Teorema de Pappus

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Teoria

E aí, seja bem vindo ao Responde Aí!

Os teoremas de Pappus (ou Teoremas de Papo) nos ajudam a achar a área e o volume dos sólidos de revolução.

ó
ó

Quer entender melhor de onde vieram essa fórmulas, e aprender como usar os Teoremas de Pappus? Então é só ficar aqui nessa aula com a gente!

Sólidos de revolução

Existem certos corpos que podem ser obtidos pela rotação de uma figura em torno de um eixo. Esse é o caso de um toróide:

Toroide
Toroide

Se olharmos uma seção do toróide vemos um círculo, não é mesmo?

Formação do toroide
Formação do toroide

Perceba que se girarmos esse círculo em torno do eixo teremos formado um toroide!

Mas como a gente calcula a área de superfície e o volume desse toroide? Imagina só o trabalhão que deve ser aplicar uma integral nisso daí?!

Mas graças aos Teoremas de Pappus, a gente pode calcular a geometria de sólidos de revolução com facilidade.

Teorema de Pappus para a área superficial

Para achar a área superficial de um corpo que seja gerado através da rotação de uma figura em relação a um eixo que não intercepte esta figura, iremos usar esta fórmula aqui:

ó

Onde:

  • O é a distância do centroide da figura que vai girar até o eixo em torno do qual ela está girando;
  • O é o perímetro, ou contorno, da figura vai girar.

Se estivéssemos calculando a área da superfície do toroide, o seria:

Distancia eixo-centroide
Distancia eixo-centroide

E como é o perímetro, neste caso é só calcular o comprimento do círculo:

Beleza?

Então, lembre-se: você sempre vai calcular primeiro o centróide da figura, por meio dos métodos que já vimos, e depois calcular o seu perímetro.

Teorema de Pappus para o Volume

Se quisermos calcular o volume, vamos usar esta fórmula aqui:

ó

Onde

  • O continua sendo a distância do centróide da figura até o eixo em torno do qual a figura gira.
  • O é a área da região que vai gerar o sólido.

No nosso exemplo do toróide, o seria a área do círculo que ao girar em torno do eixo forma o sólido:

Área do círculo
Área do círculo

Teoremas de Pappus: Caso Geral

E se quisermos gerar um corpo rodando-o apenas ? Ou ? Pode?

Claro que sim! Nesse caso, usamos as fórmulas:

ó
ó

O é o ângulo que você gira sua figura para gerar o corpo, mas esse ângulo deve estar em radianos!!!

Viu só! Os Teoremas de Pappus são fáceis de aplicar e super úteis!

Mas pra garantir aquele 10, que tal ver um vídeo sobre o Teorema de Pappus?!

Teorema de Pappus para a área superficial

Teorema de Pappus para o Volume

Teoremas de Pappus: Caso Geral

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Usando os métodos desta seção determine a área superficial A e o volume V do corpo formado pela revolução da área retangular por 360 ° em torno do eixo z .

Passo 1

Este corpo é formado quando giramos esta área retangular por 360 ° em torno do eixo z :

Então, para acharmos a área superficial basta aplicarmos a nossa fórmula de área:

A = 2 π r - L

Precisamos calcular r - e o perímetro L da figura.

Passo 2

O r - é o quanto o centróide do retângulo está afastado do eixo em que a figura gira, neste nosso caso é o eixo z . O centróide de um retângulo fica no seu centro geométrico, então vamos ter que:

Então, r - será:

r - = 18 + 6 2           →           r - = 21   m m

Passo 3

Agora vamos calcular o perímetro L do retângulo que dá origem ao nosso corpo:

Então, vamos ter que:

L = 6 + 6 + 4 + 4         →           L = 20   m m

Passo 4

Agora sim podemos calcular a área superficial do corpo:

A = 2 π r - L       →           A = 2 π ( 21 ) ( 20 )

A = 2640   m m 2

Passo 5

Vamos calcular agora o volume deste corpo. Para isso, precisamos aplicar esta fórmula aqui:

V = 2 π r - A

Já sabemos r - :

r - = 21   m m

Precisamos calcular a área do nosso retângulo:

A = 6 4     →         A = 24   m m 2

Então, o volume do corpo é:

V = 2 π r - A       →         V = 2 π ( 21 ) ( 24 )

V = 3170   m m 3  

Resposta

A = 2640   m m 2

V = 3170   m m 3

Exercício Resolvido #2

O arco circular é girado de 360 ° em torno do eixo y . Determine a área superficial externa S do corpo resultante, que é uma parte de uma esfera.

Passo 1

Primeiro precisamos saber a distância entre o centróide do semicírculo e o eixo y . Para isso, vamos usar a seguinte fórmula:

x - = a s e n θ θ

O ângulo θ é de 30 ° , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de 3 sabendo que 180 ° corresponde a π radianos:

180 °       →           π 30 °       →               θ

θ = π 6

Agora sim podemos calcular a coordenada x - do centróide:

x - = a s e n π 6 π 6       →           x - = a 1 2 π 6

x - = 3 a π

Passo 2

Então, vamos usar a nossa fórmula para calcular a área da superfície:

A = 2 π r - L

O r - é a distância do centróide até o eixo em torno do qual a figura gira que é o eixo y . Repare que o r - é igual a x - :

r - = x - = 3 a π

E L é o perímetro. O perímetro de um círculo completo, ou seja, com 360 ° é calculado por 2 π r . Então, o comprimento para 30 ° é só fazermos uma regra de 3 :

360 °       →         2 π r 30 °       →               L

L = π r 6

Então, o comprimento L da nossa figura é:

L = π r 6       →         L = π a 6

Então, a área superficial é:

A = 2 π r - L       →         A = 2 π 3 a π π a 6

A = π a 2

Como são dois setores com 30 ° :

A T = 2 A = 2 π a 2

Resposta

A T = 2 π a 2

Exercício Resolvido #3

A área de um setor circular é girada de 180 ° em torno do eixo y . Determine o volume do corpo resultante, o qual é parte de uma esfera.

Passo 1

Primeiro vamos calcular a distância do centróide até o eixo y .

Para isso, vamos usar a fórmula de centróide da área de um setor circular:

x - = 2 R 3 s e n θ θ

O ângulo θ é de 30 ° , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de 3 sabendo que 180 ° corresponde a π radianos:

180 °       →           π 30 °       →               θ

θ = π 6

Agora sim podemos calcular a coordenada x - do centróide:

x - = 2 a 3 s e n π 6 π 6 = 2 a π

Passo 2

Esse vai ser nada mais nada menos que o nosso r - :

r - = x -

E quando vale a nossa área?

Basta ver que esse setor circular tem uma abertura de 60 ° , assim, a área dele vai 1 6 da área de um círculo:

A = π r 2 6         →           A = π a 2 6

Passo 3

Agora basta a gente usar a formula:

V = π r - A = π 2 a π a 2 π 6

V = π a 3 3

Resposta

V = π a 3 3

Exercício Resolvido #4

O tanque de armazenamento de água é uma casca de revolução e deve ser recoberto com duas camadas de tinta, que dá uma cobertura de 16   m 2 por galão. O engenheiro (que se lembra de mecânica) consulta um desenho em escala do tanque e determina que a linha curva A B C tem um comprimento de 10   m e que seu centróide está a 2,5   m da linha do centro do tanque. Quantos galões de tinta serão usados para o tanque, incluindo a coluna cilíndrica vertical?

Passo 1

Temos duas áreas: a do cilindro e a da esfera:

A = A c i l i n d r o + A e s f e r a

Para achar a área da superfície de um cilindro temos que usar a seguinte fórmula:

A = 2 π r h

Onde h é a altura do cilindro e r é o raio.

