Momento Linear Relativístico

Teoria Completa

O princípio da conservação do momento linear fala que “quando dois corpos interagem, o momento linear permanece constante” (quando não há presença de forças externas).

Para que essa lei esteja certa, ela deve ser válida em todos os sistemas referenciais.

O problema é o seguinte: vamos supor que estamos analisando uma certa colisão de acordo com o referencial em repouso S e vemos que o momento linear se conserva.

Porém, quando usamos as Transformações de Lorentz para analisar a mesma colisão de um referencial em movimento S ' , vemos que o momento linear não se conserva se usarmos a definição de momento linear que usávamos até agora:

p → = m v →

Mas o 1º postulado de Einstein (Princípio da Relatividade) nos diz que “As leis físicas são as mesmas em qualquer sistema referencial inercial.

Então precisamos fazer algo para que o princípio da conservação do momento linear permaneça válido!

Relaxa! Não vale a pena nós ficarmos nos preocupando com deduções, então já vou te colocar de cara pro gol.

O momento linear relativístico de um corpo é dado por:

p → = m v → 1 - v 2 / c 2 = γ m v →

M o m e n t o   l i n e a r   r e l a t i v í s t i c o

Onde v é a velocidade da partícula, ou objeto, do qual estamos calculando o momento linear.

Lembrando que γ é o fator de Lorentz, dado por:

γ = 1 1 - v 2 / c 2

Se liga! Repara que a única diferença dessa fórmula para a fórmula de momento linear que usávamos antes é o γ , que aparece multiplicando ali. É como se o γ fosse uma espécie de “fator de correção” entre o que usávamos antes e o que vamos passar a considerar.

Talvez isso o que eu disse facilite um pouco a sua vida pra gravar as fórmulas... se não facilitar, então esquece o que eu disse, beleza?

Vamos continuar! Graficamente, vai acontecer o seguinte:

A linha vermelha representa a expressão do momento linear que usávamos até então p → = m v → e a linha azul representa a expressão do momento linear relativístico.

No capítulo anterior vimos a definição de massa relativística... então podemos reescrever a expressão do momento linear relativístico da seguinte forma:

p → = m r v →

Onde m r é a massa relativística, dada por:

m r = γ m = m 1 - v 2 / c 2

M a s s a   r e l a t i v í s t i c a

Correlações importantes!

Existem outras duas relações entre energia relativística e momento relativístico que são muito importantes!

A primeira delas nós encontramos quando multiplicamos o momento relativístico por c 2 e comparamos com a energia. Dá uma olhada!

p c 2 = γ m v c 2 = E v

v c = p c E

Esta é a primeira relação!

A segunda é uma equação que relaciona a energia total E , a energia em repouso m c 2 e o momento linear p , dada por:

E 2 = m c 2 2 + p c 2

Ou:

γ m c 2 2 = m c 2 2 + p c 2

Eu sei que é muita coisa... mas essas relações são bem importantes de se ter em mente, então não dê mole!

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 180-45.

Qual deve ser o momento de uma partícula de massa m para que a energia total da partícula seja 3,0 vezes maior que a energia de repouso?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A equação que relaciona a energia total, o momento linear e a energia de repouso é dada por:

E 2 = m c 2 2 + p c 2

E com ela mesmo vamos conseguir resolver a nossa vida. Já que queremos saber o momento para o qual E = 3 m c 2 , vamos jogar isso na equação de cima e organizar os termos aos poucos, beleza?

3 m c 2 2 = m c 2 2 + p c 2

Show! Vamos arrumar isso:

9 m c 2 2 = m c 2 2 + p c 2

9 m c 2 2 - m c 2 2 = p c 2

8 m c 2 2 = p c 2

p c = 8 m c 2

Finalmente:

p = 8 m c

p ≅ 2,83 m c

Resposta

p ≅ 2,83 m c

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P3-2013.1-1c

A energia total de um elétron em uma certa fissão nuclear é 2,40   M e V .

c ) Calcule o momento linear p e em M e V / c e a velocidade u desse elétron em função de c . A energia de repouso do elétron é 0,511   M e V .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Quando temos o valor da energia total dado, temos sempre que lembrar da fórmula da energia total. Vamos primeiro determinar o momento linear. Para isso, vamos utilizar a fórmula de energia total:

E 2 = p . c 2 + m . c 2 2

Onde ( m . c 2 ) , como sabemos, é a energia de repouso, que também foi dada. Então, para achar o momento linear, é só substituir:

2,40 2 = p . c 2 + 0,511 2

Como está tudo em M e V , não precisamos nos preocupar em substituir as unidades!

p . c = 5,499

p = 2,345   M e V / c

Passo 2

Agora que temos o momento linear, podemos determinar a velocidade, é só lembrar da relação entre os dois valores:

p = E c 2 . u

Substituindo os valores, temos:

Ahhh...não se esqueça que o momento linear está dividido por c . E como está tudo na mesma unidade, não precisamos nos preocupar!

2,345 c = 2,40 c 2 . u

u = 0.977 . c

Resposta

c ) p = 2,345   M e V / c ; u = 0.977 . c

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P3-2013.2-1b

O momento linear de um próton é 2,5   G e V / c .

Calcule a energia total desse próton em G e V .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para determinar a energia total através do momento linear, podemos utilizar a seguinte relação:

E 2 = p . c 2 + m . c 2 2

Sabendo que:

m p . c 2 = 0,93957   G e V

Calma....esses valores normalmente são dados na capa da prova!

Passo 2

Teremos para a energia do próton:

E p 2 = p . c 2 + m p . c 2 2

Substituindo os valores, fica:

E p 2 = 2,5 2 + 0,938 2

Opaaa...onde foi parar o c que estava multiplicando o momento linear? Calma...o momento foi dado em G e V / c , e por isso é só cortar o c ! Ahh...como está tudo em G e V , não precisamos nos preocupar em igualar as unidades. Mas fique sempre de olho nisso!

Passo 3

Voltando para a energia total, temos:

E p = 7,13

E p = 2,67   G e V

Resposta

E p = 2,67   G e V

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