Exercícios Resolvidos de Fundamentos de Lógica e Linguagem Matemática

Para os pares de proposições Equation e Equation diga se Equation é condição necessária, suficiente ou ambas para Equation . Em todos os exemplos considerem Equation como sendo um número natural.

Equation

Equation

Equation

Passo 1

FAAAALA AÍ, MEU ANJO! Essa questão parece meio chata, mas é só você lembrar de uma coisinha, que ela mais legal e tranquila!

Tu lembra o que é ser uma condição necessária ou suficiente ou ambas???

“Tá louco, esse negócio é muito enjoado”

Fique calmo, eu vou te lembrar e você verá que isso não é um monstrinho!

Uma proposição Equation é dita condição suficiente para uma proposição Equation , se Equation implica Equation . Ou seja, você só precisa verificar se Equation é verdadeira e então Equation será condição suficiente.

Uma proposição Equation é uma condição necessária para uma proposição Equation , se Equation implica Equation . Ou seja, agora você só precisa verificar se Equation é verdadeira e então Equation será condição necessária.

Adivinha o que você tem que fazer pra checar se Equation é condição necessária e suficiente para Equation ?

Exatamente!!! Você precisa verificar se Equation e Equation são ambas verdadeiras!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Finalmente, depois de relembrar, vamos fazer o primeiro item:

Equation

Verificando se as implicações são verdadeiras ou não:

Equation :

Equation

Equation

Se estivéssemos pensando nos números reais, iríamos dizer que isso é falso porque temos, por exemplo, o número Equation que é maior que Equation e não é maior que Equation .

Porém, estamos nos números naturais, então precisamos pensar apenas nos inteiros positivos.

Se eu pegar o Equation , ele é maior que Equation , mas não é maior que Equation (e sim igual). Portanto, essa implicação é falsa.

Passo 3

Próxima implicação:

Equation

Equation

Equation

Opa, isso já verdade. Qualquer número natural que você pegue que seja maior que Equation vai ser maior que Equation , pois até o próprio Equation já o é. Então, essa implicação é verdadeira.

Como apenas a recíproca foi verdadeira, temos que Equation é uma condição necessária para Equation .

Passo 4

Bora dar uma olhada na próxima:

Equation

Novamente, o que temos que fazer é julgar as implicações:

Equation

Equation

Equation

Se pensarmos nos números reais, iríamos ver que temos infinitos número entre Equation e Equation que não fosse o Equation , mas estamos pensando aqui apenas nos números naturais. De fato, o único número natural entre Equation e Equation é o Equation . Logo, Equation é verdadeira.

Passo 5

Vamos analisar o outro caso:

Equation

Equation

Nossa, isso é MUITO verdade. Se temos que Equation , esse Equation precisa estar entre Equation e Equation , já que Equation está entre Equation e Equation .

Como as duas implicações são verdadeiras, temos que Equation é condição necessária e suficiente para Equation .

Passo 6

Finalmente a última:

Equation

Vamos analisar de novo as implicações:

Equation

Equation

Vou traduzir isso pra geometria:

Equation

Isso faz algum sentido pra você? Agora só porque eu tenho dois olhos, quer dizer que tenho três? Hahaha esse exemplo foi bem exagerado, mas você entende a ideia absurda dessa implicação?

Ela é falsa.

Passo 7

Vamos analisar o outro caso:

Equation

Equation

Traduzindo para a geometria:

Equation

Agora sim! Essa frase está correta. Se eu tenho duas bolsas, não é mentira eu dizer que tenho uma, eu só não estou afim de dizer que tenho duas hahaha minhas analogias são as melhores!

Então como apenas Equation é verdadeira, temos que Equation é condição necessária para Equation .

Resposta

Equation

Equation

Equation

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