Corpos Compostos

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Teoria

Introdução

Você já aprendeu a calcular o centróide de áreas, volumes ou massa de algumas figuras.

Mas as figuras eram simples. Concordo que não eram necessariamente fáceis, mas não tinha nenhum corpo mirabolante.

Agora lhe apresento com o que lidaremos neste tópico:

Perceba que esta figura é composta de várias formas geométricas conhecidas: tem um cilindro, um retângulo, uma metade de circunferência, um buraco em forma de triângulo...

Agora vamos aprender a lidar com isso aí! Partiu?

Calculando os centros de corpos compostos

Quando você se deparar com um corpo formado por várias figuras geométricas conhecidas (ele é chamado de corpo composto) podemos ser dividido-lo em suas partes conhecidas e achar o centróide de cada um delas.

Para calcular as coordenadas do centróide de um corpo composto, basta a gente usar os somatórios abaixo:

X - = ∑ x - i A i ∑ A i

O x - que está dentro do somatório é a coordenada do centróide de cada parte que compõem o corpo e o A representa a área dessas figuras conhecidas.

Também tem as coordenadas Y - e Z - :

Y - = ∑ y - i A i ∑ A i

Z - = ∑ z - i A i ∑ A i

Essas fórmulas acima são para o centróide de áreas, mas se você quiser achar o centróide para volumes e linhas é só trocar o A por V de volume ou L de comprimento!

Corpos com Furos

Se o corpo apresentar um furo e esse furo tiver um formato conhecido como este do exemplo abaixo que tem uma forma de triângulo:

Devemos tratar a área do triângulo como negativa, pois ueremos retirá-la da nossa área total. Então, se a área vale 30   m 2 , nós colocamos no somatório - 30 !

Exemplo

Para fazer os cálculos, facilita muito fazer esta tabela aqui:

Não esqueça de colocar tudo na mesma unidade.

Vamos calcular a coordenada y - do centroide desta figura aqui:

Primeira passo que temos que fazer é identificar as figuras conhecidas e nomeá-las:

Segundo passo é calcular a área de cada parte:

P a r t e   1       →         A 1 = 80 40 = 3200   m m 2

P a r t e   2       →         A 2 = 20 20 = 400   m m 2

Mas não esqueça que a p a r t e   2 é um furo, logo sua área deve ser negativa. Então, a nossa tabela fica assim:

Repare que como não estamos calculando a coordenada x - , foram tiradas duas colunas da tabela.

Terceiro passo é identificar as coordenadas y - da cada uma das partes que forma a figura e ir completanto a tabela:

Repare que o centróide do retângulo fica no seu centro geométrico, ou seja, na metade da sua altura. Então, vamos completar a nossa tabela com a coordenada y - de cada parte:

Quarto passo é multiplicar a área de cada parte por sua respectiva coordenada y - :

Quinto passo é só aplicar a fórmula agora:

Y - = ∑ y - i A i ∑ A i

Sabendo que:

Então:

Y - = ∑ y - i A i ∑ A i         →           Y - = 104000 2800

Y - = 37,1   m m

DICA: se uma figura for simétrica, o centroide sempre vai estar em cima do eixo de simetria da figura!

Então, é isso que vamos fazer nos exercícios!

Bora praticar!

Calculando os centros de corpos compostos

Corpos com Furos

Exemplo

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Calcule a coordenada y do centróide da área sombreada.

Passo 1

Nessa figura temos duas partes: um semicírculo e um furo de formato retangular. Então, vamos nomear as partes:

Passo 2

Agora temos que calcular a área de cada parte que compõe nossa figura. A parte 1 é um semicírculo, então:

A 1 = π r 2 2       →           A 1 = π ( 74 ) 2 2

A 1 = 8602   m m 2

E a área da parte 2 será:

A 2 = 64 32         →         A 2 = 2048   m m 2  

Mas não se esqueça que como a área retangular é um furo, ela terá uma área negativa.

Nossa tabela fica assim, então:

Para achar o total é só subtrair a área do furo da área do semicírculo:

∑ A = 8602 - 2048 = 6554   m m 2  

Passo 3

Perceba que a figura é simétrica em relação ao eixo y , ou seja, a coordenada x - = 0 .

Então só precisamos achar y - (e também foi o que a questão pediu!)

Aqui você precisa saber que o centróide de um semicírculo é dado pela seguinte fórmula (que você pode encontrar em qualquer tabela de centróide):

y - s e m i c i r c u l o = 4 r 3 π

Então, substituindo r = 74   m m , temos que:

y - 1 = 4 ( 74 ) 3 π

y - 1 = 31   m m

E a coordenada y - de um retângulo nós sabemos que fica na metade de sua altura, então:

y - 2 = 32 2           →         y - 2 = 16   m m

Vamos colocar esses valores na nossa tabela:

Passo 4

Agora temos que multiplicar cada coordenada y - pela sua respectiva área:

A 1 y - 1 = 8602 31       →           A 1 y - 1 = 266662   m m 3

E:

A 2 y - 2 = - 2048 16       →           A 2 y - 2 = - 32768   m m 3

Colocando isso na tabela, temos:

E o total é só somarmos os dois resultados, lembrando que A 2 y - 2 é negativo!

Então:

∑ y - A = 266662 - 32768 = 233894   m m 3

Passo 5

Agora é só calcularmos a coordenada Y - da nossa figura:

Y - = ∑ y - A ∑ A         →             y - = 233894 6554

Y - = 35,69   m m

Resposta

Y - = 35,69   m m

Exercício Resolvido #2

Determine as coordenadas de centróide da área trapezoidal mostrada.

Passo 1

O trapézio pode ser dividido em um retângulo e em um triângulo:

de área:

A 1 = 40 . 60 = 2400   m m 2

E um triângulo de área:

A 2 = 60 60 - 40 2 = 600 m m 2

Passo 2

Vamos calcular agora a área de cada uma dessas partes. O retângulo tem área igual a:

A 1 = 60 40     →           A 1 = 2400   m m 2  

E o triângulo tem área de:

A 2 = 60 20 2       →           A 2 = 600   m m 2

Como não temos nenhum furo, nenhuma das áreas é negativa.

Vamos preencher a nossa tabela:

Assim, a área total será a soma das duas áreas:

∑ A = 2400 + 600 = 3000   m m 2

Passo 3

Agora vamos calcular as coordenadas x - e y - do centróide de cada uma das partes que compõe o trapézio.

Vamos começar com o retângulo:

Sabemos que o centróide do retângulo está no seu centro geométrico, ou seja, y - está na metade da sua altura e x - está na metade do seu comprimento:

x - = 40 2 = 20   m m

E:

y - = 60 2 = 30   m m

Já o triângulo tem as coordenadas x - e y - do centróide à 1 3 da base e da altura, respectivamente:

Então, no nosso caso, a coordenada x - será:

Repare que o eixo está afastado 40   m m do triângulo e nossa coordenada sempre deve ser com relação ao eixo:

x - = 40 + 1 3 20     →           x - = 46,67   m m

E a coordenada y - fica:

y - = 1 3 60       →           y - = 20   m m

Vamos preencher nossa tabela agora:

Passo 4

Agora vamos multiplicar cada área por sua respectiva coordenada x - e y - . Vamos começar pelo retângulo:

A 1 x - = 2400 20     →           A 1 x - = 48000   m m 3

E:

A 1 y - = 2400 30     →           A 1 y - = 72000   m m 3

E para o triângulo vamos ter que:

A 2 x - = 600 46,67     →           A 2 x - = 28002   m m 3

E:

A 2 x - = 600 30     →           A 2 y - = 12000   m m 3

Vamos preencher a nossa tabela com esses valores que achamos:

Passo 5

Vamos somar os valores que achamos:

∑ x - A = 48000 + 28002       →           ∑ x - A = 76002   m m 3

E:

∑ y - A = 72000 + 12000         →           ∑ y - A = 84000   m m 3  

Então, nossa tabela fica:

Passo 6

Então, a coordenada X - será:

X - = ∑ x - A ∑ A       �� →       X - = 76002 3000

X - = 25,34   m m

E a coordenada Y - do trapézio é:

Y - = ∑ y - A ∑ A         →       Y - = 84000 3000

Y - = 28   m m

Resposta

X - = 25,34   m m

Y - = 28   m m

Exercício Resolvido #3

Determine a coordenada y do centróide da área sombreada em função de h .

Passo 1

A nossa figura tem duas partes: um triângulo e um furo no formato de um semicírculo. Então, vamos começar pelo triângulo:

A área do triângulo é dada por:

A 1 = ( 2 h ) ( h ) 2 = h 2

Nossa segunda parte é um semicírculo:

E sua área é dada por:

A 2 = π r 2 2       →           A 2 = π 2 h 2 2

A 2 = π h 2 8

Não esqueça que a área do semicírculo é negativa, pois ele é um furo. Então, a nossa tabela fica assim:

A área total será a soma das duas áreas:

∑ A = h 2 - π h 2 8       →         ∑ A = 0,603 h 2

Passo 2

Agora vamos calcular a coordenada y - do centróide de cada parte que compõe nossa figura. Vamos começar com o triângulo, mas para isso você tem que lembrar que a coordenada y - do centróide de um triângulo fica a 1 3 da altura:

