Exercícios Resolvidos de Limite de Matrizes

UFRJ, Álgebra Linear, P2 - 2017.2, Questão 12

Sejam A uma matriz 3   ×   3   com autovalores   λ 1 = λ 2 = 1 e 0 < λ 3 < 1 e B = lim k A k :

I - D i m I m B = 3

I - D i m N B = 1  

(a) I é verdadeira e I I é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) Ambas são falsas

(d) I é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

Falou de limite de matriz, então vamos diagonalizar:

A = P D P - 1

Temos os autovalores, assim podemos achar D :

A = P 1 0 0 0 1 0 0 0 λ 3 P - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como quando elevamos uma matriz a uma potência o que muda é a matriz D , ou seja, os autovalores, assim, podemos calcular   B = lim k A k .

A k = P 1 k 0 0 0 1 k 0 0 0 λ 3 k P - 1 = P 1 0 0 0 1 0 0 0 λ 3 k P - 1

lim k A k = P 1 0 0 0 1 0 0 0 l i m k λ 3 k P - 1

Mas como 0 < λ 3 < 1 , esse limite vai ser zero!

Passo 3

Assim, nossa matriz B   diagonalizada vai ser assim:

B = P 1 0 0 0 1 0 0 0 0 P - 1

Vemos que ela tem 1 autovalor 0, assim, a dimensão do seu núcleo vai ser 1 e pelo TNI conseguimos achar a dimensão da imagem:

D i m I m B + D i m N u c B = 3

D i m I m B = 2

Assim, a primeira afirmativa é falsa mas a segunda é verdadeira!

Resposta

(d)

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas