Massa e aceleração

Teoria Completa

Vamos, enfim, começar a conectar os dois grandes assuntos que estávamos estudando: As forças e os movimentos.

Agora pense na tirinha abaixo:

A Mônica exerceu uma força nos outros personagens e, por isso, eles se movimentaram. O que aconteceu?

A força exercida gerou uma aceleração. Vamos entender isso melhor?(:

2° Lei de Newton

O enunciado da segunda Lei de Newton é:

Lei II: A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é aplicada.

A mudança de movimento é expressa pela aceleração. Já a proporção com a força é assegurada pela massa.

Matematicamente falando:

F = m a

Ou vetorialmente:

F → = m a →

Bom, até agora fizemos uma revisãozinha de coisas que talvez você já tenha visto. Agora, vamos relembrar mais algumas coisinhas que você vai precisar pra fazer os exercícios:

Tópicos especiais

  1. Corpos conectados
  2. Uma primeira coisa importante a se falar é sobre corpos que se movem conectados. Por exemplo: corpos conectados por uma corda:

    Como A e B estão presos um ao outro, podemos dizer que:

    v A = v B

    E:

    a A = a B

    O que isso significa? Significa que, para efeitos de cálculo, podemos dizer que A   e   B são um corpo só. Assim, podemos calcular a aceleração do conjunto da seguinte forma:

    m A + m B a = F   →       a = F m A + m B

    E:

    a A = a B = F m A + m B

  3. Plano inclinado
  4. Devemos relembrar as coordenadas no plano inclinado. Para uma caixinha em um plano inclinado, possuindo um peso P :

    Podemos decompor a força peso em uma componente x ao longo do plano inclinado e uma componente y perpendicular a esse:

    Onde:

    P y = P c o s θ

    P x = P s e n θ

    Show de bola?

  5. Atrito

Temos dois casos: O atrito estático e o atrito cinético. A força de atrito estático máxima é dada por:

F a t m á x = μ S N

Caso um corpo esteja sofrendo a ação de uma força P > F a t m á x , o corpo passará a se mover e o atrito passará a ser cinético. A força de atrito cinético é dada por:

F a t c i n = μ c N

Nesse caso, a resultante das forças é dada por:

P - F a t c i n = m a

P - μ c N = m a

E é isso. Foi apenas uma pequena revisão. Vamos fazer exercícios agora (:

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 94, 3/1

Durante um teste de frenagem, o carro com motor traseiro é parado a partir de uma velocidade inicial de 100 k m / h em uma distância de 50   m   . Se é sabido que todas as quatro rodas contribuem igualmente para a força de frenagem, determine a força de frenagem F em cada roda. Suponha uma desaceleração constante para o carro de 1500   k g .

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Passo 1

O sistema do problema pode ser representado por:

Passo 2

Para calcular a aceleração do carro, basta a gente usar Torriceli:

v 2 2 - v 1 2 = 2 a x ∆ S

Só que v 2 = 0

E precisamos converter v 1 :

v 1 = 100 k m / h = 100 3,6 m / s

Além disso:

∆ S = 50 m

Assim:

0 2 - 100 3,6 2 = 2 a x 50 → a x = - 7,72 m / s

Passo 3

Sabemos que as quatro forças ( 4 F ) são responsáveis pela aceleração:

- 4 F = 1500 - 7,72

F = 2890 N

Resposta

F = 2890 N

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 94, 3/5

O caminhão de 10   t puxa o reboque de 20   t . Se o conjunto parte do repouso em uma estrada horizontal com uma força de tração de 20   k N   entre as rodas do caminhão e a estrada, calcule a tração T na barra de engate horizontal e a aceleração a do veículo.

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Passo 1

O sistema pode ser representado por:

Podemos começar calculando a aceleração do conjunto como um todo:

20000 + 10000 a = 20000

O que fizemos? Como há um link entre os corpos, podemos considera-lo como um corpo só. Assim:

30000 a = 20000 → a = 0,667 m / s 2

Passo 2

Para achar a tensão, basta considerarmos apenas o corpo traseiro separadamente:

Sendo que esse corpo possui a mesma aceleração do conjunto, assim:

T = 20000 0,667 = 13330 N = 13,33 k N

Resposta

a = 0,667 m / s 2

T = 13,33 k N

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 95, 3/7

Calcule a aceleração vertical a do cilindro de 150   k g para cada um dos dois casos ilustrados. Despreze o atrito e a massa das polias.

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Passo 1

a)

Podemos representar o sistema a ) assim:

Do primeiro corpo:

T - 1500 = 150 a

Do segundo:

2000 - T = 200 a

Somando:

2000 - 1500 = 350 a

500 = 350 a → a = 500 350 = 1,43 m / s 2

Passo 2

b)

Nesse caso, o sistema pode ser representado por:

Assim:

1500 - 200 9,81 = 150 a

1500 - 1962 = 150 a

- 462 = 150 a → a = - 3,08 m / s 2

Resposta

a = 1,43 m / s 2

a = - 3,08 m / s 2

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 94, 3/2

O caixote de 50   k g   está parado quando a força P é aplicada. Determine a aceleração resultante do caixote se ( a )   P   =   0 , ( b )   P   =   150   N e ( c )   P   =   300   N .

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Passo 1

O sistema da figura vamos pode ser descrito por:

Temos a força P , a força de atrito A , a força normal N e o peso F p = 50 9,81 N .

Passo 2

a)

Para P = 0 , vamos ter o seguinte equilíbrio no eixo y perpendicular ao plano:

N - 50 9,81 cos ⁡ 15 ° = 0 → N = 50 . 9,81 cos ⁡ 15 ° = 474 N

E a resultante na direção x   vale quanto? Vamos, primeiro, calcular o módulo da força de atrito estática máxima:

F a t m á x = μ S N = 0,2 474 = 94,8 N

E quanto vale a componente x do peso? Vale F p x :

F p x = 50 . 9,81 s e n 15 ° = 127,0 N

Como podemos ver, a força peso na direção do plano inclinado tem valor maior do que F a t m á x . Assim, ocorrerá deslizamento e o atrito atuante será cinético:

0,15 474 - 50 . 9,81 s e n 15 ° = 50 a x → a x = - 1,118 m / s 2

Passo 3

b)

O equilíbrio vertical continuará o mesmo, já que P atua na direção do plano:

N - 50 9,81 cos ⁡ 15 ° = 0 → N = 50 . 9,81 cos ⁡ 15 ° = 474 N

Agora vamos analisar a força resultante na direção do plano:

F R = 50 9,81 s e n 15 ° - 150 = - 23,0 N

F R = 23,0 N

Lembra da força de atrito máxima? Vale:

F a t m á x = μ S N = 0,2 474 = 94,8 N

Como:

F R < F a t m á x

A força não consegue vencer a força de atrito: Não há deslocamento:

a x = 0

Passo 4

c)

Vamos fazer a mesma coisa:

N - 50 9,81 cos ⁡ 15 ° = 0 → N = 50 . 9,81 cos ⁡ 15 ° = 474 N

E:

F R = 50 9,81 s e n 15 ° - 300 = - 173,0 N

Como:

F R > F a t m á x = 94,8 N

Vai haver movimento, dado por:

300 - 0,15 474 - 50 . 9,81 s e n 15 ° = 50 a x → a x = 2,04 m / s 2

Resposta

a)

a x = - 1,118 m / s 2

b)

a x = 0

c)

a x = 2,04 m / s 2

Exercício Resolvido #5

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 97, 3/23

Se os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre o bloco A de 20   k g e o carrinho B de 100   k g têm ambos essencialemente o mesmo valor de 0,50 , determine a aceleração de cada parte para ( a )   P   =   60   N e ( b )   P   =   40   N .

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Passo 1

a)

Vamos primeiro analisar o bloco A . Temos duas forças atuando nesse corpo: 2 P   e   F a t :

Por que vale 2 P ? Porque existe uma roldana, o que duplica a força.

E quanto vale F a t m á x ?

Basta usarmos:

F a t m á x = μ N A B

Onde N A B é o módulo da força normal que A exerce em B . Essa força, no caso, é o peso de A :

Assim:

N A B = 20 9,81 = 196,2 N

E μ = 0,5 assim:

F a t m á x = 196,2 0,5 = 98,1 N

Perceba que:

98,1 < 2 P = 2.60 = 120 N

Passo 2

Vamos assumir que ocorre deslizamento: que A tem uma aceleração diferente de B e que, por isso, se desloca sobre B . Nesse caso, não podemos considerar os dois corpos como um só. Assim:

Vamos calcular a aceleração de A :

2 P - F a t m á x = m A a A

∴  

120 - 98,1 = 20 a A → a A = 1,095 m / s 2

Agora vamos calcular a aceleração de B :

B só sofre a ação da força F a t m á x , já que não possui atrito com o solo( já que possui rodinhas). Assim:

F a t m á x = m B a B → a B = F a t m á x m B = 98,1 100 = 0,981 m / s 2

Agora veja:

a A > a B

Ou seja, o bloco A se desloca em cima de B .

Passo 3

b)

Nesse caso, o F a t m á x continua sendo o mesmo. No entanto:

2 P = 80 < F a t m á x = 98,1 N

Sendo assim, como a força P não é suficiente para vencer a força de atrito, não ocorre o deslizamento. Isso quer dizer que podemos tratar o conjunto dos dois corpos como um só:

m t o t a l a = 2 P

m t o t a l a = 80

20 + 100 a = 80 → a = 0,667 m / s 2

Assim:

a A = a B = a = 0,667 m / s 2

Resposta

a)

a A = 1,095 m / s 2

a B = 0,981 m / s 2

b)

a A = a B = a = 0,667 m / s 2

Exercício Resolvido #6

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 94, 3/6

Um esquiador parte do repouso sobre uma encosta com 40 ° no instante de tempo t = 0 e registra o tempo t = 2,85   s quando passa um ponto de coeficiente de atrito dinâmico entre a neve e os esquis. Percorrendo 20m a partir daí. Despreze a resistência do vento. Encontre o coeficiente de atrito dinâmico entre a neve e os esquis.

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Passo 1

Beleza, quais são as forças que agem no esquiador? A força peso e a força de atrito. Podemos esquematizar o sistema assim:

Passo 2

Vamos calcular a aceleração do homem:

m a = m g s e n 40 ° - m g μ k c o s 40 °

a = g ( s e n 40 ° - μ c o s 40 ° )

a = ( 9,81 ) ( s e n 40 ° - μ cos ⁡ 40 ° = 6,31 - 7,51 μ k

Passo 3

Para uma aceleração constante, no entanto, temos:

S = v 0 t + 1 2 a t 2

Como ele parte do repouso, a sua velocidade inicial é v 0 = 0 ...

20 = 0 + 1 2 6,31 - 7,51 μ k 2,85 2

20 = ( 3,155 - 3,755 μ k ) ( 8,1225 )

20 = 25,626 - 30,500 μ k

μ k = 0,184

Resposta

μ k = 0,184

Exercício Resolvido #7

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Dinâmica, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 96, 3/17

A esfera de aço está suspensa na estrutura acelerada pelas duas cordas A e B . Determine a aceleração a da estrutura que fará com que a tração em A seja o dobro daquela em B .

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Passo 1

Podemos representar o sistema assim:

Decompondo na direção x e fazendo o equilíbrio:

∑ F x = 0

2 B s e n 30 ° - B s e n 30 ° - m a = 0

m a = 2 B s e n 30 ° - B s e n 30 °

m a = B s e n 30 °     →     a = B m s e n ( 30 ° )

Passo 2

Decompondo as forças na direção y e fazendo o equilíbrio, temos que:

∑ F y = 0

m g - 2 B c o s 30 ° - B c o s 30 ° = 0