Centros e Centróides

Teoria Completa

Introdução

Na maioria das questões de mecânica você tem uma estrutura e precisa saber onde posicionar a força peso, não é mesmo?

Se você tem uma figura geométrica simétrica e homogênea, como um quadrado, você sabe que tem que colocar a força peso no seu centro geométrico:

E se você tem uma figura diferente como esta aqui:

Onde posicionar a força peso?

É isso é o que vamos aprender nesse tópico: como calcular centros de corpos 1 D ,     2 D   e até mesmo   3 D .

Partiu?

Centro de gravidade

Centro de gravidade é o local onde o peso de um corpo está uniformemente distribuído. Por exemplo, no corpo humano o centro de gravidade é mais ou menos no umbigo!

Show de bola! Mas na mecânica o conceito de centro de gravidade não é tão utilizado assim. Nós vamos falar mais sobre centro de massa e centroide (que é o centro geométrico).

Por que disso?

O centro de gravidade leva em conta o campo gravitacional, enquanto o centro de massa leva em conta apenas a distribuição da massa pelo corpo. Como em 99,9999% dos problemas de mecânica envolvem campos gravitacionais uniformes, então o centro de massa e centro de gravidade coincidem.

Centro de massa

Na mecânica é muito importante saber o centro de massa de algumas figuras como: o retângulo, o triângulo e o círculo. Além disso, é importante saber calcular esse centro para outros formatos, como o nosso problema em questão:

Antes de fazermos esse problema, vamos focar em situações mais corriqueiras e menos complexas, como o retângulo e o triângulo.

Centroide

Quando falamos de figuras geométricas a gente também não precisa ficar pensando em termos de massa, porque normalmente a massa está distribuída uniformemente pelo corpo. Dessa forma, o centroide (que é o centro geométrico, ou baricentro) é o próprio centro de massa, que é o próprio centro de gravidade (no caso de campo gravitacional uniforme).

Então na maioria esmagadora das vezes nós podemos pensar da seguinte forma:

  1. Centro de massa de um retângulo.
  2. Se nós tivermos um retângulo seu centroide estará localizado exatamente no meio da altura e da base:

    Acredito que não tenha nenhum mistério até aqui.

  3. Já no caso de um triângulo nós vamos ter que o centroide está localizado no encontro das alturas. Perceba que o importante aqui é lembrar da relação 1 / 3 : 2 / 3 .

Esses dois centroides são os mais utilizados com certeza. Mas agora acho que já da para resolver o nosso problema inicial vocês não acham?

Resolvendo com integral

Vamos olhar novamente o nosso probleminha:

Temos de achar o centro de massa desse corpo (ou centroide, ou centro de gravidade. Como temos uma figura homogênea e um campo gravitacional uniforme então fica tudo no mesmo local).

Talvez vocês se lembrem que é possível calcular o centro de massa de um sistema com n de partículas da seguinte forma:

x - = ∑ n ( m i . x - i ) ∑ n m i

Quando a gente transforma isso em integral vamos ter:

x - = ∫ x -   d m m

Mas como a gente tá falando de uma figura geométrica e nem temos a massa, então vamos colocar em função da área:

x - = ∫ x - i   d A A

E temos também a coordenada y do centro de massa:

y - = ∫ y - i   d A A

Onde cada termo x - i e y - i é o centroide de cada retângulinho infinitesimal. Olha só:

Com esse retângulo vertical a gente pode achar a coordenada vertical do nosso centroide, mas é importante saber a área. Então vamos calcular a área cinza primeiro:

A = ∫ d A = ∫ 0 8 y   d x

Faz sentido né? o x variando de 0 até 8 , agora só falta achar uma equação para y . Se

x = k y 3

Então:

y = x k 1 3

Logo,

A = ∫ 0 8 x k 1 3   d x

Pessoal, vamos achar o valor de k para ficar mais fácil. No ponto x = 8 o valor de y é: y = 2 . Portanto:

x = k y 3

8 = k 2 3

k = 1

Substituindo na nossa equação:

A = ∫ 0 8 x 1 3   d x

Resolvendo:

A = 3 4 x 4 3 0 8

A = 12

Agora vamos calcular o ponto y do centroide:

y - = ∫ y - i   d A A

Substituindo o que já temos:

y - = ∫ y - i   y   d x 12

Aí aqui é importante prestar ATENÇÃO. y é a própria altura do retângulo infinitesimal, só vamos transformar de y para x para resolver a equação. Já y - i é o centroide do retângulo infinitesimal. Sendo assim,

y - i = y 2

Fazendo a substituição que já havíamos feito antes:

y = x 1 3

Então nossa integral será da forma:

y - = ∫ x 1 3 2 .   x 1 3     d x 12

Reorganizando:

y - = 1 24 ∫ x 2 3     d x

Resolvendo, lembrando que os limites continuam sendo de 0 a 8 :

y - = 1 24 3 5 x 5 3 0 8

y - = 0,8

Então no nosso desenho o centro de massa vai ficar em algum ponto em cima da linha vermelha:

Repare que sabemos apenas a altura, não sabemos a posição x . Para isso vamos fazer de forma análoga o cálculo da integral para x - dessa vez utilizando barrinhas horizontais:

Agora o termo de área é dado por:

d A = x   d y

Perceba que invertemos né? É legal perceber que não precisamos calcular a área toda novamente. Então a nossa equação vai ficar da forma:

x - = ∫ x - i   d A A

x - = ∫ x - i   x   d y 12

O termo x depende de y da seguinte forma (aqui já vamos considerar k = 1 ):

x = y 3

Mas e o termos x - i ? Ele vai ser metade de x :

x - i = x 2 = y 3 2

Substituindo na equação:

x - = ∫ y 3 2   y 3   d y 12

Reorganizando e lembrando que a integral agora vai de 0 até 2 temos:

x - = 1 24 ∫ 0 2 2 y 3   d y

Resolvendo:

x - = 1 24 y 4 2 0 2

x - = 0,333

Maaaass tem um detalhe, esse valor de 0,3333 é quando medimos o centroide a partir do ponto x = 8 então a localização do centroide é:

x - = 8 - 0,333 = 7,667

Prontinho!!! Achamos o nosso ponto exato do centro de massa:

Pessoal, só pra finalizar essa parte vou deixar uma tabelinha aqui com outras integrais úteis.

Outros tipos de centros

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 184, 5/6

Determine as coordenadas do centróide da área sombreada.

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Passo 1

Legal, o nosso primeiro passo é descobrir quem é k .

Para isso, perceba que para y = a , temos x = b , então vamos pegar a equação da curva e substituir isso nela:

x = k y 2       →         b = k a 2

k = b a 2

Assim, a equação da curva pode ser escrita assim:

x = b a 2 y 2

Passo 2

Agora vamos calcular a área da região sombreada, vamos calcular a área a partir de retângulos horizontais infinitesimais, que tem a base igual a x e altura igual a d y , como mostrado:

Observe que a área de cada retângulo é dada por:

d A = x d y

Dessa forma vamos ter a área da figura como a integral desses retângulos:

A = ∫ d A

A = ∫ x d y

Sabendo que x é:

x = b a 2 y 2

Vamos substituir isso dentro da nossa integral e resolver sabendo que y varia de zero até a :

A = ∫ 0 a b a 2 y 2 d y

A = b a 2 y 3 3 | 0 a

A = 1 3 a b

Agora que temos a área vamos achar os centroides, lembrando que temos de achar o centroide para ambos os eixos e isso pode ser feito através das seguintes equações:

x - = ∫ x   d A A        

y - = ∫ y   d A A        

Passo 3

Agora vamos achar o x - . Para isso, usamos:

x - = ∫ x   d A A        

O x dentro desta integral indica a distância horizontal de cada retângulo infinitesimal que criamos até o nosso eixo, assim:

Isso porque sabemos que o centróide de um retângulo fica na metade do seu comprimento. Então, vamos ter que:

x - = ∫ x 2 d A A

E d A = x d y ficamos então com:

x - = ∫ x 2 d A A           →             x - = ∫ x 2 x d y A

Vamos resolver só a parte de cima da equação, para não ficar confuso:

∫ x 2 x d y = ∫ x 2 2 d y      

Lembrando que x = b a 2 y 2 , então:

          ∫ 0 a 1 2 b a 2 y 2 2 d y

b 2 2 a 4 ∫ 0 a y 4 d y = b 2 2 a 4 y 5 5 | 0 a

b 2 2 a 4 a 5 5 = b 2 a 10

Pronto, achamos a parte de cima da nossa equação:

x - = ∫ x   d A A             →             x - = b 2 a 10 1 3 a b

x - = 3 b 10

Passo 4

Agora vamos calcular y - :

y - = ∫ y d A A

O y é a distância vertical de cada retângulo infinitesimal até o eixo horizontal.

Sabendo que d A = x d y e x = b a 2 y 2 , temos que:

y - = ∫ y d A A           →             y - = ∫ y x d y A

y - = ∫ y b a 2 y 2 d y A

Vamos novamente resolver só a parte de cima da equação e sabendo que y varia de zero até a , temos:

∫ y x d y = ∫ 0 a y . b a 2 y 2 d y

∫ 0 a b a 2 y 3 d y = b a 2 ∫ 0 a y 3 d y

b a 2 y 4 4 | 0 a = b a 2 a 4 4 = a 2 b 4

Pronto, agora podemos achar y - sabendo que já calculamos a área desta figura no p a s s o   1 :

y - = ∫ y d A A           →             y - = a 2 b 4 1 3 a b

y - = 3 a 4

Resposta

x - = 3 b 10

y - = 3 a 4

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 184, 5/7

Determine a coordenada y do centróide da área sob a curva senoidal mostrada.

Dica: ∫ s e n 2 x = - 1 4 s e n 2 x + x 2 + c  

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Passo 1

Vamos usar aqui novamente a nossa relação:

y - = ∫ y d A A

y - . A = ∫ y d A

Passo 2

Nós podemos começar calculando a área A :

A = ∫ d A

Mas quem é d A ? d A vale:

d A = y d x

Mas sabemos a equação da curva:

y = a s e n π x b

Substituindo isso na equação de d A , temos que:

d A = y d x         →           d A = a s e n π x b d x

Então, sabendo que x varia de zero até b , a área fica:

A = ∫ d A         →           A = ∫ 0 b a s e n π x b d x

A = - a b π cos ⁡ π x b | 0 b

Aplicando os limites 0   até   b :

A = - a b π cos ⁡ π b b + a b π cos ⁡ 0

A = 2 a b π

Passo 3

Agora vamos calcular a parte de cima da equação de y - :

∫ y d A

Perceba que y , nesse caso, se refere à distância vertical do centroide de cada retângulo que criamos até o eixo horizontal.

Então:

y = y 2 = a 2 s e n π x b

Lembrando que d A = a s e n π x b d x , então podemos escrever:

∫ y d A = ∫ a 2 s e n π x b a s e n π x b d x

O intervalo de integração de y vai de zero até b , então:

∫ y d A = ∫ 0 b a 2 2 s e n 2 π x b d x

Aplicando a dica que foi dada no enunciado da questão:

∫ 0 b a 2 2 s e n 2 π x b d x = a 2 2 ∫ 0 b s e n 2 π x b d x = a 2 2 - b 4 π s e n 2 π x b + x 2 0 b

Aqui eu usei a fórmula:

s e n 2 π x b = 1 - cos ⁡ 2 π x b 2

Assim:

∫ 0 b a 2 2 s e n 2 π x b d x = a 2 2 - b 4 π s e n 2 π + b 4 π s e n 0 + b 2 - 0 2

a 2 2 b 2 = a 2 b 4

Passo 4

Por fim, só aplicar:

y - = ∫ y d A A           →             y - = a 2 b 4 2 a b π

y - = π a 8

Resposta

y - = π a 8

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 184, 5/29

Localize o centróide da área sombreada entre as duas curvas.

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Passo 1

Em primeiro lugar, vamos escrever ambas as equações em função de x . A primeira já está:

y = x 3 4

E a segunda equação fica assim:

x = y 2 2         →       y = 2 x

Show de bola?

Passo 2

Agora vamos calcular a área da figura:

Perceba que a área vai ser o somatório tendendo ao infinito, ou seja, uma integral, dos pequenos retângulos. A área de cada retângulo, por sua vez, é dada por:

d A = y d x

Mas o limite superior do retângulo é dado pela equação y = 2 x e o limite inferior pela equação y = x 3 4 , então podemos escrever que y é a diferença entre as funções:

d A = 2 x - x 3 4 d x

Como x varia de zero até 2 , podemos dizer que a área é:

A = ∫ d A       →       ∫ 0 2 2 x - x 3 4 d x

A = 2 2 3 x 3 2 - x 4 16 | 0 2

Assim:

A = 2 2 3 x 3 2 - x 4 16 | 0 2           →       A = 5 3

Agora podemos usar as duas relações abaixo:

x - = ∫ x d A A

y - = ∫ ( y d A ) A

Passo 3

Vamos então calcular primeiro ∫ x d A .

O x dessa equação, no caso, é o próprio x , já que a distância de cada retângulo infinitesimal até a origem é justamente x :

Lembrando que d A = 2 x - x 3 4 d x