Teorema Impulso-Momento Linear

Teoria Completa

O que é Impulso

Desde criança já temos a palavra “impulso” introduzida no nosso vocabulário. Muitas vezes a usamos como sinônimo de “empurrar”, que é aplicar uma força em um objeto por um dado intervalo de tempo.

Quando brincávamos no balanço, sempre tinha alguém nos empurrando (impulsionando) e quanto mais forte e por mais tempo a pessoa impulsionava, mais longe íamos, certo?

Então, é isso mesmo: impulso é a ação de uma força sobre um objeto em um intervalo de tempo.

Assim como a força e o momento linear, o impulso é uma grandeza vetorial, que precisa de sentido, direção e módulo para ser representado corretamente. A fórmula do impulso é dada por:

I → = F → . Δ t

Como o tempo ( t ) é um escalar, o impulso I → terá a mesma direção e sentido do vetor força F → .

Vamos poder usar essa fórmula apenas quando a força resultante F →   for uma força constante, ou uma força média F → m e d em um sistema. Sempre que nos disserem que F →   é constante, ou que temos/queremos calcular a força média no sistema poderemos usar essa fórmula.

Mas e se a força for variável?

Se a força variar no tempo, teremos que fazer o somatório dessa força, e nesse caso, vamos ter:

I ( t ) = ∫ F ( t ) . d t

Dificilmente teremos que integrar nos problemas desse assunto, então pode ficar tranquilo. Temos só que ter em mente que a área sob um gráfico F   x   t é igual a integral de F   vezes t :

I = Á r e a   d o   g r á f i c o   F x t = ∫ F t . d t  

Impulso e Momento Linear

Vou mostrar agora uma relação entre Impulso e momento linear:

I → = Δ p → = m f . v → f - m 0 . v → 0

É isso, o impulso é igual a variação do momento linear de uma partícula!

E ainda, podemos reescrever essa equação e dizer que a força resultante ou média é:

F → = Δ p → Δ t

Revisão

Acabamos de ver várias fórmulas que se relacionam. Vamos rever quando usar cada uma:

  1. Se falar de Impulso, força (constante/resultante/média) e intervalo de tempo, usamos:
  2. I → = F → . Δ t

  3. Se falar de Impulso, força variando (geralmente problema de gráficos) e intervalo de tempo, usamos:
  4. I = Á r e a   d o   g r á f i c o   F x t = ∫ F t . d t

  5. Se falar de Impulso e momento linear ( massa e velocidade ), usamos:
  6. I → = Δ p →

  7. Se falar de força (constante/resultante/média), momento linear e intervalo de tempo, usamos:

F → = Δ p → Δ t

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 256

Uma bola de aço de massa igual a 40,0   g é largada de uma altura de 2,00   m sobre uma barra de aço horizontal. A bola é rebatida até uma altura de 1,60   m . a) Calcule o impulso comunicado para a bola durante a colisão. b) Sabendo que a bola permanece em contato com a barra durante 2,00   ms , calcule a força média exercida sobre a bola durante a colisão.

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Passo 1

a   Como calcular o impulso pelo momento linear? A fórmula do impulso é

I → = p → f - p → 0 = m v → f - m v → 0 = m v → f - v → 0

Então precisamos da velocidade que ela chega no chão e da velocidade que ela é rebatida pelo chão. Para isso vamos olhar os movimentos antes e depois da colisão

Passo 2

Antes da colisão, a bola está em queda livre, os dados do enunciado são

Dados m = 40   g = 0,04   k g S 0 = 2   m S = 0   m v 0 = 0   m / s a = - g = - 9,8   m / s 2

Sabemos a posição inicial, a final e a velocidade inicial, e queremos a velocidade final, então vamos usar Torricelli.

