Intervalos

Teoria Completa

OMG! Nem acredito que já estamos aquiii

FAAAAALA AÍ, mestre dos conjuntos! Hahahah Agora que você viu todos os conjuntos mais importantes pra você, e principalmente, vimos o conjunto dos números Reais, bora falar sobre intervalos!

Cara, intervalos nada mais são que conjuntos, mas são conjuntos que nós costumamos representar em uma reta: a famigerada RETA REAL. Dá uma olhada nela:

Aqui a gente só colocou em ordem todos os termos, do menor para o maior. Perceba que a reta é infinita, ok? Tem muuuuuitos números negativos antes do - 5 e muuuuuuitos números positivos depois do 5 , só que ficaria impossível colocar todos os números nessa reta 😊

Não se engane, eu sei que aparentemente não tem números irracionais, mas eles estão na reta sim! Por exemplo, o π está entre o 3 e o 4 , a gente só não colocou porque não faz muita diferença e polui a reta!

Intervalo fechado

Opa, já começamos com um dos dois tipos de intervalo! Imagina que te mostro o seguinte conjunto:

A = { x ∈ N   |   2 ≤ x ≤ 3 }

Você vai me dizer que esse cara na verdade é um conjunto desse jeito A = { 2 ,   3 } , pois não existe número natural entre 2 e 3 , e eu vou te dar um beijo porque essa resposta é perfeita!

Agora eu te dou o seguinte conjunto:

A = { x ∈ R   |   2 ≤ x ≤ 3 }

Opaaaa, agora a coisa ficou mais interessante! Concorda comigo que esse conjunto vai guardar TODOS os números entre 2 e 3 , incluindo racionais e irracionais? Cara, são muitos números, então seria impossível colocar na forma enumerativa, mas podemos representar isso na reta real! Saca só:

“Eita ferro, que bolinhas são essas?”

Essas bolinhas servem para delimitar o intervalo, note que 2 ≤ x , ou seja, 2 é o menor valor que x assume, assim como 3 é o maior. E o meio tem aquela sanfoninha para dizer que x pode ser qualquer valor ali também!

Chamamos essa bolinha de bola fechada e vai será sempre assim quando tivermos ≤   o u ≥

Intervalo é uma parada tão legal e importante, que ele tem sua própria linguagem, esse conjunto na notação de intervalo fica assim:

A = { x ∈ R   |   2 ≤ x ≤ 3 } = [ 2 ,   3 ]

A gente usa [   o u   ] para indicar intervalo fechado em um número (ou seja, bolinha fechada nele).

De forma geral:

A = { x ∈ R   |   a ≤ x ≤ b } = [ a ,   b ]

Onde a e b são quaisquer números, pode ser até os mais feios como π   o u   123 34 !!! ( a ∈ R , b ∈ R )

Intervalo aberto

Agora, bora esse lindo aqui!

Vou te mostrar o seguinte conjunto:

A = { x ∈ N   |   2 < x < 3 }

E você vai me responder que sou louca porque eu te mostrei um conjunto vazio num assunto de intervalo! Não existe natural entre 2 e 3 . *Tô adorando nossa relação*

E vou te mostrar esse agora:

A = { x ∈ R   |   2 < x < 3 }

Ora, esse conjunto guarda justamente os racionais e os irracionais entre 2 e 3 ... Não dá pra enumerar isso, pois são infinitos números! Mas podemos representar na forma de intervalo, olha o desenho:

Uou! Aqui tem mudanças significativas! Perceba que agora temos uma bolinha que chamamos de bola aberta! Por que ela é aberta?

Porque temos uma desigualdade do tipo < o u > . Temos a mesma sanfoninha entre 2 e 3 pra representar todos os racionais e irracionais que estão entre eles! Na notação de intervalo, isso fica assim:

A = { x ∈ R   |   2 < x < 3 } = 2 ,   3   o u   ] 2 ,   3 [

Aqui nos intervalos abertos, nós podemos usar os parênteses para indicar que é aberto OU usamos os colchetes, só que eles precisam estar de costas pros caras que tem bolinha aberta! Fica esperto!

