Teoria

Preparado para sair daqui sabendo tudo sobre momento linear? Então vamos lá!

O momento linear, também conhecido como quantidade de movimento, é uma grandeza vetorial (tem módulo, direção e sentido) que relaciona a massa e velocidade de um objeto. Sua fórmula é a seguinte:

Onde:

  • é o momento linear ou quantidade de movimento;
  • é a massa do objeto, expressa em no SI, e;
  • é a velocidade do objeto, expressa em no SI.

📢 PONTOS IMPORTANTES:

  • O momento linear vai ser expresso em no SI;
  • Como a massa é um escalar, o vetor momento linear terá a mesma direção e sentido do vetor velocidade.
  • Sendo a massa constante, o módulo do vetor momento linear será igual ao módulo do vetor velocidade vezes a massa:

Começamos definindo o momento linear para um único objeto, porém essa grandeza tem muita utilidade no estudo de sistemas e transferência de movimento que ocorrem entre os corpos do sistema ao interagirem e/ou colidirem.

Por isso, é importante definirmos também o momento linear de um sistema.

O momento linear de um sistema nada mais é que a soma de todos os momentos lineares de todos os objetos do sistema. Por exemplo, se temos um sistema com 3 "bolinhas", seu momento linear será:

Podemos generalizar para um sistema composto por objetos:

📢 IMPORTANTÍSSIMO: Essa soma é uma SOMA VETORIAL. Não esquece disso beleza?

Ahhh, mais uma coisa legal. Podemos relacionar o momento linear com a energia cinética do objeto, através dessa fórmula aqui:

Onde:

  • é a energia cinética, e;
  • os demais símbolos já foram identificados anteriormente.

Vamos fazer um exemplinho aqui, para fixar.

Um carro de massa se move com velocidade igual a . Calcule seu momento linear.

RESOLUÇÃO:

Tudo que temos que fazer é aplicar a fórmula do momento linear:

Como a massa é constante:

A direção e sentido, como dissemos são os mesmo que o do vetor velocidade.

E é isso... Finalizamos esse conteúdo

Agora vamos praticar bastante!!!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um caminhão de 10.000   kg que se desloca com velocidade de 12,0   m / s , da direita para esquerda.

a) Qual o módulo do momento linear desse caminhão?

b) Qual deve ser a velocidade de um carro esportivo de 2000   kg para que ele tenha i) o mesmo momento de linear do caminhão? ii) a mesma energia cinética?

Passo 1

a   Para calcular o momento linear basta usarmos a fórmula

p → = m v →

Repara que a velocidade vai ser

v → = - 12   i ^ + 0 j ^  m / s

Ela é negativa porque se move para esquerda.

O momento linear vai ser

p → = 10000 ⋅ - 12   i ^ = - 120.000   i ^   kg⋅m / s

p = - 120000   kg⋅m/s

p = | 120000   kg⋅m/s |

Passo 2

b i)

O momento linear do carro vai ser

p → carro = m carro v → carro

Como ele é igual ao do caminhão calculado ali em cima

- 120000   i ^ = 2000 . v → carro

v → carro = - 60   i ^   m/s

Ele se move para esquerda com velocidade de 60   m / s

Passo 3

ii) Precisamos primeiro calcular a velocidade cinética do caminhão

K caminhão = m caminhão v 2 2

K caminhão = 10000 - 12 2 2 = 720000   J

Passo 4

Precisamos agora ver como seria a energia cinética do carro

K carro = m carro v carro 2 2

Substituindo os valores que já temos

720000 = 2000   v carro 2 2

v carro = 26,83   m / s

A velocidade do carro tem módulo 26,83   m / s não podemos afirmar nada sobre a direção ou sentido desse movimento.

Resposta

a   p = | 120000   kg⋅m/s |

b   i. v → c a r r o = - 60   i ^   m/s

ii. v c a r r o = 26,83   m / s

Exercício Resolvido #2

Uma bola de futebol com massa igual a 0,420   kg se desloca com velocidade de 4,50   m / s formando um ângulo de 20,0 ° no sentido anti-horário em relação ao eixo + O x . Quais são os componentes x e y do momento linear?

Passo 1

O momento linear depende da velocidade, vamos começar achando as componentes da velocidade, usando a “regra do COlado/SEparado”.

v x = v ⋅ cos ⁡ 20 ° = 4,5 ⋅   0,939 = 4,23   m / s

v y = v ⋅ sen ⁡ 20 ° = 4,5 ⋅   0,342 = 1,54   m / s

Passo 2

Beleza, agora precisamos achar as componentes do momento linear, mas como? Usando a fórmula, basta multiplicar cada componente pela massa da bola.

p x = m ⋅   v x = 0,420 ⋅   4,23 = 1,7766   kg⋅m / s

p y = m ⋅   v y = 0,420 ⋅   1,54 = 0,6468   kg⋅m / s

Resposta

p x = 1,7766   kg⋅m / s

p y = 0,6468   kg⋅m / s

Exercício Resolvido #3

Dois veículos se aproximam de um cruzamento. Um deles é uma caminhonete de 2.500   k g que se desloca a 14,0   m / s   do leste para oeste (no sentido negativo de x ), e o outro é um carro de passeio de 1500   k g   que segue do sul para o norte no sentido positivo de y , a 23,0   m / s . a Ache as componentes x e y do momento linear resultante desse sistema. b   Quais são o módulo, a direção e o sentido do momento linear resultante?

Passo 1

a   O momento linear resultante do sistema é a soma dos momentos, então vamos calcular o momento linear da caminhonete e do carro de passeio para depois soma-los.

Momento linear da caminhonete:

p → c = 2500   .   - 14   . i ^

p → c = - 35000 . i ^   k g . m / s

Momento linear do carro de passeio:

p → p = 1500   .   23 . j ^

p → p = 34500 . j ^   k g . m / s

Momento linear do sistema:

p → s i s t e m a = p → c + p → p

p → s i s t e m a = - 35000 . i ^ + 34500 . j ^

p x = - 35000   k g . m / s

E

p y = 34500   k g . m / s

Passo 2

b O sentido e direção são dados quando representamos o vetor pelos unitários i ^ e j ^

p → s i s t e m a = - 35000 . i ^ + 34500 . j ^

Calculando o módulo de p →

p → = - 35000 2 + 34500 2

p → = 49145,19   k g . m / s

Resposta

a   p x = - 35000   k g . m / s

p y = 34500   k g . m / s

b   p → s i s t e m a = - 35000 . i ^ + 34500 . j ^ ;

p → = 49145,19   k g . m / s

Exercício Resolvido #4

Um caminhão de 3 t   ( 3.000   k g ) de massa e uma bicicleta de 10   k g de massa movem-se com velocidade de 20 k m / h ~ 5,6   m / s . Das afirmações abaixo, qual é a verdadeira?

( a ) O momento linear é uma grandeza escalar e, portanto, não depende nem da direção nem do sentido da velocidade.

b Como o caminhão e a bicicleta têm a mesma velocidade, o momento linear também é o mesmo.

c O momento linear do caminhão tem valor 16,8   k g . m / s e sempre o mesmo sentido de sua velocidade.

d Os vetores momento linear do caminhão e da bicicleta serão iguais caso eles tenham velocidades com a mesma direção e mesmo sentido.

e O módulo do momento linear de cada um deles é diferente porque suas massa são diferentes.

Passo 1

Para determinar a afirmação correta, vamos relembrar da definição de momento linear:

p → = m .   v →

Portanto, se trata de um vetor que possui a mesma direção e sentido que o vetor velocidade.

Como, nesse exercício, ambos possuem a mesma velocidade, podemos inferir que o módulo do momento linear de cada um será diferente, tendo em vista que as massas são diferentes.

Resposta

e

Exercício Resolvido #5

Considere estas três situações:

( i ) Uma bola se movendo para a direita com rapidez v chega ao repouso.

( i i ) A mesma bola em repouso é projetada com rapidez v para a esquerda.

( i i i ) A mesma bola se movendo para a esquerda com rapidez v acelera para 2 v também para a esquerda.

Em qual situação (ou situações) o módulo da variação de momento linear da bola é maior?

a ) Na situação i .

b ) Na situação ( i i ) .

c ) Na situação ( i i i ) .

d ) Nas situações ( i ) e ( i i ) .

e ) A variação é a mesma nas três situações.

