Forças em Duas Dimensões

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Teoria

Introdução

Você já brincou de cabo de guerra? Nessa brincadeira existem duas equipes dispostas em linha reta, cada um deve dar o seu máximo para puxar o seu lado da corda e a equipe que fizer a maior força vence:

Esse o conceito mais intuito de força que temos. E é justamente sobre esta grandeza que vamos tratar neste tópico.

Então, partiu?

Componentes e projeções: Eixos retos

Primeiramente vamos falar sobre forças em apenas duas dimensões. Isso quer dizer que os vetores que representam essas forças possuem apenas duas componentes:

F → = ( F x , F y )

  • Componentes
  • Eixos retos são eixos que fazem 90 ° entre si, por exemplo, os eixos x   e   y . Pra decompor uma força nesses eixos, basta trabalhar com senos e cossenos:

    A forma correta de se escrever as componentes de uma força é escrevendo o módulo dela vezes o cosseno ou seno do ângulo, tudo isso seguido do vetor unitário. No caso dos eixos x   e   y , usamos i ^   e   j ^ .

    Não faça isso:

    Afinal de contas, F → c o s θ seria um vetor vezes um escalar. Isso não altera a direção de um vetor.

  • Projeções
  • Para se calcular uma projeção em um eixo, basta você multiplicar o módulo do vetor pelo cosseno do ângulo que o vetor faz com esse eixo. E a direção? Bom, a direção da projeção será exatamente a mesma direção do eixo:

    Essa é a forma de geral de se calcular a projeção em um eixo qualquer, não necessariamente o x ou y , mas lembre-se de sempre contar o ângulo no sentido horário, ok?

    Componentes e projeções: Eixos com qualquer angulação

  • Componentes
  • Quando os eixos possuem um ângulo entre eles que é diferente de 90 ° como, por exemplo, 120 ° , a coisa fica um pouco mais complicada. Nesse caso, temos que usar a lei dos senos.

    A lei dos senos nos diz que, para um triângulo qualquer, temos a seguinte relação entre os lados e os ângulos:

    B s e n β = A s e n α = C s e n γ

    O bizu é você sempre dividir o lado pelo ângulo que tá “mirando” esse lado. Por exemplo, B   e   β   :

    Mas como vamos usar isso em forças? Bom, nós vamos tentar formar esses triângulos com os vetores das componentes. Vamos ao exemplo de eixos que fazem 120 ° entre si:

    Queremos descobrir os módulos de F → a   e   F → b . Sabemos que F → faz um ângulo de 70 ° e de 50 ° com os eixos a e b , respectivamente, e que as componentes estão em cima desses eixos.

    Pra montar o nosso triângulo, basta a gente deslocar o vetor da componente F → a para fechar o triângulo:

    Show! Agora é só montar a equação:

    F → s e n 60 ° = F → a s e n 50 ° = F → b s e n 70 °

    E assim a gente descobre F → a   e   | F → b | !!!

  • Projeções

Em relação às projeções, não existem mudanças em relação aos eixos retos. Basta fazer a mesma coisa de sempre.

Componentes na direção normal e tangencial

Esse é um tipo especial de componentes retangulares. Muitas vezes o problema define uma direção perpendicular à superfície de um objeto (que vamos chamar de direção normal n ^ ) e uma direção tangencial ( t ^ ) a ele, como na figura abaixo:

Com assim? Imagine que uma força F → esteja sendo aplicada em um carro:

Podemos pensar que essa força é originada do vento, por exemplo.

E se você quiser saber qual componente dessa força é tangencial à superfície do carro? Ou seja, a “parte da força” que “escorrega”, ou “raspa” a superfície do carro?

Essa é a componente tangencial da força:

Costumamos denotar ela por F → t .

E a componente normal? Bom, essa é a componente que é perpendicular à superfície. Ela é responsável por tracionar (puxar) ou comprimir(apertar) a superfície do corpo e geralmente a chamamos de F n → :

Quando representamos as duas, estamos representando uma força na direção normal e tangencial de um corpo:

Nesse caso, vale tudo o que vimos para eixos retos. Os vetores unitários que representam as direções normal e tangencial são, geralmente, chamados de n ^   e   t ^ .

Escrevendo o vetor força por meio de sua linha de ação

Outra forma de se escrever o vetor de uma força é através dos pontos em que a linha de ação da força passa. Essa forma a gente vai usar bastante na parte 3 D da matéria.

Por exemplo, digamos que a linha de ação de uma força passe pelos pontos A e B :

  1. O nosso primeiro passo é descobrir quem é o vetor A B → que representa a direção. Para isso, basta a gente subtrair as coordenadas dos dois pontos:
  2. A B → = B - A

    Exemplo: se tivermos as seguintes coordenadas para os pontos A = ( 2,2 ) e B = ( 3,4 ) , então:

    A B → = 3,4 - 2,2 = 1,2

    Show?

