Exercícios Resolvidos de Intervalos

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Enunciado

Reescrever os conjuntos abaixo usando a notação de intervalo e, a seguir, representá-los graficamente.

a   A = { x ∈ R   |   x > 2 }

b   W = { x ∈ R   | - π ≤ x ≤ - 3 }

c   I = { x ∈ R   |   x ≤ - 3   o u   0 < x ≤ 5 }

d   M = { x ∈ R   |   x < 0   o u   2 < x < e   o u   x > π }

Passo 1

Bom, é aquilo que sempre digo, é do começo que se começa (tá, isso tinha ficado melhor na minha cabeça)

a   A = { x ∈ R   |   x > 2 }

Veja que temos que x é estritamente maior que 2 e ele não tem um máximo, pode ir embora até quando quiser. Ele tem apenas um chão, um valor do qual ele não passa, e nesse caso, ele nunca chega àquele valor 2 , por conta da desigualdade. Vamos ter o seguinte:

A = 2 , ∞   o u   A = ] 2 , ∞ [

A representação gráfica será (em vermelho):

Como temos um intervalo aberto em 2 , precisamos de uma bolinha aberta nele.

Passo 2

Show, bora pro próximo!

b   W = { x ∈ R   | - π ≤ x ≤ - 3 }

Aqui temos que x está dentro de um intervalo que tem o - 3 como maior valor e - π como seu menor valor, e x pode assumir quaisquer um dos dois valores inclusive. Sendo assim, temos um intervalo fechado:

W = [ - π , - 3 ]

A representação gráfica será (em vermelho):

Como temos um intervalo fechado em - π e em - 3 , a bolinha precisa ser fechada nesses pontos.

Passo 3

Dá uma olhada nessa aqui agora:

c   I = { x ∈ R   |   x ≤ - 3   o u   0 < x ≤ 5 }

MUITA ATENÇÃO NESSE DETALHE: temos um OU ali, então teremos uma UNIÃO de intervalos!

Vamos olhar um de cada vez. O primeiro diz que x pode ser qualquer valor menor que - 3 e pode ser - 3 inclusive. Então o intervalo é fechado em - 3 e aberto no infinito negativo:

G = ( - ∞ , - 3 ]   o u   G = ] - ∞ , - 3 ]

E o segundo é um intervalo aberto em 0 e fechado em - 5 , isso porque temos apenas o sinal de desigual em 0 mas temos um sinal de igualdade ali também em 5 .

H = ( 0,5 ]   o u   H = ] 0,5 ]

Ora, agora vamos uni-los:

I = G ∪ H

I = ( - ∞ , - 3 ] ∪ ( 0,5 ]

A representação gráfica é a seguinte (lembrando que bola fechada é no intervalo fechado e bola aberta é no intervalo aberto):

Passo 4

Olha só essa última:

d   M = { x ∈ R   |   x < 0   o u   2 < x < e   o u   x > π }

MUITA ATENÇÃO NESSE DETALHE: temos um OU ali, então teremos uma UNIÃO de intervalos!

Vamos olhar um de cada vez. O primeiro diz que x pode ser qualquer valor menor que 0. Então o intervalo é aberto em 0 e aberto no infinito negativo:

G = ( - ∞ , 0 )   o u   G = ] - ∞ , 0 [

E o segundo é um intervalo aberto em 2 e em e , isso porque temos apenas o sinal de desigual em 2 e e :

H = ( 2 , e )   o u   H = ] 2 ,   e [  

Por último, temos um intervalo que diz que x é estritamente maior que π , então teremos um intervalo aberto em π :

J = π , ∞   o u   J = ] π , ∞ [

Ora, agora vamos uni-los:

M = G ∪ H ∩ J

M = - ∞ , 0 ∪ 2 , e ∪ π , ∞

A representação gráfica é a seguinte (lembrando que bola fechada é no intervalo fechado e bola aberta é no intervalo aberto):

Resposta

( a )

A = 2 , ∞   o u   A = ] 2 , ∞ [

( b )

W = [ - π , - 3 ]

( c )

I = ( - ∞ , - 3 ] ∪ ( 0,5 ]

( d )

M = - ∞ , 0 ∪ 2 , e ∪ π , ∞