Movimento em Relação a Eixos que Giram

Teoria Completa

Introdução

Até agora usamos o movimento relativo para analisar o movimento de pontos que pertencem a um mesmo corpo rígido ou de pontos localizados em corpos que são articulados entre si.

Imagina agora que você está dentro de um trem...

E bem no momento que ele está fazendo uma curva, você resolve levantar...

O que acontecerá com o seu movimento quando você se move sobre o trem que está numa trajetória circular, ou seja, fazendo uma rotação e também está realizando uma translação?

É justamente isso que vamos aprender neste capítulo: o que muda quando queremos determinar o movimento relativo de corpos que realizam tanto translação quanto rotação ao mesmo tempo!

Velocidade Relativa

Neste tipo de questão sempre teremos dois corpos, um que será nosso referencial e outro que temos que analisar o seu movimento.

Quando temos dois corpos que não pertencem ao mesmo corpo rígido e que realizam tanto rotação (uma curva, por exemplo) quanto translação, vamos usar a seguinte equação para relacionar as suas velocidades:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

Onde:

  • v → A é o vetor velocidade absoluta do corpo que está se movendo (corpo A ) com relação ao corpo que está nosso referencial (corpo B );
  • v → B é o vetor velocidade absoluta do corpo onde está nosso referencial, ou seja, é de onde estamos observando o movimento do corpo A ;
  • ω → é o vetor velocidade angular do corpo B , onde está o nosso sistema de referência.
  • r → é o vetor posição do corpo A com relação a B , ou seja, é a posição de A com relação ao eixo de referência fixo no corpo B ;
  • v → r e l é a velocidade relativa do corpo A com relação ao corpo B .

Para entender melhor isso, vamos usar o exemplo do nosso trem.

Imagina que você está em um trem viajando pela Europa...

E bem no momento que o trem está fazendo uma curva, você resolver ir até o banheiro:

Repare que o trem realiza movimento de rotação e translação. Como você está dentro do trem, você realiza os mesmos movimentos. Então, já somos capazes de identificar quem é o nosso referencial e quem está realizando o movimento relativo: a pessoa realiza o movimento relativo e o trem é onde está o nosso referencial:

  • Corpo A     →     Pessoa
  • Corpo B     →       Trem

Então, vamos colocar nosso eixo fixo no trem:

Identificado quem é o corpo A e quem é o corpo B , podemos dizer que:

v → A = v → P e s s o a

v → B = v → T r e m

Como o trem está fazendo uma curva, ele possui uma velocidade angular.

  • ω →   →     Velocidade angular do trem
  • E o vetor posição r → ? É a posição da pessoa com relação ao nosso eixo fixo:

    A seta do vetor sempre chega no corpo A e começa na origem do eixo fixo!

    Quando você começa a andar dentro do trem, adquire uma velocidade em relação ao trem, certo? Esta vai ser a velocidade relativa da pessoa com relação ao trem:

    v → r e l = v → P e s s o a / T r e m

    Beleza?

    Então, nesses tipos de questões sempre temos que localizar quem está realizando o movimento relativo e onde está o nosso eixo fixo. Depois é só pegar a nossa nova equação da velocidade relativa e identificar quem é cada termo da equação de acordo com a situação que temos (igual fizemos nesse exemplo).

    Ω . Então não se assuste se encontrar esta notação!!!

    Aceleração relativa

    A equação que relaciona as acelerações do corpo A e do corpo B é:

    a → A = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

    Calma, não se assuste!!! Essa equação é um pouco trabalhosa, mas não é difícil!

    Vamos ver o que cada termo da equação significa:

  • a → A é a aceleração do corpo A , ou seja, quem realiza o movimento relativo (no nosso exemplo, é a pessoa andando no trem);
  • a → B é a aceleração do corpo B que é onde está o nosso referencial;
  • α → é a aceleração angular do corpo B , ou seja, onde está o eixo fixo (no nosso exemplo seria a aceleração angular do trem);
  • r → é o mesmo vetor posição da equação da velocidade, ou seja, a posição do corpo A com relação a B ;
  • ω → também é a mesma velocidade angular da equação da velocidade;
  • v → r e l é a mesma velocidade relativa de A com relação a B ;
  • a → r e l é a aceleração relativa que o corpo A tem com relação ao corpo B . No nosso exemplo seria a aceleração que a pessoa tem com relação ao trem que está também em movimento.

