Momento Linear

Resumo Completo

Introdução

Momento linear é uma grandeza vetorial que nos ajuda a estudar as interações entre os objetos. Momento linear também é conhecido por: Quantidade de Movimento

O momento linear é uma característica que um objeto ou um sistema tem relacionado a sua massa e velocidade.

Calculando o Momento Linear

Para calcular o momento linear de uma partícula basta você multiplicar a massa da partícula por sua velocidade.

p = m . v

Momento linear ou quantidade de movimento são representados por p , como a massa m é uma medida escalar então o vetor momento linear terá a mesma direção e sentido do vetor velocidade v

Sendo p um vetor podemos calcular o módulo do vetor momento linear

p = p x 2 + p y 2 + p z 2

Se a massa for constante podemos dizer que

p = m . v

Momento Linear de um Sistema

O momento linear de um sistema é a soma de todos momentos lineares de todos os objetos nesse sistema

p s i s t e m a = i = 1 i = n p i

Ou seja, em um sistema composto por três bolas o momento linear do sistema p s i s t e m a é dado por

p s i s t e m a = p b o l a 1 + p b o l a 2 + p b o l a 3

Variação do Momento Linear

Um objeto pode variar facilmente a velocidade, certo? O que implica que o momento linear irá variar, e vamos calcular essa variação olhando o estado inicial e final do movimento, assim

Δ p = p f - p 0

Assim,

Δ p = m f . v f - m 0 . v 0

Como a massa em 99,99 % dos casos é constante podemos reescrever essa fórmula da seguinte maneira:

Δ p = m . ( v f - v 0 )  

Momento Linear e Energia Cinética

Ambas grandezas são calculadas somente com a massa e a velocidade de um objeto, então podemos relacionar as duas grandezas? Se você está perguntando é porque podemos né!

É isso ae, vamos ver como relacionar essas grandezas então. Isolando o módulo da velocidade na equação do módulo do momento linear

| v | = | p | m

Vamos substituir esse valor na equação da energia cinética

k = 1 2 . m . v 2 = 1 2 . m . | p | m 2

k = | p | 2 2 m

Podemos dizer que

k = | p | 2 2 m

Ou

p = 2 . m . k

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 252 – Modificado

Um caminhão de 10.000   kg que se desloca com velocidade de 12,0   m / s , da direita para esquerda.

a) Qual o módulo do momento linear desse caminhão?

b) Qual deve ser a velocidade de um carro esportivo de 2000   kg para que ele tenha i) o mesmo momento de linear do caminhão? ii) a mesma energia cinética?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a   Para calcular o momento linear basta usarmos a fórmula

p = m v

Repara que a velocidade vai ser

v = - 12   i ^ + 0 j ^  m / s

Ela é negativa porque se move para esquerda.

O momento linear vai ser

p = 10000 - 12   i ^ = - 120.000   i ^   kg⋅m / s

p = 120000   kg⋅m/s

Passo 2

b i)

O momento linear do carro vai ser

p carro = m carro v carro

Como ele é igual ao do caminhão calculado ali em cima

- 120000   i ^ = 2000 . v carro

v carro = - 60   i ^   m/s

Ele se move para esquerda com velocidade de 60   m / s

Passo 3

ii) Precisamos primeiro calcular a velocidade cinética do caminhão

K caminhão = m caminhão v 2 2

K caminhão = 10000 - 12 2 2 = 720000   J

Passo 4

Precisamos agora ver como seria a energia cinética do carro

K carro = m carro v carro 2 2

Substituindo os valores que já temos

720000 = 2000   v carro 2 2

v carro = 26,83   m / s

A velocidade do carro tem módulo 26,83   m / s não podemos afirmar nada sobre a direção ou sentido desse movimento.

