Exercícios Resolvidos de Iminência de Virar um Corpo

Paul A. Tipler e Gene Mosca, Física Para Cientistas e Engenheiros Volume 1, 6ª edição, Cap 12, pp 427 - 62

Um lápis sextavado é colocado sobre um caderno (figura abaixo). Determine o menor coeficiente de atrito estático μ , tal que, se a capa do caderno for erguida, o lápis rolará para baixo sem escorregar.

Passo 1

Vamos montar a figura do problema.

Temos a força de atrito, a força normal e a força peso. Fica mais fácil colocar o eixo xy na direção da força de atrito e normal, porque assim já contemplamos duas forças.

Dá para fazer uma manipulação rápida ali e transferir o θ para a componente do peso.

O ângulo interno de um hexágono é regular é 120 ° e o ângulo externo é 60 ° .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Na situação limite do rolamento, ainda temos as condições de equilíbrio. Isso significa que o torque resultante em relação a qualquer ponto ainda deve ser zero. Nessa situação, o lápis fica apoiado somente no ponto A, indicado na figura abaixo.

Assim, se quisermos que o lápis esteja na iminência de rolar sem escorregar, é necessário que o centro de massa esteja acima do ponto A, ou seja esse ponto e o centro de massa ligados geram uma reta vertical. Dessa forma, ao aplicarmos o torque em relação a esse ponto, ele ainda será igual a zero (já que as forças normal e atrito estarão nesse ponto e a força peso tem como direção uma reta que passa por esse ponto).

Dando um zoom para explicar isso. Olha como fica!

Assim, vemos que o ângulo crítico, ou seja, na iminência dele girar é de θ = 90 ° - 60 ° = 30 ° .

Se aumentássemos um pouquinho só esse ângulo, o lápis já viraria.

Passo 3

Agora, precisamos relacionar o ângulo θ com o coeficiente de atrito μ .

Vamos aplicar as condições de equilíbrio, já que como estamos falando do menor coeficiente de atrito, estamos falando, também, de iminência.

Então, aplicamos

∑ F → = 0

Passo 4

Para isso, vamos decompor m g nos eixos x e y .

m g x = m g s e n θ

m g y = -   m g c o s θ

Passo 5

Depois de já decompomos, fica mais fácil. Se liga:

∑ F → = 0

∑ F x = m g s e n θ - F a t = 0

∑ F y = -   m g c o s θ + N = 0

Como queremos relacionar θ com μ , precisamos colocar o coeficiente de atrito na história.

Você se lembra que F a t = μ N ? Então, vamos usar isso aqui.

m g s e n θ - μ N = 0

-   m g c o s θ + N = 0

m g c o s θ = N

μ = t a n θ

Sabemos que o ângulo crítico da iminência é 30 ° .

Logo o μ mínimo é t a n 30 ° = 0,51

Resposta

0,51

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