Teorema Impulso-Momento Linear

Resumo Completo

O que é Impulso

Desde criança já temos a palavra “impulso” introduzida no nosso vocabulário. Muitas vezes a usamos como sinônimo de “empurrar”, que é aplicar uma força em um objeto por um dado intervalo de tempo.

Quando brincávamos no balanço, sempre tinha alguém nos empurrando (impulsionando) e quanto mais forte e por mais tempo a pessoa impulsionava, mais longe íamos, certo?

Então, é isso mesmo: impulso é a ação de uma força sobre um objeto em um intervalo de tempo.

Assim como a força e o momento linear, o impulso é uma grandeza vetorial, que precisa de sentido, direção e módulo para ser representado corretamente. A fórmula do impulso é dada por:

I = F . Δ t

Como o tempo ( t ) é um escalar, o impulso I terá a mesma direção e sentido do vetor força F .

Vamos poder usar essa fórmula apenas quando a força resultante F   for uma força constante, ou uma força média F m e d em um sistema. Sempre que nos disserem que F   é constante, ou que temos/queremos calcular a força média no sistema poderemos usar essa fórmula.

Mas e se a força for variável?

Se a força variar no tempo, teremos que fazer o somatório dessa força, e nesse caso, vamos ter:

I ( t ) = F ( t ) . d t

Dificilmente teremos que integrar nos problemas desse assunto, então pode ficar tranquilo. Temos só que ter em mente que a área sob um gráfico F   x   t é igual a integral de F   vezes t :

I = Á r e a   d o   g r á f i c o   F x t = F t . d t  

Impulso e Momento Linear

Vou mostrar agora uma relação entre Impulso e momento linear:

I = Δ p = m f . v f - m 0 . v 0

É isso, o impulso é igual a variação do momento linear de uma partícula!

E ainda, podemos reescrever essa equação e dizer que a força resultante ou média é:

F = Δ p Δ t

Revisão

Acabamos de ver várias fórmulas que se relacionam. Vamos rever quando usar cada uma:

  1. Se falar de Impulso, força (constante/resultante/média) e intervalo de tempo, usamos:
  2. I = F . Δ t

  3. Se falar de Impulso, força variando (geralmente problema de gráficos) e intervalo de tempo, usamos:
  4. I = Á r e a   d o   g r á f i c o   F x t = F t . d t

  5. Se falar de Impulso e momento linear ( massa e velocidade ), usamos:
  6. I = Δ p

  7. Se falar de força (constante/resultante/média), momento linear e intervalo de tempo, usamos:

F = Δ p Δ t

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp – 256

Uma bola de aço de massa igual a 40,0   g é largada de uma altura de 2,00   m sobre uma barra de aço horizontal. A bola é rebatida até uma altura de 1,60   m . a) Calcule o impulso comunicado para a bola durante a colisão. b) Sabendo que a bola permanece em contato com a barra durante 2,00   ms , calcule a força média exercida sobre a bola durante a colisão.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a   Como calcular o impulso pelo momento linear? A fórmula do impulso é

I = p f - p 0 = m v f - m v 0 = m v f - v 0

Então precisamos da velocidade que ela chega no chão e da velocidade que ela é rebatida pelo chão. Para isso vamos olhar os movimentos antes e depois da colisão

Passo 2

Antes da colisão, a bola está em queda livre, os dados do enunciado são

Dados m = 40   g = 0,04   k g S 0 = 2   m S = 0   m v 0 = 0   m / s a = - g = - 9,8   m / s 2

Sabemos a posição inicial, a final e a velocidade inicial, e queremos a velocidade final, então vamos usar Torricelli.

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ S

v 2 = 0 + 2 - 9,8 0 - 2 = 39,2

v = ± 6,26   m/s

Temos duas opções de velocidade. Vamos escolher a velocidade negativa porque a bolinha está indo para baixo quando chega ao chão, tendo sentido negativo.

v = - 6,26   m/s

Passo 3

Depois da colisão podemos considerar esse movimento como um lançamento vertical, onde não sabemos a velocidade inicial, os dados do enunciado são

Dados m = 40   g = 0,04   k g S 0 = 0   m S = 1,6   m v = 0   m / s a = - g = - 9,8   m / s 2

Temos um problema igual ao do passo anterior então vamos usar Torricelli novamente

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ S

0 = v 0 2 + 2 - 9,8 1,6 - 0

v 0 = 5,6   m/s

A velocidade é positiva porque depois que a bola quica ela sai com velocidade para cima.

Passo 4

Agora vamos escrever as duas velocidades vetorialmente como estávamos vendo ali no passo 1

v f = 5,6 j ^   m/s

v 0 = - 6,26 j ^   m/s

Então vamos ter

I = m v f - v 0 = 0,04 5,6 j ^ - - 6,26 j ^

I = 0,474 j ^   kg⋅m/s

Passo 5

b   A relação da força média com o impulso é

I = F m e d Δ t

Ele nos deu o Δ t mas é importante dar uma olhada nessa unidade de tempo

Δ t = 2   ms

Esse é o milisegundo, unidade que é parecida com o milímetro, mililitro, ele é igual a 0,001   s .

Então

Δ t = 2   ms = 0,002   s

0,474 j ^ = 0,002 F m e d

F m e d = 237 j ^   N

Resposta

a   I = 0,474 j ^   kg m/s

b   F m e d = 237 j ^   N

Exercício Resolvido #2

Enunciado

UFF – 2ª Prova – 2014.1

Um bloco de massa m = 0,30   k g repousa sobre um plano inclinado de um ângulo θ = 37 ° em relação à horizontal. O bloco é subitamente impulsionando, paralelamente ao plano, por uma marreta, parando após percorrer uma distância Δ S = 0,45   m no plano inclinado, a partir de sua posição inicial, como mostra a figura. Sabendo-se que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é μ C = 0,50 , determine:

a O trabalho realizado pela força de atrito durante o deslocamento Δ S ;

b A velocidade do bloco, imediatamente após a marretada;

c O valor do impulso que a marreta imprime o bloco.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Para determinar o trabalho realizado pela força de atrito, vamos relembrar a sua definição:

W = F . d . cos α

Onde α é o ângulo entre o vetor força e o vetor deslocamento.

No caso, a força em questão é de atrito, então:

F = μ . N = μ . m . g . cos 37 °

Como a força de atrito tem sentido contrário ao deslocamento, cos α =   - 1 . Substituindo para determinar o trabalho, temos:

W = - μ . m . g . cos 37 ° .   Δ S

W = - 0,5.0,30.9,81 . cos 37 ° .   0,45

W - 0,53   J

Passo 2

( b ) Para determinar a velocidade do bloco após a marretada, podemos usar o teorema do Trabalho e Energia Cinética:

W t o t = Δ K

- 0,53 - m . g . h = m . v f 2 2 - m . v i 2 2

- 0,53 - 0.30 .   9,81.0,45 . sen 37 ° = 0,30 . 0 2 2 - 0,30 . v i 2 2

- 0,53 - 0.30 .   9,81.0,45 . sen 37 ° = -   0,30 . v i 2 2

- 0,53 - 0,80 = - 0,30 . v i 2 2

- 1,33 = - 0,30 . v i 2 2

v i 3   m / s

Passo 3

( c ) Para determinar o impulso devemos lembrar da seguinte relação:

I = Δ p

I = m . v d e p o i s   d o   i m p a c t o - m . v a n t e s   d o   i m p a c t o

I = 0,30 .   3 - 0,30.0

I = 0,90   N . s

Resposta

a W - 0,53   J

b v i 3   m / s

c I = 0,90   N . s

Exercício Resolvido #3

Enunciado

UFRJ – 2ª Prova – 2013.1

A figura mostra um carrinho de massa m , sobre um trilho de ar, que comprime de x uma mola de constante elástica k . O carrinho está inicialmente preso ao suporte do trilho por um fio. O fio é cortado, e a mola expande-se empurrando o carrinho. Ao passar pela posição de equilíbrio da mola, O , o carrinho perde contato com a mola. No trajeto até perder contato com a mola, o impulso fornecido ao carrinho foi igual a:

a   2 x k m 1 / 2 ;

b   x k m 2 1 / 2 ;

c   x 2 k m 1 / 2 ;

d   x k m 1 / 2 ;

e   x 2 k m 1 / 2 ;

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para calcular o impulso vamos usar a fórmula do impulso pelo momento linear

I = Δ p = p f - p 0 = m v f - v 0

Ou seja, é só achar as velocidade antes e depois do impulso.

Passo 2

Começando pela velocidade inicial, como o bloco parte do repouso, então

v 0 = 0

Passo 3

Podemos achar a velocidade quando o bloco descola da mola fazendo a conservação da energia mecânica, isso acontece porque não temos forças dissipativas como o atrito atuando, isso porque ele está em um trilho de ar. Sempre que ele falar de trilhos de ar lembra que não existe atrito.