    Ah, e se a força estiver indo de B para A ? Nesse caso, devemos mudar o vetor para:

    B A → = A - B

    E fazer a mesma coisa que fizemos antes.

  3. Agora vamos normalizar o vetor. O que isso quer dizer? Quer dizer vamos dividir o vetor pelo seu próprio módulo:
  4. n → A B = 1 A B → . A B →

    Onde, n → A B é o vetor normalizado.

    No exemplo que fizemos antes, teríamos isso aqui:

    A B → = 1,2 → A B → = 1 2 + 2 2 = 5

    Assim:

    n → A B = 1 A B → . A B →

    n → A B = 1 5 1,2 = 1 5 , 2 5

  5. E, por fim, você vai escrever o vetor força multiplicando o módulo da força, que geralmente é dado no enunciado desse tipo de questão, pelo vetor normalizado:

F → = F → n → A B

Por exemplo, digamos que a força seja de 5   k N . Então:

F → = 5 k N . 1 5 , 2 5 = 5 5 , 10 5   k N

Resultantes

Pra calcular a resultante de duas forças, nós temos que somar os dois vetores que representam as forças. Se tiver mais de dois vetores temos que fazer a mesma coisa.

Aí você já sabe, né? Podemos usar ou a soma de componentes ou a regra do paralelogramo, como vimos no tópico de vetores:

F → A + F → B = ( F → A 1 + F → B 1 ) + F → A 2 + F → B 2 = R →

ou

R → 2 = F → A 2 + F → B 2 + 2 . F → A | F → B | c o s ⁡ ( θ )

No caso da regra do paralelogramo, caso a gente tenha mais de dois vetores, vamos ter que aplicar a regra de dois em dois vetores.

Por exemplo: aplique a regra nos vetores V → 1   e V → 2 , ache a resultante R 1 → e depois aplique a regra em R 1 →   e   V → 3 .

E é isso. Vamos praticar um pouco agora?

Escrevendo o vetor força por meio de sua linha de ação

Resultantes

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A linha de ação da força F → de 9,6 k N passa pelos pontos A   e   B , como mostrado na figura. Determine os componentes escalares x e y de F → .

Passo 1

Primeiro vamos descobrir quem é o vetor que representa a direção A B → . Para isso, vamos subtrair as coordenadas dos dois pontos:

A B → = B - A = 300,100 - - 150 , - 200 = 450,300   m m

Passo 2

Nosso próximo passo é achar o módulo deste vetor, ou seja, o seu tamanho. Para isso, temos que:

A B → = 450 2 + 300 2

A B → = 541   m m

Passo 3

Agora vamos normaliza-lo! Isso vai ser importante na etapa de representação da força e, além disso, vai nos dar um vetor adimensional e unitário que representa a direção. Para isso, vamos dividir o vetor pelo seu módulo:

n ^ A B = 450 541 i ^ + 300 541 j ^

n ^ A B = 0,83 i ^ + 0,55 j ^

Passo 4

Agora, podemos escrever a força multiplicando-a pelo vetor normalizado:

F → = 9600 . 0,83 i ^ + 0,55 j ^ = 7968 i ^ + 5280 j ^   N

Perceba que eu coloquei a força em Newtons, não em k N .

Assim, os componentes escalares são:

F x = 7968 N

F y = 5280 N

Resposta

F x = 7968 N

F y = 5280 N

Exercício Resolvido #2

A força F →   de 1800 N é aplicada à extremidade da viga em I . Expresse F → como um vetor em termos de i e j.

Passo 1

Podemos fazer da seguinte forma: Vamos calcular qual é o ângulo que a força F → faz com o eixo x . Depois vamos calcular as componentes escalares F x e F y e, por fim, escrever a força em função delas e dos vetores unitários.

Passo 2

O enunciado nos deu uma figura e, nessa figura, existe um triângulo. O ângulo que a força faz com o eixo x é semelhante ao ângulo que o triângulo possui:

A tangente desse ângulo vale:

t g θ = 4 3

Assim, o ângulo vale:

θ = a r c t g 4 3 = 53,1 °

Passo 3

Agora podemos calcular o módulo das componentes da força nos eixos x   e   y (perceba que tais componentes estão orientadas no sentido negativo de seus eixos):

F x = 1800 cos ⁡ 53,1 ° = 1080 N

F y = 1800 s e n 53,1 ° = 1439,4 N

Passo 4

Assim:

F → = F x i ^ + F y j ^ = - 1080 i ^ - 1439,4 j ^

Resposta

F → = - 1080 i ^ - 1439,4 j ^

Exercício Resolvido #3

Determine as componentes da força de 2 k N ao longo dos eixos oblíquos a e b . Determine as projeções de F → sobre os eixos a e b .