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ S

v 2 = 0 + 2 ⋅ - 9,8 0 - 2 = 39,2

v = ± 6,26   m/s

Temos duas opções de velocidade. Vamos escolher a velocidade negativa porque a bolinha está indo para baixo quando chega ao chão, tendo sentido negativo.

v = - 6,26   m/s

Passo 3

Depois da colisão podemos considerar esse movimento como um lançamento vertical, onde não sabemos a velocidade inicial, os dados do enunciado são

Dados m = 40   g = 0,04   k g S 0 = 0   m S = 1,6   m v = 0   m / s a = - g = - 9,8   m / s 2

Temos um problema igual ao do passo anterior então vamos usar Torricelli novamente

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ S

0 = v 0 2 + 2 ⋅ - 9,8 1,6 - 0

v 0 = 5,6   m/s

A velocidade é positiva porque depois que a bola quica ela sai com velocidade para cima.

Passo 4

Agora vamos escrever as duas velocidades vetorialmente como estávamos vendo ali no passo 1

v → f = 5,6 j ^   m/s

v → 0 = - 6,26 j ^   m/s

Então vamos ter

I → = m v → f - v → 0 = 0,04 5,6 j ^ - - 6,26 j ^

I → = 0,474 j ^   kg⋅m/s

Passo 5

b   A relação da força média com o impulso é

I → = F → m e d ⋅ Δ t

Ele nos deu o Δ t mas é importante dar uma olhada nessa unidade de tempo

Δ t = 2   ms

Esse é o milisegundo, unidade que é parecida com o milímetro, mililitro, ele é igual a 0,001   s .

Então

Δ t = 2   ms = 0,002   s

0,474 j ^ = 0,002 ⋅ F → m e d

F → m e d = 237 j ^   N

Resposta

a   I → = 0,474 j ^   kg ⋅ m/s

b   F → m e d = 237 j ^   N

Exercício Resolvido #2

UFF – 2ª Prova – 2014.1

Um bloco de massa m = 0,30   k g repousa sobre um plano inclinado de um ângulo θ = 37 ° em relação à horizontal. O bloco é subitamente impulsionando, paralelamente ao plano, por uma marreta, parando após percorrer uma distância Δ S = 0,45   m no plano inclinado, a partir de sua posição inicial, como mostra a figura. Sabendo-se que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é μ C = 0,50 , determine:

a O trabalho realizado pela força de atrito durante o deslocamento Δ S ;

b A velocidade do bloco, imediatamente após a marretada;

c O valor do impulso que a marreta imprime o bloco.

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Passo 1

a Para determinar o trabalho realizado pela força de atrito, vamos relembrar a sua definição:

W = F . d . cos ⁡ α

Onde α é o ângulo entre o vetor força e o vetor deslocamento.

No caso, a força em questão é de atrito, então:

F = μ . N = μ . m . g . cos ⁡ 37 °

Como a força de atrito tem sentido contrário ao deslocamento, cos ⁡ α =   - 1 . Substituindo para determinar o trabalho, temos:

W = - μ . m . g . cos ⁡ 37 ° .   Δ S

W = - 0,5.0,30.9,81 . cos ⁡ 37 ° .   0,45

W ≈ - 0,53   J

Passo 2

( b ) Para determinar a velocidade do bloco após a marretada, podemos usar o teorema do Trabalho e Energia Cinética:

W t o t = Δ K

- 0,53 - m . g . h = m . v f 2 2 - m . v i 2 2

- 0,53 - 0.30 .   9,81.0,45 . sen ⁡ 37 ° = 0,30 . 0 2 2 - 0,30 . v i 2 2

- 0,53 - 0.30 .   9,81.0,45 . sen ⁡ 37 ° = -   0,30 . v i 2 2

- 0,53 - 0,80 = - 0,30 . v i 2 2

- 1,33 = - 0,30 . v i 2 2

v i ≈ 3   m / s

Passo 3

( c ) Para determinar o impulso devemos lembrar da seguinte relação:

I = Δ p

I = m . v d e p o i s   d o   i m p a c t o - m . v a n t e s   d o   i m p a c t o

I = 0,30 .   3 - 0,30.0

I = 0,90   N . s

Resposta

a W ≈ - 0,53   J

b v i ≈ 3   m / s

c I = 0,90   N . s

Exercício Resolvido #3

UFRJ – 2ª Prova – 2013.1

A figura mostra um carrinho de massa m , sobre um trilho de ar, que comprime de x uma mola de constante elástica k