Função de Onda no Átomo de Hidrogênio

Produzido por Bruno Soares
Ver Todos os Exercícios

Teoria

Agora sim, chegou a hora de estudar o átomo de hidrogênio de verdade usando a mecânica quântica!

O átomo de hidrogênio é o átomo mais simples da tabela periódica. Ele é formado por apenas duas partículas: Um próton e um elétron.

Vamos fingir que o próton está paradão, e só o elétron se move. A energia potencial entre os dois é a energia potencial elétrica que só depende da distância r entre os dois:

U e l r = - 1 4 π ϵ 0 ∙ e 2 r

Sendo que a carga do elétron é - e e a do próton é e , com e = 1,602 ∙ 10 - 19   C a carga elementar. Além disso, o elétron pode, a princípio, se mover em qualquer direção, sendo esse um problema tridimensional.

A equação de Schrödinger ficaria algo do tipo:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ x , y , z ∂ x 2 + ∂ 2 ψ x , y , z ∂ y 2 + ∂ 2 ψ x , y , z ∂ z 2 + U x , y , z ψ ( x , y , z ) = E   ψ x , y ,   z

Sendo que a dependência de U com x , y , z vem pela distância entre o próton e o elétron.

r = x 2 + y 2 + z 2

Antes que você se assuste com essas equações e queira me mandar praquele lugar, eu peço que você confie em mim: Não vou ficar resolvendo esse trambolho gigante.

Vamos apenas discutir algumas propriedades mais importantes do resultado.

A função de onda que resulta disso vai ser quantizada, mas ela vai depender de mais de um número quântico.

De forma geral, ela vai ter uma parte que varia com a distância, que chamamos de função radial, e uma parte que varia com os ângulos que ela faz com os eixos x , y e z chamada função angular.

ψ = R n , l r Y l , m ( θ ,   φ )

Cada função vai depender de certos números, que são os três números quânticos (a dependência de cada uma está escrito embaixo dela):

  • O número quântico principal n
  • Ele é um número natural qualquer n = 1 ,   2 ,   …

  • O número quântico orbital l
  • Seu valor só pode variar de 0 a n - 1 .

    l = 0,1 , 2 , … n - 1 , onde n é o número quântico principal

  • O número quântico magnético m

Seu valor varia de - l até + l em passos de 1 .

m = - l ,   - l + 1 ,   … , l - 1 ,   l , onde l é o número quântico orbital.

Todas as funções de onda do hidrogênio vão ser umas equações meio doidas. O estado fundamental vai ser:

ψ 0 = 1 π a 3 ∙ e - r / a

Onde a = ϵ 0 h 2 / π m e 2 é o raio de Bohr, a = 5,29 ∙ 10 - 11   m .

Outra coisa importante é a chamada distribuição de probabilidade radial do hidrogênio.

Sabemos que ψ 2 é a densidade de probabilidade de encontrar o elétron. Assim, para um volume bem pequeninho, onde ψ 2 ≅ c o n s t a n t e , podemos aproximar essa probabilidade por:

P = ψ 2 ∙ Δ V

Onde Δ V é esse voluminho.

Porém, eu posso querer saber apenas como essa probabilidade varia ao longo da distância do elétron e do próton. Pra isso, eu uso como voluminho o espaço entre duas cascas esféricas.

Esse voluminho vai ser:

4 π r 2 Δ r

E teremos:

P = ψ 2 ∙ 4 π r 2 Δ r

E agora a probabilidade está em função de um pedacinho de distância. Chamamos de distribuição de probabilidade radial a função:

P r = ψ 2 ∙ 4 π r 2

Para o estado fundamental, teremos:

P r = 4 a 3 r 2 e - 2 r / a

Quando integramos essa função em relação a distância r , nós temos a probabilidade de achar o elétron entre duas distâncias a e b do próton.

O seu valor máximo é dado para exatamente para o raio de Bohr, r = a .

Exercícios de Livros Relacionados