Então:

y - = h 3

E o centróide do semicírculo é calculado pela seguinte fórmula:

y - = 4 r 3 π       →         y - = 4 h 2 3 π

y - = 2 h 3 π

Vamos colocar isso na nossa tabela:

Passo 3

Agora vamos multiplicar cada área por sua respectiva coordenada x - e y - . Vamos começar pelo triângulo:

A 1 y - = h 2 h 3         →           A 1 y - = h 3 3

E o semicírculo fica assim:

A 2 y - = - π h 2 8 2 h 3 π     →           A 2 y - = - h 3 12

Então, a nossa tabela fica:

Vamos somar os valores que achamos:

∑ y - A = h 3 3 - h 3 12           →           ∑ y - A = h 3 4  

Passo 4

Agora é só aplicar a fórmula para acharmos a coordenada Y - do centróide da nossa figura:

Y - = ∑ y - A ∑ A         →       Y - = h 3 4 0,607 h 2

Y - = 0,412 h

Resposta

Y - = 0,412 h

Exercício Resolvido #4

Os dois segmentos superiores do conjunto de barras esbeltas uniformes, soldadas em Y , têm uma massa por unidade de comprimento de 0,3   k g / m , enquanto o segmento inferior tem uma massa de 0,5   k g / m . Localize o centro de massa do sistema.

Passo 1

Vamos separar as partes que compõe a nossa figura:

Passo 2

Vamos primeiro calcular a massa de uma das barras inclinadas. Perceba que elas têm um comprimento ( l ) de 30   m m = 0,03   m e que a massa de cada uma é dada por:

m = ρ l = 0,3 . 0,03 = 0,009   k g

E a posição do centro dessas barras? Vamos desenhar um triângulo:

A distância d vertical do centro:

y - 1 = d = 15 s e n 45 ° = 0,0106   m = 10,6   m m

Repare que a outra barra inclinada terá a mesma distância d para o seu centro:

y - 2 = 10,6   m m

Passo 3

E a barra vertical de baixo? A sua massa será de:

m = ρ d = 0,5 0,003 = 0,0150   k g

E a posição do seu centro de massa está na metade do seu comprimento:

y - 3 = - 15   m m

Repare que o sinal negativo é porque a coordenada y - 3 está posicionada na parte negativa do eixo y , ou seja, abaixo do zero.

Passo 4

Agora basta a gente usar a nossa fórmula de centro de massa para achar a coordenada Y - :

Y - = ∑ m i y - i ∑ m i

Assim:

Y - = 0,009 10,6 + 0,009 10,6 + 0,0150 - 15 0,009 + 0,009   + 0,0150

Y - = - 1,033   m m

Show de bola? Percebeu que não convertemos m m para m ? Isso porque todas as dimensões são dadas em m m !!!

Resposta

Y - = - 1,033   m m

Exercício Resolvido #5

A barragem de gravidade é feita de concreto. Determine a localização ( x - , y - ) do centro de gravidade G para a parede.

Passo 1

Vamos começar separando as figuras que compõem a parede e numerá-las:

Agora vamos achar a área de cada uma dessas partes:

  • Parte 1: é um retângulo, então vamos ter que:
  • A 1 = 0,4 3,6 = 1,44   m 2

  • Parte 2: temos agora um quadrado, então:
  • A 2 = 3 3 = 9   m 2

  • Parte 3: é um triângulo, então:
  • A 3 = ( 0,6 ) ( 3 ) 2 = 0,9   m 2

  • Parte 4: temos outro triângulo:
  • A 4 = ( 1,8 ) ( 3 ) 2 = 2,7   m 2

    Não esqueça que a área dos dois triângulos é negativa, pois estas duas figuras não fazem parte da parede, só criamos ela para facilitar nossos cálculos. Então, a nossa tabela fica assim:

    A área total será a soma das quatro áreas:

    ∑ A = 1,44 + 9 - 0,9 - 2,7       →         ∑ A = 6,84   m 2

    Passo 2

    Agora vamos calcular as coordenadas x - e y - do centróide de cada parte que compõe nossa figura. Não se esqueça de que temos que calcular tudo com relação ao eixo que foi dado no enunciado!

