Teoremas de Pappus

Teoria Completa

Introdução

Existem certos corpos que podem ser obtidos pela rotação de uma figura em torno de um eixo. Esse é o caso de um toróide:

Já pensou se tivéssemos que integrar isso na marra para achar o seu volume ou a sua área superficial?

Felizmente, existem os Teoremas de Pappus, que tornam problemas desse tipo bem mais fáceis.

Mas problemas de que tipo estamos falando? Todos aqueles sólidos ou superfícies que são gerados através da rotação de uma figura mais simples em torno de um eixo.

Se olharmos uma seção do toróide vemos um círculo, não é mesmo?

Perceba que se girarmos esse círculo em tono do eixo z teremos formado um toróide!

Então, neste caso podemos usar os teoremas de Pappus.

Teorema de Pappus para a área superficial

Para achar a área superficial de um corpo que seja gerado através da rotação de uma figura em relação a um eixo que não intercepte esta figura, iremos usar esta fórmula aqui:

A = 2 π r - L

Onde:

  • O r - é a distância do centróide da figura que vai girar até o eixo em torno do qual ela está girando;
  • O L é o perímetro, ou contorno, da figura vai girar.

Se estivéssemos calculando a área da superfície do toróide, o r - seria:

E como L é o perímetro, neste caso é só calcularmos o comprimento do círculo:

L = 2 π R

Beleza?

Então, lembre-se: você sempre vai calcular primeiro o centróide da figura, por meio dos métodos que já vimos, e depois calcular o seu perímetro.

Teorema de Pappus para o Volume

Se quisermos calcular o volume, vamos usar esta fórmula aqui:

V = 2 π r - A

Onde:

  • O r - continua sendo a distância do centróide da figura até o eixo em torno do qual a figura gira.
  • O A é a área da região que vai gerar o sólido.

No nosso exemplo do toróide, o A seria a área do círculo que ao girar em torno do eixo z forma o sólido:

Caso Geral

E se quisermos gerar um corpo rodando-o apenas 180 ° ? Ou 90 ° ? Pode?

Claro que sim! Nesse caso, usamos as fórmulas:

A = θ r - L

V = θ r - A

O θ é o ângulo que você gira sua figura para gerar o corpo, mas esse ângulo deve estar em radianos!!!

Por exemplo, se quisermos gerar apenas um pedaço do toróide:

Temos que passar 60 ° para radianos:

θ = 60 ° = π 3

E depois é só aplicarmos nossas fórmulas:

A = π 3 r - L

Ou:

V = π 3 r - A

Vamos resolver um exemplo para ficar bem claro!

Temos aqui um toróide e queremos saber seu volume V e sua área superficial.

Como já vimos, o toróide é gerado ao girar um círculo em torno do eixo z :

Para calcular a área superficial é só aplicarmos a fórmula que vimos aqui:

A = θ r - L

O r - é a distância do centróide da figura que vai girar até o eixo em torno do qual ela está girando que é o eixo z , então:

r - = R

O θ é o ângulo que você gira sua figura para gerar o corpo, neste caso é 360 ° . Mas não esqueça que temos que passar o ângulo para radianos:

θ = 360 ° = 2 π   r a d

E L é o perímetro, ou contorno, da figura vai girar, neste caso é o perímetro do círculo:

L = 2 π r

Mas não esqueça que o raio do círculo é a , então:

L = 2 π a

Então, a área superficial do toróide é:

A = θ r - L       →         A = ( 2 π ) R ( 2 π a )

A = 4 π 2 R a

Beleza?

E o volume do toróide? É só usarmos a nossa fórmula:

V = θ r - A

O r - e θ são os mesmos, mas o A é a área da figura. Neste caso, o A é a área do círculo:

A = π r 2     →         A = π a 2    

Então, o volume do toróide é:

V = θ r - A       →           V = ( 2 π ) R ( π a 2 )

V = 2 π 2 R a 2

E é isso. Bora praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 193, 5/73

Usando os métodos desta seção determine a área superficial A e o volume V do corpo formado pela revolução da área retangular por 360 ° em torno do eixo z .

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Passo 1

Este corpo é formado quando giramos esta área retangular por 360 ° em torno do eixo z :

Então, para acharmos a área superficial basta aplicarmos a nossa fórmula de área:

A = 2 π r - L

Precisamos calcular r - e o perímetro L da figura.

