Exercícios Resolvidos de Fundamentos de Lógica e Linguagem Matemática

Para os pares de proposições p e q diga se p é condição necessária, suficiente ou ambas para q . Em todos os exemplos considerem n como sendo um número natural.

a   p :   “ n   é   m a i o r   q u e   2 ” ,   q :   “ n   é   m a i o r   q u e   3 ”

b   p :   “ n   é   m a i o r   q u e   0   e   n   é   m e n o r   q u e   2 ” ,   q :   “ n = 1 ”

c   p :   “ ∆   é   u m   t r i â n g u l o   i s ó s c e l e s ” ,   q :   “ ∆   é   u m   t r i â n g u l o   e q u i l á t e r o ”

Passo 1

FAAAALA AÍ, MEU ANJO! Essa questão parece meio chata, mas é só você lembrar de uma coisinha, que ela mais legal e tranquila!

Tu lembra o que é ser uma condição necessária ou suficiente ou ambas???

“Tá louco, esse negócio é muito enjoado”

Fique calmo, eu vou te lembrar e você verá que isso não é um monstrinho!

Uma proposição p é dita condição suficiente para uma proposição q , se p implica q . Ou seja, você só precisa verificar se p ⇒   q é verdadeira e então p será condição suficiente.

Uma proposição p é uma condição necessária para uma proposição q , se q implica p . Ou seja, agora você só precisa verificar se q ⇒   p é verdadeira e então p será condição necessária.

Adivinha o que você tem que fazer pra checar se p é condição necessária e suficiente para q ?

Exatamente!!! Você precisa verificar se p ⇒   q e q ⇒   p são ambas verdadeiras!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Finalmente, depois de relembrar, vamos fazer o primeiro item:

a   p :   “ n   é   m a i o r   q u e   2 ” ,   q :   “ n   é   m a i o r   q u e   3 ”

Verificando se as implicações são verdadeiras ou não:

p ⇒   q :

S e   n   é   m a i o r   q u e   2 ,   e n t ã o   n   é   m a i o r   q u e   3

n > 2 ⇒   n > 3

Se estivéssemos pensando nos números reais, iríamos dizer que isso é falso porque temos, por exemplo, o número 2,1 que é maior que 2 e não é maior que 3 .

Porém, estamos nos números naturais, então precisamos pensar apenas nos inteiros positivos.

Se eu pegar o 3 , ele é maior que 2 , mas não é maior que 3 (e sim igual). Portanto, essa implicação é falsa.

Passo 3

Próxima implicação:

q ⇒   p :

S e   n   é   m a i o r   q u e   3 ,   e n t ã o   n   é   m a i o r   q u e   2

n > 3 ⇒   n > 2

Opa, isso já verdade. Qualquer número natural que você pegue que seja maior que 3 vai ser maior que 2 , pois até o próprio 3 já o é. Então, essa implicação é verdadeira.

Como apenas a recíproca foi verdadeira, temos que p é uma condição necessária para q .

Passo 4

Bora dar uma olhada na próxima:

b   p :   “ n   é   m a i o r   q u e   0   e   n   é   m e n o r   q u e   2 ” ,   q :   “ n = 1 ”

Novamente, o que temos que fazer é julgar as implicações:

p ⇒   q :

S e   n   é   m a i o r   q u e   0   e   n   é   m e n o r   q u e   2 ,   e n t ã o   n = 1

0 < n < 2 ⇒   n = 1

Se pensarmos nos números reais, iríamos ver que temos infinitos número entre 0 e 2 que não fosse o 1 , mas estamos pensando aqui apenas nos números naturais. De fato, o único número natural entre 0 e 2 é o 1 . Logo, p ⇒   q é verdadeira.

Passo 5

Vamos analisar o outro caso:

q ⇒   p :

n = 1 ⇒   0 < n < 2

Nossa, isso é MUITO verdade. Se temos que n = 1 , esse n precisa estar entre 0 e 2 , já que 1 está entre 0 e 2 .

Como as duas implicações são verdadeiras, temos que p é condição necessária e suficiente para q .

Passo 6

Finalmente a última:

c   p :   “ ∆   é   u m   t r i â n g u l o   i s ó s c e l e s ” ,   q :   “ ∆   é   u m   t r i â n g u l o   e q u i l á t e r o ”

Vamos analisar de novo as implicações:

p ⇒   q :

S e   Δ   é   u m   t r i â n g u l o   i s ó s e l e s ,   e n t ã o   é   u m   t r i â n g u l o   e q u i l á t e r o .

Vou traduzir isso pra geometria:

S e   Δ   t e m   2   l a d o s   i g u a i s ,   e n t ã o   e l e   t e m   3   l a d o s   i g u a i s

Isso faz algum sentido pra você? Agora só porque eu tenho dois olhos, quer dizer que tenho três? Hahaha esse exemplo foi bem exagerado, mas você entende a ideia absurda dessa implicação?

Ela é falsa.

Passo 7

Vamos analisar o outro caso:

q ⇒   p :

  S e   Δ   é   u m   t r i â n g u l o   e q u i l á t e r o ,   e n t ã o   e l e   é   i s ó s c e l e s

Traduzindo para a geometria:

S e   Δ   t e m   3   l a d o s   i g u a i s ,   e n t ã o   e l e   t e m   2   l a d o s   i g u a i s

Agora sim! Essa frase está correta. Se eu tenho duas bolsas, não é mentira eu dizer que tenho uma, eu só não estou afim de dizer que tenho duas hahaha minhas analogias são as melhores!

Então como apenas q ⇒   p é verdadeira, temos que p é condição necessária para q .

Resposta

a   p   é   c o n d i ç ã o   n e c e s s á r i a   p a r a   q

b   p   é   c o n d i ç ã o   n e c e s s á r i a   e   s u f i c i e n t e   p a r a   q

c   p   é   c o n d i ç ã o   n e c e s s á r i a   p a r a   q

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