Teorema Trabalho-Energia

Teoria Completa

O primeiro postulado da relatividade diz que:

“As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Não existe um referencial absoluto”.

Num passado não muito distante, nós definimos que o trabalho realizado por uma força é igual à variação da energia cinética, lembra disso? (Diz que sim, por favor)

Boa! :D

Então, partindo do primeiro postulado da relatividade, isso deve permanecer válido.

Ali atrás, nós definimos a energia cinética relativística da seguinte forma:

K = m c 2 γ - 1

Onde γ é o fator de Lorentz, dado por:

γ = 1 1 - v 2 c 2

Portanto, pela definição, o trabalho realizado por uma força sobre um corpo será dado por:

W = Δ K

W = m c 2 γ f - γ i

Onde γ f e γ i são os fatores de Lorentz final e inicial, respectivamente.

Show! Agora vamos trabalhar isso nos exercícios de fixação. Partiu!

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 180-41.

Determine o trabalho necessário para aumentar a velocidade de um elétron a de 0,18 c para 0,19 c e b de 0,98 c para 0,99 c .

Observe que o aumento de velocidade é o mesmo 0,01 c nos dois casos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a Determine o trabalho para aumentar a velocidade de um elétron de 0,18 c para 0,19 c .

Vimos que o trabalho é igual à variação da energia cinética, logo:

W = Δ K

W = m c 2 γ f - γ i

Onde:

m = 9,11 × 10 - 31 k g

c = 3 × 10 8   m / s

γ f = 1 1 - 0,19 c c 2 = 1,018

γ i = 1 1 - 0,18 c c 2 = 1,016

Assim, o trabalho será:

W = 9,11 × 10 - 31 × 3 × 10 8 2 × 1,018 - 1,016

W ≅ 1,6 × 10 - 16 J

Passo 2

b Determine o trabalho para aumentar a velocidade de um elétron de 0,98 c para 0,99 c .

A ideia aqui é a mesma, então partiu!

W = m c 2 γ f - γ i

Onde:

m = 9,11 × 10 - 31 k g

c = 3 × 10 8   m / s

γ f = 1 1 - 0,99 c c 2 = 7,088

γ i = 1 1 - 0,98 c c 2 = 5,025

Assim, o trabalho será:

W = 9,11 × 10 - 31 × 3 × 10 8 2 × 7,088 - 5,025

W ≅ 1,7 × 10 - 13 J

Resposta

a

W ≅ 1,6 × 10 - 16 J

b

W ≅ 1,7 × 10 - 13 J

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P3-2012.2-1ii

I

b ) Calcule o trabalho necessário para acelerar um elétron do repouso até a velocidade v = 0,99 c . A massa do elétron é 9,1 × 10 - 31   k g .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

b )

Quando estamos falando em trabalho e em variação de velocidade, devemos sempre pensar em usar o teorema do trabalho e energia cinética:

W = Δ K

W = K f - K i

Como o elétron parte do repouso, temos que K i = 0 . Além disso podemos utilizar a definição da energia cinética relativística.

W = m . c 2 . γ - 1 + 0

Onde γ = 1 1 - v c 2   é denominado fator de Lorentz

Passo 2

Antes de calcular efetivamente o trabalho, vamos primeiro determinar o valor de γ :

γ = 1 1 - v c 2

γ = 1 1 - 0,99 2

γ = 7.089

Passo 3

Agora podemos voltar à equação do trabalho:

W =   m . c 2 . γ - 1

Substituindo os valores, temos:

W = 9,1 × 10 - 31   .   3,0 × 10 8 2 . ( 7,089 - 1 )

W = 4,987 × 10 - 13   J

Resposta

b ) W = 4,987 × 10 - 13   J

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P3-2013.1

b ) Calcule o trabalho o necessário para acelerar um próton do repouso até a velocidade v = 0,90 . c . A massa do próton é 1,672 × 10 - 27   k g = 0,93827   G e V / c 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Quando estamos tratando de trabalho e energia cinética, devemos sempre pensar no teorema do trabalho e energia cinética, que diz;

W = Δ K

W = K f - K i

Pela definição de energia cinética relativística, temos:

W = γ - 1 . m p . c 2 - K i

Onde γ é o fator de Lorentz

Passo 2

Vamos primeiro determinar o valor de γ :

γ = 1 1 - v c 2  

Substituindo os valores, temos:

γ = 1 1 - 0,90 2      

γ = 2,294

Passo 3

Agora sim podemos determinar o trabalho:

W = γ - 1 . m p . c 2 - K i

Substituindo os valore, temos:

W = 2,294 - 1 . 0,93827 - 0

W = 1,214   G e V

Resposta

W = 1,214   G e V

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