De forma geral:

A = { x ∈ R   |   a < x < b } = a ,   b   o u   ] a ,   b [

Juntando os dois tipos de intervalos

Cara, agora a gente vai dar uma endoidada aqui, se prepara. A gente vai juntar os dois tipos de bolinhas (aberta e fechada) num mesmo intervalo. Saca só:

A = { x ∈ R   |   2 < x ≤ 3 }

Passo 1: Desenhar a reta real contendo os extremos do intervalo:

Passo 2: Colocar a sanfoninha entre os extremos:

Passo 3: Preencher os extremos com a bolinha aberta ( < o u > ) ou fechada ( ≤ o u ≥ )

Passo 4: Escrever na notação de intervalo:

A = ( 2 ,   3 ]   o u   ] 2 ,   3 ]

Show! Agora mais um exemplo:

A = { x ∈ R   |   x ≤ 3 }

Opa! Esse novo! Dessa vez, não temos a outra extremidade. Mas pensa comigo: se x é qualquer número menor que 3 , isso quer dizer que ele pode ser o 2 ,   1 ,   0 ,   - 1 ,   - 2 ,   - 3 ,   …

Vamos desenhar na nossa reta:

Na notação de intervalos:

A = ( - ∞ ,   3 ]   o u   ] - ∞ ,   3 ]

ATENÇÃO!!! Toda vez que lidamos com ± ∞ no intervalo, o intervalo tem que ser aberto neles! Nunca escreva ∞ ]   o u   [ ∞ , isso está muito errado! Coloque sempre o (   o u   ) ou os colchetes de costas!

Mais um exemplo:

A = { x ∈ R   |   x > 2 }

Representando isso na reta:

Escrevendo na notação de intervalo:

A = 2 ,   ∞   o u   ] 2 ,   ∞ [

União e interseção de intervalos

Como eu disse, intervalos são conjuntos, então todas as operações são válidas aqui também!

Saca só esse intervalo:

A = { x ∈ R   | - 1 ≤ x ≤ 0   o u   2 < x ≤ 3 }

A gente já viu em conjuntos que toda vez que temos " o u " , estamos tratando de uma união. Vamos desenhar dois caras:

Perceba que são pedaços disjuntos (não tem nenhum número em comum), então a notação fica:

A = 1 ,   0 ∪ ( 2 ,   3 ]   o u   1 ,   0 ∪   ] 2 ,   3 ]

Agora vejamos esse conjunto:

A = { x ∈ R   | - 1 ≤ x ≤ 4   o u   2 < x ≤ 3 }

Na reta:

Percebe que se a gente une os dois, todos os elementos da linha de cima passam a serem membros da linha de baixo, só que eles já estão nela!!! Então ficamos com:

A = - 1 ,   4

Bom, eu te disse que esses tracinhos têm números em comum, e esses números em comum representam a interseção dos intervalos!

( 2 ,   3 ] ∩ - 1 ,   4 = ( 2 ,   3 ]

Os números em comum são aqueles de partem de 2 (mas não são 2 ) e chegam em 3 .

Último exemplo (juro):

A = { x ∈ R   | 1 ≤ x ≤ 4   o u   2 < x ≤ 5 }

Olha o desenho (desenhei em retas separadas só pra ficar melhor de visualizar, mas na prática, os intervalos são representados juntos)

Na notação de intervalo:

A = 1 ,   4 ∪ ( 2 ,   5 ] = 1 ,   5

1 ,   4 ∩ ( 2 ,   5 ] = ( 2 ,   4 ]

Lembre-se: fala de intervalo só faz sentido quando estamos na reta real (tratando de números reais)

Bora exercitar?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Reescrever os conjuntos abaixo usando a notação de intervalo e, a seguir, representá-los graficamente.

a   A = { x ∈ R   |   x > 2 }

b   W = { x ∈ R   | - π ≤ x ≤ - 3 }

c   I = { x ∈ R   |   x ≤ - 3   o u   0 < x ≤ 5 }

d   M = { x ∈ R   |   x < 0   o u   2 < x < e   o u   x > π }

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, é aquilo que sempre digo, é do começo que se começa (tá, isso tinha ficado melhor na minha cabeça)

a   A = { x ∈ R   |   x > 2 }

Veja que temos que x é estritamente maior que 2 e ele não tem um máximo, pode ir embora até quando quiser. Ele tem apenas um chão, um valor do qual ele não passa, e nesse caso, ele nunca chega àquele valor 2 , por conta da desigualdade. Vamos ter o seguinte:

A = 2 , ∞   o u   A = ] 2 , ∞ [

A representação gráfica será (em vermelho):

Como temos um intervalo aberto em 2 , precisamos de uma bolinha aberta nele.

