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47- A seção transversal de um basculante articulado em relação ao eixo horizontal O , de massa m e com centro de massa em G , está mostrada na figura. A medida que o basculante abre, a mola é comprimida pela haste articulada, que desliza através da bucha em A . A mola não está comprimida quando o basculante está fechado. Mostre que o basculante ficará em equilíbrio para qualquer ângulo θ se a mola tiver uma rigidez k apropriada.

Passo 1

Vamos desenhar o nosso sistema de forma que seja fácil ver as alturas e ângulos pertinentes.

Onde o eixo da energia potencial gravitacional se encontra na base da estrutura e a energia potencial elástica seja em θ = 0 .

Para encontrar a energia potencial basta espelhar o centro de gravidade da barra na vertical de modo a encontrar sua altura de forma genérica.

V g = m g h = m g ( acos ⁡ θ )

Já que o centro de gravidade encontra-se acima do eixo nulo.

Passo 2

Agora para encontrar a energia potencial elástica, para isso podemos notar que na figura do passo 1 a deformação da molha é a distância x cujo tamanho é a reta preta.

Mas para isso precisamos encontrar os catetos, formados pelas retas roxa e azul claro.

Quando espelhamos a metade da barra na vertical no passo 1 nós encontramos o tamanho da reta laranja e como a reta laranja somada com a reta roxa nos dá um tamanho de a nós temos que:

r o x a + l a r a n j a = a

r o x a = a - a cos ⁡ θ = a ( 1 - cos ⁡ θ )

E da mesma forma que espelhamos na vertical, logo na horizontal nós teremos o tamanho da reta azul, que é:

a z u l = asin ⁡ θ

Agora fazendo Pitágoras nessas distâncias.

x 2 = a 2 sin 2 ⁡ θ + a 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) 2

Explicitando a :

x 2 = a 2 ( sin 2 ⁡ θ + 1 - c o s θ 2 )  

Abrindo 1 - c o s θ 2 :

x 2 = a 2 ( sin 2 ⁡ θ + 1 - 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ )

x 2 = a 2 2 - 2 c o s θ = x 2 = 2 a 2 ( 1 - cos ⁡ θ )

Como a energia elástica é dada por :

V e = 1 2 K x 2

Poderemos substituir o que encontramos nela:

V e = 1 2 K ( 2 a 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) = K a 2 ( 1 - cos ⁡ θ )

Logo a energia total do sistema será:

V = K a 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) + a m g cos ⁡ θ

Passo 3

Se derivarmos em relação a θ a equação da energia nós teremos:

d V d θ = K a 2 sin ⁡ θ - a m g sin ⁡ θ

Se igualarmos a zero essa primeira derivada nós encontraremos o equilíbrio do sistema.

s i n θ K a 2 - a m g = 0

Como queremos que qualquer θ nos dê um sistema estável, vamos apenas considerar que ele é diferente de 0 . Então para essa equação ser 0 nós teremos somente uma constante K igual a:

K a 2 - a m g = 0

K = m g a

Se esse K satisfazer essa condição podemos ter qualquer valor de θ para alcançar o equilíbrio.

Resposta

K = m g a

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