E m 0 = E m f

Inicialmente teremos só a energia potencial da mola e depois de descolar da mola teremos só a energia cinética do carrinho.

k x 2 2 = m v f 2 2

Então

v f = x k / m

Como o sentido é para direita

v f = x k / m i ^

Passo 4

Então o impulso será

I = m x k / m i ^ - 0

I = m x k / m i ^

Dando uma arrumada, vamos entrar com o m na raiz:

I = x m 2 k / m i ^

I = x k m i ^

O módulo é então

I = x k m

Resposta

Letra d

Exercício Resolvido #4

Enunciado

UFRJ – 2ª Prova – 2015.1

Considere dois processos distintos de colisão unidimensionais, A e B, entre duas partículas. A figura mostra a intensidade da força sobre uma das partículas em cada processo. A área sob as duas curvas é a mesma. Assinale a alternativa correta.

a   A intensidade do impulso exercido pela força nos dois eventos é a mesma.

b   A intensidade da força média é a mesma nos dois processos.

c   O momento linear de cada partícula não varia durante a colisão.

d   Nada se pode afirmar sobre a variação de momento linear nos dois processos, pois não conhecemos a velocidade das partículas envolvidas.

e Nada se pode afirmar sobre a variação de momento linear nos dois processos, pois não sabemos se a colisão é inelástica ou não.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos ver as alternativas uma por uma!

Alternativa a :

Geralmente a gente usa esta fórmula para relacionar impulso com força

I = F Δ t

mas ela só é válida quando a força é constante.

Pra uma força variável, como é o caso da F nessa questão, podemos relacionar força e impulso pela seguinte fórmula:

I t = F t d t

E o valor de uma integral é a área sob a curva né? Ou seja, o módulo do impulso é igual à área sobre o gráfico força x tempo!

Ele disse que as áreas sob as duas curvas são iguais, então o impulso é igual! :)

A alternativa a está correta.

Passo 2

Alternativa b :

A intensidade da força média é dada pelo teorema força impulso:

F m e d = I Δ t

Já vimos que pros 2 processos, o impulso é o mesmo, então pra força média ser a mesma, os Δ t das 2 colisões também têm que ser iguais.

Esse Δ t é o tempo em que age a força, e pelo gráfico fica claro que o processo B dura bem mais tempo que o A:

Δ t B > Δ t A F m e d B < F m e d A

Então a alternativa b é falsa.

Passo 3

Alternativa c :

Vamos lá, mais uma fórmula com o impulso, dessa vez a da variação do momento linear:

I = Δ p

Ou, em módulo:

I = Δ p

Já vimos que o impulso é a área sob o gráfico. E essa área claramente não é nula, nas duas curvas. Ou seja:

I 0   Δ p 0

Então há sim variação do momento linear da partícula nos 2 processos, a alternativa c   é falsa.

Passo 4

Alternativa d e e :

Acabamos de ver que podemos afirmar que a variação de momento linear da partícula nos processos não é nula. Inclusive podemos ver que ela é positiva, pois a área sob as curvas é positiva.

Então essas duas alternativas estão erradas.

Resposta

Letra a

Exercício Resolvido #5

Enunciado

USP – 2ª Prova – 2014

Um bate-estaca usa um motor de potência P = 15   k W para levantar um martelo de massa m = 1500   k g até uma altura h = 20   m (relativa ao topo da estaca). Ao final do levantamento, a mesma é solta e bate sobre a haste sendo fixada no solo.

a Qual o tempo de subida do martelo?

b Qual a velocidade do martelo no momento de impacto?

c Qual o impulso que o martelo transmite em um ciclo (entre o início da subida e o final do impacto)?

d Se dobramos a potência do motor, e mantemos o mesmo tempo de subida, qual solução dará mais impulso ao martelo: dobrar a massa, ou dobrar a altura? Demonstre.

Dado g = 10   m / s 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a A energia final do martelo no topo da coluna será:

U = m . g . h

U = 1500   .   10   .   20

U = 300   k J

Agora utilizando a fórmula da potência:

P = E t

15 k = 300 k t

t = 20   s

Passo 2

b   A velocidade final do martelo será dada pela energia potencial, convertida em cinética, usando a conservação de energia mecânica:

K = E p

1 2 m v 2 = 300 000

1 2 1500 v 2 = 300 000

v = 400

v = 20   m / s

Passo 3

c   O impulso é dado pela variação do momento linear da estaca:

I = m . v f - m . v 0

I = 1500   .   20 - 0

I = 30.000   k g .   m / s

Passo 4

d   Temos que o impulso será dado por:

I = m . v f - m . v 0

I = m . v f

A velocidade nós encontramos pela conservação de energia mecânica:

K = U

Como estamos duplicando a potência do motor e mantendo o mesmo tempo, significa que estamos duplicando a energia potencial

U = 2 P . Δ t

Logo estamos duplicando a energia cinética também

K = 2 U

1 2 m v 2 = 2 . m g h

v = 2 g h

Logo o impulso pode ser dado por:

I = m . 2 g h

Portanto, se dobrarmos a massa, o impulso irá ser multiplicado por 2 . Entretanto, se dobrarmos a altura, o impulso será multiplicado por 2 .

