Energia Potencial

Teoria Completa

Introdução

Você já ouviu falar que energia nunca pode ser destruída? Isso porque ela só pode ser transformada ou transferida...

Vamos supor que você ame esporte radical e vá praticar bungee jump!

Quando você está laaaá em cima, você tem uma energia que é associada a sua altura. E quando você começa a descer, a sua energia é transformada em movimento.

No caso do bungee jump, você é amarrado a uma corda elástica, então quando você estica totalmente a corda é como se você estivesse esticando um elástico. Dessa forma, esta corda faz um movimento de vai e vem até que a energia se dissipe totalmente!

Podemos dizer, então, que energia potencial é a capacidade que um corpo tem de realizar alguma ação.

Vamos aprender sobre a energia associada a uma altura e a energia associada a um corpo de propriedades elásticas. Então, bora começar!!!

Energia potencial: gravitacional e elástica

A energia potencial gravitacional está relacionada à altura que algum objeto que possui massa tem com relação a um referencial. Então, para que possamos medir alguma altura devemos primeiro atribuir um referencial nulo para alguma posição:

A altura H é medida em relação a linha onde V g = 0 que é o nosso referencial. É importante perceber que também é preciso adotar um sentido para medição. Com o eixo y apontado para cima, alturas acima de V g = 0 são positivas e alturas abaixo, negativas.

Bom, a fórmula geral para se calcular a energia potencial gravitacional é:

V p = m g h

Onde h é a distância do centro de gravidade do corpo até a linha em que V g = 0 .

No caso da energia potencial elástica ( V e l ), devemos proceder da mesma forma: adotamos uma origem para que possamos calcular os deslocamentos de um certo corpo. Assim:

E a energia é dada por:

V e l = k d 2 2

Observação: algumas vezes o enunciado vai te dizer que a mola já está esticada em x = 0 ou θ = 0 . Nesse caso, vamos ter que:

d = d 0 + d '

Onde d 0 é o deslocamento inicial e d ' é o deslocamento adicional que você vai calcular.

Equilíbrio

Para que um sistema esteja em equilíbrio temos que satisfazer as seguintes condições:

d V d x = 0

Ou:

d V d θ = 0

Ou, de forma geral:

d V d n = 0

Onde n é o que varia na função V (pode ser um ângulo, um comprimento na horizontal, na vertical, etc)!!!

Então, por exemplo, se a função V for igual a:

V x = x 2 + 2 x

O que devemos fazer é derivar esta expressão com relação à variável da equação (neste caso é x ):

d V d x = 2 x + 2

E depois igualar o resultado a zero:

2 x + 2 = 0       →     2 x + 1 = 0

x = - 1

Então, essa será a posição de equilíbrio!

Tipos de estabilidade

Além de determinar o ponto de equilíbrio, esse método nos permite determinar qual é a condição de equilíbrio: se é um equilíbrio instável, estável ou indiferente.

Vamos primeiro falar um pouco sobre cada um deles:

  • Equilíbrio instável:
  • Um sistema está em equilíbrio instável quando existe o equilíbrio, porém, ao se aplicar qualquer força o sistema sai do equilíbrio. Podemos dar o exemplo da bolinha abaixo:

  • Equilíbrio estável:
  • Nesse caso, o sistema não perde o equilíbrio por qualquer coisa. Se você aplicar uma força, o sistema tenderá a voltar ao equilíbrio, como no caso de uma bolinha em uma região funda:

  • Equilíbrio Indiferente:

Nesse caso, se existir a ação de uma força em um sistema, ele nem terá uma tendência a retornar ao equilíbrio nem sair dele. É o caso, por exemplo, de uma bolinha em chão plano:

Para se determinar qual é o tipo de equilíbrio, basta a gente calcular a derivada segunda da função V e substituir nesta expressão da segunda derivada o valor que achamos para a posição de equilíbrio no passo anterior.

Por fim é só verificar o sinal do resultado final que achamos seguindo estas condições aqui:

d 2 V d x 2 > 0 →     e s t á v e l

d 2 V d x 2 = 0 →       i n d i f e r e n t e

d 2 V d x 2 < 0 ��     i n s t á v e l

Então, nestes tipos de questões você deve:

  1. Adotar um referencial onde a energia potencial gravitacional será zero;
  2. Achar a equação da energia potencial total;
  3. Derivar a equação da energia potencial total e igualar a zero para achar a posição de equilíbrio;
  4. Derivar a equação da energia potencial mais uma vez e analisar se o resultado é igual, maior ou menor que zero para classificar o tipo de equilíbrio.

