Dilatação Térmica

Teoria Completa

Introdução

O aumento de temperatura em certos materiais causa uma dilatação do material. Do mesmo modo, uma diminuição de temperatura causa contração de certos materiais.

Por que isso acontece?

No fundo, o aumento de temperatura eleva a agitação das moléculas do material, fazendo com que ele se expanda. E a diminuição de temperatura, pelo mesmo raciocínio, causa o efeito contrário.

Bom, e como calculamos essa dilatação?

Primeiramente, vamos ver que existem três tipos de dilatação:

  • Dilatação linear, que ocorre significamente em apenas uma direção;
  • Dilatação superficial, que ocorre significamente em um área;
  • Dilatação volumétrica, que ocorre significamente em todas as três dimensões do objeto.

Dilatação Linear

Caso a dilatação seja do tipo linear, de uma barra por exemplo, nós vamos usar a seguinte fórmula:

∆ L = L 0 α ∆ T

Na qual o α é o coeficiente de dilatação linear e L 0 é o comprimento inicial.

Ainda podemos reescrever essa equação, de forma a obtermos o tamanho final da barra diretamente:

L f = L 0 + L 0 α Δ T

Lembrando que a variação de temperatura é em Kelvin, que é igual a variação em Celsius (mas é diferente em outras escalas, então fique atento).

Dilatação Superficial

No caso da dilatação superficial, a fórmula vai ser:

∆ A = A 0 β ∆ T

Na qual o β é o coeficiente de dilatação superficial e A 0 a área inicial.

Também pode ser reescrita como:

A f = A 0 + A 0 β Δ T

Dilatação Volumétrica

Caso a dilatação seja volumétrica, de um líquido, por exemplo, vamos usar a seguinte fórmula:

∆ V = V 0 γ ∆ T

Na qual o γ é o coeficiente de dilatação volumétrica e V 0 é o volume inicial.

Para achar o volume final V f , temos que:

V f = V 0 + V 0 γ Δ T

Relação entre os coeficientes

Olha aí um bizu importante para os exercícios. Podemos relacionar os três coeficientes de dilatação através das seguintes equações:

β = 2 α

γ = 3 α

E se a gente quiser relacionar β com γ é só juntar essas duas equações de cima

γ = 3 2 β

Dilatação de superfícies com furos ou corpos ocos

Bom, vamos começar essa teoria com um segredo que me ajudou bastante e evitou que eu caísse em muitas pegadinhas.

Quando um corpo se dilata, ele se expande para suas fronteiras, nunca para o interior da peça. Quero dizer que se tivermos um corpo com furo ou oco, e a variação de temperatura for positiva Δ T > 0 , o furo irá se expandir e a parte oca irá aumentar.

A ideia de que quando temos um furo o corpo irá se expandir tanto para dentro quanto para fora, e por isso o furo vai diminuir, está completamente errada.

O tamanho de um furo ou volume de uma parte oca só irá diminuir caso a variação de temperatura seja negativa Δ T < 0 .

Até aí show de bola?

Para resolver exercícios que tenha um objeto com furo ou parte oca, basta você separar a peça em duas: a peça sem furo e o furo.

Isso mesmo: você vai considerar o furo como uma peça normal e, com isso, você consegue calcular o quanto ele aumenta ou diminui.

Por exemplo, se você tem uma chapa retangular com um furo retangular nela:

Separamos a peça em duas, conforme falamos antes. Agora, vamos calcular separadamente quanto cada um deles vai dilatar:

E, por fim, sobrepor os resultados para voltarmos a ter a chapa furada. Só fazer um menos o outro:

Para corpos ocos, a dilatação será volumétrica mas o raciocínio e procedimento será o mesmo.

Vamos ver melhor tudo isso lá nos exercícios?

#Partiu.

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET – Prova Final - Vance

Verifica-se que uma barra de aço, de 3 m de comprimento à 20 ° C , dilata-se 2 c m quando aquecida à 520 ° C .

