Dilatação Térmica

Teoria Completa

Introdução

O aumento de temperatura em certos materiais causa uma dilatação do material. Do mesmo modo, uma diminuição de temperatura causa contração de certos materiais.

Por que isso acontece?

No fundo, o aumento de temperatura eleva a agitação das moléculas do material, fazendo com que ele se expanda. E a diminuição de temperatura, pelo mesmo raciocínio, causa o efeito contrário.

Bom, e como calculamos essa dilatação?

Primeiramente, vamos ver que existem três tipos de dilatação:

  • Dilatação linear, que ocorre significamente em apenas uma direção;
  • Dilatação superficial, que ocorre significamente em um área;
  • Dilatação volumétrica, que ocorre significamente em todas as três dimensões do objeto.

Dilatação Linear

Caso a dilatação seja do tipo linear, de uma barra por exemplo, nós vamos usar a seguinte fórmula:

∆ L = L 0 α ∆ T

Na qual o α é o coeficiente de dilatação linear e L 0 é o comprimento inicial.

Ainda podemos reescrever essa equação, de forma a obtermos o tamanho final da barra diretamente:

L f = L 0 + L 0 α Δ T

Lembrando que a variação de temperatura é em Kelvin, que é igual a variação em Celsius (mas é diferente em outras escalas, então fique atento).

Dilatação Superficial

No caso da dilatação superficial, a fórmula vai ser:

∆ A = A 0 β ∆ T

Na qual o β é o coeficiente de dilatação superficial e A 0 a área inicial.

Também pode ser reescrita como:

A f = A 0 + A 0 β Δ T

Dilatação Volumétrica

Caso a dilatação seja volumétrica, de um líquido, por exemplo, vamos usar a seguinte fórmula:

∆ V = V 0 γ ∆ T

Na qual o γ é o coeficiente de dilatação volumétrica e V 0 é o volume inicial.

Para achar o volume final V f , temos que:

V f = V 0 + V 0 γ Δ T

Relação entre os coeficientes

Olha aí um bizu importante para os exercícios. Podemos relacionar os três coeficientes de dilatação através das seguintes equações:

β = 2 α

γ = 3 α

E se a gente quiser relacionar β com γ é só juntar essas duas equações de cima

γ = 3 2 β

Dilatação de superfícies com furos ou corpos ocos

Bom, vamos começar essa teoria com um segredo que me ajudou bastante e evitou que eu caísse em muitas pegadinhas.

Quando um corpo se dilata, ele se expande para suas fronteiras, nunca para o interior da peça. Quero dizer que se tivermos um corpo com furo ou oco, e a variação de temperatura for positiva Δ T > 0 , o furo irá se expandir e a parte oca irá aumentar.

A ideia de que quando temos um furo o corpo irá se expandir tanto para dentro quanto para fora, e por isso o furo vai diminuir, está completamente errada.

O tamanho de um furo ou volume de uma parte oca só irá diminuir caso a variação de temperatura seja negativa Δ T < 0 .

Até aí show de bola?

Para resolver exercícios que tenha um objeto com furo ou parte oca, basta você separar a peça em duas: a peça sem furo e o furo.

Isso mesmo: você vai considerar o furo como uma peça normal e, com isso, você consegue calcular o quanto ele aumenta ou diminui.

Por exemplo, se você tem uma chapa retangular com um furo retangular nela:

Separamos a peça em duas, conforme falamos antes. Agora, vamos calcular separadamente quanto cada um deles vai dilatar:

E, por fim, sobrepor os resultados para voltarmos a ter a chapa furada. Só fazer um menos o outro:

Para corpos ocos, a dilatação será volumétrica mas o raciocínio e procedimento será o mesmo.

Vamos ver melhor tudo isso lá nos exercícios?

#Partiu.

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Exercício Resolvido #1

CEFET – Prova Final - Vance

Verifica-se que uma barra de aço, de 3 m de comprimento à 20 ° C , dilata-se 2 c m quando aquecida à 520 ° C .

Calcule para ele:

a ) Seu coeficiente médio de dilatação linear

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Passo 1

Bom galera, nessa questão iremos lidar com a dilatação linear de uma barra. Usaremos, pra resolver esse problema, a equação:

∆ L = L 0 α ∆ T

a   Temos todas as informações! Precisamos apenas aplica-los na fórmula pra descobrir o valor do coeficiente:

∆ L = 2 c m = 0,02 m ∆ T = 520 - 20 = 500   ° C L 0 = 3   m  

Logo:

∆ L = L 0 α ∆ T

α = ∆ L L 0 ∆ T

α = 0,02 ( 3 ) . ( 500 )

α = 1,3 × 10 - 5 ° C - 1

Pronto (:

Resposta

α = 1,3 × 10 - 5 ° C - 1

Exercício Resolvido #2

UERJ – Lista da 2ª Prova

Logo após a Terra ter sido formada, o calor liberado pelo decaimento dos elementos radioativos elevou a temperatura média interna de 300   K para 3000   K , cujo valor aproximado permanece até hoje. Admitindo um coeficiente de dilatação volumétrica médio de 3 ⋅ 10 - 5 K -1 , de quanto o raio da Terra aumentou desde sua formação?

