Movimento em Relação a Eixos que Giram

Teoria Completa

Introdução

Até agora usamos o movimento relativo para analisar o movimento de pontos que pertencem a um mesmo corpo rígido ou de pontos localizados em corpos que são articulados entre si.

Imagina agora que você está dentro de um trem...

E bem no momento que ele está fazendo uma curva, você resolve levantar...

O que acontecerá com o seu movimento quando você se move sobre o trem que está numa trajetória circular, ou seja, fazendo uma rotação e também está realizando uma translação?

É justamente isso que vamos aprender neste capítulo: o que muda quando queremos determinar o movimento relativo de corpos que realizam tanto translação quanto rotação ao mesmo tempo!

Velocidade Relativa

Neste tipo de questão sempre teremos dois corpos, um que será nosso referencial e outro que temos que analisar o seu movimento.

Quando temos dois corpos que não pertencem ao mesmo corpo rígido e que realizam tanto rotação (uma curva, por exemplo) quanto translação, vamos usar a seguinte equação para relacionar as suas velocidades:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

Onde:

  • v → A é o vetor velocidade absoluta do corpo que está se movendo (corpo A ) com relação ao corpo que está nosso referencial (corpo B );
  • v → B é o vetor velocidade absoluta do corpo onde está nosso referencial, ou seja, é de onde estamos observando o movimento do corpo A ;
  • ω → é o vetor velocidade angular do corpo B , onde está o nosso sistema de referência.
  • r → é o vetor posição do corpo A com relação a B , ou seja, é a posição de A com relação ao eixo de referência fixo no corpo B ;
  • v → r e l é a velocidade relativa do corpo A com relação ao corpo B .

Para entender melhor isso, vamos usar o exemplo do nosso trem.

Imagina que você está em um trem viajando pela Europa...

E bem no momento que o trem está fazendo uma curva, você resolver ir até o banheiro:

Repare que o trem realiza movimento de rotação e translação. Como você está dentro do trem, você realiza os mesmos movimentos. Então, já somos capazes de identificar quem é o nosso referencial e quem está realizando o movimento relativo: a pessoa realiza o movimento relativo e o trem é onde está o nosso referencial:

  • Corpo A     →     Pessoa
  • Corpo B     →       Trem

Então, vamos colocar nosso eixo fixo no trem:

Identificado quem é o corpo A e quem é o corpo B , podemos dizer que:

v → A = v → P e s s o a

v → B = v → T r e m

Como o trem está fazendo uma curva, ele possui uma velocidade angular.

  • ω →   →     Velocidade angular do trem
  • E o vetor posição r → ? É a posição da pessoa com relação ao nosso eixo fixo:

    A seta do vetor sempre chega no corpo A e começa na origem do eixo fixo!

    Quando você começa a andar dentro do trem, adquire uma velocidade em relação ao trem, certo? Esta vai ser a velocidade relativa da pessoa com relação ao trem:

    v → r e l = v → P e s s o a / T r e m

    Beleza?

    Então, nesses tipos de questões sempre temos que localizar quem está realizando o movimento relativo e onde está o nosso eixo fixo. Depois é só pegar a nossa nova equação da velocidade relativa e identificar quem é cada termo da equação de acordo com a situação que temos (igual fizemos nesse exemplo).

    Ω . Então não se assuste se encontrar esta notação!!!

    Aceleração relativa

    A equação que relaciona as acelerações do corpo A e do corpo B é:

    a → A = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

    Calma, não se assuste!!! Essa equação é um pouco trabalhosa, mas não é difícil!

