Cinética dos Gases

Teoria Completa

O que é isso?

Vimos que gases ideais podem ser caracterizados pelas suas propriedades macroscópicas (como pressão e temperatura), que são aquelas que nós podemos medir, sentir, visualizar. Na prática, são uma média do comportamento de zilhões de partículas.

Okay, mas por que a gente não usa uma partícula ao invés de zilhões? Parece loucura né? Tem como saber as propriedades microscópicas?

Dá pra saber a velocidade de uma única partícula? Quantas vezes por segundo uma molécula se choca com outra?

A resposta é: dá! Mas a gente vai ter que usar valores médios! =P

Chamamos isso de Teoria Cinética dos Gases.

Velocidade Quadrática Média v q m

Imagine aquele bando de moléculas de um gás agitadas indo de um lado para o outro.

A energia total de cada uma dessas moléculas é dada pelo teorema da equipartição de energia (que vamos estudar com mais detalhes depois), que diz que pra uma molécula monoatômica isso vale:

E = 3 2 k T

Onde k é a constante de Boltzmann, k = 1,38 × 10 - 23   J / K ;

T é a temperatura do gás em Kelvin.

Como temos um gás ideal, a energia potencial é zero. Para uma única molécula de massa m , temos que:

E = E P + E C = 0 + m v 2 2

3 2 k T = m v 2 2

v = 3 k T m

Mas as moléculas NÃO estão todas com a mesma velocidade! Esse valor que achamos é simplesmente um valor médio. Chamamos de velocidade quadrática média ( v q m ou v r m s do inglês root mean square), pois vem da energia cinética, que tem a velocidade ao quadrado!

Usando a relação

k = R N A

R é a constante dos gases ideais e N A o número de Avogadro. Podemos chegar em uma fórmula equivalente:

v q m = 3 k T m = 3 R T M

Onde M é a massa molar do gás (quantidade de massa por número de mols).

Podemos ainda usar o

P V = n R T

E chegar numa terceira forma da mesma equação:

v q m = 3 k T m = 3 R T M = 3 P ρ

Onde ρ é a densidade do gás.

Uou, três fórmulas! Três formas diferentes de se calcular.

Analisando as fórmulas, vemos que quanto maior a temperatura ou maior a pressão, maior vai ser a velocidade das moléculas, como esperado.

Livre Caminho Médio

O livre caminho médio é mais uma grandeza microscópica que queremos medir e comparar com grandezas macroscópicas.

Mas o que é o livre caminho médio?

Imagine uma garrafa de 2   L com várias bolinhas de gude. Você começa a balançar essa garrafa. As bolinhas irão colidir com a parede da garrafa e entre elas, certo?

Em um mundo microscópico, os átomos ou moléculas de um gás podem ser considerados como as bolinhas de gude e irão colidir uns com os outros em um recipiente.

O livre caminho médio ou caminho livre médio (tanto faz, a ordem dessas palavras não altera o produto final haha) é a distância média que foi percorrida entre uma colisão e outra.

Como Calcular?

Vamos calcular o livre caminho médio, chamado de λ , pela fórmula:

λ = V 2 π . N . d 2

Onde V   é o volume do recipiente onde o gás está confinado, N é o número de átomos ou moléculas e d é o diâmetro do átomo ou molécula que compõe o gás.

Em exercicíos desse assunto, é muito comum ser pedido o diâmetro do átomo ou molécula, dado a quantidade de partículas por centímetro cúbico. Para trabalhar com esse dado, podemos reescrever a fórmula da seguinte maneira:

λ = 1 2 π . N V . d 2

Frequência ou tempo das colisões

Se tivermos a velocidade das partículas v podemos descobrir o tempo médio entre um choque e outro ( t ), pois

v = λ t

t = V 2 π N d 2 v

Ou a frequência de choques, quantas vezes eles se chocam por segundo, se lembrarmos que:

t = 1 f

f = 2 π N d 2 v V

Então, por exemplo, se tivermos uma amostra de gás hidrogênio a uma temperatura de 20 K e seu livre caminho médio nessa condição é de 4,5 × 10 11   m . Sabendo que existem cerca de 50 átomos de hidrogênio por centímetro cúbico e que o diâmetro de um átomo de hidrogênio é da ordem de 10 - 8 c m . Qual a frequência de choques nessa amostra?

Massa molar do hidrogênio: 2 × 10 - 3   k g / m o l

R = 8,3   J / m o l . K

Bom, nós já temos o livre caminho médio, podemos achar a velocidade e jogar na fórmula:

v = λ t

v = λ f → f = v λ

Para achar a velocidade:

v q m = 3 R T M = ( 3 ) ( 8,3 ) ( 20 ) 2 × 10 - 3 ≈ 500   m / s

Com isso, achamos f :

f = v λ = 500 4,5 × 10 11 ≈ 1,11 × 10 - 9   s - 1

Pronto, já vimos bastante coisa, agora mãos à obra!

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 242. x-y 18

Calcule a velocidade média quadrática de átomos de hélio a 1000   K . A massa molar dos átomos de hélio é M = 4.10 - 3 k g / m o l .

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Passo 1

Para descobrirmos a velocidade quadrática média de um gás, vamos usar a fórmula

v q m = 3 R T M

Substituindo os valores dados no enunciado e usando R = 8,3   J / m o l . K

v q m = 3.8,3.1000 4.10 - 3

v q m = 2,5   . 10 3   m / s  

Resposta

v q m = 2,5   . 10 3 m / s

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 242. x-y 21

a   Calcule a velocidade média quadrática de uma molécula de nitrogênio a 20,0 ° C . A massa molar da molécula de nitrogênio N 2 é M = 28   . 10 - 3 k g / m o l . A que temperatura a velocidade média quadrática é b metade desse valor e c o dobro desse valor?

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Passo 1

a   Para calcular a velocidade quadrática médias, vamos usar a fórmula que aprendemos

v q m = 3 R T M

Substituindo os valores na fórmula e lembrando de passar a temperatura para kelvin e usando R = 8,3   J / m o l . K

v q m = 3.8,3 . 273 + 20 28.10 - 3

v q m = 510   m / s

Passo 2

b Metade de 510   m / s é 255   m / s , então temos

255 = 3.8,3 . T 28.10 - 3

Assim,

T = 73   K = - 200 ° C

Passo 3

c   o dobro de 510   m / s é 1020   m / s , assim

1020 = 3.8,3 . T 28.10 - 3

T = 11 70   K = 897 ° C

Resposta

a   510   m / s

b   T = 73   K = - 200 ° C

c   T = 1170   K = 897 ° C

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 ,Rio de Janeiro: LTC , 2008, x-y 11

A menor temperatura disponível no espaço sideral é 2,7 K . Qual é a velocidade média quadrática de moléculas de hidrogênio a essa temperatura?

Massa molar do H 2   : M H 2 = 2 g / m o l  

R =   8,3   J / m o l . K

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Passo 1

Essa questão é bem tranquila. Basta a gente aplicar a equação:

v q m = 3 R T M

Precisamos só ter cuidado com uma coisa: As unidades. O valor de R está expresso por unidades do SI, mas o valor da massa molar do hidrogênio não! Vamos converter:

M = 2 g / m o l = 2 x 10 - 3 k g / m o l

Logo, aplicando esse valor e os do enunciado na equação:

v q m = 3 R T M

  →   v q m =   3 ( 8,3 ) ( 2,7 ) ( 2 x 10 - 3 ) = 18 3 , 4 m / s

Resposta

v q m = 183,4 m / s

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 242. x-y 28

O livre caminho médio das moléculas de nitrogênio a 0,0 ° C e 1,0   a t m   é 0,80.10 - 5   c m . Nessas condições de temperatura e pressão existem 2,7.10 19   m o l é c u l a s / c m 3 . Qual é o diâmetro das moléculas?

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Passo 1

O problema nos fornece o caminho livre médio λ = 0,8 . 10 - 5 c m , e a quantidade de mólecula por centímetro cúbico ( N / V ) = 2,7.10 19   m o l é c u l a s / c m 3 e pede o diâmetro das moléculas, certo?

Então precisamos apenas aplicar a fórmula que aprendemos

λ = 1 2 π . N V . d 2

0,8.10 - 5 = 1 2 . π 2,7.10 19 . d 2