Partiu praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 308, 7/35

A energia potencial de um sistema mecânico é dada por V = 6 x 3 - 9 x 2 + 7 , onde x é a coordenada de posição associada ao único grau de liberdade. Determine a posição, ou as posições, de equilíbrio e a condição de estabilidade do sistema de cada posição de equilíbrio.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nosso primeiro passo é derivar com relação à x a expressão da energia mecânica:

Depois vamos igualar a zero:

d V d x = d ( 6 x 3 - 9 x 2 + 7 ) d x = 18 x 2 - 18 x

Repare que a nossa equação é do segundo grau, então teremos duas posições de equilíbrio!!!

Para determinar essas posições de equilíbrio devemos igualar a equação que achamos à zero:

d V d x = 0

18 x 2 - 18 x = 0

Podemos escrever a nossa equação dessa forma aqui:

18 x x - 1 = 0

x x - 1 = 0

Então, os valores de x que tornam a nossa equação igual a zero são:

x = 0  

  x = 1

E essas são as posições de equilíbrio que estávamos procurando!!!

Passo 2

Agora vamos ver se essas condições são de equilíbrio estável ou instável. Para isso temos que derivar mais uma vez a nossa expressão de energia:

d 2 V d x 2 = 36 x - 18

Agora temos que substituir os valores de x que achamos para a posição de equilíbrio nesta equação aí de cima:

d 2 V 1 d x 2 = 36 1 - 18 = 18

Como nosso resultado é maior que zero, então estamos na condição do equilíbrio estável:

d 2 V 1 d x 2 = 18 > 0         →         c o n d i ç ã o   e s t á v e l

E para x = 0 , temos que:

d 2 V 0 d x 2 = 36 0 - 18 = - 18

Como obtemos um resultado menor que zero, então estamos na condição do equilíbrio instável:

d 2 V 0 d x 2 = - 18 < 0           →         c o n d i ç ã o   i n s t á v e l

Assim: quando x = 1 será uma condição estável e quando x = 0 teremos uma condição instável.

Resposta

x = 1       →     c o n d i ç ã o   e s t á v e l

x = 0       →     c o n d i ç ã o   i n s t á v e l

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 308, 7/36

A barra uniforme de massa m e comprimento L é sustentada no plano vertical por duas molas idênticas com rigidez k e comprimidas de um comprimento δ na posição vertical, θ = 0 . Determine a rigidez mínima k que garantirá uma posição de equilíbrio estável com θ = 0 . Pode-se considerar que as molas atuam na direção horizontal durante um pequeno movimento angular da barra.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Podemos desenhar melhor esse problema assim:

Onde G é o centro de gravidade da nossa barra!

Nós temos duas molas, não é mesmo? Quando a barra se deslocar em θ radianos, uma mola será comprimida e a outra será distendida. Assim, podemos dizer que existem duas energias potenciais elásticas uma para cada mola.

Para a mola que será esticada, vamos ter que:

V e l 1 = k x 2 2

Mas quanto vale x ? Repare que é o comprimento inicial da mola que foi dito no enunciado que é δ mais o quanto a mola esticou que pelo nosso desenho vale L s e n θ , então:

V e l 1 = k L s e n θ + δ 2 2

E para a mola que será comprimida teremos que o x é o comprimento inicial da mola que também é δ menos o quanto a mola comprimiu que é o mesmo L s e n θ , então:

V e l 2 = k x 2 2       →       V e l 2 = k δ - L s e n θ 2 2

Não podemos esquecer da energia potencial gravitacional:

V g = m g h     →     V g = m g L 2 c o s θ

Lembrando que h é a altura do centro de gravidade da barra!!!

Então, a nossa energia potencial total será a soma destas três formas de energias que achamos:

V = V e l 1 + V e l 2 + V g

V = m g L 2 c o s θ + k δ - L s e n θ 2 2 + k δ + L s e n θ 2 2

Passo 2

Agora precisamos derivar a nossa equação da energia total:

d V d θ = - m g L 2 s e n θ + 2 k L 2 s e n θ c o s θ

Repare que precisamos usar a regra da cadeia!

Será que a posição θ = 0 é uma posição de equilíbrio, como diz o enunciado? Para verificar isso temos que substituir θ = 0 na equação que acabamos de achar:

d V 0 d θ     →         - m g L 2 s e n 0 + 2 k L 2 s e n 0 cos ⁡ 0 = 0

Então, θ = 0 é uma posição de equilíbrio!!!

Passo 3

Agora vamos verificar a estabilidade e para isso precisamos derivar duas vezes a nossa equação da energia total:

d 2 V d θ 2 = - m g L 2 c o s θ + 2 k L 2 c o s θ c o s θ - 2 k L 2 s e n θ s e n θ

d 2 V d θ 2 = - m g L 2 c o s θ + 2 k L 2 c o s ⁡ ( 2 θ )

Passo 4

Para que o equilíbrio seja estável, devemos ter:

d 2 V 0 d θ 2 > 0

Então, vamos achar o valor de k mínimo para que isto aconteça quando θ = 0 :

- m g L 2 c o s ⁡ ( 0 ) + 2 k L 2 cos ⁡ 2 ⋅ 0 > 0

- m g L 2 + 2 k L 2 > 0       →       2 k L 2 > m g L 2

k > m g 4 L

Então, o menor valor possível para a rigidez da mola deve ser igual a:

k m í n = m g 4 L

Resposta

k m í n = m g 4 L

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 308, 7/38

O pequeno cilindro de massa m e raio r está confinado a rolar sobre a superfície circular de raio R . Usando os métodos desta seção, prove que o cilindro é instável no caso ( a ) e estável no caso b .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos considerar que V g = 0 é o nível de energia potencial nula no nosso sistema. Então, podemos desenhar o caso ( a ) assim:

A energia potencial gravitacional do cilindro é calculada pela seguinte fórmula:

V g 1 = m g h

Onde h é a distância vertical do centro de massa do cilindro até o nosso ponto onde a energia potencial é nula:

Então:

h = R + r c o s θ

Com isso conseguimos calcular a energia potencial gravitacional do cilindro:

V g 1 = m g h     →       V g 1 = m g R + r c o s θ

Passo 2

No outro caso temos o seguinte:

E a altura do centro de gravidade do cilindro?

h = - R - r c o s θ

Por que está negativo? Porque a altura está abaixo da nossa referência que é quando V g = 0 .

Dessa forma, a energia potencial gravitacional será:

V g 2 = m g h     →       V g 2 = - m g R - r c o s θ

Passo 3

Vamos testar os dois casos. Para isso temos que derivar a equação da energia potencial.

Vamos começar com o caso ( a ) . Sabemos que a energia potencial gravitacional neste caso é:

V g 1 = m g R + r c o s θ

Então, a derivando isso com relação a θ vamos ter que:

d V g 1 d θ = - m g R + r s e n θ

Para termos equilíbrio precisamos igualar esta equação a zero, então:

- m g R + r s e n θ = 0       →       s e n θ = 0

O s e n θ é zero em duas situações, quando:

θ = 0

θ = π

Neste caso, π tem que ser rejeitado porque não faz muito sentido. É como se a massa estivesse dentro da curva onde o cilindro se encontra.

Agora temos que derivar de novo para analisar a estabilidade:

d 2 V g 1 d θ 2 = - m g R + r c o s θ

Agora vamos substituir θ = 0 nesta expressão que acabamos de achar:

- m g R + r cos ⁡ 0

- m g R + r < 0

Repare que o resultado será negativo, então ele será sempre menor que zero e isso caracteriza a situação do equilíbrio instável!

Passo 4

Vamos fazer o mesmo processo para o segundo caso. A equação da energia potencial que achamos foi:

V g 2 = - m g R - r c o s θ

Agora vamos derivar ela com relação à θ :

d V g 2 d θ = m g R - r s e n θ

Para termos equilíbrio precisamos igualar esta equação a zero, então:

m g R - r s e n θ = 0       →       s e n θ = 0

O s e n θ é zero em duas situações, quando:

θ = 0

θ = π

Novamente vamos descartar a solução θ = π !

Agora temos que derivar de novo para analisar a estabilidade:

d 2 V g 2 d θ 2 = m g R - r c o s θ

Agora vamos substituir θ = 0 nesta expressão que acabamos de achar:

m g R - r cos ⁡ 0

m g R - r > 0

Repare que o resultado será positivo, então ele será sempre maior que zero e isso caracteriza a situação do equilíbrio estável!

