Movimento em Relação a Eixos que Giram
Teoria
Introdução
Até agora usamos o movimento relativo para analisar o movimento de pontos que pertencem a um mesmo corpo rígido ou de pontos localizados em corpos que são articulados entre si.
Imagina agora que você está dentro de um trem...
E bem no momento que ele está fazendo uma curva, você resolve levantar...
O que acontecerá com o seu movimento quando você se move sobre o trem que está numa trajetória circular, ou seja, fazendo uma rotação e também está realizando uma translação?
É justamente isso que vamos aprender neste capítulo: o que muda quando queremos determinar o movimento relativo de corpos que realizam tanto translação quanto rotação ao mesmo tempo!
Velocidade Relativa
Neste tipo de questão sempre teremos dois corpos, um que será nosso referencial e outro que temos que analisar o seu movimento.
Quando temos dois corpos que não pertencem ao mesmo corpo rígido e que realizam tanto rotação (uma curva, por exemplo) quanto translação, vamos usar a seguinte equação para relacionar as suas velocidades:
Onde:
- é o vetor velocidade absoluta do corpo que está se movendo (corpo ) com relação ao corpo que está nosso referencial (corpo );
- é o vetor velocidade absoluta do corpo onde está nosso referencial, ou seja, é de onde estamos observando o movimento do corpo ;
- é o vetor velocidade angular do corpo , onde está o nosso sistema de referência.
- é o vetor posição do corpo com relação a , ou seja, é a posição de com relação ao eixo de referência fixo no corpo ;
- é a velocidade relativa do corpo com relação ao corpo .
Para entender melhor isso, vamos usar o exemplo do nosso trem.
Imagina que você está em um trem viajando pela Europa...
E bem no momento que o trem está fazendo uma curva, você resolver ir até o banheiro:
Repare que o trem realiza movimento de rotação e translação. Como você está dentro do trem, você realiza os mesmos movimentos. Então, já somos capazes de identificar quem é o nosso referencial e quem está realizando o movimento relativo: a pessoa realiza o movimento relativo e o trem é onde está o nosso referencial:
- Corpo Pessoa
- Corpo Trem
Então, vamos colocar nosso eixo fixo no trem:
Identificado quem é o corpo e quem é o corpo , podemos dizer que:
Como o trem está fazendo uma curva, ele possui uma velocidade angular.
- Velocidade angular do trem
- é a aceleração do corpo , ou seja, quem realiza o movimento relativo (no nosso exemplo, é a pessoa andando no trem);
- é a aceleração do corpo que é onde está o nosso referencial;
- é a aceleração angular do corpo , ou seja, onde está o eixo fixo (no nosso exemplo seria a aceleração angular do trem);
- é o mesmo vetor posição da equação da velocidade, ou seja, a posição do corpo com relação a ;
- também é a mesma velocidade angular da equação da velocidade;
- é a mesma velocidade relativa de com relação a ;
- é a aceleração relativa que o corpo tem com relação ao corpo . No nosso exemplo seria a aceleração que a pessoa tem com relação ao trem que está também em movimento.
E o vetor posição ? É a posição da pessoa com relação ao nosso eixo fixo:
A seta do vetor sempre chega no corpo e começa na origem do eixo fixo!
Quando você começa a andar dentro do trem, adquire uma velocidade em relação ao trem, certo? Esta vai ser a velocidade relativa da pessoa com relação ao trem:
Beleza?
Então, nesses tipos de questões sempre temos que localizar quem está realizando o movimento relativo e onde está o nosso eixo fixo. Depois é só pegar a nossa nova equação da velocidade relativa e identificar quem é cada termo da equação de acordo com a situação que temos (igual fizemos nesse exemplo).
Aceleração relativa
A equação que relaciona as acelerações do corpo e do corpo é:
Calma, não se assuste!!! Essa equação é um pouco trabalhosa, mas não é difícil!
Vamos ver o que cada termo da equação significa:
Aceleração de Coriolis
A aceleração de Coriolis corresponde ao termo lá da equação da aceleração relativa que acabamos de ver. Esse nome estranho é o sobrenome do primeiro engenheiro que determinou esta aceleração.
Mas o que quer dizer esta aceleração? Ela representa a diferença na aceleração do corpo medida no sistema fixo e em rotação.
A aceleração de Coriolis tem direção perpendicular ao vetor e ao vetor velocidade angular . O seu sentido é definido pela regra da mão direita para produto vetorial como vimos anteriormente.
Agora que você sabe tudo sobre movimento relativo com eixos girantes, tem o direito de ganhar a sua passagem para embarcar nos exercícios:
Partiu?
Velocidade Relativa
Aceleração relativa
Aceleração de Coriolis
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 294-5/164
Ao contornar uma curva sem inclinação lateral a uma velocidade constante de , o centro do vagão ferroviário segue uma trajetória circular de raio . O eixo longitudinal do vagão permanece tangente ao círculo. Determine a velocidade absoluta de uma pessoa que caminha na velocidade constante de 1,5 m/s em relação ao vagão quando ele está nos pontos e . Utilize os eixos presos ao vagão como indicado.
Passo 1
Quando temos o movimento relativo de corpos que realizam movimento de rotação e translação ao mesmo tempo, vamos usar a seguinte equação:
O próximo passo é identificar quem está realizando o movimento relativo. Neste caso, é a pessoa. Então, a velocidade corresponde a velocidade absoluta da pessoa:
E é justamente o que queremos saber!
A velocidade é a velocidade absoluta do trem:
Que passando para , temos:
Como o trem anda para a esquerda, o vetor velocidade será:
Como o trem está realizando um movimento circular, a sua velocidade angular pode ser calculada assim:
Sabemos que a velocidade angular está sempre no eixo e como o trem está andando para a esquerda, então a velocidade angular é positiva:
E a velocidade relativa é a velocidade da pessoa com relação ao vagão do trem. Repare que a pessoa caminha da direita para a esquerda, ou seja, no sentido negativo do eixo :
Passo 2
Vamos calcular primeiro a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto . Repare que quando ela está no ponto , a sua posição é:
Então, a nossa equação fica:
Vamos resolver o produto vetorial:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto . Repare que quando ela está neste ponto, a sua posição é:
Então, a nossa equação fica:
Vamos resolver o produto vetorial:
Então:
Passo 4
Por último vamos calcular a velocidade absoluta da pessoa quando ela está no ponto . Repare que quando ela está neste ponto, a sua posição é:
Então, a nossa equação fica:
Essa é moleza, né?
Resposta
Exercício Resolvido #2
R. C. Hibbeler, Dinâmica: Mecânica para Engenharia, 10º ed. SP: Prentice Hall, 2005, pp. 303-16.135
Enquanto a ponte giratória está fechando com uma velocidade angular de , um homem corre ao longo da pista a uma velocidade constante de , relativamente à pista. Determine a velocidade e a aceleração do homem, no instante em que .
Passo 1
Como se trata de corpos que realizam movimentos de rotação e translação ao mesmo tempo, vamos utilizar a seguinte equação para a velocidade:
Nosso próximo passo é identificar onde ocorre o movimento relativo. Perceba que enquanto a ponte gira, o homem se move por ela. Então, o homem que realiza o movimento relativo. Agora vamos organizar a nossa equação.
A velocidade é a velocidade absoluta de quem realiza o movimento, que no nosso caso é o homem:
Essa é a primeira coisa que precisamos descobrir!
A velocidade é a velocidade da ponte. Mas repare que a ponte apenas gira, então a sua velocidade é zero:
A velocidade angular da ponte foi dada, mas repare que ela gira no sentido anti-horário, então o vetor é positivo:
O vetor posição do homem com relação ao eixo será:
E enfim, a velocidade relativa é a velocidade que o homem tem com relação a ponte. Repare que ele está correndo no sentido negativo do eixo :
Passo 2
Agora que identificamos o que é cada coisa na nossa equação, é só substituirmos:
Vamos resolver o produto vetorial separado:
Substituindo isso aí na nossa equação, vamos ter que:
O módulo da velocidade vai ser:
Passo 3
Agora vamos fazer a análise da aceleração. Para isso, vamos usar a seguinte equação:
A aceleração do homem é:
Lembra que vimos que a ponte não tem velocidade, portanto ela também não terá aceleração:
A aceleração angular da ponte também é zero, porque ela gira a velocidade constante:
Repare que os vetores posição , velocidade angular e velocidade relativa não mudam.
A aceleração relativa também é zero, porque o homem corre com velocidade constante :
Então, vamos ter que:
Já sabemos que:
Então:
Esse produto vetorial vai ficar:
O outro produto vetorial que precisamos é:
Substituindo isso na nossa equação, vamos ter:
O seu módulo será:
Resposta
Exercício Resolvido #3
J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Dinâmica, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 294-5/159
O disco gira em torno de um eixo fixo através de com velocidade angular e aceleração angular no instante representado, nos sentidos indicados. O cursor se desloca na ranhura reta. Determine a velocidade e a aceleração absolutas de para o mesmo instante, quando , e .
Passo 1
Nosso primeiro passo é identificar onde ocorre o movimento relativo. Perceba que enquanto o disco gira em torno de , o cursor se move na ranhura. Então, o movimento relativo ocorre no cursor . Para a velocidade vamos usar a seguinte equação:
Repare que o disco apenas gira em torno do ponto , ou seja, só possui velocidade angular com relação a esse ponto, então:
A velocidade angular é sempre perpendicular à figura, ou seja, está no eixo . Como ela faz o disco girar no sentido anti-horário, a velocidade angular é positiva de acordo com a nossa convenção de sinais:
E o vetor posição ? Ela indica a posição do cursor medido a partir do eixo no instante mostrado na figura:
A velocidade relativa é a velocidade do cursor com relação ao eixo que gira:
Então, vamos ter que:
Vamos resolver esse produto vetorial aí:
Substituindo isso aí na nossa equação, vamos ter que:
Então, será:
Passo 2
Agora vamos fazer a análise da aceleração. Para isso, vamos usar a seguinte equação:
Lembra que vimos que o corpo não tinha velocidade no ponto , portanto ele também não terá aceleração:
A aceleração angular do disco estará sempre no eixo e como ela gira no sentido contrário da velocidade angular, ela é negativa:
Repare que os vetores posição , velocidade angular e velocidade relativa não mudam: