Distribuição de Velocidades

Teoria Completa

Distribuição de velocidades

Beleza, então já sabemos calcular a velocidade quadrática média das moléculas de um gás.

Mas e se quiséssemos saber a velocidade de cada uma das moléculas de um gás?

Como as partículas possuem diferentes velocidades, para representar de forma correta as velocidades, foi criada a função f v , chamada de distribuição de Maxwell-Boltzmann. Que é a porcentagem de partículas que estão naquela velocidade ( f ,   e i x o   y ) versus a velocidade ( v ,   e i x o   x ).

Isso nós podemos ver pelo gráfico de distribuição de velocidades, como esse aqui:

Repare que se somarmos todas as as probabilidades de todas as velocidades temos que encontrar 100%. Matematicamente, a área abaixo da curva tem que dar 1:

∫ 0 ∞ f v d v = 1

Essa curva vem de uma equação bem complicadinha:

f v = 4 π m 2 π k T 3   v 2 e - m v 2 2 k T

Mas não se assuste! Pois em geral, nós só vamos querer saber duas coisas:

  • Qual é a velocidade mais provável;
  • Como esse gráfico varia com a temperatura.

Velocidade mais provável – v m p

A velocidade mais provável é aquela onde a derivada da curva é zero, ou seja, é a velocidade relativa a um pico.

Graficamente:

Se for dada a equação da curva, basta calcular a derivada em relação a v e igualar a zero:

d f d v = 0

Que dá, na distribuição de Maxwell-Boltzmann:

v m p = 2 k T m

Como o gráfico varia com a temperatura

O que precisamos saber sobre a variação com a temperatura é:

  • Quanto maior a temperatura, mais baixo é o pico e mais larga é a curva.
  • Quanto menor a temperatura, mais alto é o pico e mais estreita é a curva.

Podemos ver esse efeito pelo gráfico:

Então, podemos esquematizar isso da seguinte forma:

Quanto maior a temperatura, maiores vão ser as velocidades que as moléculas vão conseguir alcançar (gráfico mais para direita).

E como a área embaixo do gráfico tem que ser sempre igual a 1, então quando maior a temperatura, menor vai ser a altura do pico.

Beleza?

Relação entre a velocidade média, quadrática média e a velocidade mais provável

A velocidade média é dada pela fórmula:

v m = ∫ 0 ∞ v   f v d v

Que na equação de Maxwell-Boltzmann dá:

v m = 8 k T π m

A velocidade quadrática média pela fórmula:

v q m = ∫ 0 ∞ v 2   f v d v   = 3 k T m

E a velocidade mais provável, como acabamos de ver, é dada pela fórmula:

v m p = 2 k T m

Repare que, como

3 > 8 π ~ 2,5 > 2

Então:

v q m > v m > v m p

Às vezes, vão te pedir pra achar uma das velocidades e vão te dar o valor de outra. Daí, é só você lembrar da relação entre elas, que é:

v m p = v q m 2 3 = v m 2 . π

Lembrando que, dado um grupo finito de partículas, podemos calcular sua velocidade média e velocidade quadrática média através das fórmulas convencionais:

v m = ∑ i = 0 n v i n

E

v q m = ∑ i = 0 n v i 2 n

Partiu exercitar?

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Exercício Resolvido #1

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , Rio de Janeiro: LTC , 2008, x-y 09

As moléculas de um gás com seis partículas têm velocidades representadas pelos vetores:

v → 1 = 20 i ^ + 30 j ^   m / s

v → 2 = - 40 i ^ + 70 j ^   m / s

v → 3 = - 80 i ^ - 10 j ^   m / s

v → 4 = 60 i ^ - 20 j ^   m / s

v → 5 = - 50 j ^   m / s

v → 6 = 40 i ^ - 20 j ^   m / s

Determine:

a v → m e d ;

b v m e d ;

c v r m s .

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Passo 1

a   Para determinar o vetor velocidade média, precisamos somar cada termo em x e em y separadamente e dividir pelo número de moléculas, vamos começar com os termos em x :

v m e d x = [ 20 - 40 - 80 + 60 + 40 ] ( i ^ ) 6 = 0

Em y , temos:

v m e d y = [ 30 + 70 - 10 - 20 - 50 - 20 ] ( j ^ ) 6 = 0

Portando, temos:

v → m e d = 0

Passo 2

b Para determinar a velocidade escalar média, temos que calcular o módulo da velocidade de cada uma das moléculas:

v 1 = 20 2 + 30 2 = 1300 ≈ 36,1

v 2 = ( - 40 ) 2 + 70 2 = 6500 ≈ 80,6

v 3 = ( - 80 ) 2 + ( - 10 ) 2 = 6500 ≈ 80,6

v 4 = 60 2 + ( - 20 ) 2 = 4000 ≈ 63,2

v 5 = ( - 50 ) 2 = 2500 ≈ 50

v 6 = 40 2 + ( - 20 ) 2 = 2000 ≈ 44,7

Somando e dividindo por 6 , acharemos a média!

v m e d = 36,1 + 80,6 + 80,6 + 63,2 + 50 + 44,7 6 = 59,2   m / s

Passo 3

c   Para determinar a velocidade quadrática média, precisamos lembrar da seguinte relação:

v r m s = ∑ i = 0 n v i 2 n

Ou seja:

v r m s = v 1 2 + v 2 2 + v 3 2 + v 4 2 + v 5 2 + v 6 2 6

v r m s = 1300 + 6500 + 6500 + 4000 + 2500 + 2000 6

v r m s = 3800

v r m s = 61,6   m / s

Resposta

a v → m e d = 0

b   v m e d = 59,2   m / s

c v r m s = 61,6   m / s

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 242. x-y 33

Dez partículas estão se movendo com as seguintes velocidades: quatro a 200   m / s , duas a 500   m / s   e quatro a 600   m / s . Calcule suas velocidades a   médias e b   média quadrática. c   v r m s é maior que v m é d ?

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Passo 1

a   A fórmula da velocidade média para um sistema com número finito de partículas é

v m = ∑ i = 0 n v i n