Passo 1

Para determinar a variação do momento linear, vamos começar relembrando sua definição:

Δ p → = m . v → f - m . v → 0

Vamos analisar cada situação então, começando pela situação ( i ) :

Uma bola se movendo para a direita com rapidez v chega ao repouso

Vamos fazer um desenho do esquema:

Daí é só zerar a velocidade final na variação do momento linear:

Δ p → = m . 0 - m . v

Δ p → = - m . v  

Δ p → = m . v

Passo 2

Para a situação ( i i ) , temos: A mesma bola em repouso é projetada com rapidez v para a esquerda.

Daí é só zerar a velocidade inicial e teremos o seguinte:

Δ p → = m . v - 0

Δ p → = m . v  

Δ p → = m . v

Passo 3

Para a situação ( i i i ) , temos: A mesma bola se movendo para a esquerda com rapidez v acelera para 2 v também para a esquerda.

Então vamos substituir as velocidades na equação do momento linear, que vai ficar com essa cara aqui:

Δ p → = m . 2 . v - m . v

Δ p → = m . v  

Δ p → = m . v

Portanto, temos que a variação será a mesma nas três situações!

Resposta

( e )

Exercício Resolvido #6

a   Mostre que a energia cinética K e o módulo de momento linear p de uma partícula de massa m são relacionados por k = p 2 / 2 m   . b Um cardeal (Richmondena Cardinalis) com massa de 0,040   k g   e uma bola de beisebol de 0,145   k g possuem a mesma energia cinética. Qual desses corpos possui o maior momento linear? Qual é a razão entre o módulo do momento linear do cardeal e o módulo do momento linear da bola de beisebol? c Um homem com 700   N e uma mulher com 450   N possuem o mesmo momento linear. Quem possui a maior energia cinética? Qual é a razão entre a energia cinética do homem e a energia cinética da mulher?

Passo 1

a   Isso já fizemos na nossa teoria, né? Basta isolar o módulo da velocidade na equação de momento linear e substituir na equação da energia cinética.

p = m . v

v = p m

k = m . v 2 2

k = m . p m 2 2

k = p 2 2 . m

Passo 2

b   No problema anterior ele pede para gente provar uma fórmula que relaciona a energia cinética com o momento linear e agora nos dá a massa de dois objetos e diz que tem a mesma energia cinética e nos pede informações sobre o momento.

O problema quer que usemos a fórmula que acabamos de provar no item acima. Então vamos usar ela, né!. Mas como ele quer saber informações sobre o momento linear, vamos escrever a fórmula da seguinte maneira

p = 2 . m . k

Como o enunciado disse tanto o Cardeal quanto a bola de beisebol tem a mesma energia cinética, então quem tiver a maior massa tem o maior momento linear, certo?

m b o l a > m c a r d e a l → p b o l a > p c a r d e a l

Passo 3

Agora queremos saber a razão entre os momentos lineares,

Momento do cardeal:

p c a r d e a l 2 = 2.0,04 . K

Momento da bola:

p b o l a 2 = 2.0,145 . k

Dividindo o momento linear do cardeal pelo da bola temos:

p c a r d e a l p b o l a 2 = 2.0,04 . k 2.0,145 . k

p c a r d e a l p b o l a 2 = 0,04 0,145

p c a r d e a l p b o l a 2 = 0,276  

p c a r d e a l p b o l a = 0 , 525

Passo 4

c   Primeiro temos que perceber que o problema nos dá o peso que é

P = m . g

Então a massa que nos interessa é dada por

m = P g

Como queremos informações sobre a energia cinética vamos usar aquela primeira fórmula mesmo

k = p 2 2 m

k = p 2 2 . P g

Como o homem e a mulher tem o mesmo momento linear, pela fórmula logo acima vemos que quem tiver maior peso terá a menor energia cinética, assim

P h = 700 N > P m = 450 N → k h < k m

Passo 5

Vamos escrever a energia cinética de cada para podermos fazer a razão delas

Energia cinética do homem

k h = p 2 . g 2.700

Ennergia cinética da mulher

k m = p 2 . g 2.450

Fazendo a razão da energia cinética do homem pela d amulher temos

k h k m = 450 700

k h k m = 0,64

Resposta

b   p b o l a > p c a r d e a l   ;   p c a r d e a l p b o l a = 0,525  

c   k h < k m ;     k h k m = 0,64

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