Enunciado

Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick - Capítulo 12.Problemas Adicionais - Ex. 56

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A figura da esquerda mostra uma rampa homogênea entre dois edifícios que leva em conta a possibilidade de que os edifícios oscilem ao serem submetidos a ventos fortes. Na extremidade esquerda, está presa por uma dobradiça na parede de um dos edifícios; na extremidade direita, tem um rolamento que permite o movimento ao longo da parede do outro edifício. A força que o edifício exerce sobre o rolamento não possui componente vertical, mas apenas uma força horizontal de módulo F h . A distância horizontal entre os edifícios é D = 4,00   m . O desnível entre as extremidades da rampa é h = 0,490   m . Um homem caminha ao longo da rampa a partir da extremidade esquerda. A figura da direita mostra F h em função da distância horizontal x entre o homem e o edifício da esquerda. A escala do eixo de F h é definida por a = 20   k N e b = 25   k N . Quais são as massas (a) da rampa e (b) do homem?

Passo 1

Primeiro vamos entender bem aquele gráfico da esquerda. F h é a força que o edifício exerce sobre o rolamento que fica na extremidade direita da rampa, o enunciado garante que essa força não tem nenhum componente vertical (ou seja, toda a força é feita na direção perpendicular à parede).

Vamos usar o equilíbrio dos torques:

∑ τ = 0

Primeiro precisamos escolher um ponto de referência. Se usarmos a dobradiça na ponta direita da rampa, vamos aproveitar todas as distâncias que o enunciado dá, e não anulamos nenhuma das forças que queremos calcular. Então vamos lá.

Passo 2

O peso da rampa age sobre o centro de massa dela, na metade do seu comprimento. Como ele empurra a rotação no sentido horário, vamos colocar um sinal negativo. Então o torque vai ser:

τ r a m p a = - M g D 2

O peso do homem age no centro de massa do homem que é sempre dado pelo valor de x , também a favor do sentido horário:

τ h o m e m = - m g x

Nesses dois casos, como a força é vertical pra baixo e a rampa está praticamente paralela ao chão, aproximamos θ = 90 ° , por isso não apareceu nenhum seno nas fórmulas do torque.

E por último vamos ter o torque da força F h , que é a favor do sentido anti-horário. Dessa vez, a força é horizontal, então temos que incluir o seno do ângulo que a força faz com a rampa.

τ = f h . D s e n ( θ )

Mas olhando a imagem, vemos que D s e n θ = h , e a equação final do equilíbrio fica:

∑ τ = - M g D 2 - m g x + f h h = 0

E aí achamos a equação:

f h = m g h x + M g D 2 h

Passo 3

Agora a coisa começa a ficar um pouco inusitada para uma questão de física.

Se você olhar bem pra equação que acabamos de achar, ela dá f h em função de x , ou seja, é a função que está naquele gráfico do enunciado!

O coeficiente angular α vai ser m g h , e o coeficiente linear C vai ser M g D 2 h . Como nós sabemos os valores de g , D e h , é só achar os coeficientes pra matar a questão.

Começando pelo coeficiente linear: sabemos que ele é igual ao ponto em que a reta cruza o eixo y , olhando pro gráfico, vemos que:

C = 20   k N = 20.10 3   N

Ou seja:

20.10 3 = M g D 2 h = M 9,8 4,0 2 ( 0,49 ) = 40 M

M = 20.10 3 40 = 500   k g

E agora o coeficiente angular:

α = Δ y Δ x = 25 - 20 4 - 0 = 5 4   . k N m

5.10 3 4 = m g h

m = 5.10 3 h 4 g = 5.10 3 0,49 4 ( 9,8 ) = 62,5   k g

Pronto!

Resposta

(a) M = 500   k g

(b) m = 62,5   k g

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