c f D

Substituindo os valores dados anteriormente:

sen ⁡ ( θ 1 ) = 1,22 ∙ 3 ∙ 10 8 220 ∙ 10 9 ∙ 0,55 ≅ 0,003025

θ 1 ≅ sen - 1 ⁡ 0,003025 ≅ 0,003025   r a d ≅ 0,17 °

A largura angular vai ser:

θ = 2 θ 1 ≅ 0,35 °

Passo 3

Letra b)

Para uma antena circular convencional:

  • D = 2,3   m
  • λ = 1,6   c m = 0,016   m

Substituindo:

sen ⁡ ( θ 1 ) = 1,22 λ D = 1,22 ∙ 0,016 2,3 ≅ 0,008487

θ 1 ≅ sen - 1 ⁡ 0,008487 ≅ 0,008487   r a d ≅ 0,49 °

A largunra angular fica:

θ = 2 θ 1 ≅ 0,97 °

Resposta

Letra (a)

2 θ 1 ≅ 0,35 °

Letra (b)

2 θ 1 ≅ 0,97 °

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