Momento Linear Relativístico

Teoria Completa

Introdução

Você que chegou até aqui deve saber bem como calcular um momento linear certo? Bom e se eu te pedir pra me ajudar a calcular o momento linear de uma partícula de 1 μ g que viaja com uma velocidade v = 0,8 c , será que a gente consegue?

O momento linear que a gente conhece é:

p → = m v →

Onde v é a velocidade da partícula, ou objeto, do qual estamos calculando o momento linear e m é a massa do objeto.

AH então é só substituir os valores aqui e já era né?

c = 3 × 10 8 m / s  

m = 10 - 6 g = 10 - 9 k g

p = 10 - 9 × 0,8 × 3 × 10 8 = 0 , 24 k g m / s

Errado! Esquecemos de considerar os efeitos da relatividade.

Momento Linear Relativístico

Mas então no caso relativístico, quais mudanças teremos?

No capítulo anterior vimos a definição de massa relativística, e vimos que quando as velocidades são muito altas a massa também sofre distorção.

Então podemos escrever a expressão do momento linear relativístico da seguinte forma:

p → = m r v →

Onde m r é a massa relativística, dada por:

m r = γ m

Lembrando que γ é o fator de Lorentz, dado por:

γ = 1 1 - v 2 / c 2

Sendo assim temos:

m r = m 1 - v 2 / c 2

M a s s a   r e l a t i v í s t i c a

Então podemos dizer que o momento linear relativístico nada mais é que:

p → = γ m v →

M o m e n t o   l i n e a r   r e l a t i v í s t i c o

Se liga! Repara que a única diferença dessa fórmula para a fórmula de momento linear que usávamos antes é o fator de Lorentz γ , que aparece multiplicando ali. A gente pode dizer que o fator de Lorentz é uma espécie de fator de correção.

Então pro nosso exemplo o primeiro passo é calcular o fator de Lorentz:

γ = 1 1 - 0,8 c c 2 = 1 0,36

γ = 10 6 = 5 3

E então como eu disse a única coisa que muda é o fator de Lorentz, vamos pegar o valor que encontramos e multiplicar por ele, beleza?

Como:

m v → = 0,24 k g m / s

p → = γ m v →

p → = 5 3 × 0,24 = 0,40 k g m / s

Viu, são bem diferentes os valores, então fique atento pra não errar isso. Se a gente analisar graficamente a relação dos momentos lineares poderemos ver o quão diferente são conforme a velocidade se aproxima á da luz.

A linha vermelha representa a expressão do momento linear que usávamos até então p → = m v → e a linha azul representa a expressão do momento linear relativístico.

Correlações importantes!

Existem outras relações entre energia relativística e momento relativístico que são muito importantes!

Lembra que a energia total relativística era dada por:

E = γ m c 2

A primeira delas nós encontramos quando multiplicamos o momento relativístico por c 2 e comparamos com a energia. Dá uma olhada!

p c 2 = γ m v c 2 = E v

Se a gente rearrumar então temos:

v c = p c E

Esta é a primeira relação!

A segunda é uma equação que relaciona a energia total E , a energia em repouso m c 2 e o momento linear p , e a gente costuma dizer que esse é o “Teorema de Pitágoras relativístico”.

Existe uma forma matemática que leva um pouco de tempo pra chegar nessa equação. Porém após deduzida, a galera percebeu uma forma mais fácil de calculá-la, é só montar o seguinte triângulo:

E aplicar nele o teorema de Pitágoras:

E 2 = m c 2 2 + p c 2

Ou:

γ m c 2 2 = m c 2 2 + p c 2

Também podemos relacionar o momento linear com a energia cinética relativística:

E = E C + E R e p o u s o

Onde:

E r e p o u s o = m c 2

E - m c 2 = E C

E substituindo o valor da energia total temos:

γ m c 2 - m c 2 = E C

E c = m c 2 γ - 1

E pra achar a relação é só multiplicar os dois lados por v :

E c v = p c 2 γ - 1

Vamos aplicar isso?

Um elétron possui energia cinética de 2,53 M e V , sabendo que a energia em repouso do elétron é m c 2 = 0,511 M e V calcule o momento linear em função da velocidade da luz:

Vamos começar usando a equação da energia total:

E = E c + E R e p

E = 2,53 + 0,511 = 3,041 M e V

Agora usando o teorema de Pitágoras relativístico temos:

E 2 = m c 2 2 + p c 2

p 2 c 2 = E 2 - m c 2 2

Extraindo a raiz:

p c = ( E 2 - m c 2 2 )

Agora vamos substituir os valores conhecidos:

p c = 3,041 2 - 0,511 2

p c = 2,99 M e V . m / s

p = 2,99 c M e V

É comum os exercícios cobrarem o momento linear em função da velocidade da luz c , e até nas provas fica mais fácil de corrigir.

O foco principal é saber usar as relações e não esquecer do fator de Lorentz pra esse tipo de momento linear, beleza?

Bora pros exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, Volume 4 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 180-45.

Qual deve ser o momento de uma partícula de massa m para que a energia total da partícula seja 3,0 vezes maior que a energia de repouso?

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Passo 1

A equação que relaciona a energia total, o momento linear e a energia de repouso é dada por:

E 2 = m c 2 2 + p c 2

E com ela mesmo vamos conseguir resolver a nossa vida. Já que queremos saber o momento para o qual E = 3 m c 2 , vamos jogar isso na equação de cima e organizar os termos aos poucos, beleza?

3 m c 2 2 = m c 2 2 + p c 2

Show! Vamos arrumar isso:

9 m c 2 2 = m c 2 2 + p c 2

9 m c 2 2 - m c 2 2 = p c 2

8 m c 2 2 = p c 2

p c = 8 m c 2

Finalmente:

p = 8 m c

p ≅ 2,83 m c

Resposta

p ≅ 2,83 m c

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P3-2013.1-1c

A energia total de um elétron em uma certa fissão nuclear é 2,40   M e V .

c ) Calcule o momento linear p e em M e V / c e a velocidade u desse elétron em função de c . A energia de repouso do elétron é 0,511   M e V .

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Passo 1

Quando temos o valor da energia total dado, temos sempre que lembrar da fórmula da energia total. Vamos primeiro determinar o momento linear. Para isso, vamos utilizar a fórmula de energia total:

E 2 = p . c 2 + m . c 2 2

Onde ( m . c 2 ) , como sabemos, é a energia de repouso, que também foi dada. Então, para achar o momento linear, é só substituir:

2,40 2 = p . c 2 + 0,511 2

Como está tudo em M e V , não precisamos nos preocupar em substituir as unidades!

p . c = 5,499

p = 2,345   M e V / c

Passo 2

Agora que temos o momento linear, podemos determinar a velocidade, é só lembrar da relação entre os dois valores:

p = E c 2 . u

Substituindo os valores, temos:

Ahhh...não se esqueça que o momento linear está dividido por c . E como está tudo na mesma unidade, não precisamos nos preocupar!

2,345 c = 2,40 c 2 . u

u = 0.977 . c

Resposta

c ) p = 2,345   M e V / c ; u = 0.977 . c

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P3-2013.2-1b

O momento linear de um próton é 2,5   G e V / c .

Calcule a energia total desse próton em G e V .

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Passo 1

Para determinar a energia total através do momento linear, podemos utilizar a seguinte relação:

E 2 = p . c 2 + m . c 2 2

Sabendo que:

m p . c 2 = 0,93957   G e V

Calma....esses valores normalmente são dados na capa da prova!

Passo 2

Teremos para a energia do próton:

E p 2 = p . c 2 + m p . c 2 2

Substituindo os valores, fica:

E p 2 = 2,5 2 + 0,938 2