Exercícios Resolvidos de Fundamentos de Lógica e Linguagem Matemática

O que as seguintes afirmações significam? Elas são verdadeiras? Dê exemplos e contraexemplos quando possível. O universo de discurso em todos os casos é os números naturais.

a ∀ x ,   ∃ y   | ( x < y )  

( b )   ∃ y   |   ∀ x , ( x < y )  

( c )   ∃ x   |   ∀ y , ( x < y )  

Passo 1

Eu sei que você deve estar cansado de ver esses símbolos, mas não desanime! Pense que você vai lacrar na sua prova 😊

Nessa questão, o enunciado pede que façamos a tradução (vamos escrever em português), digamos se é universal ou particular, digamos se são verdadeiras ou não e que demos exemplos e contraexemplos quando for possível.

Então temos quatro atividades em cada letra. Vamos começar do começo:

a   ∀ x ,   ∃ y   |   ( x < y )

Traduzindo para o português (lembrando que estamos tratando dos números naturais):

P a r a   t o d o   n ú m e r o   n a t u r a l   x ,   e x i s t e   u m   y   t a l   q u e   x < y

Ou seja, para qualquer número natural x existe um número natural y que é maior que x .

Anjo, isso �� verdade! Pensa no y como sendo um teto para o x . Não importa o número natural x que você escolha, pode ser 100000000 , eu vou encontrar um y nos naturais que seja maior que ele, por exemplo 100000001 . Então um exemplo genérico seria escolher nosso y como x + 1 .

Não existe contraexemplo, pois um contraexemplo seria um número natural x que não tivesse NENHUM y , nenhum número maior que ele!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b )   ∃ y   |   ∀ x , ( x < y )

Bora traduzir pro português:

E x i s t e   u m   n ú m e r o   n a t u r a l   y   t a l   q u e   p a r a   t o d o   x ,   x < y

Ou seja, existe um número natural y que é maior que x para todo e qualquer x natural

Isso é uma mentira!!!

“Mas gente, é igual ao caso de cima”

Não é não! Aqui, realmente o y continuou sendo o teto de x , mas agora você tem que escolher o y ANTES do x . É essa a diferença crucial que muda tudo.

Suponha que a gente escolha o y bem grande, pra ser um bom teto, pensa aí no 1000000 .

Esse número que escolhemos precisa ser maior que TODO e QUALQUER número natural x . Agora eu te pergunto, esse y que escolhemos é maior que 1000003 ? Não, né?

Sabe o porquê?

Qualquer, eu repito, QUALQUER y que você escolha para ser o teto, eu sempre terei um número maior que o seu pra te quebrar! De forma genérica, se você escolher y , eu escolho meu x como sendo y + 1 e ganho de você!

Então um contraexemplo seria justamente isso, y + 1 , pois y não é maior y + 1 .

Passo 3

Bora pra próxima!

( c )   ∃ x   |   ∀ y , ( x < y )

Traduzindo essa coisa linda:

E x i s t e   u m   n ú m e r o   n a t u r a l   x   t a l   q u e   p a r a   t o d o   y ,   x < y

“A mesma coisa de antes e você vai me dizer que é diferente né?”

Exatamente! São coisas diferentes! Hahahaha

Ou seja, existe um número natural x que é menor que todo e qualquer número natural y .

Agora podemos olhar isto de outro ângulo: pensar em x como sendo um chão. Então pensaríamos num número natural que seja menor que todos os outros!

Bom, o menor número natural é o zero! Então se escolhermos x = 0 e escolhermos y = 0 também, vamos ter x = y . Logo, Não existe um número natural x que seja menor que y para todo y que a gente escolher!

Resposta

a   P a r a   t o d o   n ú m e r o   n a t u r a l   x ,   e x i s t e   u m   y   t a l   q u e   x < y .   E x e m p l o : x + 1 .   V e r d a d e i r a .

b   E x i s t e   u m   n ú m e r o   n a t u r a l   y   t a l   q u e   p a r a   t o d o   x ,   x < y .   C o n t r a e x e m p l o : y + 1 .   F a l s a .

c   E x i s t e   u m   n ú m e r o   n a t u r a l   x   t a l   q u e   p a r a   t o d o   y ,   x < y .   E x e m p l o : x = 0 .   F a l s a .

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