Exercícios Resolvidos de Introdução a Máquinas de Fluxo

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Enunciado

Uma bomba centrífuga, girando a 3000 rpm, bombeia água a uma taxa de 0,6m³/min. A água entra axialmente, e deixa o rotor a 5,4 m/s relativo às pás, que são radiais na saída. Se a bomba requer 5 kW e tem eficiência de 72%, estime as dimensões básicas (diâmetro e largura de saída do rotor), usando a equação de Euler para as turbomáquinas.

Dados: ρ = 999   k g . m - 3

Passo 1

Esse problema é o que chamamos de projeto de equipamentos, pois vamos determinar as dimensões da bomba para atender certa condição de operação. Então, bora lá!

O sistema é muito parecido com o que a gente viu no exercício anterior:

Como a entrada é axial, temos que a componente tangencial na região 1 é nula:

V t 1 = 0

Como o fluxo é radial na saída, para a região 2 , podemos escrever que:

V t 2 = U 2 - V r b 2 . cos ⁡ β 2

V t 2 = U 2

Podemos reescrever a componente U 2 em função da rotação do sistema:

U 2 = ω . R 2

Sendo assim:

V t 2 = ω . R 2

Passo 2

Agora vamos olhar a potência.

A potência da turbomáquina ( W m ) é dada por:

W m = U 2 . V t 2 - U 1 . V t 1 . m ˙

Logo:

W m = U 2 . U 2 - 0 . m ˙

W m = U 2 2 . m ˙

W m = ( R 2 2 . ω 2 ) . m ˙

A gente sabe que a vazão mássica ( m ˙ ) é dada por:

m ˙ = ρ . Q

Convertendo a vazão volumétrica em unidades S.I.:

Q = 0,6 m 3 m i n . 1   m i n 60   s

Q = 0,01   m 3 . s - 1

m ˙ = 999   k g . m - 3 . 0,01   m 3 . s - 1

m ˙ = 9,99   k g . s - 1

Nesse problema, temos pela primeira vez uma eficiência real, ou seja, estamos considerando aqui que o equipamento não é ideal. O equipamento “usa” uma potência de 5   k W , mas só uma parte é efetivamente transferida para o sistema: 72%. Então, podemos escrever:

W m = η . W i d e a l

W m = 0,72 . 5   k W

W m = 3,6   k W

Pela equação que encontramos, podemos determinar o R 2 da seguinte maneira:

W m = ( R 2 2 . ω 2 ) . m ˙

R 2 = W m m ˙ . ω 2

Antes de prosseguirmos, vamos converter a rotação em unidades S.I.:

ω = 3000 r o t m i n . 2 π   r a d 1   r o t . 1   m i n 60   s

ω = 314,2   r a d . s - 1

Subsituindo agora os valores na expressão de R 2 :

R 2 = 3,6   k W 9,99   k g . s - 1 . 314,2   r a d . s - 1 2

R 2 = 0,0604   m

E o diâmetro será duas vezes isso:

D 2 = 0,12   m

Passo 3

E pra calcular a largura da saída do rotor? Nosso querido b 2 ...

A gente pode escrever a componente normal ( V n 2 ) como sendo:

V n 2 = V r b 2 . s e n   β 2

V n 2 = 5,4   m . s - 1 . s e n   90 o  

V n 2 = 5,4   m . s - 1

Observa que usamos o seno de 90° porque o fluxo de saída é radial.

Com isso, temos que:

V n 2 = Q 2 π . R 2 . b 2

b 2 = Q 2 π . R 2 . V n 2

b 2 = 0,01   m 3 . s - 1 2 π . 0,0604   m . 5,4   m . s - 1

b 2 = 4,88   m m

Resposta

D 2 = 0,12   m

b 2 = 4,88   m m

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