Exercícios Resolvidos de Introdução a Bombas

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Enunciado

Em uma refinaria, uma bomba será responsável por transportar água ( 1000   k g / m 3 ) entre duas lagoas de aeração, ao longo de uma tubulação de 90   m de comprimento e 100   m m de diâmetro. Não há diferença de elevação entre os pontos de captação e descarga da água. No escoamento, através da tubulação, o fator de atrito de Darcy pode ser estimado como 0,02 . Para executar essa tarefa, está sendo avaliada a possibilidade da utilização de uma bomba com a seguinte curva característica:

H ( q )   =   – 5000 q 2 – 100 q + 7

onde H é a carga hidráulica em metros e q é a vazão volumétrica em m 3 / s . Considerando-se a aceleração da gravidade como 10   m / s 2 , a relação entre o comprimento e o diâmetro da circunferência ( π ) como 3 e desprezando-se as perdas de carga localizadas, a vazão de operação do sistema corresponderá à solução da seguinte equação algébrica:

  1. – 5   000 q 2   –   100 q   +   23   =   0
  2.   – 5   000 q 2   –   16000 q   +   7   =   0  
  3.   – 5   000 q 2   –   100 q   +   7   =   0  
  4.   – 21   000 q 2   –   100 q   +   7   =   0  
  5.   11   000 q 2   –   100 q   +   7   =   0

Passo 1

O enunciado é grande, mas a resolução é de boas, ainda que meio longa. É só lembrar do balanço de energia:

W S + p 1 ρ + α 1 V 1 2 2 + g z 1 - p 2 ρ + α 2 V 2 2 2 + g z 2 = h L T

No balanço de energia aparece W S , mas o enunciado dá informação de H ; ou divido tudo por g ou multiplico o H por g para aparecer o W S . Vou de primeira opção porque as curvas de sistema e bombas são com H .

W S g + p 1 ρ g + α 1 V 1 2 2 g + z 1 - p 2 ρ g + α 2 V 2 2 2 g + z 2 = h L T g

H b o m b a + p 1 ρ g + α 1 V 1 2 2 g + z 1 - p 2 ρ g + α 2 V 2 2 2 g + z 2 = h L T g

Como vimos na teoria, isolamos o H b o m b a e o que sobra é o H s i s t e m a ; temos essa igualdade no ponto de operação. Daí, rearranjando:

H b o m b a = h L T g + p 2 - p 1 ρ g + α 2 V 2 2 - α 1 V 1 2 2 g + z 2 - z 1 = H s i s t e m a

Passo 2

Bora simplificar essa equação!

  • “Não há diferença de elevação entre os pontos de captação e descarga da água” Então:

z 1 = z 2

  • O enunciado fala que são LAGOAS de aeração. Você já viu alguma lagoa que não seja aberta pra atmosfera? Haha Daí, pegando pontos 1 e 2 no topo das superfícies de líquido:
  • p 1 = p 2 = p a t m o s f é r i c a

  • Uma lagoa é imensa comparada à uma tubulação de 100   m m de diâmetro, concorda? O líquido que sai e entra nessas lagoas é coisa pouca perto do líquido que tem nas lagoas então a altura de líquido praticamente não se move.

V 1 = V 2 ≈ z e r o

Com isso:

H b o m b a = h L T g = H s i s t e m a

Quanto ao h L T , sabemos que ele tem duas contribuições:

h L T = h L + h L M

Em que:

h L : p e r d a   d e   c a r g a   e m   t u b u l a ç ã o   r e t a h L M : p e r d a   d e   c a r g a   e m   a c i d e n t e s

O enunciado diz que não tem acidentes então h L M = z e r o . Quanto à h L , podemos, lá de Mecânica dos Fluidos, escrevê-lo em função do fator de atrito de Moody:

h L = f L D V - 2 2

Em que V - é a velocidade média dentro na tubulação. Daí:

H b o m b a = f L D V - 2 2 g = H s i s t e m a

E temos a expressão de H b o m b a em função de q . Mas ainda precisamos dar mais uma trabalhada nisso.

Passo 3

Chegamos em:

H b o m b a = f L D V - 2 2 g = H s i s t e m a

Substituindo a expressão de H b o m b a em função de q :

– 5000 q 2 – 100 q + 7 = f L D V - 2 2 g

E podemos colocar esse V - em função da vazão também.

v a z ã o = á r e a   t r a n s v e r s a l . v e l o c i d a d e

q = A . V -

O enunciado deu que o diâmetro é D = 100   m m = 0,1   m . Repara que tá tudo em metro então tenho que usar o diâmetro em metro também. Calculando a área transversal:

A = π 4 . D 2

Nesses concursos geralmente não pode usar calculadora, então eles simplificam as coisas falando pra usar π = 3 .

A = 3 4 . 0,1 2 = 0,0075

Daí:

q = A . V -

V - = q A = q 0,0075

Temos também que L = 90 , g = 10 e f = 0,02 :

– 5000 q 2 – 100 q + 7 = 0,02 . 90 0,1 . q 2 2 . 10 . ( 0,0075 ) 2

– 5000 q 2 – 100 q + 7 = 16000 . q 2

– 21000 q 2 – 100 q + 7 = 0

Resolvendo essa equação, achamos a vazão de operação, mas nem precisamos resolver; o enunciado pediu a equação só.

Resposta

Letra d) – 21   000 q 2   –   100 q   +   7   =   0  

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