Teoria Completa
Introdução
Na maioria das questões de mecânica você tem uma estrutura e precisa saber onde posicionar a força peso, não é mesmo?
Se você tem uma figura geométrica simétrica e homogênea, como um quadrado, você sabe que tem que colocar a força peso no seu centro geométrico:
E se você tem uma figura diferente como esta aqui:
Onde posicionar a força peso?
É isso é o que vamos aprender nesse tópico: como calcular centros de corpos e até mesmo
Partiu?
Centro de gravidade
Centro de gravidade é o local onde o peso de um corpo está uniformemente distribuído. Por exemplo, no corpo humano o centro de gravidade é mais ou menos no umbigo!
Show de bola! Mas na mecânica o conceito de centro de gravidade não é tão utilizado assim. Nós vamos falar mais sobre centro de massa e centroide (que é o centro geométrico).
Por que disso?
O centro de gravidade leva em conta o campo gravitacional, enquanto o centro de massa leva em conta apenas a distribuição da massa pelo corpo. Como em 99,9999% dos problemas de mecânica envolvem campos gravitacionais uniformes, então o centro de massa e centro de gravidade coincidem.
Centro de massa
Na mecânica é muito importante saber o centro de massa de algumas figuras como: o retângulo, o triângulo e o círculo. Além disso, é importante saber calcular esse centro para outros formatos, como o nosso problema em questão:
Antes de fazermos esse problema, vamos focar em situações mais corriqueiras e menos complexas, como o retângulo e o triângulo.
Centroide
Quando falamos de figuras geométricas a gente também não precisa ficar pensando em termos de massa, porque normalmente a massa está distribuída uniformemente pelo corpo. Dessa forma, o centroide (que é o centro geométrico, ou baricentro) é o próprio centro de massa, que é o próprio centro de gravidade (no caso de campo gravitacional uniforme).
Então na maioria esmagadora das vezes nós podemos pensar da seguinte forma:
- Centro de massa de um retângulo.
- Já no caso de um triângulo nós vamos ter que o centroide está localizado no encontro das alturas. Perceba que o importante aqui é lembrar da relação .
Se nós tivermos um retângulo seu centroide estará localizado exatamente no meio da altura e da base:
Acredito que não tenha nenhum mistério até aqui.
Esses dois centroides são os mais utilizados com certeza. Mas agora acho que já da para resolver o nosso problema inicial vocês não acham?
Resolvendo com integral
Vamos olhar novamente o nosso probleminha:
Temos de achar o centro de massa desse corpo (ou centroide, ou centro de gravidade. Como temos uma figura homogênea e um campo gravitacional uniforme então fica tudo no mesmo local).
Talvez vocês se lembrem que é possível calcular o centro de massa de um sistema com de partículas da seguinte forma:
Quando a gente transforma isso em integral vamos ter:
Mas como a gente tá falando de uma figura geométrica e nem temos a massa, então vamos colocar em função da área:
E temos também a coordenada do centro de massa:
Onde cada termo e é o centroide de cada retângulinho infinitesimal. Olha só:
Com esse retângulo vertical a gente pode achar a coordenada vertical do nosso centroide, mas é importante saber a área. Então vamos calcular a área cinza primeiro:
Faz sentido né? o variando de até , agora só falta achar uma equação para . Se
Então:
Logo,
Pessoal, vamos achar o valor de para ficar mais fácil. No ponto o valor de é: . Portanto:
Substituindo na nossa equação:
Resolvendo:
Agora vamos calcular o ponto do centroide:
Substituindo o que já temos:
Aí aqui é importante prestar ATENÇÃO. é a própria altura do retângulo infinitesimal, só vamos transformar de para para resolver a equação. Já é o centroide do retângulo infinitesimal. Sendo assim,
Fazendo a substituição que já havíamos feito antes:
Então nossa integral será da forma:
Reorganizando:
Resolvendo, lembrando que os limites continuam sendo de a :
Então no nosso desenho o centro de massa vai ficar em algum ponto em cima da linha vermelha:
Repare que sabemos apenas a altura, não sabemos a posição . Para isso vamos fazer de forma análoga o cálculo da integral para dessa vez utilizando barrinhas horizontais:
Agora o termo de área é dado por:
Perceba que invertemos né? É legal perceber que não precisamos calcular a área toda novamente. Então a nossa equação vai ficar da forma:
O termo depende de da seguinte forma (aqui já vamos considerar ):
Mas e o termos ? Ele vai ser metade de :
Substituindo na equação:
Reorganizando e lembrando que a integral agora vai de até temos:
Resolvendo:
Maaaass tem um detalhe, esse valor de é quando medimos o centroide a partir do ponto então a localização do centroide é:
Prontinho!!! Achamos o nosso ponto exato do centro de massa:
Pessoal, só pra finalizar essa parte vou deixar uma tabelinha aqui com outras integrais úteis.