  • Parte 1:
  • Então:

    x - = 3,6 2 = 1,8   m

    y - = 0,4 2 = 0,2   m

  • Parte 2:
  • Então:

    x - = 0,6 + 3 2 = 2,1   m

    y - = 0,4 + 3 2 = 1,9   m

    Para as próximas partes, não podemos esquecer como se calcula as coordenadas do centróide de um triângulo:

  • Parte 3:
  • Então:

    x - = 0,6 + 2,4 + 2 ( 0,6 ) 3 = 3,4   m

    y - = 0,4 + 3 3 = 1,4   m

  • Parte 4:
  • Então:

    x - = 0,6 + ( 1,8 ) 3 = 1,2   m

    y - = 0,4 + 2 ( 3 ) 3 = 2,4   m

    Vamos colocar isso na nossa tabela:

    Passo 3

    Agora vamos multiplicar cada área por sua respectiva coordenadas x - e y - :

  • Parte 1:
  • A 1 x - = 1,44 1,8         →           A 1 x - = 2,592   m 3

    A 1 y - = 1,44 0,2         →           A 1 y - = 0,288   m 3

  • Parte 2:
  • A 2 x - = 9 2,1         →           A 2 x - = 18,9   m 3

    A 2 y - = 9 1,9         →           A 2 y - = 17,1   m 3

  • Parte 3:
  • A 3 x - = - 0,9 3,4         →           A 3 x - = - 3,06   m 3

    A 3 y - = - 0,9 1,4         →           A 3 y - = - 1,26   m 3

  • Parte 4:

A 4 x - = - 2,7 1,2         →           A 4 x - = - 3,24   m 3

A 4 y - = - 2,7 2,4         →           A 4 y - = - 6,48   m 3

Então, a nossa tabela fica assim:

Agora vamos somar os valores que achamos:

∑ x - A = 2,592 + 18,9 - 3,06 - 3,24           →           ∑ x - A = 15,192   m 3

E:

∑ y - A = 0,288 + 17,1 - 1,26 - 6,48           →           ∑ y - A = 9,648   m 3

Passo 2

Agora é só aplicar a fórmula para acharmos as coordenadas X - e Y - do centróide da nossa figura.

Então, para X - vamos ter que:

X - = ∑ x - A ∑ A         →       X - = 15,192   6,84

X - = 2,22   m

E para Y - vamos ter que:

Y - = ∑ y - A ∑ A         →       Y - = 9,648 6,84

Y - = 1,41   m

Resposta

X - = 2,22   m

Y - = 1,41   m

Exercício Resolvido #6

O hemisfério homogêneo cuja porção central foi removida, é representado abaixo. Determine a coordenada x do centro de massa do sistema.

Passo 1

O volume de uma esfera é dado por:

V = 4 π 3 R 3

Como estamos lidando com a metade de uma esfera de raio R , o volume será dado por:

V 1 = 2 π R 3 3

E seu centróide está localizado a uma distância do centro dada por:

x - = 3 R 8

Essa fórmula você pode encontrar em qualquer tabela!

Passo 2

Perceba que foi retirada uma semiesfera menor de raio R 2 da semiesfera maior. O volume desta semiesfera menor é:

V 2 = 2 π 3 R 2 3         →         V 2 = π R 3 12

Repare que este volume será negativo, pois estamos retirando a semiesfera menor da semiesfera maior.

E o seu centróide tem a seguinte coordenada x - :

x - = 3 8 R 2         →           x - = 3 R 16

Passo 3

Vamos montar a nossa tabela:

Precisamos terminar de preencher a tabela.

Vamos calcular o somatório dos volumes:

∑ V = 2 π R 3 3 - π R 3 12         →           ∑ V = 7 π R 3 12

Passo 4

Nossa tabela está assim:

Temos que multiplicar cada volume pela sua respectiva coordenada y - :

V 1 x - = 2 π R 3 3 3 R 8       →           V 1 x - = π R 4 4

E:

V 2 x - = - π R 3 12 3 R 16         →           V 2 x - = - π R 4 6 4

E o somatório destes dois valores que achamos é:

∑ V x - = V 1 x - + V 2 x -       →           ∑ V x - = π R 4 4 - π R 4 64

∑ V x - = 15 π R 4 64

Passo 5

Então, a nossa tabela ficou:

Agora é só aplicarmos nossa fórmula:

X - = ∑ V x - ∑ V           →           X - = 15 π R 4 64 7 π R 3 12

X - = 45 112 R

Resposta

X - = 45 112 R

Exercício Resolvido #7

Um instrumento que trabalha submerso é montado como mostrado na figura. Determine as coordenadas do centróide desse volume composto.

Passo 1

Vamos começar definindo cada parte que compõe este corpo. Vamos começar pelo paralelepípedo:

O seu volume será:

V 1 = 190 170 250           →           V 1 = 8075000   m m 3

Vamos analisar o cilindro maior:

O volume do cilindro é calculado através da seguinte fórmula:

V c i l i n d r o = π r 2 L