Resposta

a   p = 120000 . i ^   kg m / s

b   i. v c a r r o = - 60   i ^   m/s

ii. v c a r r o = 26,83   m / s

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 252

Uma bola de futebol com massa igual a 0,420   kg se desloca com velocidade de 4,50   m / s formando um ângulo de 20,0 ° no sentido anti-horário em relação ao eixo + O x . Quais são os componentes x e y do momento linear?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O momento linear depende da velocidade, vamos começar achando as componentes da velocidade, usando a “regra do COlado/SEparado”.

v x = v cos 20 ° = 4,5   0,939 = 4,23   m / s

v y = v sen 20 ° = 4,5   0,342 = 1,54   m / s

Passo 2

Beleza, agora precisamos achar as componentes do momento linear, mas como? Usando a fórmula, basta multiplicar cada componente pela massa da bola.

p x = m   v x = 0,420   4,23 = 1,7766   kg⋅m / s

p y = m   v y = 0,420   1,54 = 0,6468   kg⋅m / s

Resposta

p x = 1,7766   kg⋅m / s

p y = 0,6468   kg⋅m / s

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 252-6

Dois veículos se aproximam de um cruzamento. Um deles é uma caminhonete de 2.500   k g que se desloca a 14,0   m / s   do leste para oeste (no sentido negativo de x ), e o outro é um carro de passeio de 1500   k g   que segue do sul para o norte no sentido positivo de y , a 23,0   m / s . a Ache as componentes x e y do momento linear resultante desse sistema. b   Quais são o módulo, a direção e o sentido do momento linear resultante?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a   O momento linear resultante do sistema é a soma dos momentos, então vamos calcular o momento linear da caminhonete e do carro de passeio para depois soma-los.

Momento linear da caminhonete:

p c = 2500   .   - 14   . i ^

p c = - 35000 . i ^   k g . m / s

Momento linear do carro de passeio:

p p = 1500   .   23 . j ^

p p = 34500 . j ^   k g . m / s

Momento linear do sistema:

p s i s t e m a = p c + p p

p s i s t e m a = - 35000 . i ^ + 34500 . j ^

p x = - 35000   k g . m / s

E

p y = 34500   k g . m / s

Passo 2

b O sentido e direção são dados quando representamos o vetor pelos unitários i ^ e j ^

p s i s t e m a = - 35000 . i ^ + 34500 . j ^

Calculando o módulo de p

p = - 35000 2 + 34500 2

p = 49145,19   k g . m / s

Resposta

a   p x = - 35000   k g . m / s

p y = 34500   k g . m / s

b   p s i s t e m a = - 35000 . i ^ + 34500 . j ^ ;

p = 49145,19   k g . m / s

Exercício Resolvido #4

Enunciado

UFF-2ª Prova-2014.1

Um caminhão de 3 t   ( 3.000   k g ) de massa e uma bicicleta de 10   k g de massa movem-se com velocidade de 20 k m / h ~ 5,6   m / s . Das afirmações abaixo, qual é a verdadeira?

( a ) O momento linear é uma grandeza escalar e, portanto, não depende nem da direção nem do sentido da velocidade.

b Como o caminhão e a bicicleta têm a mesma velocidade, o momento linear também é o mesmo.

c O momento linear do caminhão tem valor 16,8   k g . m / s e sempre o mesmo sentido de sua velocidade.

d Os vetores momento linear do caminhão e da bicicleta serão iguais caso eles tenham velocidades com a mesma direção e mesmo sentido.

e O módulo do momento linear de cada um deles é diferente porque suas massa são diferentes.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para determinar a afirmação correta, vamos relembrar da definição de momento linear:

p = m .   v

Portanto, se trata de um vetor que possui a mesma direção e sentido que o vetor velocidade.

Como, nesse exercício, ambos possuem a mesma velocidade, podemos inferir que o módulo do momento linear de cada um será diferente, tendo em vista que as massas são diferentes.

Resposta

e

Exercício Resolvido #5

Enunciado

UFF-2ª Prova-2014.2

Considere estas três situações:

( i ) Uma bola se movendo para a direita com rapidez v chega ao repouso.

( i i ) A mesma bola em repouso é projetada com rapidez v para a esquerda.

( i i i ) A mesma bola se movendo para a esquerda com rapidez v acelera para 2 v também para a esquerda.

Em qual situação (ou situações) o módulo da variação de momento linear da bola é maior?

a ) Na situação i .

b ) Na situação ( i i ) .

c ) Na situação ( i i i ) .

d ) Nas situações ( i ) e ( i i ) .

e ) A variação é a mesma nas três situações.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para determinar a variação do momento linear, vamos começar relembrando sua definição:

Δ p = m . v f - m . v 0

Para a situação ( i ) , temos:

Δ p = m . 0 - m . v ( x ^ )

Δ p = - m . v   ( x ^ )

Δ p = m . v

Para a situação ( i i ) , temos:

Δ p = m . v ( - x ^ ) - 0

Δ p = m . v   ( - x ^ )

Δ p = - m . v   ( x ^ )

Δ p = m . v

Para a situação ( i i i ) , temos:

Δ p = m . 2 . v - x ^ - m . v ( - x ^ )

Δ p = m . v   ( - x ^ )

Δ p = - m . v   ( x ^ )

Δ p = m . v

Portanto, temos que a variação será a mesma nas três situações!

Resposta

( e )

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 252-3.

a   Mostre que a energia cinética K e o módulo de momento linear p de uma partícula de massa m são relacionados por k = p 2 / 2 m   . b Um cardeal (Richmondena Cardinalis) com massa de 0,040   k g   e uma bola de beisebol de 0,145   k g possuem a mesma energia cinética. Qual desses corpos possui o maior momento linear? Qual é a razão entre o módulo do momento linear do cardeal e o módulo do momento linear da bola de beisebol? c Um homem com 700   N e uma mulher com 450   N possuem o mesmo momento linear. Quem possui a maior energia cinética? Qual é a razão entre a energia cinética do homem e a energia cinética da mulher?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a   Isso já fizemos na nossa teoria, né? Basta isolar o módulo da velocidade na equação de momento linear e substituir na equação da energia cinética.

p = m . v

v = p m

k = m . v 2 2

k = m . p m 2 2

k = p 2 2 . m

Passo 2

b   No problema anterior ele pede para gente provar uma fórmula que relaciona a energia cinética com o momento linear e agora nos dá a massa de dois objetos e diz que tem a mesma energia cinética e nos pede informações sobre o momento.

O problema quer que usemos a fórmula que acabamos de provar no item acima. Então vamos usar ela, né!. Mas como ele quer saber informações sobre o momento linear, vamos escrever a fórmula da seguinte maneira

p = 2 . m . k

Como o enunciado disse tanto o Cardeal quanto a bola de beisebol tem a mesma energia cinética, então quem tiver a maior massa tem o maior momento linear, certo?

m b o l a > m c a r d e a l p b o l a > p c a r d e a l

Passo 3

Agora queremos saber a razão entre os momentos lineares,

Momento do cardeal:

p c a r d e a l 2 = 2.0,04 . K

Momento da bola:

p b o l a 2 = 2.0,145 . k

Dividindo o momento linear do cardeal pelo da bola temos:

p c a r d e a l p b o l a 2 = 2.0,04 . k 2.0,145 . k

p c a r d e a l p b o l a 2 = 0,04 0,145

p c a r d e a l p b o l a 2 = 0,276  

p c a r d e a l p b o l a = 0 , 525

Passo 4

c   Primeiro temos que perceber que o problema nos dá o peso que é

P = m . g

Então a massa que nos interessa é dada por

m = P g

Como queremos informações sobre a energia cinética vamos usar aquela primeira fórmula mesmo

k = p 2 2 m

k = p 2 2 . P g

Como o homem e a mulher tem o mesmo momento linear, pela fórmula logo acima vemos que quem tiver maior peso terá a menor energia cinética, assim

P h = 700 N > P m = 450 N k h < k m

Passo 5

Vamos escrever a energia cinética de cada para podermos fazer a razão delas

Energia cinética do homem

k h = p 2 . g 2.700

Ennergia cinética da mulher

k m = p 2 . g 2.450

Fazendo a razão da energia cinética do homem pela d amulher temos

k h k m = 450 700

k h k m = 0,64

Resposta

b   p b o l a > p c a r d e a l   ;   p c a r d e a l p b o l a = 0,525  

c   k h < k m ;     k h k m = 0,64

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