Dilatação de Líquidos

Teoria Completa

Introdução

A dilatação dos líquidos é dada pela fórmula da dilatação volumétrica, que já estudamos:

Δ V = V 0 . γ l i q . Δ T

Tá, mas o que muda e nos faz ter que estudar uma teoria toda só para dilatação de líquidos?

A questão aqui é que você não consegue manter um líquido sem um recipiente, certo? Aí, se você esquentar ou resfriar um líquido, você está fazendo o mesmo com o recipiente em que o líquido está.

Volume Aparente

Então, imagina que você tem água em um copo e você varia a temperatura a fim de ver o quanto o volume da água vai variar.

Para isso, antes de aquecer a água, você marcou no copo onde ela batia. Então, depois de aquecer a água, você volta ao copo e marca onde a água bate de novo.

Aí que tá: essa diferença de altura entre a primeira e a segunda marcações não representa o quanto a água variou de volume. Isso porque o copo também foi aquecido e por isso ele também variou seu volume.

Chamamos isso de variação de volume aparente, pois é o quanto parece que o líquido variou de volume, mas não o é de fato.

Dilatação do Líquido

Então vamos aos cálculos, para descobrir o quanto o líquido realmente varia de volume. Temos que a variação de volume do líquido é dada por:

Δ V r e a l   d o   l i q . = V 0 ,   l i q . γ l i q . Δ T

Já o frasco varia seu volume de acordo com a seguinte equação:

Δ V r e a l   d o   f r a s c o = V 0 ,   f r a s c o . γ f r a s c o . Δ T

Vamos ter a seguinte relação entre as variações de volume:

Δ V r e a l   d o   l i q = Δ V r e a l   d o   f r a s c o + Δ V a p a r e n t e   d o   l i q

Pode acontecer da questão não considerar a dilatação do recipiente. Nesse caso, é mais fácil ainda: a dilatação aparente é a dilatação real do líquido.

Se lembrarmos do exemplo acima, e entendermos bem a relação entre as variações, estaremos prontos para acertar os exercícios! Vamos lá?

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET – Prof. Carolina

O tanque de gasolina de um carro, com capacidade para 60 litros, é completamente cheio a 10 ° C , e o carro é deixado no estacionamento onde a temperatura é 30 ° C . Sendo o coeficiente de dilatação volumétrica da gasolina igual a 1,1 x 10 - 3 ° C - 1 e considerando desprezível a variação de volume do tanque, calcule a quantidade de gasolina derramada.

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Passo 1

Pelo enunciado, a gente pode deduzir que a variação de volume da gasolina vai ser igual ao volume derramado. Oras, por quê?

Pense bem, no início o tanque estava cheio. Como ele possui um volume fixo de 60 l , podemos deduzir que o volume inicial da gasolina era 60 l .

Qualquer pequena variação no volume da gasolina vai causar um derramamento, portanto.

Então já sabe... queremos achar o ∆ V . (:

Passo 2

Temos os dados:

V 0 = 60 l

β g a s o l i n a = 1,1 x 10 - 3 ° C - 1

T 0 = 10 ° C

T f = 30 ° C

Vamos calcular a variação agora usando a equação:

∆ V = V 0 β ∆ T

Logo:

∆ V = 60 . 1,1 x 10 - 3 . 30 - 10

Δ V ≅ 1,32   l

Resposta

1,32 l

Exercício Resolvido #2

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 207. x-y 15

Uma xícara de alumínio com um volume de 100   c m 3 está cheia de glicerina a 22 ° C . Que volume de glicerina é derramado se a temperatura da Glicerina e da xícara aumenta para 28 ° C ? (0 coeficiente de dilatação volumétrica da glicerina é 5,1.10 - 4 / ° C e o coeficiente de dilatação linear do alumínio é 2,4.10 - 5 / ° C .)

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Passo 1

O problema quer saber o quanto de glicerina irá derramar, quando aquecemos uma xícara de alumínio cheia de glicerina de 22 ° C   para 28 ° C .

Para fazermos isso vamos calcular quanto vai variar o volume de glicerina Δ V g e quanto variará o volume da xícara Δ V x . Tendo as duas variações se Δ V g >   Δ V x a glicerina irá derramar e subtraindo elas descobrimos quanto irá derramar e se Δ V g ≤     Δ V x não derrama nada.