Resposta

P r o v a   a c i m a

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 308, 7/39

A barra uniforme de massa m e comprimento l é articulada em relação a um eixo horizontal que passa pela sua extremidade O e está presa a uma mola de torção, que exerce um torque M = K θ sobre ela, onde K é a rigidez da mola, expressa em unidades de torque por radianos, e θ é a deflexão angular em relação à vertical, medida em radianos. Determine o valor máximo de l , para o qual o equilíbrio na posição θ = 0 é estável.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A energia potencial associada à mola é dada por:

V e l = K θ 2 2

Repare que trocamos o x por θ , pois neste caso temos rotação θ da mola!

E a energia potencial gravitacional da barra?

Bom, vai ser dada pelo produto da massa, da gravidade e da altura do centro de gravidade:

V g = m g h

Para achar a altura do centro de gravidade vamos usar trigonometria:

Então:

h = l c o s θ 2

Substituindo na nossa fórmula, vamos ter que:

V g = m g h       →         V g = m g l 2 c o s θ

Passo 2

A energia total V será a soma das energias que achamos:

V = V e l + V g

V = K θ 2 2 + m g l 2 c o s θ

Passo 3

Agora temos que derivar com relação a θ a expressão da energia total que achamos:

d V d θ = K θ - m g l 2 s e n θ

d 2 V d θ 2 = K - m g l 2 c o s θ

Passo 4

Para que em θ = 0 exista uma equilíbrio devemos ter que:

d V 0 d θ = 0

Vamos ver se esta condição já foi satisfeita:

d V 0 d θ       →         K 0 - m g l 2 s e n 0 = 0

Então, a condição para ter equilíbrio foi satisfeita!

Passo 5

E para que este equilíbrio seja estável precisamos atender a esta condição aqui:

d 2 V 0 d θ 2 > 0

Então, vamos ter que derivar novamente a nossa expressão da energia total:

d 2 V d θ 2 = K - m g l 2 c o s θ

Agora vamos ver qual a condição para termos o equilíbrio estável:

d 2 V ( 0 ) d θ 2 > 0

K - m g l 2 c o s ⁡ ( 0 ) > 0

K - m g l 2 > 0       →             l < 2 K m g

Resposta

l < 2 K m g

Exercício Resolvido #5

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 309, 7/41

Duas barras idênticas estão soldadas em um ângulo de 120 ° e são articuladas em O , como mostrado. A massa do apoio é pequena em comparação à massa das barras. Investigue a estabilidade da posição de equilíbrio mostrada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos considerar a massa das duas barras juntas igual a m . Então, cada barrinha terá a metade desta massa:

Não se esqueça que a massa do apoio é desprezível!!!

Vamos primeiro determinar o centro de gravidade do conjunto usando esta fórmula aqui:

Y - = ∑ y - i m i ∑ m i

Repare que y - é:

Então, vamos ter que:

Y - = ∑ y - i m i ∑ m i         →           Y - = m 2 L 2 s e n 30 ° + m 2 L 2 s e n 30 ° m 2 + m 2

Y - = 2 m 2 L 2 s e n 30 ° m         →           Y - = L 4

Passo 2

A força de reação está sendo aplicada em O . Assim, vamos calcular a energia potencial do corpo em relação ao ponto O :

V = V g = m g h

Esse h é a distância vertical do centro de gravidade até o ponto O que é a nossa referência:

Então, vamos ter que:

h = - L 4 - L 5 c o s θ

h = - L 20 c o s θ

Repare que o sinal negativo é porque estamos indo contra o sentido do eixo que criamos!

Agora podemos calcular a energia potencial do corpo em relação ao ponto O :

V g = m g h       →           V g = - m g L 20 c o s θ

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada da energia potencial em relação ao ângulo:

d V d θ = m g L 20 s e n θ

Para θ = 0 vamos ter que:

d V d θ = m g L 20 s e n 0 = 0

Agora vamos derivar mais uma vez a equação que achamos:

d 2 V d θ 2 = m g L 20 c o s θ

Para θ = 0 vamos ter que:

d 2 V d θ 2 = m g L 20 cos ⁡ 0

m g L 20 > 0         →     E s t á v e l