Calcule para ele:

a ) Seu coeficiente médio de dilatação linear

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Passo 1

Bom galera, nessa questão iremos lidar com a dilatação linear de uma barra. Usaremos, pra resolver esse problema, a equação:

∆ L = L 0 α ∆ T

a   Temos todas as informações! Precisamos apenas aplica-los na fórmula pra descobrir o valor do coeficiente:

∆ L = 2 c m = 0,02 m ∆ T = 520 - 20 = 500   ° C L 0 = 3   m  

Logo:

∆ L = L 0 α ∆ T

α = ∆ L L 0 ∆ T

α = 0,02 ( 3 ) . ( 500 )

α = 1,3 × 10 - 5 ° C - 1

Pronto (:

Resposta

α = 1,3 × 10 - 5 ° C - 1

Exercício Resolvido #2

UERJ – Lista da 2ª Prova

Logo após a Terra ter sido formada, o calor liberado pelo decaimento dos elementos radioativos elevou a temperatura média interna de 300   K para 3000   K , cujo valor aproximado permanece até hoje. Admitindo um coeficiente de dilatação volumétrica médio de 3 ⋅ 10 - 5 K -1 , de quanto o raio da Terra aumentou desde sua formação?

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Passo 1

Nesse problema, vamos lidar com uma dilatação volumétrica de uma esfera que, no caso, é a nossa Terra. Por isso, as fórmulas que vamos usar são as seguintes:

Volume de uma esfera:

V = 4 π R 3 3

E

V = V 0 + V 0 γ ∆ T

E os dados que temos são:

Coeficiente de dilatação volumétrica médio: γ = 3 x 10 - 5   K -1

A variação de temperatura :

∆ T = 3000 - 300 = 2700   K

Partiu resolver essa questão? (:

Passo 2

O que queremos saber nessa questão é quanto o raio da terra aumentou. O raio, antes do aquecimento, era R 0 , e, após o aquecimento, tornou-se R . Isso causou um aumento de volume, certo? Se liga na figura:

A gente pode calcular a variação do volume assim:

∆ V = V - V 0 = V 0 γ ∆ T     → V = V 0 + V 0 γ ∆ T = V 0 ( 1 + γ ∆ T )

Só que tanto V quanto V 0 são volumes de esferas! Então a gente pode escrever a expressão acima dessa forma:

V = V 0 1 + γ ∆ T  

4 π R 3 3 = 4 π R 0 3 3 ( 1 + γ ∆ T )

Simplificando a expressão acima:

R 3 = R 0 3 ( 1 + γ ∆ T )

Passo 3

Bom, temos tudo que precisamos. Vamos agora isolar R totalmente na equação:

R = R 0 1 + γ ∆ T 3

Substituindo os valores que temos:

R = R 0 1 + γ ∆ T 3  

R = R 0 1 +   2700.3 x 10 - 5 3

R = R 0 1,081 3

R = 1,026 R 0

Pronto (: Isso quer dizer que o raio da Terra aumentou em um fator de 1,026.

Resposta

R = 1,026 R 0

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 207. x-y 11

Um furo em uma placa de alumínio tem 2,725   c m   de diâmetro a 0,000 ° C . Qual é o diâmetro do furo quando a temperatura da placa é aumentada para 100,0 ° C ? Sabendo que o coeficiente linear do alumínio é 2,4.10 - 5 / ° C

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Passo 1

A questão quer saber o diâmetro final de um furo em uma placa de alumínio que sofreu uma variação de 100 ° C .

Como vimos na teoria, podemos tratar o furo com um corpo qualquer, então vamos aplicar a formula de dilatação superficial para descobirimos o diâmetro dinal do furo.

A f = A 0 + A 0 . β . Δ T  

Lembrando que o problema nos fornece o coeficielte linear α = 2,4.10 - 5 ° C e por isso temos que achar o β , como vimos na teoria β = 2 . α  

A f = A 0 1 + 2 α . Δ T

Como a área de um círculo é A = π D 2 4

Temos que a equação de dilatação superficial fica assim:

π D f 2 4 = π D 0 2 4 1 + 2 α . Δ T

Cortando os termos possíveis de cortar e substituindo os valores que temos

D f 2 = 2,725 2 1 + 2 . 2,4.10 - 5 . 100

D f 2 = 7,426 . 1,0048

D f = 2,731   c m

Resposta

D f = 2,731   c m

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 207. x-y 16

A 20 ° C , uma barra tem exatamente 20,05   c m   de comprimento, de acordo com uma régua de aço. Quando a barra e a régua são colocadas em um forno a 270 ° C , a barra passa a medir 20,11 cm de acordo com a mesma régua. Qual é o coeficiente de expansão linear do material de que é feita a barra, sabendo que o do Aço é de 1,2 . 10 - 5 ° C - 1 ?

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Passo 1

Nessa questão temos dois materias sofrendo dilatação: a barra e a régua. Se fossem do mesmo material a medição da régua não mudaria. Vemos que a barra se expandiu mais que a régua, por isso aumentou de tamanhão segundo a régua, mas essa medida não é realmente quanto a barra dilatou, já que a régua também se expandiu.

Então para resolvermos esse problema temos que achar quanto a barra realmente se expandiu e assim podermos descobir o coeficiente linear da barra.

Passo 2

Para descobrir o quanto o tamanho da barra variou, precisamos descobrir quanto esses 20,11   c m valem realmente.

Δ L r e g u a = L 0 r e g u a α a ç o Δ T

Δ L r e g u a = 20,05 × 1,2.10 - 5 × 270 - 20

Δ L r e g u a = 0,06   c m

Assim sabemos que esses 20,11   c m “expandidos” na verdade valem

L b a r r a = x 0 + 0,06   c m

L b a r r a = 20,11 + 0,06  

L b a r r a = 20,17   c m

Agora sabemos quanto realmente a barra variou de tamanho

Δ L b a r r a = 20,17 - 20,05  

Δ L b a r r a = 0,120   c m

Passo 3

Vamos descobrir o valor de α agora,

∆ L b a r r a = L 0 α ∆ T

Isolando o α temos

α = Δ L b a r r a L 0 . Δ T

Substituindo os valores que já temos

α = 0,120 20,05 . 270 - 20

α = 0,120 20,05   .   250

α = 2,394.10 - 5 ° C - 1

Resposta

α = 2,394 . 10 - 5 ° C - 1

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 207-18

Quando a temperatura de uma moeda de cobre é aumentada de 100 ° C o diâmetro aumenta de 0,18 % . Com precisão de dois algarismos significativos, determine o aumento percentual a da área, b da espessura, c do volume e d da massa especifica da moeda. e Calcule o coeficiente de dilatação linear da moeda.

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Passo 1

a O problema forneceu quanto aumentou o diâmetro da moeda, então não precisamos de mais nada para descobrir quanto variou a área da moeda, pois sabemos que

A = π . R 2

Como o diâmetro é D = 2 . R

A = π D 2 4

Se o diâmetro aumentou 0,18 % :

D * = D ∙ 1,0018

Temos que a nova área será igual a:

A * = π . D . 1,0018 2 4

A * = π . D 2 . 1,0036 4

Assim podemos reescrever da seguinte forma

A * = A . 1,0036

Desta forma vemos que o aumento de área foi de 0,36 % . O que faz sentido pois esse aumento é duas vezes o aumento percentual do diâmetro assim como o β = 2 α .

Passo 2

b Admitindo que o material é homogêneo temos que a dilatação será a mesma em todas as direções e por isso o aumento percentual da espessura será de 0,18 %

Passo 3

c Sabemos que o volume de uma moeda é Á r e a ×   e s p e s s u r a   e por isso podemos fazer que o aumento percentual de volume é o aumento da área mais o da espessura

Δ V = 0,36 + 0,18

Δ V = 0,54 %

Passo 4

d A massa específica nesse caso é igual a densidade da moeda por que estamos considerando que é uma moeda homogênea.

A densidade inicial da moeda é dada por

ρ = m V 0

E a densidade final da moeda é dada por

ρ ' = m 1 + 0,0054 V

Já que a massa da moeda não muda!

Assim temos que

ρ ' = ρ 1,0054 = 0,9946 ρ

Ou seja, houve uma variação de 0,54 % na densidade dessa moeda.

A variação da massa específica dessa moeda é então 0,54 %

Passo 5

e Como queremos o coeficiente de dilatação linear, temos que pegar algo que cresça em apenas uma dimensão, como a espessura, sabemos o quanto ela aumentou então com ela conseguiremos calcular o coeficiente linear de dilatação

Δ e = e 0 . α . Δ T

α = Δ e e 0 . Δ T

Como

Δ e e 0 = 0,18 %

Temos que o coeficiente linear vale

α = 0,0018 100

α = 1,8.10 - 5   C ° - 1

Resposta

a   0,36 %

b   0,18 %

c   0,54 %  

d 0,54 %

e   α = 1,8.10 - 5

Exercício Resolvido #6

UFRJ – Prova Final – 2015.1

Um cilindro, com coeficiente de dilatação α C , está muito apertado preso em um plano cujo coeficiente de dilatação é α P < α C . Para afrouxarmos o cilindro devemos (considere ambos os coeficientes de dilatação positivos).

a   Aumentar a temperatura do sistema.

b   Diminuir a temperatura do sistema.

c   Aumentar apenas a temperatura do cilindro.

d   Como α C > α P , a única forma de liberarmos o cilindro é quebrando o plano.

e   Nenhuma das afirmativas anteriores.

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Passo 1

Beleza, o que é preciso fazer pra que o cilindro fique frouxo no buraco? Bom, a área transversal do cilindro precisa ser menor que a área do buraco, certo?

Passo 2

Como os dois estão muito próximos, vamos considerar que eles possuem a mesma área. Depois, vamos usar a fórmula da dilatação em duas dimensões:

∆ A = A 0 α ∆ T

Passo 3

As duas áreas inicias, pras duas dilatações, são iguais e valem A 0 . A gente pode escrever assim:

∆ A 1 = A 0 α c ∆ T

∆ A 2 = A 0 α p ∆ T

Ai vem o pulo do gato: Como eu disse, a área do buraco tem que ser maior. Assim, o plano precisa se dilatar mais que o cilindro não é mesmo?

Ou, se resfriarmos o conjunto, o cilindro tem que diminuir de tamanho mais rápido do que o plano certo?

Vamos pensar na primeira situação: Aumentando a temperatura. Assim:

∆ T > 0 → ∆ A 1 > 0   e   ∆ A 2 > 0

Só que como:

α c > α p → ∆ A 1 > ∆ A 2

Poooo, mas nós não queremos isso. Dizer isso é o mesmo que dizer que a área do cilindro aumentou mais que a área do buraco, então ele ficou mais é estrangulado.

E se diminuirmos a temperatura? A variação da temperatura será negativa, então:

∆ T < 0   → ∆ A 1 < 0   e   ∆ A 2 < 0

No entanto, como:

α c > α p

Então:

∆ A 1 < ∆ A 2

Ou seja, o cilindro irá diminuir mais sua área que o furo do plano. Porque, afinal de contas, é isso que o coeficiente de dilatação diz: ele favorece a dilatação e faz com que o material se dilata, ou se contraia, com maior facilidade.

Então, precisamos diminuir a temperatura: b

Resposta

b

Exercício Resolvido #7

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 208. x-y 21

Como resultado de um aumento de 32 ° C , uma barra com uma rachadura no centro dobra para cima (figura abaixo). Se a distância fixa L 0 é 3,77   m e o coeficiente de dilatação linear da barra é 25 × 10 - 6 / ° C , determine a altura x do centro da barra.

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Passo 1

O problema quer saber a altura x e para isso vamos precisar saber o tamanho final da barra, para que usando teorema de Pitágoras cheguemos na resposta.

Vamos lá então!

Passo 2

Para achar o tamanho da barra final, basta aplicar a equação que vimos na teoria

L = L 0 + L 0 . α . Δ T

Como o problema forneceu todos os dados que precisamos, basta substituir na equação

L = 3,77 + 3,77 ⋅ 25 × 10 - 6 ⋅ 32

L = 3,773   m  

Passo 3

Agora vamos fazer Pitágoras com uma das metades da barra quebrada, onde os dados são o seguintes

T r i â n g u l o { H i p o t e n u s a : 3,773 2 ;     B a s e : 3,77 2 ;     A l t u r a : x    

Com isso conseguiremos achar o valor da altura x

3,773 2 4 = 3,77 2 4 + x 2

4 x 2 = 3,773 2 - 3,77 2

x 2 = 0,0226 4

x = 0,075   m  

Resposta

x = 0,075   m  

Exercício Resolvido #8

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 207. x-y 17

Uma barra de aço tem 3,000   c m de diâmetro a 25,00 ° C . Um anel de latão tem um diâmetro interno de 2,992   c m a 25,00 ° C . Se os dois objetos são mantidos em equilíbrio térmico, a que temperatura barra se ajusta perfeitamente o furo? Sabendo que o coeficiente linear de dilatação do aço é 1,2.10 - 5 / ° C e o do latão é 1,8.10 - 5 / ° C .