Logo, dobrar a massa será mais eficiente para aumentar o impulso.

Resposta

a   t = 20   s

b   v = 20   m / s

c   I = 30.000   k g . m / s

d Dobrar a massa.

Exercício Resolvido #6

Enunciado

UFF – 2ª Prova – 2014.2

Uma bola de aço de 3,00   k g bate em uma parede com a rapidez de 10,0   m / s a um ângulo θ = 60 ° com a superfície. Ela quica e recua com a mesma rapidez e mesmo ângulo, como apresentada na figura. Se a bola fica em contato com a parede por 0,200   s , qual é a intensidade da força média exercida pela parede sobre a bola?

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para determinar a força média que a parede exerce na bola, precisamos determinar os vetores velocidade da bola chegando v 0 e da bola saindo v f , pois a partir deles teremos o impulso:

v 0 = 10 . sen 60 ° ( i ^ ) + 10 . cos 60 ° ( j ^ )

v 0 = 8,66   i ^ + 5,00   ( j ^ )   m / s

v f = 10 . sen 60 ° ( - i ^ ) + 10 . cos 60 ° ( j ^ )

v f = 8,66 - i ^ + 5,00   ( j ^ )   m / s

Agora que temos as velocidades, podemos utilizar a definição de impulso para achar a força média!

I = F . Δ t = m . Δ v

F .   Δ t = m . ( v f - v 0 )

F . 0,200 = 3,00 . 8,66 - i ^ + 5,00   j ^ - 8,66   i ^ - 5,00   j ^

F . 0,200 = 3,00 . 17,32   . - i ^

F = - 259,80 . i ^   N

Resposta

F = - 259,80 . i ^   N

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física I – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 252

Uma bola de beisebol de 0,145   k g é golpeada por um bastão. Logo antes do impacto, a bola se desloca a 50,0   m / s horizontalmente da esquerda para direita e abandona o bastão quando ela se move com velocidade de 65,0   m / s para esquerda formando um ângulo de 30,0 ° acima da horizontal. Se o bastão e a bola permaneceram em contato durante 1,75   m s , calcule o módulo do componente horizontal e da componente vertical da força média do bastão sobre a bola.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Como ele sofre ação de uma força, vimos na teoria que:

I = F m e d Δ t = Δ p

Primeiro vamos precisar achar as velocidade antes para calcular o momento linear e poder achar a força média

Passo 2

Começando pela velocidade no início do impulso.

Como a bola se desloca da esquerda para direita, então:

v 0 x = 50   m / s

v 0 y = 0   m / s

A velocidade inicial é:

v 0 = 50 . i ^   m / s

E o momento linear inicial vai ser:

p 0 = m . v 0

p 0 = 0,145   .   50 i ^ = 7,25 i ^   k g   .   m / s

Passo 3

Agora vamos para a velocidade no fim do impulso.

Usando a “regra do COlado/SEparado”

v f x = v f   . cos 30 ° = 65   . 3 2 = 32,5 3   m / s

v f y = v f   . sen 30 ° = 65   . 1 2 = 32,5   m / s

Lembrando que ela passa a se mover para a esquerda e para cima, a velocidade final é:

v f = - 32,5 3 i ^ + 32,5 j ^   m / s

E o momento linear final vai ser:

p f = m v f

p f = 0,145   .   - 32,5 3 i ^ + 32,5 j ^

p f = - 4,7 125 3 i ^ + 4,7 125 j ^   k g   .   m / s

Passo 4

Vamos agora substituir tudo que temos na fórmula do “passo 1”:

F m e d Δ t = Δ p

O tempo foi dado no enunciado

F m e d   .     0,00175 = p f - p 0

0,00175 F m e d = - 4,7 125 3 i ^ + 4,7 125 j ^ - 7,25 i ^

Fazendo a conta na calculadora

0,00175 F m e d = - 15,412 i ^ + 4,7 125 j ^

F m e d = - 8807 i ^ + 2692,9 j ^   N

Então podemos dizer que:

F m e d x = - 8807   N

F m e d y = 2692,9   N

Resposta

F m e d x = - 8807 N

F m e d y = 2692,9   N

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