Centros e Centróides

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Teoria

Introdução

Na maioria das questões de mecânica você tem uma estrutura e precisa saber onde posicionar a força peso, não é mesmo?

Se você tem uma figura geométrica simétrica e homogênea, como um quadrado, você sabe que tem que colocar a força peso no seu centro geométrico:

E se você tem uma figura diferente como esta aqui:

Onde posicionar a força peso?

É isso é o que vamos aprender nesse tópico: como calcular centros de corpos 1 D ,     2 D   e até mesmo   3 D .

Partiu?

Centro de gravidade

Centro de gravidade é o local onde o peso de um corpo está uniformemente distribuído. Por exemplo, no corpo humano o centro de gravidade é mais ou menos no umbigo!

Show de bola! Mas na mecânica o conceito de centro de gravidade não é tão utilizado assim. Nós vamos falar mais sobre centro de massa e centroide (que é o centro geométrico).

Por que disso?

O centro de gravidade leva em conta o campo gravitacional, enquanto o centro de massa leva em conta apenas a distribuição da massa pelo corpo. Como em 99,9999% dos problemas de mecânica envolvem campos gravitacionais uniformes, então o centro de massa e centro de gravidade coincidem.

Centro de massa

Na mecânica é muito importante saber o centro de massa de algumas figuras como: o retângulo, o triângulo e o círculo. Além disso, é importante saber calcular esse centro para outros formatos, como o nosso problema em questão:

Antes de fazermos esse problema, vamos focar em situações mais corriqueiras e menos complexas, como o retângulo e o triângulo.

Centroide

Quando falamos de figuras geométricas a gente também não precisa ficar pensando em termos de massa, porque normalmente a massa está distribuída uniformemente pelo corpo. Dessa forma, o centroide (que é o centro geométrico, ou baricentro) é o próprio centro de massa, que é o próprio centro de gravidade (no caso de campo gravitacional uniforme).

Então na maioria esmagadora das vezes nós podemos pensar da seguinte forma:

  1. Centro de massa de um retângulo.
  2. Se nós tivermos um retângulo seu centroide estará localizado exatamente no meio da altura e da base:

    Acredito que não tenha nenhum mistério até aqui.

  3. Já no caso de um triângulo nós vamos ter que o centroide está localizado no encontro das alturas. Perceba que o importante aqui é lembrar da relação 1 / 3 : 2 / 3 .

Esses dois centroides são os mais utilizados com certeza. Mas agora acho que já da para resolver o nosso problema inicial vocês não acham?

Resolvendo com integral

Vamos olhar novamente o nosso probleminha:

Temos de achar o centro de massa desse corpo (ou centroide, ou centro de gravidade. Como temos uma figura homogênea e um campo gravitacional uniforme então fica tudo no mesmo local).

Talvez vocês se lembrem que é possível calcular o centro de massa de um sistema com n de partículas da seguinte forma:

x - = ∑ n ( m i . x - i ) ∑ n m i

Quando a gente transforma isso em integral vamos ter:

x - = ∫ x -   d m m

Mas como a gente tá falando de uma figura geométrica e nem temos a massa, então vamos colocar em função da área:

x - = ∫ x - i   d A A

E temos também a coordenada y do centro de massa:

y - = ∫ y - i   d A A

Onde cada termo x - i e y - i é o centroide de cada retângulinho infinitesimal. Olha só:

Com esse retângulo vertical a gente pode achar a coordenada vertical do nosso centroide, mas é importante saber a área. Então vamos calcular a área cinza primeiro:

A = ∫ d A = ∫ 0 8 y   d x

Faz sentido né? o x variando de 0 até 8 , agora só falta achar uma equação para y . Se

x = k y 3

Então:

y = x k 1 3

Logo,

A = ∫ 0 8 x k 1 3   d x

Pessoal, vamos achar o valor de k para ficar mais fácil. No ponto x = 8 o valor de y é: y = 2 . Portanto:

x = k y 3

8 = k 2 3

k = 1

Substituindo na nossa equação:

