Centros e Centróides

Teoria Completa

Introdução

Na maioria das questões de mecânica você tem uma estrutura e precisa saber onde posicionar a força peso, não é mesmo?

Se você tem uma figura geométrica simétrica e homogênea, como um quadrado:

Você sabe que tem que colocar a força peso no seu centro geométrico.

E se você tem uma figura diferente como esta aqui:

Onde posicionar a força peso?

É isso é o que vamos aprender nesse tópico: como calcular centros de corpos 2 D   e   3 D .

Partiu?

Centro de Gravidade

Um corpo é formado por infinitas partículas, não é mesmo? E cada partícula tem o seu tamanho e, portanto, sua massa. Se este corpo estiver em um lugar onde tenha a atuação da gravidade, então cada partícula terá um peso:

P = m g

Imagina o trabalho que seria representarmos o peso de um corpo através do peso de cada uma das infinitas (isso mesmo, eu disse INFINITAS!!!) partículas que o compõe. É por isso que temos o centro de gravidade...

Se pegarmos o peso de cada partícula e somarmos, teremos uma resultante que será o peso total do corpo... Mas onde posicionamos essa resultante? O ponto do corpo onde podemos colocar o seu peso total é chamado de centro de gravidade.

E como faço para achar as coordenadas x - e y - do centro de gravidade?

x - = ∫ x   d W W

y - = ∫ y   d W W

Mas e se meu corpo tiver três dimensões? É só você acrescentar a coordenada z - :

z - = ∫ z   d W W

Centro de Massa

Em dinâmica é importante saber a localização do centro de massa ( C M ). Além disso, se um corpo estiver em um lugar com campo gravitacional uniforme e paralelo, o centro de massa coincide com o centro de gravidade!

Para calcular a posição x - , y - e z - do centro de massa usamos essas equações aqui:

x - = ∫ x   d m m

y - = ∫ y   d m m

z - = ∫ z   d m m

Centróide de Linhas

Quando a massa específica ρ de um corpo for uniforme por todo o corpo, podemos nos preocupar apenas com a sua forma geométrica. Vamos chamar de centróide o centro geométrico de uma figura.

Se o corpo for um segmento de linha ou for uma barra, então podemos achar a posição do seu centroide assim?

x - = ∫ x   d L L

y - = ∫ y   d L L

z - = ∫ z   d L L

Centróide de um Volume

Se o seu corpo tiver três dimensões, vamos usar as seguintes equações:

x - = ∫ x   d V V

y - = ∫ y   d V V

z - = ∫ z   d V V

Centróide de uma Área

Se o corpo tiver duas dimensões e uma espessura bem pequena, podemos considera-lo como uma área e neste caso vamos usar as seguintes equações:

x - = ∫ x   d A A

y - = ∫ y   d A A

z - = ∫ z   d A A

Vamos pegar o nosso exemplo inicial:

Repare que este corpo é uma área. Então, como fazemos para achar o seu centroide?

Primeira coisa que temos que fazer é criar um retângulo com área d A , ou seja, uma das dimensões deve ser finita ( x ou y ) e a outra dimensão bem pequenininha ( d x ou d y ):

Vamos começar calculando a posição x - do centroide:

x - = ∫ x   d A A

Vamos começar calculando ∫ x   d A . Para isso, vamos substituir d A = y d x dentro da integral:

∫ x   d A = ∫ x   ( y d x )

Mas temos que deixar tudo em função de uma variável só. Como temos d x na integral, vamos deixar tudo em função de x . Repare na figura que foi dada a equação da curva que delimita a área:

x = k y 3

Então, vamos isolar o y nesta equação:

y = x k 1 / 3

E vamos trocar o y da nossa integral por esta equação aí:

∫ x   ( y d x )       →           ∫ x   x k 1 / 3 d x

Mas o que é este k ? É uma constante, então podemos tirá-la da integral:

1 k 1 / 3 ∫ x   x 1 / 3 d x           →             1 k 1 / 3 ∫   x 4 / 3 d x

O x varia de zero até a , então vamos integrar neste intervalo:

1 k 1 / 3 ∫ 0 a x 4 / 3 d x         →             1 k 1 / 3 x 7 3 7 3 | a 0

1 k 1 / 3 3 a 7 3 7

Sabemos que quando x = a temos que y = b , então vamos substituir isso na equação original da curva:

x = k y 3         →           a = k b 3

k = a b 3

Pronto, esse é o valor de k !

Substituindo isso na nossa equação:

1 k 1 / 3 3 a 7 3 7         →             1 a b 3 1 / 3 3 a 7 3 7

b a 1 / 3 3 a 7 3 7

b a 1 / 3 3 a 7 3 7

Então, vamos ter que:

b a 1 / 3 3 a 7 3 7         →             3 a 2 b 7

Isso é a parte de cima da nossa equação de x - . Falta a parte de baixo que é a área:

A = ∫ d A

Já sabemos que d A = y d x , então:

A = ∫ d A         →             A = ∫ y d x

E sabemos que: y = x k 1 / 3

Então:

A = ∫ y d x       →           A = ∫ x k 1 / 3 d x

A = 1 k 1 / 3 ∫ x 1 / 3 d x

Pronto, agora é só integrar:

A = 1 k 1 / 3 ∫ 0 a x 1 / 3 d x     →             A = 1 k 1 / 3 x 4 / 3 4 3 | 0 a

A = 1 k 1 / 3 3 a 4 / 3 4

Sabemos também o que é k , então:

A = 1 a b 3 1 / 3 3 a 4 / 3 4

A = b a 1 / 3 3 a 4 / 3 4

A = 3 a b 4

Pronto, agora podemos calcular x - :

x - = ∫ x   d A A             →             x - = 3 a 2 b 7 3 a b 4

x - = 4 a 7

Então, é esse o procedimento para achar as coordenadas do centroide. Neste nosso exemplo ficou faltando achar a coordenada y - , mas é o mesmo procedimento!

Mas vamos deixar para praticar nos exercícios!

Partiu?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 184, 5/6

Determine as coordenadas do centróide da área sombreada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Legal, o nosso primeiro passo é descobrir quem é k .

Para isso, perceba que para y = a , temos x = b , então vamos pegar a equação da curva e substituir isso nela:

x = k y 2       →         b = k a 2

k = b a 2

Assim, a equação da curva pode ser escrita assim:

x = b a 2 y 2

Passo 2

Agora vamos calcular a área da região sombreada:

Sabendo que d A = x d y , vamos ter que:

A = ∫ d A         →           A = ∫ x d y

Sabendo que x é:

x = b a 2 y 2

Vamos substituir isso dentro da nossa integral e resolver sabendo que