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Passo 1

Nesse problema, vamos lidar com uma dilatação volumétrica de uma esfera que, no caso, é a nossa Terra. Por isso, as fórmulas que vamos usar são as seguintes:

Volume de uma esfera:

V = 4 π R 3 3

E

V = V 0 + V 0 γ ∆ T

E os dados que temos são:

Coeficiente de dilatação volumétrica médio: γ = 3 x 10 - 5   K -1

A variação de temperatura :

∆ T = 3000 - 300 = 2700   K

Partiu resolver essa questão? (:

Passo 2

O que queremos saber nessa questão é quanto o raio da terra aumentou. O raio, antes do aquecimento, era R 0 , e, após o aquecimento, tornou-se R . Isso causou um aumento de volume, certo? Se liga na figura:

A gente pode calcular a variação do volume assim:

∆ V = V - V 0 = V 0 γ ∆ T     → V = V 0 + V 0 γ ∆ T = V 0 ( 1 + γ ∆ T )

Só que tanto V quanto V 0 são volumes de esferas! Então a gente pode escrever a expressão acima dessa forma:

V = V 0 1 + γ ∆ T  

4 π R 3 3 = 4 π R 0 3 3 ( 1 + γ ∆ T )

Simplificando a expressão acima:

R 3 = R 0 3 ( 1 + γ ∆ T )

Passo 3

Bom, temos tudo que precisamos. Vamos agora isolar R totalmente na equação:

R = R 0 1 + γ ∆ T 3

Substituindo os valores que temos:

R = R 0 1 + γ ∆ T 3  

R = R 0 1 +   2700.3 x 10 - 5 3

R = R 0 1,081 3

R = 1,026 R 0

Pronto (: Isso quer dizer que o raio da Terra aumentou em um fator de 1,026.

Resposta

R = 1,026 R 0

Exercício Resolvido #3

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 207. x-y 11

Um furo em uma placa de alumínio tem 2,725   c m   de diâmetro a 0,000 ° C . Qual é o diâmetro do furo quando a temperatura da placa é aumentada para 100,0 ° C ? Sabendo que o coeficiente linear do alumínio é 2,4.10 - 5 / ° C

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Passo 1

A questão quer saber o diâmetro final de um furo em uma placa de alumínio que sofreu uma variação de 100 ° C .

Como vimos na teoria, podemos tratar o furo com um corpo qualquer, então vamos aplicar a formula de dilatação superficial para descobirimos o diâmetro dinal do furo.

A f = A 0 + A 0 . β . Δ T  

Lembrando que o problema nos fornece o coeficielte linear α = 2,4.10 - 5 ° C e por isso temos que achar o β , como vimos na teoria β = 2 . α  

A f = A 0 1 + 2 α . Δ T

Como a área de um círculo é A = π D 2 4

Temos que a equação de dilatação superficial fica assim:

π D f 2 4 = π D 0 2 4 1 + 2 α . Δ T

Cortando os termos possíveis de cortar e substituindo os valores que temos

D f 2 = 2,725 2 1 + 2 . 2,4.10 - 5 . 100

D f 2 = 7,426 . 1,0048

D f = 2,731   c m

Resposta

D f = 2,731   c m

Exercício Resolvido #4

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 207. x-y 16

A 20 ° C , uma barra tem exatamente 20,05   c m   de comprimento, de acordo com uma régua de aço. Quando a barra e a régua são colocadas em um forno a 270 ° C , a barra passa a medir 20,11 cm de acordo com a mesma régua. Qual é o coeficiente de expansão linear do material de que é feita a barra, sabendo que o do Aço é de 1,2 . 10 - 5 ° C - 1 ?

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Passo 1

Nessa questão temos dois materias sofrendo dilatação: a barra e a régua. Se fossem do mesmo material a medição da régua não mudaria. Vemos que a barra se expandiu mais que a régua, por isso aumentou de tamanhão segundo a régua, mas essa medida não é realmente quanto a barra dilatou, já que a régua também se expandiu.

Então para resolvermos esse problema temos que achar quanto a barra realmente se expandiu e assim podermos descobir o coeficiente linear da barra.

Passo 2

Para descobrir o quanto o tamanho da barra variou, precisamos descobrir quanto esses 20,11   c m valem realmente.

Δ L r e g u a = L 0 r e g u a α a ç o Δ T

Δ L r e g u a = 20,05 × 1,2.10 - 5 × 270 - 20

Δ L r e g u a = 0,06   c m

Assim sabemos que esses 20,11   c m “expandidos” na verdade valem

L b a r r a = x 0 + 0,06   c m

L b a r r a = 20,11 + 0,06  

L b a r r a = 20,17   c m

Agora sabemos quanto realmente a barra variou de tamanho

Δ L b a r r a = 20,17 - 20,05  

Δ L b a r r a = 0,120   c m

Passo 3

Vamos descobrir o valor de α agora,

∆ L b a r r a = L 0 α ∆ T

Isolando o α temos

α = Δ L b a r r a L 0 . Δ T

Substituindo os valores que já temos

α = 0,120 20,05 . 270 - 20

α = 0,120 20,05   .   250

α = 2,394.10 - 5 ° C - 1

Resposta

α = 2,394 . 10 - 5 ° C - 1

Exercício Resolvido #5

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 2 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 207-18

Quando a temperatura de uma moeda de cobre é aumentada de 100 ° C o diâmetro aumenta de 0,18 %