Repare que o nosso cilindro é:

Então, a área superficial do nosso cilindro é:

A c i l i n d r o = 2 π r h       →         A c i l i n d r o = 2 π ( 1,25 ) ( 6 )

A c i l i n d r o = 47,12   m 2

Passo 2

Já para a esfera, vamos usar a nossa fórmula:

A e s f e r a = 2 π r - L

Já foi dito no enunciado que o centróide da curva A B C é de 2,5   m , então:

r - = 2,5   m

E o perímetro L também foi dado no enunciado e vale:

L = 10   m

Com esses dados, podemos calcular a área da superfície da esfera:

A e s f e r a = 2 π r - L       →     A e s f e r a = 2 π 2,5 10

A e s f e r a = 157,08   m 2

Passo 3

Agora vamos calcular a área total:

A = A c i l i n d r o + A e s f e r a       →       A = 47,12 + 157,08

A = 204,20   m 2

Passo 4

Foi dito no enunciado que um galão cobre 16   m 2 , então vamos fazer uma regra de três para achar o número de galões necessário para cobrir esta área que calculamos:

1   g a l ã o       →         16   m 2   n   g a l õ e s       →         204,20  

Então:

n = 204,20 16 = 12,76

Mas repare que no enunciado foi dito que serão dadas duas camadas de tinta, ou seja, temos que dobrar a quantidade de galões:

n = 2 12,76 = 25,5   g a l õ e s

Resposta

25,5   g a l õ e s

Exercício Resolvido #5

Determine o volume V e a área superficial A do sólido gerado pela revolução da área mostrada por 180 ° em torno do eixo z .

Passo 1

Para achar o volume temos que usar a seguinte equação:

V = π r - A

O r - é a distância do centro da figura até o eixo z (que é o eixo em torno do qual a figura gira):

r - = 75 + 40 = 115   m m

Passo 2

E a área A ? Vai ser a soma das áreas do retângulo e do semicírculo:

  • Retângulo:
  • A r e t â n g u l o = ( 80 ) ( 30 )

    A r e t â n g u l o = 2400   m m 2

  • Semicírculo:

A s e m i c í r c u l o = ( 40 ) 2 π 2

A s e m i c í r c u l o = 2 513,3   m m 2

Então, a área total será:

A t o t a l = A r e t â n g u l o + A s e m i c í r c u l o       →         A t o t a l = 2400 + 2513,3

A t o t a l = 4913,3   m m 2

Passo 3

Agora sim podemos calcular o volume V do sólido:

V = π r - A       →           V = π ( 115 ) ( 4913,3   )

V = 1775083,2   m m 3

Passo 4

Agora precisamos calcular a área superficial do sólido e para isso vamos usar esta fórmula aqui:

A = π r - L

O L é o perímetro da nossa figura:

Repare que o perímetro do semicírculo é:

L s e m i c í r c u l o = π r       →         L s e m i c í r c u l o = π ( 40 )

L s e m i c í r c u l o = 125,7   m m

E o perímetro do retângulo fica:

L r e t â n g u l o = 30 + 80 + 30       →         L r e t â n g u l o = 140   m m

Então, o perímetro total da nossa figura é:

L t o t a l = 125,7 + 140

L t o t a l = 265,7   m m

Passo 5

O r - continua o mesmo:

r - = 115   m m

Então, a área superficial do sólido é:

A = π 115 265 , 7

A = 96000   m m 2

Resposta

V = 1775083,2   m m 3

A = 96000   m m 2

Exercício Resolvido #6

Calcule o peso W do fundido de alumínio mostrado. O sólido é gerado pela revolução de 180 ° da área trapezoidal mostrada, em torno do eixo z . Considere que a massa específica µ do alumínio é de 2690   k g / m 3 .

Passo 1

A área que vamos usar pra gerar o volume é dada abaixo:

Mas veja: Ela pode ser dividida em duas regiões: A verde e a azul.

Sabe como podemos usar isso ao nosso favor? O volume do sólido vai ser a soma dos volumes gerados das duas regiões:

V = V v e r d e + V a z u l

Passo 2

Vamos começar com a parte azul. Vamos usar:

V a z u l = π r - 1 A 1

A área é a área do retângulo:

A 1 = 50 75 = 3750   m m 2

E r - 1 vai ser a distância do centro do retângulo até o eixo em torno do qual a figura gira, neste caso o eixo z :

Então:

r - 1 = 50 + 75 2 = 87,5   m m

Assim:

V a z u l = π r - 1 A 1     →           V a z u l = π 87,5 3750

V a z u l = 1030835,09   m m 3

Vamos passar isso para metros, pois temos que calcular o peso:

V a z u l = 1030835,09 × 10 - 9   m 3 = 1,03 × 10 - 3   m 3

Passo 3

E a parte verde? Vai ser dada por:

V v e r d e = 2 ( π r - 2 A 2 )

Perceba que multiplicamos por dois, pois são dois triângulos verdes!!!