Aceleração de Coriolis

A aceleração de Coriolis corresponde ao termo 2 ω → × v → r e l lá da equação da aceleração relativa que acabamos de ver. Esse nome estranho é o sobrenome do primeiro engenheiro que determinou esta aceleração.

a → c o r = 2 ω → × v → r e l

Mas o que quer dizer esta aceleração? Ela representa a diferença na aceleração do corpo B medida no sistema fixo e em rotação.

A aceleração de Coriolis tem direção perpendicular ao vetor v → r e l e ao vetor velocidade angular ω → . O seu sentido é definido pela regra da mão direita para produto vetorial como vimos anteriormente.

Agora que você sabe tudo sobre movimento relativo com eixos girantes, tem o direito de ganhar a sua passagem para embarcar nos exercícios:

Partiu?

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Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 294-5/164

Ao contornar uma curva sem inclinação lateral a uma velocidade constante de 25   k m / h , o centro C do vagão ferroviário segue uma trajetória circular de raio ρ = 60   m . O eixo longitudinal do vagão permanece tangente ao círculo. Determine a velocidade absoluta v de uma pessoa P que caminha na velocidade constante de 1,5 m/s em relação ao vagão quando ele está nos pontos a ) A ,   b )   B e c )   C . Utilize os eixos x - y presos ao vagão como indicado.

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Passo 1

Quando temos o movimento relativo de corpos que realizam movimento de rotação e translação ao mesmo tempo, vamos usar a seguinte equação:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

O próximo passo é identificar quem está realizando o movimento relativo. Neste caso, é a pessoa. Então, a velocidade v A corresponde a velocidade absoluta da pessoa:

v → A = v →

E é justamente o que queremos saber!

A velocidade v B é a velocidade absoluta do trem:

v B = v t r e m = 25   k m / h

Que passando para m / s , temos:

v t r e m = 25 3,6     →         v t r e m = 6,94   m / s

Como o trem anda para a esquerda, o vetor velocidade v → t r e m será:

v → t r e m = - 6,94 i ^   m / s

Como o trem está realizando um movimento circular, a sua velocidade angular ω → pode ser calculada assim:

ω = v t r e m ρ     →         ω = 6,94 60    

ω = 0,1157   r a d / s    

Sabemos que a velocidade angular está sempre no eixo z e como o trem está andando para a esquerda, então a velocidade angular é positiva:

ω → = 0,1157 k ^   r a d / s

E a velocidade relativa v r e l é a velocidade da pessoa com relação ao vagão do trem. Repare que a pessoa caminha da direita para a esquerda, ou seja, no sentido negativo do eixo x :

v → r e l = - 1,5 i ^   m / s

Passo 2

Vamos calcular primeiro a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto A . Repare que quando ela está no ponto A , a sua posição é:

r → = + 10 i ^   m

Então, a nossa equação fica:

v → = v → t r e m + ω → × r → + v → r e l       →           v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × 10 i ^ - 1,5 i ^

Vamos resolver o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,1157 10 0 0 = i ^ 0 0,1157 0 0 - j ^ 0 0,1157 10 0 + k ^ 0 0 10 0

ω → × r → = 1,157 j ^

Então:

v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × 10 i ^ - 1,5 i ^       →           v → = - 6,94 i ^ + 1,157 j ^ + - 1,5 i ^

v → = v → A = - 8,44 i ^ + 1,157 j ^   m / s

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto B . Repare que quando ela está neste ponto, a sua posição é:

r → = - 10 i ^   m

Então, a nossa equação fica:

v → = v → t r e m + ω → × r → + v → r e l       →           v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × - 10 i ^ - 1,5 i ^

Vamos resolver o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,1157 - 10 0 0 = i ^ 0 0,1157 0 0 - j ^ 0 0,1157 - 10 0 + k ^ 0 0 - 10 0