Exercícios Resolvidos de Introdução a Máquinas de Fluxo

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Enunciado

As dimensões do rotor de uma bomba centrífuga são

A bomba é acionada a 1250 rpm para bombear água. Calcule a altura de carga teórica e a potência mecânica de alimentação da bomba, se a vazão for 340 m³/h.

Dados: ρ = 999   k g . m - 3 e 1 k W = 1,341   H P

Passo 1

O enunciado está pedindo 2 coisas: a altura de carga teórica ( H t e ó r i c a ) e a potência mecânica de alimentação da bomba ( W m ). Sabemos que elas estão relacionadas pela própria definição da carga:

H t e ó r i c a = W m m ˙ . g

Então, precisamos encontrar primeiro a potência ( W m ) e a vazão mássica ( m ˙ ) para gente conseguir calcular a carga teórica ( H t e ó r i c a ). Então bora lá!

Vamos começar com a vazão mássica, já que a vazão volumétrica ( Q ) já foi dada no enunciado. Mas antes, bora converter as unidades para o S.I.:

Q = 340 m 3 h . 1   h 3600   s

Q = 0,094   m 3 . s - 1

Beleza! Pela definição de vazão mássica então:

m ˙ = ρ . Q

m ˙ = 999   k g . m - 3 . 0,094   m 3 . s - 1

m ˙ = 94,35   k g . s - 1

Passo 2

Agora a gente precisa determinar o valor da potência ( W m ), porque foi pedido no enunciado, mas porque ele é necessário para calcularmos a altura de carga teórica ( H t e ó r i c a ).

Pela equação de Euler, temos que a potência pode ser calculada por:

W m = U 2 . V t 2 - U 1 . V t 1 . m ˙

Em que as componentes da velocidade são ilustradas abaixo:

A única informação relativa à velocidade que foi informada é a da velocidade angular do sistema ( ω ) e a gente pode relacionar ela com a velocidade U i da seguinte forma:

U i = ω . R i

Como a velocidade angular ( ω ) e os raios são conhecidos, podemos calcular U 1 e U 2 . Mas, antes, bora converter as unidades para o S.I.:

ω = 1250 r o t m i n . 2 π   r a d 1   r o t . 1   m i n 60   s

ω = 130,9   r a d . s - 1

Com isso, para a seção 1 :

U 1 = ω . R 1

U 1 = 130,9   r a d . s - 1 . 0,075   m

U 1 = 9,81   m . s - 1

E, para a seção 2 :

U 2 = ω . R 2  

U 2 = 130,9   r a d . s - 1 . 0,250   m

U 2 = 32,73   m . s - 1

Agora, só precisamos encontrar os valores das velocidades V t 1 e V t 2 para determinar a potência!

Passo 3

Bora encontrar as componentes tangenciais então! Para isso, dá uma olhadinha no sistema de vetores mais uma vez:

A gente pode ver que, tanto para a seção 1 , quanto para a seção 2 :

U = V t + W . cos ⁡ β

Então, reescrevendo em termos do que a gente quer ( V t ) fica:

V t = U - W . cos ⁡ β

Pela definição da vazão volumétrica ( Q ), temos:

Q = A . V

Q = 2 π . R . b . ( V n )

Vamos fazer para a seção 1, porque dá no mesmo depois fazer para a seção 2:

Q = 2 π . R 1 . b 1 . ( V n 1 )

Podemos escrever a componente normal do vetor como sendo:

V n 1 = W 1 . s e n   β 1  

Substituindo:

Q = 2 π . R 1 . b 1 . ( W 1 . s e n   β 1 )

Isolando a componente W 1 :

W 1 = Q 2 π . R 1 . b 1 . s e n   β 1

Pronto, agora a gente já tem uma expressão para W 1 e podemos substituir na expressão de V t para a seção 1 :

V t 1 = U 1 - W 1 . cos ⁡ β 1

V t 1 = U 1 - Q 2 π . R 1 . b 1 . s e n   β 1 . cos ⁡ β 1

V t 1 = U 1 - Q 2 π . R 1 . b 1 . cos ⁡ β 1 s e n   β 1

V t 1 = U 1 - Q 2 π . R 1 . b 1 . c o t   β 1

Substituindo as informações do enunciado e as que já calculamos:

V t 1 = 9,81   m . s - 1 - 0,094   m 3 . s - 1 2 π . 0,075   m . 38.10 - 3   m . c o t   60 o

V t 1 = 6,78   m . s - 1  

Fazendo a mesma sequência de passos, chegamos a uma equação para a seção 2 :

V t 2 = U 2 - Q 2 π . R 2 . b 2 . c o t   β 2

Com os valores informados:

V t 2 = 32,73   m . s - 1 - 0,094   m 3 . s - 1 2 π . 0,250   m . 30.10 - 3   m . c o t   70 o

V t 2 = 32,0   m . s - 1

Passo 4

Agora calcular a potência ficou fácil:

W m = U 2 . V t 2 - U 1 . V t 1 . m ˙

W m = 32,73   m . s - 1 . 32,0   m . s - 1 - 9,81   m . s - 1 . 6,78   m . s - 1 . 94,35   k g . s - 1

W m = 92,54   k W

Passo 5

E a carga é pode ser obtida da seguinte maneira:

H t e ó r i c a = W m m ˙ . g

H t e ó r i c a = 92,54   k W 94,35   k g . s - 1 . 9,81   m . s - 2

H t e ó r i c a = 100   m

Resposta

W m = 92,54   k W

H t e ó r i c a = 100   m

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