Passo 1

Vamos começar pela projeção mais fácil: A do eixo a , P a . Vamos lembrar que vamos projetar o vetor ao longo do eixo a , como se fosse a sombra desse vetor.

Como sabemos exatamente qual é o ângulo que a força faz com o eixo a , podemos simplesmente multiplicar a força pelo cosseno desse ângulo:

| P → a | = 2 . c o s 45 ° = 1,414 k N

Isso pode ser mostrado visualmente como:

Essa força em vermelho é uma das componentes da força de 2   k N ! Componente nada mais é do que dividir um vetor em outros eixos, olha só um caso geral:

Aqui a força F dividi-se em duas componentes F 1 e F 2 . Observe também que a soma dessas componentes é a própria força F .

Passo 2

Já pra calcular a projeção da força no eixo b , basta a gente perceber que o ângulo que a força faz com esse eixo vale 15 ° :

Podemos olhar também apenas as partes importantes para esse caso:

Afinal de contas, 45 ° + 15 ° = 60 ° . Assim, podemos dizer que a projeção de F → no eixo b vale:

| P → b | = 2 . cos ⁡ 15 ° = 1,93 k N

Passo 3

Para achar as componentes, vamos usar a lei dos senos, já que os eixos não são os eixos x   e   y .

As componentes da força nas direções a   e   b estão representadas abaixo:

Perceba que componente e projeção são termos distintos, a soma das componentes sempre vai dar o vetor original!! Enquanto a soma das projeções (das sombras) irá dar um valor diferente da força F (pelo fato dos eixos não serem perpendiculares)

Se deslocarmos o vetor F → b (que é a componente de F em b ), mantendo a sua direção e sentido, formamos o seguinte triângulo:

Não sabemos quanto vale β , mas como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180 ° :

45 ° + 15 ° + β = 180 ° → β = 120 °

Assim:

Pela lei dos senos:

2 s e n 120 ° = F → a s e n 15 ° = F → b s e n 45 °

Assim:

F → a = 2 . s e n 15 ° s e n 120 ° = 0,598 k N

F → b = 2 . s e n 45 ° s e n 120 ° = 1,633 k N

Resposta

| P → a | = 1,414 k N

| P b → | = 1,93 k N

F → a = 0,598 k N

F → b = 1,633 k N

Exercício Resolvido #4

Determine os componentes retangulares R a e R b da força R   ao longo dos eixos não retangulares a e b . Determine também a projeção ortogonal P → a de R → sobre o eixo a .

Passo 1

As componentes que queremos achar e a força R → podem ser vistas abaixo:

Passo 2

Se deslocarmos o vetor R → b , sem mudar a sua direção e sentido, podemos formar o seguinte triângulo:

Nós não sabemos o ângulo α , mas sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180 ° , então:

30 ° + 110 ° + α = 180 ° → α = 40 °

Assim:

Passo 3

Show de bola! Agora vamos aplicar a nossa famosa lei dos senos: Pra cada lado do triângulo, escolha o ângulo que lhe é oposto e monte a equação:

| R → | s e n 40 ° = | R → a | s e n 110 ° = | R b → | s e n 30 °

Como sabemos o valor de R → = 800 N , basta a gente isolar o que não sabemos:

R → a = s e n 110 ° s e n 40 ° . 800 = 1170 N

R b → = s e n 30 ° s e n 40 ° . 800 = 622 N

Passo 4

A projeção de R → sobre o eixo a é mais fácil de se fazer. Basta multiplicar o módulo de R → pelo cosseno do ângulo que a força faz com o eixo a .

Assim:

P → a = R → c o s 30 ° = 693 N

Resposta

R → a = 1170 N

R b → = 622 N

P → a = 693 N

Exercício Resolvido #5

Determine a resultante R das duas forças mostradas.

  1. Aplicando a regra do paralelogramo.
  2. Somando as componentes escalares.

Passo 1

Finalmente vamos usar a nossa querida regra do paralelogramo!!

Nesse caso, é claro, vamos encontrar apenas o módulo da força resultante.

Aplicando a regra:

R → 2 = F → 1 2 + F → 2 2 + 2 . F → 1 F → 2 cos ⁡ 60 °

R → 2 = 600 2 + 400 2 + 2 . 600 . 400 cos ⁡ 60 ° = 760000

R → = 760000 = 871,78   N

Passo 2

Agora vamos decompor as forças em suas componentes escalares.

A força de 400   N é claramente vertical e aponta no sentido negativo de y , assim:

F → 2 = - 400 j ^

Já a força de 600   N precisa ser decomposta segundo o triângulo abaixo:

A força faz um ângulo de 60 ° com o eixo y , nesse caso. Mas isso não nos atrapalha, não é mesmo? É Só notar que a componente horizontal será 600 s e n 60 ° e a vertical 600 c o s 60 ° . Assim:

F → 1 = 600 s e n 60 ° i ^ - 600 c o s 60 ° j ^ = 519,6 i ^ - 300 j ^

Assim, a força resultante será:

R → = F → 1 + F → 2 = 519,6 i ^ - 300 j ^ + - 400 j ^ = 519,6 i ^ - 700 j ^

E o módulo:

R → = 519,6 2 + - 700 2 = 871,78   N

Resposta

R → = 871,78   N

Exercício Resolvido #6

As duas forças mostradas atuam no ponto A da barra dobrada. Determine a resultante R das forças.

Passo 1

Nessa questão você quer saber a resultante das forças que atuam em A , ou seja, a soma das forças.

A forma mais fácil de se fazer isso, novamente, é pela soma das componentes das forças. Então, nosso primeiro trabalho vai ser escrever essas forças em termos de vetores i ^ e   j ^ .

Passo 2

Vamos analisar primeiro a força de 3 k N :

A força faz um ângulo de 30 ° com o sentido negativo do eixo x ( o que corresponderia a 150 ° com o sentido positivo do eixo).

Assim, a componente horizontal do vetor será negativa. Podemos dizer que a força pode ser escrita por:

F 1 → = - 3 c o s 30 ° i ^ + 3 s e n 30 ° j ^ = - 2,59 i ^ + 1,5 j ^ k N

Passo 3

Agora vamos olhar para a força de 7 k N : o ângulo que ela faz com o eixo x positivo não está explicito, mas podemos calculá-lo:

A soma dos ângulos internos de um triângulo tem que dar 180 ° , certo? Então:

45 ° + α + 90 ° = 180 ° → α = 45 °

Assim, o ângulo vale 45 ° . Perceba que: a força aponta para baixo, logo, a componente vertical é negativa.

Ela aponta para frente, logo a componente horizontal é positiva.

Assim:

F 2 → = 7 c o s 45 ° i ^ - 7 s e n 45 ° j ^ = 4,95 i ^ - 4,95 j ^ k N

Passo 4

A resultante será:

R → = F 1 → + F 2 → = - 2,59 i ^ + 1,5 j ^ + 4,95 i ^ - 4,95 j ^ = 2,36 i ^ - 3,45 j ^

Resposta

R → = ( 2,36 i ^ - 3,45 j ^ )   k N

Exercício Resolvido #7

O componente t da força F → vale 75   N . Determine a ) o componente n (normal) e b ) o módulo de F → .

Passo 1

O sistema de forças pode ser representado por:

Nós só sabemos quanto vale a componente tangencial da força e queremos saber quanto vale a componente normal e o módulo da força total.

Passo 2

Vamos analisar os ângulos:

Não sabemos quanto vale β , mas como a soma dos ângulos na figura tem que ser igual 180 ° , podemos dizer que:

30 ° + 90 ° + β + 10 ° = 180 ° → β = 50 °

Passo 3

Agora, se arrastarmos o vetor tangencial, podemos formar o seguinte triângulo:

Pela definição de tangente, podemos escrever:

t g   50 ° = F → t F n → → F n → = F t → tan ⁡ 50 ° = 62,9   N

E a direção? Pela figura, a componente normal está orientada no sentido negativo do eixo normal. Assim:

F → n = - 62,9 n ^

Passo 4

De novo no triângulo anterior, perceba que a relação entre o módulo da força e o módulo da componente normal é dada por:

F → n = F → cos ⁡ 50 ° → F → = F n → cos ⁡ 50 ° = 97,9   N

Resposta

a )   F → n = - 62,9 n ^

b )   F → = 97,9 N

Exercício Resolvido #8

Os cabos de sustentação A B   e   A C   estão presos no topo da torre de transmissão. A força trativa no cabo A C vale 10   k N . a ) Determine a força trativa T necessária no cabo A B , tal que o efeito resultante das duas trativas nos cabos seja uma força direcionada para baixo no ponto A . b ) Determine o módulo R   dessa força.

Passo 1

Primeiro vamos escrever as forças em componentes i ^   e   j ^ . Para isso, perceba que existem triângulos retângulos na figura que nos irão ajudar a achar os ângulos que as forças fazem com o eixo x .

Para força de 10 k N , temos o triângulo:

Assim, chamando a força de F → , ela poderá ser escrita como:

F → = F cos ⁡ θ i ^ - F   s e n   θ j ^

Perceba que eu coloquei o sinal de F y negativo, pois a força aponta para baixo, já que estamos analisando o ponto A e ele está sendo puxado para baixo (chamamos isso de tração).

Pra achar o ângulo, basta fazermos:

t g θ = 70 4 0 = 7 4           →             θ = a r c t g 7 4

θ = 60,25 °