Teoria Completa
Introdução
Você já aprendeu a calcular o centróide de áreas, volumes ou massa de algumas figuras.
Mas as figuras eram simples. Concordo que não eram necessariamente fáceis, mas não tinha nenhum corpo mirabolante.
Agora lhe apresento com o que lidaremos neste tópico:
Perceba que esta figura é composta de várias formas geométricas conhecidas: tem um cilindro, um retângulo, uma metade de circunferência, um buraco em forma de triângulo...
Agora vamos aprender a lidar com isso aí! Partiu?
Calculando os centros de corpos compostos
Quando você se deparar com um corpo formado por várias figuras geométricas conhecidas (ele é chamado de corpo composto) podemos ser dividido-lo em suas partes conhecidas e achar o centróide de cada um delas.
Para calcular as coordenadas do centróide de um corpo composto, basta a gente usar os somatórios abaixo:
O que está dentro do somatório é a coordenada do centróide de cada parte que compõem o corpo e o representa a área dessas figuras conhecidas.
Também tem as coordenadas e :
Essas fórmulas acima são para o centróide de áreas, mas se você quiser achar o centróide para volumes e linhas é só trocar o por de volume ou de comprimento!
Corpos com Furos
Se o corpo apresentar um furo e esse furo tiver um formato conhecido como este do exemplo abaixo que tem uma forma de triângulo:
Devemos tratar a área do triângulo como negativa, pois ueremos retirá-la da nossa área total. Então, se a área vale , nós colocamos no somatório !
Exemplo
Para fazer os cálculos, facilita muito fazer esta tabela aqui:
Não esqueça de colocar tudo na mesma unidade.
Vamos calcular a coordenada do centroide desta figura aqui:
Primeira passo que temos que fazer é identificar as figuras conhecidas e nomeá-las:
Segundo passo é calcular a área de cada parte:
Mas não esqueça que a é um furo, logo sua área deve ser negativa. Então, a nossa tabela fica assim:
Repare que como não estamos calculando a coordenada , foram tiradas duas colunas da tabela.
Terceiro passo é identificar as coordenadas da cada uma das partes que forma a figura e ir completanto a tabela:
Repare que o centróide do retângulo fica no seu centro geométrico, ou seja, na metade da sua altura. Então, vamos completar a nossa tabela com a coordenada de cada parte:
Quarto passo é multiplicar a área de cada parte por sua respectiva coordenada :
Quinto passo é só aplicar a fórmula agora:
Sabendo que:
Então:
DICA: se uma figura for simétrica, o centroide sempre vai estar em cima do eixo de simetria da figura!
Então, é isso que vamos fazer nos exercícios!
Bora praticar!
Exercício Resolvido #1
Calcule a coordenada do centróide da área sombreada.
Passo 1
Nessa figura temos duas partes: um semicírculo e um furo de formato retangular. Então, vamos nomear as partes:
Passo 2
Agora temos que calcular a área de cada parte que compõe nossa figura. A parte é um semicírculo, então:
E a área da parte será:
Mas não se esqueça que como a área retangular é um furo, ela terá uma área negativa.
Nossa tabela fica assim, então:
Para achar o total é só subtrair a área do furo da área do semicírculo:
Passo 3
Perceba que a figura é simétrica em relação ao eixo , ou seja, a coordenada
Então só precisamos achar (e também foi o que a questão pediu!)
Aqui você precisa saber que o centróide de um semicírculo é dado pela seguinte fórmula (que você pode encontrar em qualquer tabela de centróide):
Então, substituindo , temos que:
E a coordenada de um retângulo nós sabemos que fica na metade de sua altura, então:
Vamos colocar esses valores na nossa tabela:
Passo 4
Agora temos que multiplicar cada coordenada pela sua respectiva área:
E:
Colocando isso na tabela, temos:
E o total é só somarmos os dois resultados, lembrando que é negativo!
Então:
Passo 5
Agora é só calcularmos a coordenada da nossa figura:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Determine as coordenadas de centróide da área trapezoidal mostrada.
Passo 1
O trapézio pode ser dividido em um retângulo e em um triângulo:
de área:
E um triângulo de área:
Passo 2
Vamos calcular agora a área de cada uma dessas partes. O retângulo tem área igual a:
E o triângulo tem área de:
Como não temos nenhum furo, nenhuma das áreas é negativa.
Vamos preencher a nossa tabela:
Assim, a área total será a soma das duas áreas:
Passo 3
Agora vamos calcular as coordenadas e do centróide de cada uma das partes que compõe o trapézio.
Vamos começar com o retângulo:
Sabemos que o centróide do retângulo está no seu centro geométrico, ou seja, está na metade da sua altura e está na metade do seu comprimento:
E:
Já o triângulo tem as coordenadas e do centróide à da base e da altura, respectivamente:
Então, no nosso caso, a coordenada será:
Repare que o eixo está afastado do triângulo e nossa coordenada sempre deve ser com relação ao eixo:
E a coordenada fica:
Vamos preencher nossa tabela agora:
Passo 4
Agora vamos multiplicar cada área por sua respectiva coordenada e . Vamos começar pelo retângulo:
E:
E para o triângulo vamos ter que:
E:
Vamos preencher a nossa tabela com esses valores que achamos:
Passo 5
Vamos somar os valores que achamos:
E:
Então, nossa tabela fica:
Passo 6
Então, a coordenada será:
E a coordenada do trapézio é:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Determine a coordenada do centróide da área sombreada em função de .
Passo 1
A nossa figura tem duas partes: um triângulo e um furo no formato de um semicírculo. Então, vamos começar pelo triângulo:
A área do triângulo é dada por:
Nossa segunda parte é um semicírculo:
E sua área é dada por:
Não esqueça que a área do semicírculo é negativa, pois ele é um furo. Então, a nossa tabela fica assim:
A área total será a soma das duas áreas:
Passo 2
Agora vamos calcular a coordenada do centróide de cada parte que compõe nossa figura. Vamos começar com o triângulo, mas para isso você tem que lembrar que a coordenada do centróide de um triângulo fica a da altura:
Então:
E o centróide do semicírculo é calculado pela seguinte fórmula:
Vamos colocar isso na nossa tabela:
Passo 3
Agora vamos multiplicar cada área por sua respectiva coordenada e . Vamos começar pelo triângulo:
E o semicírculo fica assim:
Então, a nossa tabela fica:
Vamos somar os valores que achamos:
Passo 4
Agora é só aplicar a fórmula para acharmos a coordenada do centróide da nossa figura:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Os dois segmentos superiores do conjunto de barras esbeltas uniformes, soldadas em , têm uma massa por unidade de comprimento de , enquanto o segmento inferior tem uma massa de Localize o centro de massa do sistema.