Momentos em Duas Dimensões

Teoria Completa

Introdução

Você já tentou fechar uma porta empurrando pela parte mais próxima as dobradiças?

Tem que fazer uma força danada, não é mesmo?

Em compensação quando você empurra a porta pela maçaneta não é necessário fazer tanta força. Por que isso ocorre?

Repare que quando você empurra a porta perto da dobradiça, você está aplicando uma força a uma distância bem pequena do eixo em torno do qual a porta gira, não é mesmo? E quando você aplica uma força na maçaneta essa distância aumenta.

Qual a relação entre a intensidade da força e a distância do ponto de aplicação? É justamente isso que vamos aprender neste capítulo. Partiu?

Momento

Além da capacidade de movimentar um corpo em uma direção, uma força também possui a capacidade de girar um corpo em relação a um eixo. Essa tendência de provocar rotação se chama momento ( M ) e o seu módulo é calculado pela seguinte equação:

M = F ⋅ d

Onde, F é a intensidade da força aplicada e d é chamado braço de alavanca que é a distância perpendicular ao eixo de rotação até qualquer ponto da linha de ação da força.

O momento é dado em unidade de força vezes a unidade de distância, sendo a que unidade mais usada é N ⋅ m .

O momento é um vetor M → perpendicular ao plano do corpo que se está analisando e para definir seu sentido usamos a regra da mão direita, como veremos mais adiante.

Vamos ver um exemplo: imagine que você aplique uma força F → na maçaneta da porta:

O eixo de rotação da porta é na dobradiça junto da parede:

Então, o módulo do momento dessa força F → com relação ao eixo de rotação será:

M = F ⋅ d

Onde a d é distância do ponto onde a força foi aplicada (maçaneta) até a dobradiça da porta:

Momento pelo Teorema de Varignon

Esse é o método que você vai usar mais! Além disso, sem dúvida é o mais fácil e útil.

O teorema de Varignon nos diz que se uma força é definida por duas componentes:

F → = F → x + F → y

O momento total daquela força, em relação a um ponto, é igual à soma dos momentos de cada componente:

M = M x + M y

Vamos ver outro exemplo prático: uma força atua numa aresta de uma caixa.

Essa força tende a girar a caixinha em torno do seu centro de gravidade G . Mas para calcular o momento que esta força faz com relação ao ponto G seria mais complicado, pois a força está inclinada.

Então, o que vamos fazer é decompor esta força nos eixos x e y . Essa força pode ser decomposta em duas componentes:

E para calcular o momento de cada força?

Primeiro você precisa definir um sentido positivo de giro para o momento: horário ou anti-horário. Vamos combinar aqui que o sentido positivo será o anti-horário.

Feito isso, multiplique o valor de cada componente pela sua respectiva distância perpendicular à linha de ação da força até o ponto G .

Vamos com calma. Vamos fazer primeiro para a componente no eixo x :

O momento da componente F → x com relação ao ponto G será:

M x = F x d 1

O sinal do momento é definido pela regra da mão direita. Para isso, coloque os 4 dedos da palma da sua mão direita no sentido que a setinha da força F → x aponta e faça o movimento de girar em torno do ponto G :

Perceba que a sua mão tende a fazer o movimento sugerido pela seta vermelha na figura acima. Ou seja, a força F → x faz o bloco girar no sentido anti-horário, logo ela é positiva segundo a nossa convenção de sinais.

Agora a componente no eixo y :

O momento da componente F → y com relação ao ponto G será:

M y = F y d 2

Para determinar o sinal do momento, temos que usar a regra da mão direita de novo e neste caso ficaria assim:

Como a força F → y tende a fazer o bloquinho girar no sentido horário, o seu momento será negativo:

M y = - F y d 2

Para achar o momento total em torno do ponto G é só somarmos o momento que cada componente da força faz:

M = M x - M y

M =   F x d 1 - F y d 2

Pronto, dessa maneira você consegue encontrar facilmente o valor final do seu momento. Faremos isso várias vezes nos exercícios.

Momento na forma vetorial

Em alguns problemas, você vai ter que dar um tratamento vetorial ao momento. Nesse caso, o momento vai ser representado pelo vetor gerado pelo produto vetorial abaixo:

M → = r → × F →

Nesses casos, você vai fazer aquilo que aprendemos em vetores: usar o determinante abaixo para calcular isso:

r → × F → = i j k r 1 r 2 r 3 F 1 F 2 F 3 = i ^ r 2 r 3 F 2 F 3 - j ^ r 1 r 3 F 1 F 3 + k ^ r 1 r 2 F 1 F 2

Com esse produto você já consegue determinar o sentido do vetor, mas caso você queira conferir, só lembrar a regra da mão direita:

E é basicamente isso! Bora praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 33-2/29

A força F → de 10   k N é aplicada no ponto A . a ) Calcule o momento de F → em relação ao ponto O . b ) Determine os pontos nos eixos x e y em relação aos quais o momento de F → vale zero.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar decompondo a força nos eixo x e y . Para isso temos que achar o ângulo de inclinação dessa força:

t g   θ = 4 3       →           θ = a r c t g 4 3

θ = 53 °

Agora podemos decompor a nossa força F → :

F → x = 10 s e n   53 °       →         F → x = 8   k N

F → y = - 10 c o s   53 °       →           F → y = - 6   k N

Passo 2

Agora vamos calcular o momento com relação ao ponto O para cada uma das componentes separadamente. Vamos começar pela componente em x :

A distância d perpendicular à linha de ação da força F → x até o ponto O é:

d = 5   m

Então, o momento de F → x com relação ao ponto O é:

M x = F x d       →           M x = 8 ( 5 )    

M x = 40   k N m

Repare que a força F → x gira no sentido horário em torno do ponto O , então ela será negativa pela nossa convenção de sinais:

M x = - 40   k N m

E a componente em y ?

O momento desta força será:

M y = F y d       →           M y = 6 ( 4 )    

M y = 24   k N m

E esse momento será positivo ou negativo? Repare que a força tende a girar em torno do ponto O no sentido anti-horário, logo ela será positiva.

O momento total em relação ao ponto O será igual a soma do momento que cada componente faz:

M O = M x + M y       →           M O = - 40 + 24

M O = - 16   k N m

Ou seja, esse momento está no sentido horário.

Passo 3

Agora temos que ver onde nos eixos x e y o momento será zero. Isso ocorre onde a linha de ação da força cruza esses eixos: