Função de Onda no Átomo de Hidrogênio
Produzido por Bruno SoaresTeoria
Agora sim, chegou a hora de estudar o átomo de hidrogênio de verdade usando a mecânica quântica!
O átomo de hidrogênio é o átomo mais simples da tabela periódica. Ele é formado por apenas duas partículas: Um próton e um elétron.
Vamos fingir que o próton está paradão, e só o elétron se move. A energia potencial entre os dois é a energia potencial elétrica que só depende da distância entre os dois:
Sendo que a carga do elétron é e a do próton é , com a carga elementar. Além disso, o elétron pode, a princípio, se mover em qualquer direção, sendo esse um problema tridimensional.
A equação de Schrödinger ficaria algo do tipo:
Sendo que a dependência de com vem pela distância entre o próton e o elétron.
Antes que você se assuste com essas equações e queira me mandar praquele lugar, eu peço que você confie em mim: Não vou ficar resolvendo esse trambolho gigante.
Vamos apenas discutir algumas propriedades mais importantes do resultado.
A função de onda que resulta disso vai ser quantizada, mas ela vai depender de mais de um número quântico.
De forma geral, ela vai ter uma parte que varia com a distância, que chamamos de função radial, e uma parte que varia com os ângulos que ela faz com os eixos , e chamada função angular.
Cada função vai depender de certos números, que são os três números quânticos (a dependência de cada uma está escrito embaixo dela):
- O número quântico principal
- O número quântico orbital
- O número quântico magnético
Ele é um número natural qualquer
Seu valor só pode variar de a .
, onde é o número quântico principal
Seu valor varia de até em passos de .
, onde é o número quântico orbital.
Todas as funções de onda do hidrogênio vão ser umas equações meio doidas. O estado fundamental vai ser:
Onde é o raio de Bohr, .
Outra coisa importante é a chamada distribuição de probabilidade radial do hidrogênio.
Sabemos que é a densidade de probabilidade de encontrar o elétron. Assim, para um volume bem pequeninho, onde , podemos aproximar essa probabilidade por:
Onde é esse voluminho.
Porém, eu posso querer saber apenas como essa probabilidade varia ao longo da distância do elétron e do próton. Pra isso, eu uso como voluminho o espaço entre duas cascas esféricas.
Esse voluminho vai ser:
E teremos:
E agora a probabilidade está em função de um pedacinho de distância. Chamamos de distribuição de probabilidade radial a função:
Para o estado fundamental, teremos:
Quando integramos essa função em relação a distância , nós temos a probabilidade de achar o elétron entre duas distâncias e do próton.
O seu valor máximo é dado para exatamente para o raio de Bohr, .