Função de Onda no Átomo de Hidrogênio

Teoria Completa

Agora sim, chegou a hora de estudar o átomo de hidrogênio de verdade usando a mecânica quântica!

O átomo de hidrogênio é o átomo mais simples da tabela periódica. Ele é formado por apenas duas partículas: Um próton e um elétron.

Vamos fingir que o próton está paradão, e só o elétron se move. A energia potencial entre os dois é a energia potencial elétrica que só depende da distância r entre os dois:

U e l r = - 1 4 π ϵ 0 ∙ e 2 r

Sendo que a carga do elétron é - e e a do próton é e , com e = 1,602 ∙ 10 - 19   C a carga elementar. Além disso, o elétron pode, a princípio, se mover em qualquer direção, sendo esse um problema tridimensional.

A equação de Schrödinger ficaria algo do tipo:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ψ x , y , z ∂ x 2 + ∂ 2 ψ x , y , z ∂ y 2 + ∂ 2 ψ x , y , z ∂ z 2 + U x , y , z ψ ( x , y , z ) = E   ψ x , y ,   z

Sendo que a dependência de U com x , y , z vem pela distância entre o próton e o elétron.

r = x 2 + y 2 + z 2

Antes que você se assuste com essas equações e queira me mandar praquele lugar, eu peço que você confie em mim: Não vou ficar resolvendo esse trambolho gigante.

Vamos apenas discutir algumas propriedades mais importantes do resultado.

A função de onda que resulta disso vai ser quantizada, mas ela vai depender de mais de um número quântico.

De forma geral, ela vai ter uma parte que varia com a distância, que chamamos de função radial, e uma parte que varia com os ângulos que ela faz com os eixos x , y e z chamada função angular.

ψ = R n , l r Y l , m ( θ ,   φ )

Cada função vai depender de certos números, que são os três números quânticos (a dependência de cada uma está escrito embaixo dela):

  • O número quântico principal n
  • Ele é um número natural qualquer n = 1 ,   2 ,   …

  • O número quântico orbital l
  • Seu valor só pode variar de 0 a n - 1 .

    l = 0,1 , 2 , … n - 1 , onde n é o número quântico principal

  • O número quântico magnético m

Seu valor varia de - l até + l em passos de 1 .

m = - l ,   - l + 1 ,   … , l - 1 ,   l , onde l é o número quântico orbital.

Todas as funções de onda do hidrogênio vão ser umas equações meio doidas. O estado fundamental vai ser:

ψ 0 = 1 π a 3 ∙ e - r / a

Onde a = ϵ 0 h 2 / π m e 2 é o raio de Bohr, a = 5,29 ∙ 10 - 11   m .

Outra coisa importante é a chamada distribuição de probabilidade radial do hidrogênio.

Sabemos que ψ 2 é a densidade de probabilidade de encontrar o elétron. Assim, para um volume bem pequeninho, onde ψ 2 ≅ c o n s t a n t e , podemos aproximar essa probabilidade por:

P = ψ 2 ∙ Δ V

Onde Δ V é esse voluminho.

Porém, eu posso querer saber apenas como essa probabilidade varia ao longo da distância do elétron e do próton. Pra isso, eu uso como voluminho o espaço entre duas cascas esféricas.

Esse voluminho vai ser:

4 π r 2 Δ r

E teremos:

P = ψ 2 ∙ 4 π r 2 Δ r

E agora a probabilidade está em função de um pedacinho de distância. Chamamos de distribuição de probabilidade radial a função:

P r = ψ 2 ∙ 4 π r 2

Para o estado fundamental, teremos:

P r = 4 a 3 r 2 e - 2 r / a

Quando integramos essa função em relação a distância r , nós temos a probabilidade de achar o elétron entre duas distâncias a e b do próton.

O seu valor máximo é dado para exatamente para o raio de Bohr, r = a .

Expandir

Exercício Resolvido #1

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 242-31

Para o átomo de hidrogênio no estado fundamental, calcule:

  1. A densidade de probabilidade ψ 2 ⁡ r para r = a , onde a é o raio de Bohr.
  2. A densidade de probabilidade radial P ⁡ r para r = a , onde a é o raio de Bohr.
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Passo 1

Letra a)

A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é:

ψ r = 1 π a 3 e - r / a

Onde a é o raio de Bohr.