Passo 2

O r - é o quanto o centróide do retângulo está afastado do eixo em que a figura gira, neste nosso caso é o eixo z . O centróide de um retângulo fica no seu centro geométrico, então vamos ter que:

Então, r - será:

r - = 18 + 6 2           →           r - = 21   m m

Passo 3

Agora vamos calcular o perímetro L do retângulo que dá origem ao nosso corpo:

Então, vamos ter que:

L = 6 + 6 + 4 + 4         →           L = 20   m m

Passo 4

Agora sim podemos calcular a área superficial do corpo:

A = 2 π r - L       →           A = 2 π ( 21 ) ( 20 )

A = 2640   m m 2

Passo 5

Vamos calcular agora o volume deste corpo. Para isso, precisamos aplicar esta fórmula aqui:

V = 2 π r - A

Já sabemos r - :

r - = 21   m m

Precisamos calcular a área do nosso retângulo:

A = 6 4     →         A = 24   m m 2

Então, o volume do corpo é:

V = 2 π r - A       →         V = 2 π ( 21 ) ( 24 )

V = 3170   m m 3  

Resposta

A = 2640   m m 2

V = 3170   m m 3

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 199, 5/74

O arco circular é girado de 360 ° em torno do eixo y . Determine a área superficial externa S do corpo resultante, que é uma parte de uma esfera.

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Passo 1

Primeiro precisamos saber a distância entre o centróide do semicírculo e o eixo y . Para isso, vamos usar a seguinte fórmula:

x - = a s e n θ θ

O ângulo θ é de 30 ° , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de 3 sabendo que 180 ° corresponde a π radianos:

180 °       →           π 30 °       →               θ

θ = π 6

Agora sim podemos calcular a coordenada x - do centróide:

x - = a s e n π 6 π 6       →           x - = a 1 2 π 6

x - = 3 a π

Passo 2

Então, vamos usar a nossa fórmula para calcular a área da superfície:

A = 2 π r - L

O r - é a distância do centróide até o eixo em torno do qual a figura gira que é o eixo y . Repare que o r - é igual a x - :

r - = x - = 3 a π

E L é o perímetro. O perímetro de um círculo completo, ou seja, com 360 ° é calculado por 2 π r . Então, o comprimento para 30 ° é só fazermos uma regra de 3 :

360 °       →         2 π r 30 °       →               L

L = π r 6

Então, o comprimento L da nossa figura é:

L = π r 6       →         L = π a 6

Então, a área superficial é:

A = 2 π r - L       →         A = 2 π 3 a π π a 6

A = π a 2

Como são dois setores com 30 ° :

A T = 2 A = 2 π a 2

Resposta

A T = 2 π a 2

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 199, 5/75

A área de um setor circular é girada de 180 ° em torno do eixo y . Determine o volume do corpo resultante, o qual é parte de uma esfera.

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Passo 1

Primeiro vamos calcular a distância do centróide até o eixo y .

Para isso, vamos usar a fórmula de centróide da área de um setor circular:

x - = 2 R 3 s e n θ θ

O ângulo θ é de 30 ° , mas temos que passar isso para radianos. Vamos fazer uma regra de 3 sabendo que 180 ° corresponde a π radianos:

180 °       →           π 30 °       →               θ

θ = π 6

Agora sim podemos calcular a coordenada x - do centróide:

x - = 2 a 3 s e n π 6 π 6 = 2 a π

Passo 2

Esse vai ser nada mais nada menos que o nosso r - :

r - = x -

E quando vale a nossa área?

Basta ver que esse setor circular tem uma abertura de 60 ° , assim, a área dele vai 1 6 da área de um círculo:

A = π r 2 6         →           A = π a 2 6

Passo 3

Agora basta a gente usar a formula:

V = π r - A = π 2 a π a 2 π 6

V = π a 3 3

Resposta

V = π a 3 3

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 201, 5/81

O tanque de armazenamento de água é uma casca de revolução e deve ser recoberto com duas camadas de tinta, que dá uma cobertura de 16   m 2 por galão. O engenheiro (que se lembra de mecânica) consulta um desenho em escala do tanque e determina que a linha curva A B C tem um comprimento de 10   m e que seu centróide está a 2,5   m da linha do centro do tanque. Quantos galões de tinta serão usados para o tanque, incluindo a coluna cilíndrica vertical?

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Passo 1

Temos duas áreas: a do cilindro e a da esfera:

A = A c i l i n d r o + A e s f e r a

Para achar a área da superfície de um cilindro temos que usar a seguinte fórmula:

A = 2 π r h

Onde h é a altura do cilindro e r é o raio.

