Teoria Completa
Introdução
Existem certos corpos que podem ser obtidos pela rotação de uma figura em torno de um eixo. Esse é o caso de um toróide:
Já pensou se tivéssemos que integrar isso na marra para achar o seu volume ou a sua área superficial?
Felizmente, existem os Teoremas de Pappus, que tornam problemas desse tipo bem mais fáceis.
Mas problemas de que tipo estamos falando? Todos aqueles sólidos ou superfícies que são gerados através da rotação de uma figura mais simples em torno de um eixo.
Se olharmos uma seção do toróide vemos um círculo, não é mesmo?
Perceba que se girarmos esse círculo em tono do eixo teremos formado um toróide!
Então, neste caso podemos usar os teoremas de Pappus.
Teorema de Pappus para a área superficial
Para achar a área superficial de um corpo que seja gerado através da rotação de uma figura em relação a um eixo que não intercepte esta figura, iremos usar esta fórmula aqui:
Onde:
- O é a distância do centróide da figura que vai girar até o eixo em torno do qual ela está girando;
- O é o perímetro, ou contorno, da figura vai girar.
Se estivéssemos calculando a área da superfície do toróide, o seria:
E como é o perímetro, neste caso é só calcularmos o comprimento do círculo:
Beleza?
Então, lembre-se: você sempre vai calcular primeiro o centróide da figura, por meio dos métodos que já vimos, e depois calcular o seu perímetro.
Teorema de Pappus para o Volume
Se quisermos calcular o volume, vamos usar esta fórmula aqui:
Onde:
- O continua sendo a distância do centróide da figura até o eixo em torno do qual a figura gira.
- O é a área da região que vai gerar o sólido.
No nosso exemplo do toróide, o seria a área do círculo que ao girar em torno do eixo forma o sólido:
Caso Geral
E se quisermos gerar um corpo rodando-o apenas Ou Pode?
Claro que sim! Nesse caso, usamos as fórmulas:
O é o ângulo que você gira sua figura para gerar o corpo, mas esse ângulo deve estar em radianos!!!
Por exemplo, se quisermos gerar apenas um pedaço do toróide:
Temos que passar para radianos:
E depois é só aplicarmos nossas fórmulas:
Ou:
Vamos resolver um exemplo para ficar bem claro!
Temos aqui um toróide e queremos saber seu volume e sua área superficial.
Como já vimos, o toróide é gerado ao girar um círculo em torno do eixo :
Para calcular a área superficial é só aplicarmos a fórmula que vimos aqui:
O é a distância do centróide da figura que vai girar até o eixo em torno do qual ela está girando que é o eixo , então:
O é o ângulo que você gira sua figura para gerar o corpo, neste caso é . Mas não esqueça que temos que passar o ângulo para radianos:
E é o perímetro, ou contorno, da figura vai girar, neste caso é o perímetro do círculo:
Mas não esqueça que o raio do círculo é , então:
Então, a área superficial do toróide é:
Beleza?
E o volume do toróide? É só usarmos a nossa fórmula:
O e são os mesmos, mas o é a área da figura. Neste caso, o é a área do círculo:
Então, o volume do toróide é:
E é isso. Bora praticar?
Exercício Resolvido #1
Usando os métodos desta seção determine a área superficial e o volume do corpo formado pela revolução da área retangular por em torno do eixo
Passo 1
Este corpo é formado quando giramos esta área retangular por em torno do eixo :
Então, para acharmos a área superficial basta aplicarmos a nossa fórmula de área:
Precisamos calcular e o perímetro da figura.
Passo 2
O é o quanto o centróide do retângulo está afastado do eixo em que a figura gira, neste nosso caso é o eixo . O centróide de um retângulo fica no seu centro geométrico, então vamos ter que:
Então, será:
Passo 3
Agora vamos calcular o perímetro do retângulo que dá origem ao nosso corpo:
Então, vamos ter que:
Passo 4
Agora sim podemos calcular a área superficial do corpo:
Passo 5
Vamos calcular agora o volume deste corpo. Para isso, precisamos aplicar esta fórmula aqui:
Já sabemos :
Precisamos calcular a área do nosso retângulo:
Então, o volume do corpo é:
Resposta
Exercício Resolvido #2
O arco circular é girado de em torno do eixo . Determine a área superficial externa do corpo resultante, que é uma parte de uma esfera.
Passo 1
Primeiro precisamos saber a distância entre o centróide do semicírculo e o eixo . Para isso, vamos usar a seguinte fórmula:
O ângulo é de , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de sabendo que corresponde a radianos:
Agora sim podemos calcular a coordenada do centróide:
Passo 2
Então, vamos usar a nossa fórmula para calcular a área da superfície:
O é a distância do centróide até o eixo em torno do qual a figura gira que é o eixo . Repare que o é igual a :
E é o perímetro. O perímetro de um círculo completo, ou seja, com é calculado por . Então, o comprimento para é só fazermos uma regra de :
Então, o comprimento da nossa figura é:
Então, a área superficial é:
Como são dois setores com :
Resposta
Exercício Resolvido #3
A área de um setor circular é girada de em torno do eixo . Determine o volume do corpo resultante, o qual é parte de uma esfera.
Passo 1
Primeiro vamos calcular a distância do centróide até o eixo
Para isso, vamos usar a fórmula de centróide da área de um setor circular:
O ângulo é de , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de sabendo que corresponde a radianos:
Agora sim podemos calcular a coordenada do centróide:
Passo 2
Esse vai ser nada mais nada menos que o nosso
E quando vale a nossa área?
Basta ver que esse setor circular tem uma abertura de , assim, a área dele vai da área de um círculo:
Passo 3
Agora basta a gente usar a formula:
Resposta
Exercício Resolvido #4
O tanque de armazenamento de água é uma casca de revolução e deve ser recoberto com duas camadas de tinta, que dá uma cobertura de por galão. O engenheiro (que se lembra de mecânica) consulta um desenho em escala do tanque e determina que a linha curva tem um comprimento de e que seu centróide está a da linha do centro do tanque. Quantos galões de tinta serão usados para o tanque, incluindo a coluna cilíndrica vertical?
Passo 1
Temos duas áreas: a do cilindro e a da esfera:
Para achar a área da superfície de um cilindro temos que usar a seguinte fórmula:
Onde é a altura do cilindro e é o raio.
Repare que o nosso cilindro é:
Então, a área superficial do nosso cilindro é:
Passo 2
Já para a esfera, vamos usar a nossa fórmula:
Já foi dito no enunciado que o centróide da curva é de , então:
E o perímetro também foi dado no enunciado e vale:
Com esses dados, podemos calcular a área da superfície da esfera:
Passo 3
Agora vamos calcular a área total:
Passo 4
Foi dito no enunciado que um galão cobre , então vamos fazer uma regra de três para achar o número de galões necessário para cobrir esta área que calculamos:
Então:
Mas repare que no enunciado foi dito que serão dadas duas camadas de tinta, ou seja, temos que dobrar a quantidade de galões:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Determine o volume e a área superficial do sólido gerado pela revolução da área mostrada por em torno do eixo
Passo 1
Para achar o volume temos que usar a seguinte equação:
O é a distância do centro da figura até o eixo (que é o eixo em torno do qual a figura gira):
Passo 2
E a área ? Vai ser a soma das áreas do retângulo e do semicírculo:
- Retângulo:
- Semicírculo:
Então, a área total será:
Passo 3
Agora sim podemos calcular o volume do sólido:
Passo 4
Agora precisamos calcular a área superficial do sólido e para isso vamos usar esta fórmula aqui:
O é o perímetro da nossa figura:
Repare que o perímetro do semicírculo é:
E o perímetro do retângulo fica:
Então, o perímetro total da nossa figura é:
Passo 5
O continua o mesmo:
Então, a área superficial do sólido é:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Calcule o peso do fundido de alumínio mostrado. O sólido é gerado pela revolução de da área trapezoidal mostrada, em torno do eixo Considere que a massa específica do alumínio é de .
Passo 1
A área que vamos usar pra gerar o volume é dada abaixo:
Mas veja: Ela pode ser dividida em duas regiões: A verde e a azul.
Sabe como podemos usar isso ao nosso favor? O volume do sólido vai ser a soma dos volumes gerados das duas regiões:
Passo 2
Vamos começar com a parte azul. Vamos usar:
A área é a área do retângulo:
E vai ser a distância do centro do retângulo até o eixo em torno do qual a figura gira, neste caso o eixo :
Então:
Assim:
Vamos passar isso para metros, pois temos que calcular o peso: