Corpos Compostos

Teoria Completa

Introdução

Você já aprendeu a calcular o centróide de áreas, volumes ou massa de algumas figuras.

Mas as figuras eram simples. Concordo que não eram necessariamente fáceis, mas não tinha nenhum corpo mirabolante.

Agora lhe apresento com o que lidaremos neste tópico:

Perceba que esta figura é composta de várias formas geométricas conhecidas: tem um cilindro, um retângulo, uma metade de circunferência, um buraco em forma de triângulo...

Agora vamos aprender a lidar com isso aí! Partiu?

Calculando os centros de corpos compostos

Quando você se deparar com um corpo formado por várias figuras geométricas conhecidas (ele é chamado de corpo composto) podemos ser dividido-lo em suas partes conhecidas e achar o centróide de cada um delas.

Para calcular as coordenadas do centróide de um corpo composto, basta a gente usar os somatórios abaixo:

X - = ∑ x - i A i ∑ A i

O x - que está dentro do somatório é a coordenada do centróide de cada parte que compõem o corpo e o A representa a área dessas figuras conhecidas.

Também tem as coordenadas Y - e Z - :

Y - = ∑ y - i A i ∑ A i

Z - = ∑ z - i A i ∑ A i

Essas fórmulas acima são para o centróide de áreas, mas se você quiser achar o centróide para volumes e linhas é só trocar o A por V de volume ou L de comprimento!

Corpos com Furos

Se o corpo apresentar um furo e esse furo tiver um formato conhecido como este do exemplo abaixo que tem uma forma de triângulo:

Devemos tratar a área do triângulo como negativa, pois ueremos retirá-la da nossa área total. Então, se a área vale 30   m 2 , nós colocamos no somatório - 30 !

Exemplo

Para fazer os cálculos, facilita muito fazer esta tabela aqui:

Não esqueça de colocar tudo na mesma unidade.

Vamos calcular a coordenada y - do centroide desta figura aqui:

Primeira passo que temos que fazer é identificar as figuras conhecidas e nomeá-las:

Segundo passo é calcular a área de cada parte:

P a r t e   1       →         A 1 = 80 40 = 3200   m m 2

P a r t e   2       →         A 2 = 20 20 = 400   m m 2

Mas não esqueça que a p a r t e   2 é um furo, logo sua área deve ser negativa. Então, a nossa tabela fica assim:

Repare que como não estamos calculando a coordenada x - , foram tiradas duas colunas da tabela.

Terceiro passo é identificar as coordenadas y - da cada uma das partes que forma a figura e ir completanto a tabela:

Repare que o centróide do retângulo fica no seu centro geométrico, ou seja, na metade da sua altura. Então, vamos completar a nossa tabela com a coordenada y - de cada parte:

Quarto passo é multiplicar a área de cada parte por sua respectiva coordenada y - :

Quinto passo é só aplicar a fórmula agora:

Y - = ∑ y - i A i ∑ A i

Sabendo que:

Então:

Y - = ∑ y - i A i ∑ A i         →           Y - = 104000 2800

Y - = 37,1   m m

DICA: se uma figura for simétrica, o centroide sempre vai estar em cima do eixo de simetria da figura!

Então, é isso que vamos fazer nos exercícios!

Bora praticar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 195, 5/46

Calcule a coordenada y do centróide da área sombreada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nessa figura temos duas partes: um semicírculo e um furo de formato retangular. Então, vamos nomear as partes:

Passo 2

Agora temos que calcular a área de cada parte que compõe nossa figura. A parte 1 é um semicírculo, então:

A 1 = π r 2 2       →           A 1 = π ( 74 ) 2 2

A 1 = 8602   m m 2

E a área da parte 2 será:

A 2 = 64 32         →         A 2 = 2048   m m 2  

Mas não se esqueça que como a área retangular é um furo, ela terá uma área negativa.

Nossa tabela fica assim, então:

Para achar o total é só subtrair a área do furo da área do semicírculo:

∑ A = 8602 - 2048 = 6554   m m 2  

Passo 3

Perceba que a figura é simétrica em relação ao eixo y , ou seja, a coordenada x - = 0 .

Então só precisamos achar y - (e também foi o que a questão pediu!)

Aqui você precisa saber que o centróide de um semicírculo é dado pela seguinte fórmula (que você pode encontrar em qualquer tabela de centróide):

y - s e m i c i r c u l o = 4 r 3 π

Então, substituindo r = 74   m m , temos que:

y - 1 = 4 ( 74 ) 3 π

y - 1 = 31   m m

E a coordenada y - de um retângulo nós sabemos que fica na metade de sua altura, então:

y - 2 = 32 2           →         y - 2 = 16   m m

Vamos colocar esses valores na nossa tabela:

Passo 4

Agora temos que multiplicar cada coordenada y - pela sua respectiva área:

A 1 y - 1 = 8602 31       →           A 1 y - 1 = 266662   m m 3

E:

A 2 y - 2 = - 2048 16       →           A 2 y - 2 = - 32768   m m 3