    Vamos ver o que cada termo da equação significa:

  • a → A é a aceleração do corpo A , ou seja, quem realiza o movimento relativo (no nosso exemplo, é a pessoa andando no trem);
  • a → B é a aceleração do corpo B que é onde está o nosso referencial;
  • α → é a aceleração angular do corpo B , ou seja, onde está o eixo fixo (no nosso exemplo seria a aceleração angular do trem);
  • r → é o mesmo vetor posição da equação da velocidade, ou seja, a posição do corpo A com relação a B ;
  • ω → também é a mesma velocidade angular da equação da velocidade;
  • v → r e l é a mesma velocidade relativa de A com relação a B ;
  • a → r e l é a aceleração relativa que o corpo A tem com relação ao corpo B . No nosso exemplo seria a aceleração que a pessoa tem com relação ao trem que está também em movimento.

Aceleração de Coriolis

A aceleração de Coriolis corresponde ao termo 2 ω → × v → r e l lá da equação da aceleração relativa que acabamos de ver. Esse nome estranho é o sobrenome do primeiro engenheiro que determinou esta aceleração.

a → c o r = 2 ω → × v → r e l

Mas o que quer dizer esta aceleração? Ela representa a diferença na aceleração do corpo B medida no sistema fixo e em rotação.

A aceleração de Coriolis tem direção perpendicular ao vetor v → r e l e ao vetor velocidade angular ω → . O seu sentido é definido pela regra da mão direita para produto vetorial como vimos anteriormente.

Agora que você sabe tudo sobre movimento relativo com eixos girantes, tem o direito de ganhar a sua passagem para embarcar nos exercícios:

Partiu?

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Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 294-5/164

Ao contornar uma curva sem inclinação lateral a uma velocidade constante de 25   k m / h , o centro C do vagão ferroviário segue uma trajetória circular de raio ρ = 60   m . O eixo longitudinal do vagão permanece tangente ao círculo. Determine a velocidade absoluta v de uma pessoa P que caminha na velocidade constante de 1,5 m/s em relação ao vagão quando ele está nos pontos a ) A ,   b )   B e c )   C . Utilize os eixos x - y presos ao vagão como indicado.

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Passo 1

Quando temos o movimento relativo de corpos que realizam movimento de rotação e translação ao mesmo tempo, vamos usar a seguinte equação:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

O próximo passo é identificar quem está realizando o movimento relativo. Neste caso, é a pessoa. Então, a velocidade v A corresponde a velocidade absoluta da pessoa:

v → A = v →

E é justamente o que queremos saber!

A velocidade v B é a velocidade absoluta do trem:

v B = v t r e m = 25   k m / h

Que passando para m / s , temos:

v t r e m = 25 3,6     →         v t r e m = 6,94   m / s

Como o trem anda para a esquerda, o vetor velocidade v → t r e m será:

v → t r e m = - 6,94 i ^   m / s

Como o trem está realizando um movimento circular, a sua velocidade angular ω → pode ser calculada assim:

ω = v t r e m ρ     →         ω = 6,94 60    

ω = 0,1157   r a d / s    

Sabemos que a velocidade angular está sempre no eixo z e como o trem está andando para a esquerda, então a velocidade angular é positiva:

ω → = 0,1157 k ^   r a d / s

E a velocidade relativa v r e l é a velocidade da pessoa com relação ao vagão do trem. Repare que a pessoa caminha da direita para a esquerda, ou seja, no sentido negativo do eixo x :

v → r e l = - 1,5 i ^   m / s

Passo 2

Vamos calcular primeiro a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto A . Repare que quando ela está no ponto A , a sua posição é:

r → = + 10 i ^   m

Então, a nossa equação fica:

v → = v → t r e m + ω → × r → + v → r e l       →           v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × 10 i ^ - 1,5 i ^

Vamos resolver o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,1157 10 0 0 = i ^ 0 0,1157 0 0 - j ^ 0 0,1157 10 0 + k ^ 0 0 10 0

ω → × r → = 1,157 j ^

Então:

v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × 10 i ^ - 1,5 i ^       →           v → = - 6,94 i ^ + 1,157 j ^ + - 1,5 i ^

v → = v → A = - 8,44 i ^ + 1,157 j ^   m / s

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto B . Repare que quando ela está neste ponto, a sua posição é:

r → = - 10 i ^   m

Então, a nossa equação fica:

v → = v → t r e m + ω → × r → + v → r e l       →           v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × - 10 i ^ - 1,5 i ^

Vamos resolver o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,1157 - 10 0 0 = i ^ 0 0,1157 0 0 - j ^ 0 0,1157 - 10 0 + k ^ 0 0 - 10 0

ω → × r → = - 1,157 j ^

Então:

v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × - 10 i ^ - 1,5 i ^       →           v → = - 6,94 i ^ - 1,157 j ^ + - 1,5 i ^

v → = v → B = - 8,44 i ^ - 1,157 j ^   m / s

Passo 4

Por último vamos calcular a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto C . Repare que quando ela está neste ponto, a sua posição é:

r → = 0

Então, a nossa equação fica:

v → = v → t r e m + ω → × r → + v → r e l       →           v → = - 6,94 i ^ + 0,1157 k ^ × 0 - 1,5 i ^

Essa é moleza, né?

v → = v → C = - 8,44 i ^   m / s

Resposta

a )   v → A = - 8,44 i ^ + 1,157 j ^   m / s

b )   v → = v → B = - 8,44 i ^ - 1,157 j ^   m / s

c )   v → C = - 8,44 i ^   m / s

Exercício Resolvido #2

R. C. Hibbeler, Dinâmica: Mecânica para Engenharia, 10º ed. SP: Prentice Hall, 2005, pp. 303-16.135

Enquanto a ponte giratória está fechando com uma velocidade angular de 0,5   r a d / s , um homem corre ao longo da pista a uma velocidade constante de 5   p é s / s , relativamente à pista. Determine a ) a velocidade e b ) a aceleração do homem, no instante em que d = 15   p é s .

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Passo 1

Como se trata de corpos que realizam movimentos de rotação e translação ao mesmo tempo, vamos utilizar a seguinte equação para a velocidade:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

Nosso próximo passo é identificar onde ocorre o movimento relativo. Perceba que enquanto a ponte gira, o homem se move por ela. Então, o homem que realiza o movimento relativo. Agora vamos organizar a nossa equação.

A velocidade v A é a velocidade absoluta de quem realiza o movimento, que no nosso caso é o homem:

v A = v h o m e m

Essa é a primeira coisa que precisamos descobrir!

A velocidade v B é a velocidade da ponte. Mas repare que a ponte apenas gira, então a sua velocidade é zero:

v B = v p o n t e = 0

A velocidade angular da ponte foi dada, mas repare que ela gira no sentido anti-horário, então o vetor é positivo:

ω → = + 0,5 k ^   r a d / s

O vetor posição r →   do homem com relação ao eixo será:

r → = - 15 j ^   p é s

E enfim, a velocidade relativa v r e l é a velocidade que o homem tem com relação a ponte. Repare que ele está correndo no sentido negativo do eixo y :

v → r e l = - 5 j ^   p é s / s

Passo 2

Agora que identificamos o que é cada coisa na nossa equação, é só substituirmos:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l       →           v → h o m e m = ω → × r → + v → r e l

v → h o m e m = 0,5 k ^ × - 15 j ^ - 5 j ^

Vamos resolver o produto vetorial separado:

ω → × r → = 0,5 k ^ × - 15 j ^

i ^ j ^ k ^ 0 0 0 , 5 0 - 15 0 = i ^ 0 0,5 - 15 0 - j ^ 0 0,5 0 0 + k ^ 0 0 0 - 15

ω → × r → = + 7 , 5 i ^

Substituindo isso aí na nossa equação, vamos ter que:

v → h o m e m = 0,5 k ^ × - 15 j ^ - 5 j ^    

v → h o m e m = 7,5 i ^ - 5 j ^   p é s / s

O módulo da velocidade vai ser:

v → h o m e m = 7,5 2 + ( - 5 ) 2

v → h o m e m = 9,01   p é s / s

Passo 3

Agora vamos fazer a análise da aceleração. Para isso, vamos usar a seguinte equação:

a → A = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

A aceleração do homem é:

a A = a h o m e m

Lembra que vimos que a ponte não tem velocidade, portanto ela também não terá aceleração:

a B = a p o n t e = 0

A aceleração angular α da ponte também é zero, porque ela gira a velocidade constante:

α = 0

Repare que os vetores posição r → , velocidade angular ω → e velocidade relativa v → r e l   não mudam.