A = ∫ 0 8 x 1 3   d x

Resolvendo:

A = 3 4 x 4 3 0 8

A = 12

Agora vamos calcular o ponto y do centroide:

y - = ∫ y - i   d A A

Substituindo o que já temos:

y - = ∫ y - i   y   d x 12

Aí aqui é importante prestar ATENÇÃO. y é a própria altura do retângulo infinitesimal, só vamos transformar de y para x para resolver a equação. Já y - i é o centroide do retângulo infinitesimal. Sendo assim,

y - i = y 2

Fazendo a substituição que já havíamos feito antes:

y = x 1 3

Então nossa integral será da forma:

y - = ∫ x 1 3 2 .   x 1 3     d x 12

Reorganizando:

y - = 1 24 ∫ x 2 3     d x

Resolvendo, lembrando que os limites continuam sendo de 0 a 8 :

y - = 1 24 3 5 x 5 3 0 8

y - = 0,8

Então no nosso desenho o centro de massa vai ficar em algum ponto em cima da linha vermelha:

Repare que sabemos apenas a altura, não sabemos a posição x . Para isso vamos fazer de forma análoga o cálculo da integral para x - dessa vez utilizando barrinhas horizontais:

Agora o termo de área é dado por:

d A = x   d y

Perceba que invertemos né? É legal perceber que não precisamos calcular a área toda novamente. Então a nossa equação vai ficar da forma:

x - = ∫ x - i   d A A

x - = ∫ x - i   x   d y 12

O termo x depende de y da seguinte forma (aqui já vamos considerar k = 1 ):

x = y 3

Mas e o termos x - i ? Ele vai ser metade de x :

x - i = x 2 = y 3 2

Substituindo na equação:

x - = ∫ y 3 2   y 3   d y 12

Reorganizando e lembrando que a integral agora vai de 0 até 2 temos:

x - = 1 24 ∫ 0 2 y 6   d y

Resolvendo:

x - = 1 24 y 7 7 0 2

x - = 0 , 762

Maaaass tem um detalhe, esse valor de 0 , 762 é quando medimos o centroide a partir do ponto x = 8 então a localização do centroide é:

x - = 8 - 0 , 762 = 7 , 238

Prontinho!!! Achamos o nosso ponto exato do centro de massa:

Pessoal, só pra finalizar essa parte vou deixar uma tabelinha aqui com outras integrais úteis.

Outros tipos de centros

Centro de massa

Centroide

Resolvendo com integral

Outros tipos de centros

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine as coordenadas do centróide da área sombreada.

Passo 1

Legal, o nosso primeiro passo é descobrir quem é k .

Para isso, perceba que para y = a , temos x = b , então vamos pegar a equação da curva e substituir isso nela:

x = k y 2       →         b = k a 2

k = b a 2

Assim, a equação da curva pode ser escrita assim:

x = b a 2 y 2

Passo 2

Agora vamos calcular a área da região sombreada, vamos calcular a área a partir de retângulos horizontais infinitesimais, que tem a base igual a x e altura igual a d y , como mostrado:

Observe que a área de cada retângulo é dada por:

d A = x d y

Dessa forma vamos ter a área da figura como a integral desses retângulos:

A = ∫ d A

A = ∫ x d y

Sabendo que x é:

x = b a 2 y 2

Vamos substituir isso dentro da nossa integral e resolver sabendo que y varia de zero até a :

A = ∫ 0 a b a 2 y 2 d y

A = b a 2 y 3 3 | 0 a

A = 1 3 a b

Agora que temos a área vamos achar os centroides, lembrando que temos de achar o centroide para ambos os eixos e isso pode ser feito através das seguintes equações:

x - = ∫ x   d A A        

y - = ∫ y   d A A        

Passo 3

Agora vamos achar o x - . Para isso, usamos:

x - = ∫ x   d A A        

O x dentro desta integral indica a distância horizontal de cada retângulo infinitesimal que criamos até o nosso eixo, assim:

Isso porque sabemos que o centróide de um retângulo fica na metade do seu comprimento. Então, vamos ter que:

x - = ∫ x 2 d A A

E d A = x d y ficamos então com:

x - = ∫ x 2 d A A           →             x - = ∫ x 2 x d y A

Vamos resolver só a parte de cima da equação, para não ficar confuso:

∫ x 2 x d y = ∫ x 2 2 d y      

Lembrando que x = b a 2 y 2 , então:

          ∫ 0 a 1 2 b a 2 y 2 2 d y

b 2 2 a 4 ∫ 0 a y 4 d y = b 2 2 a 4 y 5 5 | 0 a

b 2 2 a 4 a 5 5 = b 2 a 10

Pronto, achamos a parte de cima da nossa equação:

x - = ∫ x   d A A             →             x - = b 2 a 10 1 3 a b

x - = 3 b 10

Passo 4

Agora vamos calcular y - :

y - = ∫ y d A A

O y é a distância vertical de cada retângulo infinitesimal até o eixo horizontal.

Sabendo que d A = x d y e x = b a 2 y 2 , temos que:

y - = ∫ y d A A           →             y - = ∫ y x d y A

y - = ∫ y b a 2 y 2 d y A

Vamos novamente resolver só a parte de cima da equação e sabendo que y varia de zero até a , temos:

∫ y x d y = ∫ 0 a y . b a 2 y 2 d y

∫ 0 a b a 2 y 3 d y = b a 2 ∫ 0 a y 3 d y

b a 2 y 4 4 | 0 a = b a 2 a 4 4 = a 2 b 4

Pronto, agora podemos achar y - sabendo que já calculamos a área desta figura no p a s s o   1 :

y - = ∫ y d A A           →             y - = a 2 b 4 1 3 a b

y - = 3 a 4

Resposta

x - = 3 b 10

y - = 3 a 4

Exercício Resolvido #2

Determine a coordenada y do centróide da área sob a curva senoidal mostrada.

Dica: ∫ s e n 2 x = - 1 4 s e n 2 x + x 2 + c  

Passo 1

Vamos usar aqui novamente a nossa relação:

y - = ∫ y d A A

y - . A = ∫ y d A

Passo 2

Nós podemos começar calculando a área A :

A = ∫ d A

Mas quem é d A ? d A vale:

d A = y d x

Mas sabemos a equação da curva:

y = a s e n π x b

Substituindo isso na equação de d A , temos que:

d A = y d x         →           d A = a s e n π x b d x

Então, sabendo que x varia de zero até b , a área fica:

A = ∫ d A         →           A = ∫ 0 b a s e n π x b d x

A = - a b π cos ⁡ π x b | 0 b

Aplicando os limites 0   até   b :

A = - a b π cos ⁡ π b b + a b π cos ⁡ 0

A = 2 a b π

Passo 3

Agora vamos calcular a parte de cima da equação de y - :

∫ y d A

Perceba que y , nesse caso, se refere à distância vertical do centroide de cada retângulo que criamos até o eixo horizontal.

Então:

y = y 2 = a 2 s e n π x b

Lembrando que d A = a s e n π x b d x , então podemos escrever:

∫ y d A = ∫ a 2 s e n π x b a s e n π x b d x

O intervalo de integração de y vai de zero até b , então:

∫ y d A = ∫ 0 b a 2 2 s e n 2 π x b d x

Aplicando a dica que foi dada no enunciado da questão:

∫ 0 b a 2 2 s e n 2 π x b d x = a 2 2 ∫ 0 b s e n 2 π x b d x = a 2 2 - b 4 π s e n 2 π x b + x 2 0 b

Aqui eu usei a fórmula:

s e n 2 π x b = 1 - cos ⁡ 2 π x b 2

Assim:

∫ 0 b a 2 2 s e n 2 π x b d x = a 2 2 - b 4 π s e n 2 π + b 4 π s e n 0 + b 2 - 0 2

a 2 2 b 2 = a 2 b 4

Passo 4

Por fim, só aplicar:

y - = ∫ y d A A           →             y - = a 2 b 4 2 a b π

y - = π a 8

Resposta

y - = π a 8

Exercício Resolvido #3

Localize o centróide da área sombreada entre as duas curvas.