O r - 2 vai ser a distância até o centróide do triângulo:

Perceba que, na posição que foi colocado, teremos que usar 2 3 da altura nos cálculos:

r - 2 = 50 + 2 3 75 = 100   m m

E a área de um dos triângulos será:

A 2 = ( 25 ) ( 75 ) 2 = 937,5   m m 2

Agora podemos calcular o volume do sólido gerado pela revolução dos triângulos:

V v e r d e = 2 π r - 2 A 2     →       V v e r d e = 2 π ( 100 ) ( 937,5 )

V v e r d e = 589048,6   m m 3

Passando isso para m 3 , temos:

V v e r d e = 0,58 × 10 - 3   m 3

Passo 4

Agora é só somar:

V t o t a l = 1,03 × 10 - 3 + 0,58 × 10 - 3

V t o t a l = 1,619 × 10 - 3   m 3

Passo 5

Mas não é nossa resposta final, porque queremos saber o peso W do sólido. Sabendo que a massa específica do alumínio é µ = 2690   k g / m 3 , temos que a massa do sólido será de:

m = µ V       →           m = 2690 ( 1,619 × 10 - 3 )

m = 4,355   k g

Então, o peso W será igual a:

W = m g       →           W = 4,355 ( 9,81 )

W = 4 2,7   N

Resposta

W = 42,7   N

Exercício Resolvido #7

Ache o volume V do sólido gerado pela revolução da área sombreada por 90 ° em torno do eixo z .

Passo 1

Para achar o volume temos que usar a seguinte equação:

V = π r - A

O r - é a distância do centro da figura até o eixo z (que é o eixo em torno do qual a figura gira). Porém, não sabemos onde está localizado o centro desta figura aqui:

Mas perceba que a nossa figura é um quadrado do qual foi retirado um pedaço de círculo... Isso te lembra alguma coisa?

Se você pensou em corpos compostos acertou!!!

Passo 2

Então, vamos começar achando o centróide da nossa figura.

Para o quadrado, vamos ter a seguinte área:

A q u a d = r 2

Já a área do pedaço correspondente a 1 4 de círculo é:

A c í r c = π r 2 4

Não esqueça que a área do pedaço do círculo é negativa, pois estamos o retirando da área do quadrado.

Passo 3

Vamos achar a coordenada x - da centróide de cada uma das partes que compõe a nossa figura.

Para o quadrado vamos ter o seguinte:

x - = a + r 2

Antes de achar o centróide do pedaço correspondente a 1 4 de círculo devemos saber que a posição do centróide fica assim:

Então, o nosso pedaço de círculo fica assim:

x - = a + r - 4 r 3 π

Passo 4

Vamos montar a tabela para facilitar nossos cálculos:

A área total será a soma das duas áreas:

∑ A = r 2 - π r 2 4  

Agora vamos multiplicar cada área por sua respectiva coordenada x - :

A q u a d x - = r 2 a + r 2           →           A q u a d x - = a r 2 + r 3 2

E:

A c í r c x - = - π r 2 4 a + r - 4 r 3 π         →           A c í r c x - = - π a r 2 4 - π r 3 4 + r 3 3

Então, nossa tabela completa fica assim:

A soma das expressões que acabamos de achar é:

∑ x - A = a r 2 + r 3 2 - π a r 2 4 - π r 3 4 + r 3 3

  ∑ x - A = a r 2 - π a r 2 4 - π r 3 4 + 5 r 3 6

Então, a coordenada X - é:

X - = ∑ x - A ∑ A         →       X - = a r 2 - π a r 2 4 - π r 3 4 + 5 r 3 6   r 2 - π r 2 4

Repare que a coordenada r - é justamente o nosso X - !!!

Passo 5

Agora temos que calcular o volume V do sólido:

V = θ r - A

Repare que a coordenada r - é justamente o nosso X - :

r - = X -

E a área A também já calculamos:

A = r 2 - π r 2 4