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Passo 1

Temos inicialmente a seguinte situação para os dois materiais:

Ambos estão a 25 ° C e o diâmetro da barra de aço é maior que o diâmetro interno do anel de latão:

D A = 3 c m

D L = 2,992 c m

O problema quer saber em qual temperatura é possível acontecer isso aqui:

Ou seja, pra qual temperatura a barra de aço se ajusta perfeitamente ao anel de latão, e isso pra nós quer dizer que seus diâmetros finais devem ser iguais.

D A f = D L f = D

Como eles são mantidos em equilíbrio térmico eles estão sempre a mesma temperatura.

∆ T A = ∆ T L = ∆ T

Como o problema quer que o tamanho final dos diâmetro sejam iguais, vamos igualar essas medidas para chegarmos no resultado que ele deseja.

Estamos avaliando a dilatação em duas dimensões, então vamos usar a equação da dilatação superficial aqui e encontrar uma relação pro diâmetro. E como estamos lidando com esse tipo de dilatação usaremos o coeficiente de dilatação superficial β .

A = A 0 1 + β ∆ T

Lembrando que:

β = 2 α

Como estamos analisando uma área circular temos o seguinte:

A = π D 2 4

Substituindo:

π D f 2 4 = π D 0 2 4 ( 1 + β ∆ T )

Cortando os semelhantes temos:

D f 2 = D 0 2 1 + β . Δ T

Passo 2

Como falamos, o problema quer a temperatura em que o diâmetro final dos objetos seja igual, então vamos igualar as equações da barra de aço e do anel de latão e encontrar primeiro a variação de temperatura.

b a r r a   d e   a ç o D f A 2 = D 0 2 A 1 + β A . Δ T

a n e l   d e   l a t ã o   D f L 2 = D 0 2 L 1 + β L . Δ T

Assim podemos igualar

D f L 2 = D f A 2

D 0 L 2 1 + β L . Δ T = D 0 A 2 1 + β A . Δ T

Onde :

β L = 2 α L = 2 × 1,8 × 10 - 5 = 3,6 × 10 - 5 / ° C

β A = 2 α A = 2 × 1,2 × 10 - 5 = 2,4 × 10 - 5 / ° C

E como:

D 0 L = 2,992 c m

D 0 A = 3 c m

Podemos então substituir os nossos dados na equação:

D 0 L 2 1 + β L . Δ T = D 0 A 2 1 + β A . Δ T

2,992 2 1 + 3 , 6 . 10 - 5 . Δ T = 3 2 1 + 2,4 . 10 - 5 . Δ T  

Atenção pra arrendondar só no final, hein!

Abrindo a expressão temos:

8,952064 + 32,2274304 × 10 - 5 Δ T = 9 + 21,6 × 10 - 5 Δ T

10,6274304 × 10 - 5 Δ T = 0,047936

Isolando o ∆ T

∆ T = 0,047936 10,6274304 × 10 - 5 = 451,06 ° C

Arredondando:

Δ T = 451 ° C

Caso você arredondasse antes poderia rolar uma diferença de +- 10 ° C , portanto no caso de dilatação temos que levar várias constantes conosco já que a ordem de grandeza é muito relevante.

Passo 3

Descobrimos para qual variação de temperatura vai ocorrer o fato da barra e o anel terem a mesma área, mas o problema que a temperatura final e não a variação e por isso vamos fazer:

Δ T = T f - T 0

T f = Δ T + T 0

T f = 451 + 25

T f = 476 ° C

Resposta

T f = 476 ° C

Exercício Resolvido #9

UNICAMP – 2ª Prova – 2007.2

Quando a temperatura de um cilindro é aumentada de 0 ° C pra 100 ° C , seu comprimento aumenta 0,17 % .

a   Com o auxilio da tabela abaixo, encontre de qual material o cilindro é feito.

b   Determine a variação percentual na densidade desse cilindro.

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Passo 1

a     Bom, essa é tranquila: Basta a gente saber usar a formulinha abaixo:

∆ L = L 0 α ∆ T

Queremos saber o α , pra assim determinar o material. Show?

Vamos lá:

O enunciado nos diz que o comprimento aumenta 0,17 % . Bom, isso quer dizer, matematicamente:

∆ L = 0,0017 L 0

Sacou? O aumento equivale à variação. E essa variação corresponde à 0,17 % do valor inicial. Agora só falta a gente substituir ali a variação de temperatura:

∆ L = L 0 α ∆ T

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