Passo 1

Em primeiro lugar, vamos escrever ambas as equações em função de x . A primeira já está:

y = x 3 4

E a segunda equação fica assim:

x = y 2 2         →       y = 2 x

Show de bola?

Passo 2

Agora vamos calcular a área da figura:

Perceba que a área vai ser o somatório tendendo ao infinito, ou seja, uma integral, dos pequenos retângulos. A área de cada retângulo, por sua vez, é dada por:

d A = y d x

Mas o limite superior do retângulo é dado pela equação y = 2 x e o limite inferior pela equação y = x 3 4 , então podemos escrever que y é a diferença entre as funções:

d A = 2 x - x 3 4 d x

Como x varia de zero até 2 , podemos dizer que a área é:

A = ∫ d A       →       ∫ 0 2 2 x - x 3 4 d x

A = 2 2 3 x 3 2 - x 4 16 | 0 2

Assim:

A = 2 2 3 x 3 2 - x 4 16 | 0 2           →       A = 5 3

Agora podemos usar as duas relações abaixo:

x - = ∫ x d A A

y - = ∫ ( y d A ) A

Passo 3

Vamos então calcular primeiro ∫ x d A .

O x dessa equação, no caso, é o próprio x , já que a distância de cada retângulo infinitesimal até a origem é justamente x :

Lembrando que d A = 2 x - x 3 4 d x , então:

∫ x d A = ∫ 0 2 x 2 x - x 3 4 d x

Resolvendo isso, temos que:

∫ 0 2 x 2 x - x 3 4 d x = 2 2 5 x 5 2 - x 5 20 | 0 2 = 8 5

Passo 4

Agora vamos calcular ∫ y d A :

Como estamos lidando agora com a componente vertical, cada y vai ser a média das funções:

y = y 1 + y 2 2 = 1 2 2 x + x 3 4

Assim:

∫ y d A = ∫ 0 2 y 1 + y 2 2 d A

E sabemos que d A = 2 x - x 3 4 d x , então:

∫ y d A = ∫ 0 2 1 2 2 x + x 3 4 2 x - x 3 4 d x

Lembra disso aqui:

a + b . a - b = a 2 - b 2

Vamos usar isso para os termos dentro da integral:

Ficamos com isso aqui:

∫ y d A = ∫ 0 2 1 2 2 x - x 6 16 d x

∫ y d A = ∫ 0 2 x - x 6 32 d x = x 2 2 - x 7 224 | 0 2

∫ y d A = 10 7

Passo 5

Pronto! Agora é só aplicar:

x - = ∫ x d A A

x - = 8 5 5 3         →       x - = 24 25

E:

y - = ∫ ( y d A ) A

y - = 10 7 5 3         →         y - = 30 35 = 6 7

Resposta

x - = 24 25

y - = 6 7

Exercício Resolvido #4

Calcule a distância h - medida desde a base até o centróide do volume do cone truncado.

Passo 1

Vamos desenhar um esquema do cone:

Repare que a orientação de z aponta para baixo.

Depois voltaremos para ele. Vamos agora calcular o volume.

Para isso vamos criar um círculo de raio y e espessura infinitesimal d z :

d V = π y 2 d z

Agora, para se calcular y , temos que escrever uma função y em função de z .

Passo 2

Note que o contorno do cone é uma reta. Vamos girar a figura para facilitar a visualização:

Perceba que y cresce conforme z cresce, sendo r o y m á x , e 0 o y m í n .

Assim, sendo:

y = a z + b

Para z = 0 , temos que y = 0 :

y = a z + b       →           0 = a . 0 + b

b = 0

E quando z = h , temos que y = r :

y = a z       →         r =   a h

a = r h

Assim:

y = a z +   b         →         y = r h z

Passo 3