Repare que o nosso cilindro é:

Então, a área superficial do nosso cilindro é:

A c i l i n d r o = 2 π r h       →         A c i l i n d r o = 2 π ( 1,25 ) ( 6 )

A c i l i n d r o = 47,12   m 2

Passo 2

Já para a esfera, vamos usar a nossa fórmula:

A e s f e r a = 2 π r - L

Já foi dito no enunciado que o centróide da curva A B C é de 2,5   m , então:

r - = 2,5   m

E o perímetro L também foi dado no enunciado e vale:

L = 10   m

Com esses dados, podemos calcular a área da superfície da esfera:

A e s f e r a = 2 π r - L       →     A e s f e r a = 2 π 2,5 10

A e s f e r a = 157,08   m 2

Passo 3

Agora vamos calcular a área total:

A = A c i l i n d r o + A e s f e r a       →       A = 47,12 + 157,08

A = 204,20   m 2

Passo 4

Foi dito no enunciado que um galão cobre 16   m 2 , então vamos fazer uma regra de três para achar o número de galões necessário para cobrir esta área que calculamos:

1   g a l ã o       →         16   m 2   n   g a l õ e s       →         204,20  

Então:

n = 204,20 16 = 12,76

Mas repare que no enunciado foi dito que serão dadas duas camadas de tinta, ou seja, temos que dobrar a quantidade de galões:

n = 2 12,76 = 25,5   g a l õ e s

Resposta

25,5   g a l õ e s

Exercício Resolvido #5

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 199, 5/90

Determine o volume V e a área superficial A do sólido gerado pela revolução da área mostrada por 180 ° em torno do eixo z .

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Passo 1

Para achar o volume temos que usar a seguinte equação:

V = π r - A

O r - é a distância do centro da figura até o eixo z (que é o eixo em torno do qual a figura gira):

r - = 75 + 40 = 115   m m

Passo 2

E a área A ? Vai ser a soma das áreas do retângulo e do semicírculo:

  • Retângulo:
  • A r e t â n g u l o = ( 80 ) ( 30 )

    A r e t â n g u l o = 2400   m m 2

  • Semicírculo:

A s e m i c í r c u l o = ( 40 ) 2 π 2

A s e m i c í r c u l o = 2 513,3   m m 2

Então, a área total será:

A t o t a l = A r e t â n g u l o + A s e m i c í r c u l o       →         A t o t a l = 2400 + 2513,3

A t o t a l = 4913,3   m m 2

Passo 3

Agora sim podemos calcular o volume V do sólido:

V = π r - A       →           V = π ( 115 ) ( 4913,3   )

V = 1775083,2   m m 3

Passo 4

Agora precisamos calcular a área superficial do sólido e para isso vamos usar esta fórmula aqui:

A = π r - L

O L é o perímetro da nossa figura:

Repare que o perímetro do semicírculo é:

L s e m i c í r c u l o = π r       →         L s e m i c í r c u l o = π ( 40 )

L s e m i c í r c u l o = 125,7   m m

E o perímetro do retângulo fica:

L r e t â n g u l o = 30 + 80 + 30       →         L r e t â n g u l o = 140   m m

Então, o perímetro total da nossa figura é:

L t o t a l = 125,7 + 140

L t o t a l = 265,7   m m

Passo 5

O r - continua o mesmo:

r - = 115   m m

Então, a área superficial do sólido é:

A = π 115 265 , 7

A = 96000   m m 2

Resposta

V = 1775083,2   m m 3

A = 96000   m m 2

Exercício Resolvido #6

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 201, 5/89

Calcule o peso W do fundido de alumínio mostrado. O sólido é gerado pela revolução de 180 ° da área trapezoidal mostrada, em torno do eixo z . Considere que a massa específica µ do alumínio é de 2690   k g / m 3 .

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Passo 1

A área que vamos usar pra gerar o volume é dada abaixo:

Mas veja: Ela pode ser dividida em duas regiões: A verde e a azul.

Sabe como podemos usar isso ao nosso favor? O volume do sólido vai ser a soma dos volumes gerados das duas regiões:

V = V v e r d e + V a z u l

Passo 2

Vamos começar com a parte azul. Vamos usar:

V a z u l = π r - 1 A 1

A área é a área do retângulo:

A 1 = 50 75 = 3750   m m 2

E r - 1 vai ser a distância do centro do retângulo até o eixo em torno do qual a figura gira, neste caso o eixo z :

Então:

r - 1 = 50 + 75 2 = 87,5   m m

Assim:

V a z u l = π r - 1 A 1     →           V a z u l = π 87,5 3750

V a z u l = 1030835,09   m m 3

Vamos passar isso para metros, pois temos que calcular o peso:

V a z u l = 1030835,09 × 10 - 9   m 3 = 1,03 × 10 - 3   m 3