A aceleração relativa a → r e l também é zero, porque o homem corre com velocidade constante :

α r e l = 0

Então, vamos ter que:

a → h o m e m = a → B + α → × r → + ω → × ω → × r → + 2 ω → × v → r e l + a → r e l

a → h o m e m = 0,5 k ^ × 0,5 k ^ × - 15 j ^ + 2 ( 0,5 k ^ ) × - 5 j ^

Já sabemos que:

ω → × r → = 0,5 k ^ × - 15 j ^ = + 7,5 i ^

Então:

ω → × ω → × r → = 0,5 k ^ × 0,5 k ^ × - 15 j ^

0,5 k ^ × 7,5 i ^

Esse produto vetorial vai ficar:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0 , 5 7,5 0 0 = i ^ 0 0 , 5 0 0 - j ^ 0 0 , 5 7,5 0 + k ^ 0 0 7,5 0

ω → × ω → × r → = 3,75 j ^

O outro produto vetorial que precisamos é:

2 ω → × v → r e l = 2 ( 0,5 k ^ ) × - 5 j ^

i ^ j ^ k ^ 0 0 1 0 - 5 0 = i ^ 0 1 - 5 0 - j ^ 0 1 0 0 + k ^ 0 0 0 - 5

2 ω → × v → r e l = + 5 i ^

Substituindo isso na nossa equação, vamos ter:

a → h o m e m = 0,5 k ^ × 0,5 k ^ × - 15 j ^ + 2 ( 0,5 k ^ ) × - 5 j ^

a → h o m e m = 5 i ^ + 3,75 j ^

O seu módulo será:

a → h o m e m = 5 2 + 3,75 2

a → h o m e m = 6,25   p é s / s 2

Resposta

a )   v → h o m e m = 9,01   p é s / s

b )   a → h o m e m = 6,25   p é s / s 2

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Dinâmica, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 294-5/159

O disco gira em torno de um eixo fixo através de O com velocidade angular ω = 5   r a d / s e aceleração angular α = 3   r a d / s 2 no instante representado, nos sentidos indicados. O cursor A se desloca na ranhura reta. Determine a ) a velocidade e b ) a aceleração absolutas de A para o mesmo instante, quando x = 36   m m , x ˙ = - 100   m m / s e x ¨ = 150   m m / s 2 .

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Passo 1

Nosso primeiro passo é identificar onde ocorre o movimento relativo. Perceba que enquanto o disco gira em torno de O , o cursor A se move na ranhura. Então, o movimento relativo ocorre no cursor A . Para a velocidade vamos usar a seguinte equação:

v → A = v → B + ω → × r → + v → r e l

Repare que o disco apenas gira em torno do ponto O , ou seja, só possui velocidade angular com relação a esse ponto, então:

V B = 0

A velocidade angular é sempre perpendicular à figura, ou seja, está no eixo z . Como ela faz o disco girar no sentido anti-horário, a velocidade angular é positiva de acordo com a nossa convenção de sinais:

ω → = + 5 k ^   r a d / s

E o vetor posição r ? Ela indica a posição do cursor A medido a partir do eixo x y no instante mostrado na figura:

r → = 36 i ^ + 25 j ^   m m

A velocidade relativa v r e l é a velocidade do cursor A com relação ao eixo que gira:

v → r e l = - 100 i ^   m m / s