Passo 2

Primeiro vamos calcular quanto o volume de glicerina varia

Δ V g = V g . γ g . Δ T

Como a xícara estava cheia temos que V g = V x = 100   c m 3 , substituindo os valores na equação acima temos

Δ V g = 100.5,1.10 - 4 . 28 - 22

Δ V g = 0,306   c m 3

Passo 3

Agora vamos calcular quando o volume da xícara variou, lembrando que γ x = 3 . α A

Δ V x = V x . 3 . α A . Δ T

Δ V x = 100.3 . 2,4.10 - 5 . 28 - 22

Δ V x = 0,0432   c m 3

Passo 4

Agora basta subtrair a variação de volume da glicerina Δ V g pela da xícara Δ V x que descobriremos quanto de glicerina derramou

Δ V g - Δ V x = 0,306 - 0,0432 = 0,2628   c m 3

Resposta

0,2628   c m 3

Exercício Resolvido #3

UERJ – Lista para 2ª Prova - Modificado

Um tubo de vidro vertical de 1,28   m de comprimento é preenchido até a metade com um líquido a 20   ° C . De quanto a altura da coluna de líquido variará quando o tubo for aquecido a 30   ° C ? Utilize:

α vidro = 1 ⋅ 10 - 5 / ° C   (coeficiente de dilatação linear) γ líq = 4 ⋅ 10 - 5 / ° C (coeficiente de dilatação volumétrica)

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Passo 1

Bom, galera, nesse problema a gente precisa descobrir quanto a altura de um líquido num frasco se altera quando esse líquido e o próprio frasco se expandem.

A ideia básica é a seguinte: O líquido vai se expandir, no entanto, nós vamos ter que “retirar” dessa expansão a própria expansão do frasco.

Por quê? Bem, pense numa bacia de água. Se você aquece a água, ela se expande e tende a sair pelas bordas da bacia. Porém, se o volume da bacia aumentar, essa água não vai mais transbordar, pois vai estar num recipiente maior. A ideia é bem intuitiva (:

Os físicos chamam esse fenômeno de dilatação aparente. A gente pode expressar essa ideia com essa fórmula:

∆ V ap = ∆ V líq - ∆ V frasco

Lembrando que ∆ V é dado por:

∆ V = V 0 γ ∆ T

Só que, como você deve ter percebido o problema não nos pede uma variação de volume, e sim uma variação de altura. Aliás o problema só nos dá o comprimento do frasco, e não o seu volume!

Bom, precisamos achar um modo de expressar essa variação de volume da fórmula acima em termos de h . (:

Passo 2

Vamos imaginar que o nosso frasco tenha uma área de “boca” que vale A . Veja a figura:

Sendo a figura da esquerda o frasco antes de ser aquecido e a figura da direita o frasco após ser aquecido, o que buscamos é o h da figura! Considerando o trecho de comprimento h cilíndrico, podemos escrever o volume desse trecho como:

V h = A h = ∆ V a p

Precisamos expressar os outros volumes usando A também. Você vai ver que iremos cortar depois ;D :

Obs: Estamos considerando trechos cilíndricos!

Volume inicial do frasco: V 0 frasco = 1,28   A

Volume inicial do líquido: V o l i q = 0,64   A (Veja no enunciado que o líquido ocupa metade do volume no início).

Vamos, agora, enfim calcular h !

Passo 3

Antes de partirmos para os cálculos, perceba que precisamos do coeficiente de dilatação volumétrica do vidro. Podemos calcular esse coeficiente, a partir da do coeficiente de dilatação linear, através da fórmula:

γ = 3 α

α vidro = 1 ⋅ 10 - 5 / ° C     → γ vidro = γ frasco = 3 α = 3 ⋅ 10 - 5 / ° C

Vamos usar todas as informações que temos agora na fórmula da variação aparente:

∆ V ap = ∆ V líq - ∆ V " f r a s c o "  

A h = V 0 líq ⋅ γ líq ∆ T   -   V 0 frasco ⋅ γ frasco ∆ T

Como a temperatura vai de 20   ° C a 30   ° C , ∆ T = 10   ° C . Substituindo tudo, enfim, na equação:

A h = 0,64   A ⋅ 4 ⋅ 10 - 5 ⋅ 10 - 1,28   A ⋅ 3 ⋅ 10 - 5 ⋅ 10

Cortando o A de ambos os lados e calculando:

h = 0,64 ⋅ 4 ⋅ 10 - 5 ⋅ 10 - 1,28 ⋅ 3 ⋅ 10 - 5 ⋅ 10

h ≅ - 0,1 ⋅ 10 - 3   m

h = - 0,1   mm

A altura negativa nos diz que o líquido desceu! Mas como estamos interessados em “quanto variará a altura”, podemos considerar apenas o módulo de h :

h = 0,1   mm

(:

Resposta

0,1 m m

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