Passo 2

Show, bora pro próximo!

b   W = { x ∈ R   | - π ≤ x ≤ - 3 }

Aqui temos que x está dentro de um intervalo que tem o - 3 como maior valor e - π como seu menor valor, e x pode assumir quaisquer um dos dois valores inclusive. Sendo assim, temos um intervalo fechado:

W = [ - π , - 3 ]

A representação gráfica será (em vermelho):

Como temos um intervalo fechado em - π e em - 3 , a bolinha precisa ser fechada nesses pontos.

Passo 3

Dá uma olhada nessa aqui agora:

c   I = { x ∈ R   |   x ≤ - 3   o u   0 < x ≤ 5 }

MUITA ATENÇÃO NESSE DETALHE: temos um OU ali, então teremos uma UNIÃO de intervalos!

Vamos olhar um de cada vez. O primeiro diz que x pode ser qualquer valor menor que - 3 e pode ser - 3 inclusive. Então o intervalo é fechado em - 3 e aberto no infinito negativo:

G = ( - ∞ , - 3 ]   o u   G = ] - ∞ , - 3 ]

E o segundo é um intervalo aberto em 0 e fechado em - 5 , isso porque temos apenas o sinal de desigual em 0 mas temos um sinal de igualdade ali também em 5 .

H = ( 0,5 ]   o u   H = ] 0,5 ]

Ora, agora vamos uni-los:

I = G ∪ H

I = ( - ∞ , - 3 ] ∪ ( 0,5 ]

A representação gráfica é a seguinte (lembrando que bola fechada é no intervalo fechado e bola aberta é no intervalo aberto):

Passo 4

Olha só essa última:

d   M = { x ∈ R   |   x < 0   o u   2 < x < e   o u   x > π }

MUITA ATENÇÃO NESSE DETALHE: temos um OU ali, então teremos uma UNIÃO de intervalos!

Vamos olhar um de cada vez. O primeiro diz que x pode ser qualquer valor menor que 0. Então o intervalo é aberto em 0 e aberto no infinito negativo:

G = ( - ∞ , 0 )   o u   G = ] - ∞ , 0 [

E o segundo é um intervalo aberto em 2 e em e , isso porque temos apenas o sinal de desigual em 2 e e :

H = ( 2 , e )   o u   H = ] 2 ,   e [  

Por último, temos um intervalo que diz que x é estritamente maior que π , então teremos um intervalo aberto em π :

J = π , ∞   o u   J = ] π , ∞ [

Ora, agora vamos uni-los:

M = G ∪ H ∩ J

M = - ∞ , 0 ∪ 2 , e ∪ π , ∞

A representação gráfica é a seguinte (lembrando que bola fechada é no intervalo fechado e bola aberta é no intervalo aberto):

Resposta

( a )

A = 2 , ∞   o u   A = ] 2 , ∞ [

( b )

W = [ - π , - 3 ]

( c )

I = ( - ∞ , - 3 ] ∪ ( 0,5 ]

( d )

M = - ∞ , 0 ∪ 2 , e ∪ π , ∞

Exercício Resolvido #2

Representar os conjuntos abaixo, dados graficamente pela parte pintada em vermelho, usando a notação de intervalo e a notação de desigualdades.

( a )

( b )

( c )

( d )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bora fazer essas coisas do começo:

( a )

Cara, o bizu é o seguinte: bola aberta intervalo aberto, bola fechada intervalo fechado.

O nosso intervalo é esse tracinho em vermelho. Então as extremidades do intervalo são 2 e 6 , com as bolinhas abertas neles. Então temos:

2,6   o u   ] 2,6 [

Essa foi a notação de intervalo, vamos fazer a de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que x (um número real qualquer) está entre 2 e 6 , então:

{ x ∈ R   |   2 < x < 6 }

Foi um bom começo né? Vamos continuar arrasando.

Passo 2

( b )

Aqui temos a união de intervalos, percebe?

Vamos escrever em intervalo o primeiro tracinho vermelho, que tem uma bola aberta em 0 :

- ∞ , 0

No segundo tracinho vermelho temos um intervalo aberto tanto em 1 quanto em 2 :

1,2   o u   ] 1,2 [

O terceiro tracinho vermelho tem uma bolinha aberta em 3 e segue para o infinito:

3 , ∞

Então o intervalo é a união dos três que encontramos agora:

- ∞ , 0 ∪ 1,2 ∪ 3 , ∞

Vamos escrever agora em notação de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que x (um número real qualquer) é menor que 0 OU ele está entre 1   e   2 OU ele é maior que 3 :

x ∈ R   x < 0   o u   1 < x < 2   o u   x > 3 }

Cada símbolo de união corresponde à palavra OU na notação de desigualdades.

Passo 3

( c )

Agora temos um π aí só pra te colocar medo! Hahahaha mas relaxa, o processo é o mesmo!

Temos ali uma bolinha fechada em 3 e ponto, não tem tracinho nenhum. O que isso quer dizer? Quer dizer apenas que x assume o valor 3 , bem simples e objetivo.

Já o outro tracinho, nos mostra um intervalo que de vai de π a 4 , ambos com bolinha aberta. Vamos escrever o intervalo:

{ 3 } ∪ ( π , 4 )

Lembrando que por mais que tenhamos apenas um número, só podemos unir CONJUNTOS, então escrevemos o número como um conjunto unitário (colocamos chaves nele)

Maneiro né? Bora escrever na notação de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que x (um número real qualquer) é igual a 3 OU ele está entre π   e   4 :

{ x ∈ R   |   x = 3   o u   π < x < 4 }

Cada símbolo de união corresponde à palavra OU na notação de desigualdades.

Passo 4

( d )

NOSSSSAAAAAA AGORA EU ENTREGO PRA DEUS!

Não faça isso, você verá que é a mesma coisa!!! Agora temos a união de quatro intervalinhos.

Olhando pro primeiro:

- ∞ , 1

Agora olhando pro segundo:

( 2 , 2 ]

Perceba que agora temos uma bolinha fechada em 2 , então o intervalo foi fechadinho nele.

Olhando por terceiro:

5

Pois é, esse é somente um número porque temos só uma bolinha e pronto. Agora olhando pro quarto tracinho:

[ 3 , ∞ )

Show, bora unir essa galera:

- ∞ , 1 ∪ ( 2 , 2 ] ∪ { 5 } ∪ [ 3 , ∞ )

Lembrando que por mais que tenhamos apenas um número, só podemos unir CONJUNTOS, então escrevemos o número como um conjunto unitário (colocamos chaves nele)

Agora passando isso para notação de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que x (um número real qualquer) é menor que - 1 OU ele está entre 2   e   2 OU ele é igual a 5 OU ele é maior que 3 :

{ x ∈ R   |   x < 1   o u   2 < x ≤ 2   o u   x = 5   o u   3 ≤ x }

Cada símbolo de união corresponde à palavra OU na notação de desigualdades.

Resposta

a   { x ∈ R   |   2 < x < 6 } = ( 2,6 )

b   { x ∈ R   |   x < 0   o u   1 < x < 2   o u   3 < x } = - ∞ , 0 ∪ 1,2 ∪ 3 , ∞

c   { x ∈ R   |   x = 3   o u   π < x < 4 } =   { 3 } ∪ ( π , 4 )

{ x ∈ R   |   x < 1   o u   2 < x ≤ 2   o u   x = 5   o u   3 ≤ x }

- ∞ , 1 ∪ ( 2 , 2 ] ∪ { 5 } ∪ [ 3 , ∞ )

Exercício Resolvido #3

Dados os conjuntos A = ] - 2,3 ] e B = ] 0,4 ] , efetue as operações pedidas e dê as respostas na notação de intervalo.

a   A ∪ B

b   A ∩ B

c   A - B

d   B - A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, vamos dar uma olhada em nossos dois intervalos, para ficar mais claro:

Vamos começar com a letra

a   A ∪ B

Essa operação significa que vamos unir os dois intervalos, que graficamente seria o seguinte:

Perceba que a bolinha aberta some na união!!! Então o intervalo da união é:

C = A ∪ B = ( - 2 ,   4 ]

Passo 2

A próxima letra pede:

b   A ∩ B

Agora, não vamos unir os termos, vamos ver quais termos estão nos dois intervalos ao mesmo tempo! Olha o desenho:

Agora é só escrever como intervalo:

C = A ∩ B = ( 0 ,   3 ]

Passo 3

Dá uma olhada nessa aqui:

c   A - B

Agora nós precisamos pegar o intervalo A e tirar todos os elementos que estão em B . Novamente, olhe o desenho (desenhos são as melhores técnicas para esse tipo de questão):

Agora é só escrever na notação de intervalo:

C = A - B = ( - 2 ,   0 ]

Passo 4

Olhaaaaaa, já estamos na última! Você tá indo bem, só mais uma, vem:

d   B - A

Então, a agora é justamente o contrário: vamos pegar o conjunto B e tirar todos os elementos que estão no conjunto A também. Olha o desenho de como fica:

Perceba que temos uma bolinha aberta agora no 3 , isso aconteceu porque 3 estava no intervalo B e no A , portanto tivemos que tirá-lo dessa brincadeira! Agora escrevendo com a notação de intervalo:

C = B - A = ( 3 ,   4 ]

FIMMM!

Resposta

a   ( - 2 ,   4 ]

b   ( 0 ,   3 ]

c   ( - 2 ,   0 ]

d   ( 3 ,   4 ]

Exercício Resolvido #4

Sejam os intervalos reais A = { x ∈ R   |   3 ≤ x ≤ 7 } ,   B = { x ∈ R   | - 1 < x < 5 }   e   C = { x ∈ R   |   0 ≤ x ≤ 7 } é correto afirmar que:

a   A ∩ C - B = A ∩ B

b   A ∩ C - B = C - B

c   A ∪ B ∩ C = B

d   A ∩ B ∩ C = A

e   A ∪ B ∪ C = A ∩ C

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Ok, dá pra ver que tem muita conta pra fazer, mas vamos nos adiantar logo em algumas coisas.

A ∩ C

D = A ∩ C = [ 3 ,   7 ]

Guarda isso aí!

A ∩ B

D = A ∩ B = [ 3,5 )

Falta só mais umazinha:

A ∪ B

D = A ∪ B = ( - 1 ,   7 ]

Passo 2

Agora que já fizemos nosso esboço, vamos atacar as alternativas!

a   A ∩ C - B = A ∩ B

Olha como fica o desenho:

Lembrando que a primeira reta é A ∩ C e D = A ∩ C - B . Escrevendo em notação de intervalo:

D = 5 ,   7 ≠ A ∩ B

Lembrando também que A ∩ B = [ 3 ,   5 )

Passo 3

Próxima alternativa:

b   A ∩ C - B = C - B

Olhe só o desenho de como o lado esquerdo fica:

Lembrando que a primeira reta representa A ∩ C e D = A ∩ C - B . Escrevendo em forma de intervalo:

D = A ∩ C - B = [ 5 ,   7 ]

Agora vamos ver o desenho de C - B :

D = C - B

Perceba que são iguais, ou seja, essa está correta!!!

Passo 4

c   A ∪ B ∩ C = B

Olha só o desenho de como fica isso (lembrando que D = A ∪ B ):

Passando isso pra notação de intervalo:

E = A ∪ B ∩ C = D ∩ C = [ 0 ,   7 ] ≠ B

Logo, essa afirmação não é verdade.

Passo 5

d   A ∩ B ∩ C = A

Saca só como fica o desenho dessa parada (lembrando que D = A ∩ B ):

Escrevendo isso na notação de intervalo:

E = A ∩ B ∩ C = [ 3 ,   5 ) ≠ A

Portanto, esta não está certa.

Passo 6

Olha essa agora:

e   A ∪ B ∪ C = A ∩ C

Se liga como fica o desenho (lembrando que