Cinética dos Gases

Teoria Completa

O que é isso?

Vimos que gases ideais podem ser caracterizados pelas suas propriedades macroscópicas (como pressão e temperatura), que são aquelas que nós podemos medir, sentir, visualizar. Na prática, são uma média do comportamento de zilhões de partículas.

Okay, mas por que a gente não usa uma partícula ao invés de zilhões? Parece loucura né? Tem como saber as propriedades microscópicas?

Dá pra saber a velocidade de uma única partícula? Quantas vezes por segundo uma molécula se choca com outra?

A resposta é: dá! Mas a gente vai ter que usar valores médios! =P

Chamamos isso de Teoria Cinética dos Gases.

Velocidade Quadrática Média v q m

Imagina num cilindro de gás, várias moléculas agitadas indo de um lado pro outro cada uma com sua velocidade.

A velocidade quadrática média é a média das velocidades das partículas no sistema, no nosso desenho seria bem fácil de encontra-la já que temos só 4 partículas mas nos problemas reais são milhares de partículas super agitadas, então a gente vai achar um outro jeito de calcular essa velocidade.

A energia total de cada uma dessas moléculas é dada pelo teorema da equipartição de energia (que vamos estudar com mais detalhes depois), que diz que pra uma molécula monoatômica isso vale:

E = 3 2 k T

Detalhe que pra gases não monoatômicos o cálculo da energia muda, de forma geral é:

E = g k T

Onde pra cada situação é dado o valor da constante g , porém 99% das vezes o gás é monoatômico, mas fica a dica pra quando não for.

Onde k é a constante de Boltzmann, k = 1,38 × 10 - 23   J / K ;

T é a temperatura do gás em Kelvin.

Como temos um gás ideal, a energia potencial é zero. Para uma única molécula de massa m , temos pela conservação da energia que:

E = E P + E C = 0 + m v 2 2

Então substituindo a energia do gás monoatômico temos:

3 2 k T = m v 2 2

E isolamos a nossa velocidade quadrática média.

v = v q m = 3 k T m

Chamamos de velocidade quadrática média ( v q m ou v r m s do inglês root mean square), pois vem da energia cinética, que tem a velocidade ao quadrado!

A gente ainda pode, reescrever a v q m em função de outras paradas vamos começar usando a relação.

k = R N A

R é a constante dos gases ideais e N A o número de Avogadro. Podemos chegar em uma fórmula equivalente:

v q m = 3 k T m = 3 R T N A × m

E aqui se liga:

N A × m = M

Onde M é a massa molar do gás (quantidade de massa por número de mols), daí:

v q m = 3 R T M

Temos ainda um terceiro jeito de se encontrar essa velocidade, vamos começar lembrando que:

P V R T = m M

Passando V para o outro lado e lembrando que a densidade é dada por ρ = m / V   temos:

P R T = ρ M

Daí isolamos M :

M = ρ R T P

Substituindo na equação da velocidade quadrática média a gente tem:

v q m = 3 R T M = 3 R T ρ R T P

Cortando R T e subindo T , temos:

v q m = 3 P ρ

Analisando as fórmulas, vemos que quanto maior a temperatura ou maior a pressão, maior vai ser a velocidade das moléculas, como esperado.

Bora fazer um exemplo pra gente treinar, vamos encontrar a velocidade quadrática média do nitrogênio a 50 ° C , dados M = 28 × 10 - 3 k g / m o l e R = 8,31 J / ( M o l × K ) .

Aqui a meta é analisar qual das equações usar pra sair o mais rápido possível, temos a massa molar a constante dos gases, e a temperatura qual das equações usar? Essa aqui:

v q m = 3 R T M

Lembrando que não é errado sair por outras mas, pra você não dar voltas é bom escolher as quais você já tem os dados, lembrando que aqui temos que converter a temperatura pra kelvin.

K = C + 273 = 50 + 273 = 323 ° K

Daí substituindo a gente tem:

v q m = 3 × 8,31 × 323 28 × 10 - 3

Não precisa ficar tão fissurado com as unidades, se trabalhar com Joule e Kelvin a velocidade vai sair em m / s , como no SI.

v q m = 287,58 × 10 3 = 536,27 m / s

Livre Caminho Médio

Imagine uma garrafa de 2   L com várias bolinhas de gude. Você começa a balançar essa garrafa. As bolinhas irão colidir com a parede da garrafa e entre elas, certo? Se a gente pensar numa escala microscópica é parecido com o que rola com as moléculas de gás.

O livre caminho médio é a media das distâncias que uma molécula consegue andar antes de bater, bora olhar na figura e imaginar o percurso dessa molécula aqui.

Qual seria o livre caminho médio, analisando a molécula verde? Pensando de forma simples a gente pode dizer que:

λ = ∑ i = 1 n s i / n    

Porém quando falamos de gases, a quantidade de moléculas não é tão pequena e não faria sentido calcular assim o percurso de milhões de moléculas portanto temos uma outra forma interessante de calcular isso mais rápido.

Como Calcular?

Vamos calcular o livre caminho médio, chamado de λ , pela fórmula:

λ = V 2 π . N . d 2

Onde V   é o volume do recipiente onde o gás está confinado, N é o número de átomos ou moléculas e d é o diâmetro do átomo ou molécula que compõe o gás.

Em exercicíos desse assunto, é muito comum ser pedido o diâmetro do átomo ou molécula, dado a quantidade de partículas por centímetro cúbico. Para trabalhar com esse dado, podemos reescrever a fórmula da seguinte maneira:

λ = 1 2 π . N V . d 2

Frequência ou tempo das colisões

Se tivermos a velocidade das partículas v podemos descobrir o tempo médio entre um choque e outro ( t ), pois

v = λ t

Se dividirmos os dois lados por v temos então o tempo:

t = V 2 π N d 2 v

Ou a frequência de choques, quantas vezes eles se chocam por segundo, se lembrarmos que:

t = 1 f

Daí temos como relacionar também com a frequência, basta invertermos a equação:

f = 2 π N d 2 v V

Então, por exemplo, se tivermos uma amostra de gás hidrogênio a uma temperatura de 20 K e seu livre caminho médio nessa condição é de 4,5 × 10 11   m . Sabendo que existem cerca de 50 átomos de hidrogênio por centímetro cúbico e que o diâmetro de um átomo de hidrogênio é da ordem de 10 - 8 c m . Qual a frequência de choques nessa amostra?

Massa molar do hidrogênio: 2 × 10 - 3   k g / m o l

R = 8,3   J / m o l . K

Bom, nós já temos o livre caminho médio, podemos achar a velocidade e jogar na fórmula:

v = λ t

v = λ f → f = v λ

Para achar a velocidade:

v q m = 3 R T M = ( 3 ) ( 8,3 ) ( 20 ) 2 × 10 - 3 ≈ 500   m / s

Com isso, achamos f :

f = v λ = 500 4,5 × 10 11 ≈ 1,11 × 10 - 9   s - 1

Pronto, já vimos bastante coisa, agora mãos à obra!

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 242. x-y 18

Calcule a velocidade média quadrática de átomos de hélio a 1000   K . A massa molar dos átomos de hélio é M = 4.10 - 3 k g / m o l .

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Passo 1

Para descobrirmos a velocidade quadrática média de um gás, vamos usar a fórmula

v q m = 3 R T M

Substituindo os valores dados no enunciado e usando R = 8,3   J / m o l . K

v q m = 3.8,3.1000 4.10 - 3

v q m = 2,5   . 10 3   m / s  

Resposta

v q m = 2,5   . 10 3 m / s

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 242. x-y 21

a   Calcule a velocidade média quadrática de uma molécula de nitrogênio a 20,0 ° C . A massa molar da molécula de nitrogênio N 2 é M = 28   . 10 - 3 k g / m o l . A que temperatura a velocidade média quadrática é b metade desse valor e c o dobro desse valor?

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Passo 1

a   Para calcular a velocidade quadrática médias, vamos usar a fórmula que aprendemos

v q m = 3 R T M

Substituindo os valores na fórmula e lembrando de passar a temperatura para kelvin e usando R = 8,3   J / m o l . K

v q m = 3.8,3 . 273 + 20 28.10 - 3

v q m = 510   m / s

Passo 2

b Metade de 510   m / s é 255   m / s , então temos

255 = 3.8,3 . T 28.10 - 3

Assim,

T = 73   K = - 200 ° C

Passo 3

c   o dobro de 510   m / s é 1020   m / s , assim

1020 = 3.8,3 . T 28.10 - 3

T = 11 70   K = 897 ° C

Resposta

a   510   m / s

b   T = 73   K = - 200 ° C

c   T = 1170   K = 897 ° C

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 ,Rio de Janeiro: LTC , 2008, x-y 11

A menor temperatura disponível no espaço sideral é 2,7 K . Qual é a velocidade média quadrática de moléculas de hidrogênio a essa temperatura?

Massa molar do H 2   : M H 2 = 2 g / m o l  

R =   8,3   J / m o l . K

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Passo 1

Essa questão é bem tranquila. Basta a gente aplicar a equação:

v q m = 3 R T M

Precisamos só ter cuidado com uma coisa: As unidades. O valor de R está expresso por unidades do SI, mas o valor da massa molar do hidrogênio não! Vamos converter:

M = 2 g / m o l = 2 x 10 - 3 k g / m o l

Logo, aplicando esse valor e os do enunciado na equação:

v q m = 3 R T M

  →   v q m =   3 ( 8,3 ) ( 2,7 ) ( 2 x 10 - 3 ) = 18 3 , 4 m / s

Resposta

v q m = 183,4 m / s

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 242. x-y 28

O livre caminho médio das moléculas de nitrogênio a 0,0 ° C e 1,0   a t m   é 0,80.10 - 5   c m . Nessas condições de temperatura e pressão existem 2,7.10 19   m o l é c u l a s / c m 3 . Qual é o diâmetro das moléculas?

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Passo 1

O problema nos fornece o caminho livre médio λ = 0,8 . 10 - 5 c m , e a quantidade de mólecula por centímetro cúbico ( N / V ) = 2,7.10 19   m o l é c u l a s / c m 3 e pede o diâmetro das moléculas, certo?

Então precisamos apenas aplicar a fórmula que aprendemos

λ = 1 2 π . N V . d 2

0,8.10 - 5 = 1 2 . π 2,7.10 19 . d 2

Isolando o diâmetro, temos

d = 1 2 . π . 2,7.10 19 . 0,8.10 - 5

d = 3,2.10 - 8   c m  

Resposta

d = 3,2.10 - 8   c m  

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 242. x-y 29

A concentração de moléculas na atmosfera a uma altitude de 2500   k m   está em torno de 1   m o l é c u l a / c m 3 . a   Supondo que o diâmetro das moléculas é 2,0.10 - 8   c m , determine o livre caminho médio b Explique se o valor previsto tem significado físico.

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Passo 1

a   Vimos uma fórmula para calcular o livre caminho médio quando o problema fala do diâmetro e da quantidade de moléculas por centímetro cúbico, então vamos usá-la

λ = 1 2 π . N V . d 2

Substituindo os valores dados pelo o enunciado, temos

λ = 1 2 π . 1 . 2,0.10 - 8 2

λ = 6.10 14   c m

Passo 2

b   Nessa altura a ar na atmosfera fica mais rarefeito, e por isso faz sentido físico o caminho livre médio entre as moléculas ser tão grande, pois quanto mais alto, mais rarefeito será a atmosfera e assim mais difícil ocorrer uma colisão entre as moléculas.

Resposta

a   λ = 6.10 14   c m

Exercício Resolvido #6

PUC-RIO – 3ª Prova – 2010.2

a Determine a velocidade média quadrática de uma molécula de oxigênio O 2 a 27 ℃ . A massa molar do gás oxigênio ( O 2 ) é 32 g / m o l .

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Passo 1

Para determinar a velocidade média quadrática, vamos lembrar de sua definição:

v r m s = 3 . R . T M

Passando a temperatura e a massa molar para o S.I, e adotando R = 8,3   J / m o l . K , temos:

v r m s = 3 .   8.3 .   27 + 273 32 × 10 - 3

v r m s = 483   m / s

Resposta

a   v r m s = 483   m / s

Exercício Resolvido #7

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 242. x-y 31

Em um certo acelerador de partículas, prótons se movem em uma trajetória circular de 23,0   m de diâmetro em uma câmara evacuada cujo gás residual está a 295   K e a uma pressão de 1,00.10 - 6   t o r r . a Calcule o número de moléculas do gás por centímetro cúbico com esta pressão. b   Qual é o livre caminho médio das moléculas do gás se o diâmetro das moléculas é 2,00.10 - 8   c m ?

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Passo 1

a   Temos um gás ideal e queremos achar a quantidade de moléculas por centímetro cúbico, sabendo sua pressão e temperatura. Isso lembra uma fórmula que usamos muito a equação dos gases ideiais

p . V = n R T

Onde podemos reescrevê-la de forma a ficarmos com número de mols por volume

p R T = n V

Sabendo que podemos achar o número de moléculas de pelo número de mols, pois

N = n . N a  

Então temos que

N a . p R T = N V

Agora só falta temos a pressão em P a   para podermos resolver a questão, como

1   t o r r = 133,3   P a

Então a nossa pressão será

10 - 6 . 133,3 = 1,333.10 - 4   P a

Bom, chegamos no que queríamos, então vamos substituir os dados que temos p   e T , sendo que N a   e R são constantes, assim

N V = 6,02.10 23 . 1,333.10 - 4 8,3.295

N V = 3,27.10 16 m o l é c u l a s m 3

Convertendo pra m o l é c u l a s / c m 3

N V = 3,27 × 10 1 0 m o l é c u l a s c m 3

Passo 2

b   Agora é só aplicar a fórmula de caminho livre médio que aprendemos

λ = 1 2 π . N V . d 2

Vamos usar agora N / V = 3,27.10 16   m o l e c u l a s / m 3 e d = 2.10 - 8 c m = 2.10 - 10 m , pra no final ter o λ em metros.

λ = 1 2 . π . 3,27.10 16 . 2.10 - 10 2  

λ = 172   m

Resposta

a   N V = 3,27 × 10 1 0 m o l é c u l a s c m 3

b   λ = 172   m

Exercício Resolvido #8

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 242. x-y 24

A 273   K e 1,00.10 - 2 a t m , a massa específica de um gás é 1,24.10 - 5   g / c m 3 . a Determine v r m s para as moléculas do gás. b   Determine a massa molar do gás.

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Passo 1

a Temos que calcular a velocidade quadrática média, porém diferente dos outro exercícios temos apenas a pressão e a massa específica, pois isso vamos usar a fórmula:

v q m = 3 p ρ

Lembrando que no S I a massa específica é em k g / m 3 e a pressão em P a , então temos que

ρ = 1,24.10 - 2 k g / m 3

E

p = 1,01.10 3   P a  

Agora podemos substituir na fórmula

v q m = 3.1,01.10 3 1,24.10 - 2

v q m =   494   m / s

Passo 2

b   Agora que sabemos a velocidade quadrática média, podemos usar a fórmula

v q m = 3 R T M

Para descobrirmos quanto vale a massa molar desse gás

494 = 3.8,3.273 M

Assim

M =   27,8.10 - 3   k g / m o l

M = 27,8   g / m o l

Resposta

a   v q m = 494   m / s  

b   M = 27,8   g / m o l

Exercício Resolvido #9

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 242. x-y 32

A 20 ° C   e a uma pressão de 750   t o r r , os caminhos livres médios do argônio A r   e do nitrogênio N 2   são λ A r = 9,9 . 10 - 6   c m e λ N 2 = 27,5.10 - 6   c m . a   Determine a razão entre o diâmetro de um átomo de A r e o de uma molécula de N 2 . Qual é o livre caminho médio do argônio b   a 20 ° C   e 150   t o r r e c   a - 40 ° C   e 750   t o r r ?

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Passo 1

a   Como queremos a razão entre os diâmetros, vamos dividir a equação do caminho livre médio

λ A r = 1 2 π . N A r V . d A r 2  

λ N 2 = 1 2 π . N N 2 V . d N 2 2  

Dividindo elas, chegamos em

λ A r λ N 2 = N N 2 N A r . d N 2 2 d A r 2