Energia do Átomo Hidrogenóide

Teoria Completa

O átomo de Hidrogênio só pode estar em estados específicos de energia, que dependem de três números quânticos: n , l e m .

Vamos olhar um pouco mais a fundo o significado desses números.

O número quântico principal n dá os níveis de energia do átomo de hidrogênio.

N í v e i s   d e   e n e r g i a   d o   Á t o m o   H i d r o g e n ó i d e

E n = - m e 4 4 π ϵ 0 2 2 ℏ 2 ∙ 1 n 2

Mas de brinde, eu vou calcular a sopa de letrinhas pra você!

E n = - 13,6   e V n 2

Sendo que, no estado fundamental, n = 1 .

E 1 = - 13,6   e V

Sendo que:

  • Quando o elétron sai de um estado de menor energia para um de maior energia, ele absorve um fóton.
  • Quando ele sai de um estado de maior energia para um de menor energia, ele emite um fóton.

Podemos interpretar a energia de cada nível da seguinte forma:

Imagina que, quando o elétron está muito longe do próton, a energia potencial elétrica é praticamente zero: O elétron agora é um homem (partícula) livre!

Neste caso, os seus níveis de energia não são mais quantizados.

Mas qual a energia eu devo ceder ao elétron para que ele atinja esse nível?

Se pensarmos nos níveis de energia como “energias potenciais”, então o trabalho pra remover o elétron do átomo de hidrogênio é:

W = 0 - E n = - E n

W = - E n

Ou seja, o módulo da energia dos níveis do elétron é o trabalho que eu preciso realizar pra remover o elétron do átomo!

Agora, qual a utilidade dos outros dois números quânticos?

Na verdade, eles nos dão a rotação do elétron!

O número quântico orbital l vai fazer com que o módulo do momento angular orbital do elétron seja quantizado!

M ó d u l o   d o   m o m e n t o   a n g u l a r   o r b i t a l

L = l l + 1 ∙ ℏ

Lembrando que l = 0,1 , 2 , … , n - 1 .

Já o número quântico magnético m vai nos dar as possíveis direções de rotação do elétron. Ela vai definir a componente do momento angular orbital ao longo do eixo z .

C o m p o n e n t e   d o   m o m e n t o   a n g u l a r   a o   l o n g o   d o   e i x o   z

L z = m ℏ

Lembrando que m = - l ,   - l + 1 ,   … ,   l - 1 ,   l varia de - l a l .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 242-35

Quais são:

  1. A energia
  2. O módulo do momento
  3. O comprimento de onda

Do fóton emitido quando um átomo de hidrogênio sofre uma transição de um estado com n = 3 para um estado com n = 1 ?

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Passo 1

Letra a)

A energia do fóton emitido será a diferença de energia da transição.

E f = Δ E

A energia de um estado do átomo de hidrogênio é:

E n = - 13,6   e V n 2

Para n = 1 e n = 3 :

E 1 = - 13,6   e V

E 3 = - 13,6 9 ≅ - 1,51   e V

Δ E = E 1 - E 3 = - 12,09   e V

Onde o sinal de menos apenas indica que a energia foi perdida.

Com isso:

E f = 12,09   e V

Passo 2

Letra b)

O momento do fóton é dado por:

p = E c

Neste caso:

  • E = 12,09   e V = 12,09 ∙ 1,602 ∙ 10 - 19   J
  • c = 2,998 ∙ 10 8   m / s

p = 12,09 ∙ 1,602 ∙ 10 - 19 2,998 ∙ 10 8 ≅ 6,46 ∙ 10 - 27   K g ∙ m / s

Passo 3

Letra c)

O comprimento de onda do fóton será:

E = h c λ

λ = h c E = 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 2,998 ∙ 10 8 12,09 ∙ 1,602 ∙ 10 - 19 ≅ 1,0256 ∙ 10 - 7   m =   102,56   n m

Resposta

Letra a)

E f = 12,09   e V

Letra b)

p ≅ 6,46 ∙ 10 - 27   K g ∙ m / s

Letra c)

λ ≅ 1,0256 ∙ 10 - 7   m =   102,56   n m

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 242-36

Um átomo (que não é um átomo de Hidrogênio) absorve um fóton com uma frequência de 6,2 ∙ 10 14   H z .

Qual é o aumento de energia do átomo?

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Passo 1

O aumento de energia do átomo é igual a energia do fóton absorvido.

A energia do fóton absorvido é:

E f = h f

Onde:

  • h = 6,626 ∙ 10 - 34   J ∙ s
  • f = 6,2 ∙ 10 14   H z

Substituindo:

E f = 6,626 ∙ 10 - 34 ∙ 6,2 ∙ 10 14 = 4,108 ∙ 10 - 19   J ≅ 2,564   e V

Resposta

E f = 4,108 ∙ 10 - 19   J ≅ 2,564   e V

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 242-39

Qual é o trabalho necessário para separar o elétron e o próton de um átomo de hidrogênio se o átomo se encontra inicialmente:

  1. No estado fundamental.
  2. No estado n = 2 .
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Passo 1

Letra a)

A energia potencial eletrônica quando o elétron está tão longe do próton que podemos dizer que ambos estão separados é zero. Assim, o trabalho necessário vai ser a energia potencial final menos a inicial:

W = - E i

No estado fundamental:

E i = - 13,6   e V

Logo:

W = 13,6   e V

Passo 2

Letra b)

No estado com n = 2 , a energia é de:

E i = - 13,6 2 2 = - 3,4   e V

W = 3,4   e V

Resposta

Letra a)

W = 13,6   e V

Letra b)

W = 3,4   e V

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 243-46

Um átomo de hidrogênio, inicialmente em repouso no estado n = 4 , sofre uma transição para o estado fundamental, emitindo um fóton no processo.

Qual é a velocidade de recuo do átomo de hidrogênio?

Dados:

Massa do elétron m e = 9,109 ∙ 10 - 31 K g

Massa do próton m p = 1,673 ∙ 10 - 27 K g

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Pela conservação do momento linear, temos que o momento linear inicial é zero, e o momento linear final é:

p f = p f ó t o n - p r e c u o = 0

Logo:

p r e c u o = p f ó t o n

Mas sabemos que:

p r e c u o = m H v r e c u o

p f ó t o n = E f ó t o n c

O que nos dá:

v r e c u o = E f ó t o n m H c

Onde m H é a massa do hidrogênio que, por ser composto apenas de um próton e um elétron é dada por:

m H = m p + m e = 1,6739109 ∙ 10 - 27   K g

Além disso, a velocidade da luz é:

c = 2,998 ∙ 10 8   m / s

Passo 2

Agora, precisamos saber a energia do fóton liberado. Essa energia vai ser igual a perda de energia do elétron na transição entre os dois estados.

A energia de n = 4 e n = 1 serão:

E 4 = - 13,6 4 2 = - 0,85   e V

E 1 = - 13,6   e V

Δ E = E 1 - E 4 = - 12,75   e V = - 20,4255 ∙ 10 - 19   J

Logo:

E f ó t o n = Δ E = 20,4255 ∙ 10 - 19

Substituindo tudo na expressão pra velocidade de recuo:

v r e c u o = 20,4255 ∙ 10 - 19 1,6739109 ∙ 10 - 27 ∙ 2,998 ∙ 10 8   ≅ 4,07   m / s

Resposta

v r e c u o ≅ 4,07   m / s

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