Exercícios Resolvidos de Fundamentos de Lógica e Linguagem Matemática

Ache a contrapositiva, a recíproca e a inversa das seguintes frases:

a   n ã o   p   q

b   S e   m i n h a   m ã e   é   u m   t r a t o r ,   e n t ã o   e u   s o u   u m a   m o t o - s e r r a

c   S e   2 k + 1   n ã o   é   p r i m o ,   e n t ã o   k   n ã o   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 .

Passo 1

Olááá meu anjo!!! Bora fazer esse exercício! Você vai ver que vai ser rapidinho.

Vamos dar uma relembrada do que seria uma contrapositiva, uma recíproca e uma inversa de uma implicação do tipo p   q :

c o n t r a p o s i t i v a : n ã o   q   n ã o   p

r e c í p r o c a :   q   p

i n v e r s a :   n ã o   p   n ã o   q

Agora sim, comecemos do começo:

a   n ã o   p   q

Para acharmos a contrapositiva, a gente troca a hipótese (termo antes da seta) com a tese (termo depois da seta) e nega as duas:

n ã o ( q )   n ã o ( n ã o   p )

Aquele “não” depois da implicação anula o outro dentro dos parênteses, ficando com:

c o n t r a p o s i t i v a :   n ã o   q   p

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Passo 2

Para encontrarmos a recíproca, precisamos apenas trocar a hipótese com a tese:

r e c í p r o c a :   q   n ã o   p

E, finalmente, para termos a inversa, basta negar tanto a hipótese, quanto a tese:

i n v e r s a : n ã o n ã o   p   n ã o   q

i n v e r s a :   p   n ã o   q

Passo 3

Dá uma olha nessa próxima:

b   S e   m i n h a   m ã e   é   u m   t r a t o r ,   e n t ã o   e u   s o u   u m a   m o t o - s e r r a

Que proposição estranha né? Hahaha Bom, esquece isso e foca no que interessa: chamar uma oração de p e outra de q .

Não é tão complicado fazer isso, basta olharmos pro “então”. Esse cara é a nossa seta.

Sendo assim, o que vem antes dele é a hipótese (normalmente chamamos de p ) e o que vem depois é a tese (normalmente chamamos de q ):

p = M i n h a   m ã e   é   u m   t r a t o r

q = e n t ã o   e u   s o u   u m a   m o t o - s e r r a

Então nossa implicação é do tipo:

p   q

E aí, vamos encontrar o que se pede!

Para acharmos a contrapositiva, a gente troca a hipótese (termo antes da seta) com a tese (termo depois da seta) e nega as duas:

n ã o ( q )   n ã o ( p )

c o n t r a p o s i t i v a :   n ã o   q   n ã o   p

Lembrando que nossa implicação estava em português, então responderemos em português. Temos então:

S e   e u   n ã o   s o u   u m a   m o t o - s e r r a ,   e n t ã o   m i n h a   m ã e   n ã o   é   u m   t r a t o r .

Passo 4

Para encontrarmos a recíproca, precisamos apenas trocar a hipótese com a tese:

r e c í p r o c a :   q   p

Novamente, em português:

S e   e u   s o u   u m a   m o t o - s e r r a ,   e n t ã o   m i n h a   m ã e   é   u m   t r a t o r .

E, finalmente, para termos a inversa, basta negar tanto a hipótese, quanto a tese:

i n v e r s a : n ã o   p   n ã o   q

Em português:

S e   m i n h a   m ã e   n ã o   é   u m   t r a t o r ,   e n t ã o   e u   n ã o   s o u   u m a   m o t o - s e r r a .

Gente, parece bobo, mas é muito importante que você passe pro português, você pode perder muitos pontos se não fizer isso! Atenção, meu anjo!

Passo 5

Se liga nessa última:

c   S e   2 k + 1   n ã o   é   p r i m o ,   e n t ã o   k   n ã o   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 .

Bom, vamos passar para a linguagem matemática:

n ã o   p = 2 k + 1   n ã o   é   p r i m o

n ã o   q = k   n ã o   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2

Perceba que chamei n ã o   p só porque temos uma negação ali. A mesma coisa fiz com q , como aparece um “não” na frase, achei de bom tom colocar um “não” acompanhando o p e o q . Então nossa implicação é do tipo:

n ã o   p   n ã o   q

Para acharmos a contrapositiva, a gente troca a hipótese (termo antes da seta) com a tese (termo depois da seta) e nega as duas:

n ã o ( n ã o   q )   n ã o ( n ã o   p )

c o n t r a p o s i t i v a :   q   p

Lembrando que nossa implicação estava em português, então responderemos em português. Temos então:

S e   k   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 ,   e n t ã o   2 k + 1   é   p r i m o .

Passo 6

Para encontrarmos a recíproca, precisamos apenas trocar a hipótese com a tese:

r e c í p r o c a :   n ã o   q   n ã o   p

Novamente, em português:

S e   k   n ã o   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 ,   e n t ã o   2 k + 1   n ã o   é   p r i m o .

E, finalmente, para termos a inversa, basta negar tanto a hipótese, quanto a tese:

i n v e r s a : n ã o ( n ã o   p )   n ã o ( n ã o   q )

i n v e r s a : p   q

Em português:

S e   2 k + 1   é   p r i m o ,   e n t ã o   k   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 .

Resposta

a   c o n t r a p o s i t i v a :   n ã o   q   p ,   r e c í p r o c a :   q   n ã o   p ,   i n v e r s a :   p   n ã o   q

b   c o n t r a p o s i t i v a :   S e   e u   n ã o   s o u   u m a   m o t o - s e r r a ,   e n t ã o   m i n h a   m ã e   n ã o   é   u m   t r a t o r .

r e c í p r o c a :   S e   e u   s o u   u m a   m o t o - s e r r a ,   e n t ã o   m i n h a   m ã e   é   u m   t r a t o r .

i n v e r s a :   S e   m i n h a   m ã e   n ã o   é   u m   t r a t o r ,   e n t ã o   e u   n ã o   s o u   u m a   m o t o - s e r r a .

c   c o n t r a p o s i t i v a : S e   k   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 ,   e n t ã o   2 k + 1   é   p r i m o .

r e c í p r o c a :   S e   k   n ã o   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 ,   e n t ã o   2 k + 1   n ã o   é   p r i m o .

i n v e r s a :   S e   2 k + 1   é   p r i m o ,   e n t ã o   k   é   u m a   p o t ê n c i a   d e   2 .

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