Temos então:

ψ 2 r = a = 1 π a 3 e - a a 2 = 1 e 2 ∙ π a 3

Substituindo, sendo a ≅ 5,292 ∙ 10 - 11   m

ψ 2 a = 1 π ∙ 5,292 ∙ 10 - 11 3 ∙ e 2 ≅ 2,9067 ∙ 10 29   m - 3 ≅ 290,67   n m - 3

Passo 2

Letra b)

A densidade de probabilidade radial é dada por:

P r = 4 a 3 ∙ r 2 e - 2 r / a

Em r = a , temos:

P a = 4 a ∙ e - 2 = 4 e 2 ∙ a ≅ 1,023 ∙ 10 10   m - 1 = 10,23   n m - 1

Resposta

Letra a)

ψ 2 a ≅ 2,9067 ∙ 10 29   m - 3 = 290,67   n m - 3

Letra b)

P a ≅ 1,023 ∙ 10 10   m - 1 = 10,23   n m - 1

Exercício Resolvido #2

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 243-41

Qual é a probabilidade de que, no estado fundamental do átomo de hidrogênio, o elétron seja encontrado a uma distância do núcleo maior que o raio de Bohr?

Sugestão:

É possível provar que a probabilidade p r de que o elétron no estado fundamental seja encontrado no interior de uma esfera de raio r e centrada no núcleo do átomo é dada por:

p r = 1 - e - 2 x 1 + 2 x + 2 x 2

Onde x = r / a , com a sendo o raio de Bohr.

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Passo 1

A fórmula dada serve para calcular a probabilidade de encontrarmos o elétron a uma distância do núcleo menor que o raio de Bohr.

Porém, ou o elétron é encontrado a uma distância maior que o raio de Bohr ou a uma distância menor. Logo, a probabilidade dos dois somada é igual a 1 (porque pelo menos um dos dois TEM que acontecer). Logo, queremos achar:

P = 1 - p a

Passo 2

Para r = a , temos x = 1 .

p a = 1 - e - 2 1 + 2 + 2 = 1 - 5 e 2 ≅ 0,3233

Logo:

P = 1 - p a ≅ 1 - 0,3233 ≅ 0,6767 = 67,67 %

Resposta

P ≅ 0,6767 = 67,67 %

Exercício Resolvido #3

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 243-51

Qual é a probabilidade de que um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja encontrado na região entre duas cascas esféricas de raios r e r + Δ r :

  1. Se r = 0,500 a e Δ r = 0,010 a , onde a é o raio de Bohr?
  2. Se r = 1,00 a e Δ r = 0,01 a , onde a é o raio de Bohr?

(Sugestão:

Δ r é suficientemente pequeno para que a densidade de probabilidade radial seja considerada constante entre r e r + Δ r )

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Passo 1

Pela aproximação de Δ r muito pequeno, podemos dizer que a probabilidade p r de um elétron estar entre duas cascas esféricas de raios r e r + Δ r será:

p r = P ⁡ r ∙ Δ r

Onde P r é a densidade de probabilidade radial do elétron, dada por:

P r = 4 a 3 ∙ r 2 e - 2 r / a

Passo 2

Letra a)

Para r = 0,5 a = a / 2   , temos:

P r = 4 a 3 ∙ a 2 4 ∙ e - 1 = 1 e ∙ a

p r ≅ 1 e ∙ a ∙ 0,01 a = 10 - 2 e ≅ 0,00368 = 0,368 %

Passo 3

Letra b)

Para r = a   , temos:

P r = 4 a 3 ∙ a 2 ∙ e - 2 = 4 e 2 ∙ a

p r ≅ 4 e 2 ∙ a ∙ 0,01 a = 0,04 e 2 ≅ 0,00541 = 0,541 %

Resposta

Letra a)

p r ≅ 0,00368 = 0,368 %

Letra b)

p r ≅ 0,00541 = 0,541 %

Exercício Resolvido #4

Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 243-53

Para que valor do número quântico principal n o raio efetivo que aparece em um gráfico de pontos da densidade de probabilidade radial do átomo de hidrogênio é igual a 1,0   m m ?

Suponha que o valor de l é o maior possível, n - 1 .

(Sugestão: Veja a Fig.39-25 )

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Passo 1

O raio efetivo que aparece no gráfico é:

r = n 2 a

Rearrumando:

n = r a

Onde:

  • r = 1   m m = 10 - 3   m
  • a ≅ 5,292 ∙ 10 - 11   m

n = 10 - 3 5,292 ∙ 10 - 11 = 0,4347 ∙ 10 4 = 4347

Resposta

n = 4347

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