Outros tipos de centros
Exercício Resolvido #1
Determine as coordenadas do centróide da área sombreada.
Passo 1
Legal, o nosso primeiro passo é descobrir quem é
Para isso, perceba que para temos , então vamos pegar a equação da curva e substituir isso nela:
Assim, a equação da curva pode ser escrita assim:
Passo 2
Agora vamos calcular a área da região sombreada, vamos calcular a área a partir de retângulos horizontais infinitesimais, que tem a base igual a e altura igual a , como mostrado:
Observe que a área de cada retângulo é dada por:
Dessa forma vamos ter a área da figura como a integral desses retângulos:
Sabendo que é:
Vamos substituir isso dentro da nossa integral e resolver sabendo que varia de zero até :
Agora que temos a área vamos achar os centroides, lembrando que temos de achar o centroide para ambos os eixos e isso pode ser feito através das seguintes equações:
Passo 3
Agora vamos achar o Para isso, usamos:
O dentro desta integral indica a distância horizontal de cada retângulo infinitesimal que criamos até o nosso eixo, assim:
Isso porque sabemos que o centróide de um retângulo fica na metade do seu comprimento. Então, vamos ter que:
E ficamos então com:
Vamos resolver só a parte de cima da equação, para não ficar confuso:
Lembrando que , então:
Pronto, achamos a parte de cima da nossa equação:
Passo 4
Agora vamos calcular :
O é a distância vertical de cada retângulo infinitesimal até o eixo horizontal.
Sabendo que e , temos que:
Vamos novamente resolver só a parte de cima da equação e sabendo que varia de zero até , temos:
Pronto, agora podemos achar sabendo que já calculamos a área desta figura no :
Resposta
Exercício Resolvido #2
Determine a coordenada do centróide da área sob a curva senoidal mostrada.
Dica:
Passo 1
Vamos usar aqui novamente a nossa relação:
Passo 2
Nós podemos começar calculando a área
Mas quem é vale:
Mas sabemos a equação da curva:
Substituindo isso na equação de , temos que:
Então, sabendo que varia de zero até , a área fica:
Aplicando os limites até
Passo 3
Agora vamos calcular a parte de cima da equação de :
Perceba que , nesse caso, se refere à distância vertical do centroide de cada retângulo que criamos até o eixo horizontal.
Então:
Lembrando que , então podemos escrever:
O intervalo de integração de vai de zero até , então:
Aplicando a dica que foi dada no enunciado da questão:
Aqui eu usei a fórmula:
Assim:
Passo 4
Por fim, só aplicar:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Localize o centróide da área sombreada entre as duas curvas.
Passo 1
Em primeiro lugar, vamos escrever ambas as equações em função de . A primeira já está:
E a segunda equação fica assim:
Show de bola?
Passo 2
Agora vamos calcular a área da figura:
Perceba que a área vai ser o somatório tendendo ao infinito, ou seja, uma integral, dos pequenos retângulos. A área de cada retângulo, por sua vez, é dada por:
Mas o limite superior do retângulo é dado pela equação e o limite inferior pela equação , então podemos escrever que é a diferença entre as funções:
Como varia de zero até , podemos dizer que a área é:
Assim:
Agora podemos usar as duas relações abaixo:
Passo 3
Vamos então calcular primeiro .
O dessa equação, no caso, é o próprio já que a distância de cada retângulo infinitesimal até a origem é justamente
Lembrando que