Momentos em Duas Dimensões

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Teoria

Introdução

Você já tentou fechar uma porta empurrando pela parte mais próxima as dobradiças?

Tem que fazer uma força danada, não é mesmo?

Em compensação quando você empurra a porta pela maçaneta não é necessário fazer tanta força. Por que isso ocorre?

Repare que quando você empurra a porta perto da dobradiça, você está aplicando uma força a uma distância bem pequena do eixo em torno do qual a porta gira, não é mesmo? E quando você aplica uma força na maçaneta essa distância aumenta.

Qual a relação entre a intensidade da força e a distância do ponto de aplicação? É justamente isso que vamos aprender neste capítulo. Partiu?

Momento

Além da capacidade de movimentar um corpo em uma direção, uma força também possui a capacidade de girar um corpo em relação a um eixo. Essa tendência de provocar rotação se chama momento ( M ) e o seu módulo é calculado pela seguinte equação:

M = F ⋅ d

Onde, F é a intensidade da força aplicada e d é chamado braço de alavanca que é a distância perpendicular ao eixo de rotação até qualquer ponto da linha de ação da força.

O momento é dado em unidade de força vezes a unidade de distância, sendo a que unidade mais usada é N ⋅ m .

O momento é um vetor M → perpendicular ao plano do corpo que se está analisando e para definir seu sentido usamos a regra da mão direita, como veremos mais adiante.

Vamos ver um exemplo: imagine que você aplique uma força F → na maçaneta da porta:

O eixo de rotação da porta é na dobradiça junto da parede:

Então, o módulo do momento dessa força F → com relação ao eixo de rotação será:

M = F ⋅ d

Onde a d é distância do ponto onde a força foi aplicada (maçaneta) até a dobradiça da porta:

Momento pelo Teorema de Varignon

Esse é o método que você vai usar mais! Além disso, sem dúvida é o mais fácil e útil.

O teorema de Varignon nos diz que se uma força é definida por duas componentes:

F → = F → x + F → y

O momento total daquela força, em relação a um ponto, é igual à soma dos momentos de cada componente:

M = M x + M y

Vamos ver outro exemplo prático: uma força atua numa aresta de uma caixa.

Essa força tende a girar a caixinha em torno do seu centro de gravidade G . Mas para calcular o momento que esta força faz com relação ao ponto G seria mais complicado, pois a força está inclinada.

Então, o que vamos fazer é decompor esta força nos eixos x e y . Essa força pode ser decomposta em duas componentes:

E para calcular o momento de cada força?

Primeiro você precisa definir um sentido positivo de giro para o momento: horário ou anti-horário. Vamos combinar aqui que o sentido positivo será o anti-horário.

Feito isso, multiplique o valor de cada componente pela sua respectiva distância perpendicular à linha de ação da força até o ponto G .

Vamos com calma. Vamos fazer primeiro para a componente no eixo x :

O momento da componente F → x com relação ao ponto G será:

M x = F x d 1

O sinal do momento é definido pela regra da mão direita. Para isso, coloque os 4 dedos da palma da sua mão direita no sentido que a setinha da força F → x aponta e faça o movimento de girar em torno do ponto G :

Perceba que a sua mão tende a fazer o movimento sugerido pela seta vermelha na figura acima. Ou seja, a força F → x faz o bloco girar no sentido anti-horário, logo ela é positiva segundo a nossa convenção de sinais.

Agora a componente no eixo y :

O momento da componente F → y com relação ao ponto G será:

M y = F y d 2

Para determinar o sinal do momento, temos que usar a regra da mão direita de novo e neste caso ficaria assim:

Como a força F → y tende a fazer o bloquinho girar no sentido horário, o seu momento será negativo:

M y = - F y d 2

Para achar o momento total em torno do ponto G é só somarmos o momento que cada componente da força faz:

M = M x - M y

M =   F x d 1 - F y d 2

Pronto, dessa maneira você consegue encontrar facilmente o valor final do seu momento. Faremos isso várias vezes nos exercícios.

Momento na forma vetorial

Em alguns problemas, você vai ter que dar um tratamento vetorial ao momento. Nesse caso, o momento vai ser representado pelo vetor gerado pelo produto vetorial abaixo:

M → = r → × F →

Nesses casos, você vai fazer aquilo que aprendemos em vetores: usar o determinante abaixo para calcular isso:

r → × F → = i j k r 1 r 2 r 3 F 1 F 2 F 3 = i ^ r 2 r 3 F 2 F 3 - j ^ r 1 r 3 F 1 F 3 + k ^ r 1 r 2 F 1 F 2

Com esse produto você já consegue determinar o sentido do vetor, mas caso você queira conferir, só lembrar a regra da mão direita:

E é basicamente isso! Bora praticar?

Momento pelo Teorema de Varignon

Momento na forma vetorial

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A força F → de 10   k N é aplicada no ponto A . a ) Calcule o momento de F → em relação ao ponto O . b ) Determine os pontos nos eixos x e y em relação aos quais o momento de F → vale zero.

Passo 1

Vamos começar decompondo a força nos eixo x e y . Para isso temos que achar o ângulo de inclinação dessa força:

t g   θ = 4 3       →           θ = a r c t g 4 3

θ = 53 °

Agora podemos decompor a nossa força F → :

F → x = 10 s e n   53 °       →         F → x = 8   k N

F → y = - 10 c o s   53 °       →           F → y = - 6   k N

Passo 2

Agora vamos calcular o momento com relação ao ponto O para cada uma das componentes separadamente. Vamos começar pela componente em x :

A distância d perpendicular à linha de ação da força F → x até o ponto O é:

d = 5   m

Então, o módulo do momento de F → x com relação ao ponto O é dado pelo módulo da força e a distância:

M x = F x d       →           M x = 8 × 5    

M x = 40   k N m

E para saber o sinal, temos que analisar...

Repare que a força F → x gira no sentido horário em torno do ponto O , então ela será negativa pela nossa convenção de sinais:

M x = - 40   k N m

E a componente em y ?

O módulo do momento desta força será:

M y = F y d       →           M y = 6 × 4    

M y = 24   k N m

E esse momento será positivo ou negativo? Repare que a força tende a girar em torno do ponto O no sentido anti-horário, logo ela será positiva.

M y = 24 k N m

O momento total em relação ao ponto O será igual a soma do momento que cada componente faz:

M O = M x + M y       →           M O = - 40 + 24

M O = - 16   k N m

Ou seja, como esse valor deu negativo, o nosso momento total está no sentido anti-horário!

Passo 3

Agora temos que ver onde nos eixos x e y o momento será zero. Pessoal, momento não é calculado como força vezes distância?

M = F × d

Então é só acharmos os pontos onda a distância da linha de ação da força ao eixo é zero!

Isso ocorre onde a linha de ação da força cruza esses eixos:

Repare que agora vamos utilizar a linha de ação da força   F → e não mais apenas de suas componentes F x e F y .

Então, vamos usar semelhança de triângulos para obter esses valores. Vamos começar pelo eixo x :

Vamos fazer a semelhança entre esses dois triângulos aqui:

5 4 + a = 3 4         →           4 + a = 20 3

a = 2,67   m

Então, a coordenada fica:

2,67 ; 0   m

Ou seja

x = a = 2,67   m

Vamos fazer outra semelhança de triângulos para achar o ponto onde intercepta o eixo y :

Vamos ter os seguintes triângulos:

b 4 = 3 4         →           b = 3   m

Então, a coordenada fica:

0,2   m

Repare que para achar esse valor também poderíamos ter feito a semelhança de triângulos usando 2,67. Ficaria assim:

3 4 = y 2,67

4 y = 8,01

y = 2

Ou seja,

y = 5 - b = 5 - 3 = 2   m

Resposta

a )   M O = - 16   k N m →   n o   s e n t i d o   h o r á r i o

b )   2,67 ; 0   m   e   0,2   m

Exercício Resolvido #2

Determine o momento da força de 800   N a ) em relação ao ponto A e b )   em relação ao ponto O .

Passo 1

Vamos começar decompondo a força nos eixo x e y . Repare que a força forma o seguinte triângulo retângulo:

Vamos ter que:

F → x = - 800 s e n   30 °       →         F → x = -   400   N

F → y = - 800 c o s   30 °       →           F → y = - 692,8   N

Passo 2

Agora vamos calcular o momento com relação ao ponto A para cada uma das componentes separadamente. Vamos começar pela componente em x :

Qual é a distância perpendicular ao ponto A até a linha de ação da força F → x ? É zero!!!

Então,

M x = 0

E a componente em y ?

Agora sim existe uma distância do ponto A até a linha de ação da força F → y , então o momento desta força será:

M y = F y d       →           M y = 692,8 ( 0,875 )    

M y = 606   N m

E esse momento será positivo ou negativo? Repare que ele tende a fazer a barra girar no sentido horário, logo ele será negativo, pois seu dedão aponta para dentro da tela.

M y = - 606   N m

O momento total em relação ao ponto A será igual a soma do momento que cada componente faz:

M A = M x + M y       →           M A = 0 - 606

M A = - 606   N m

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo procedimento para calcular o momento com relação ao ponto O . Vamos começar pela componente em x :

Repare que agora existe uma distância perpendicular à linha de ação da força F → x até o ponto O :

M x = F x d         →             M x = 400 ( 0,625 )  

M x = 250   N m

E esse momento será positivo ou negativo? Repare que ele faz a barra girar no sentido anti-horário em torno do ponto O , então ele será positivo mesmo.

E a componente em y ?

Repare que a distância perpendicular à linha de ação da força F → y até o ponto O será a mesma distância que usamos para o ponto A . Então, o momento desta força com relação ao ponto O será:

M y = F y d       →           M y = 692,8 ( 0,875 )    

M y = 606   N m

E o seu sinal também será negativo, pois tende a girar a barra no sentido anti-horário:

M y = - 606   N m

Então, o momento total com relação ao ponto O será:

M O = M x + M y       →           M O = 250 - 606  

M O = - 356   N m

Resposta

a )   M A = 606   N m →   n o   s e n t i d o   h o r á r i o

b )   M O = 356   N m →   n o   s e n t i d o   h o r á r i o

Exercício Resolvido #3

Determine o momento da força de 50 N :

  1. Em relação ao ponto O , usando o teorema de Varignon.
  2. Em relação ao ponto C , por um enfoque vetorial.

Passo 1

Vamos primeiro a escrever a força F → em termos dos vetores unitários i ^ e j ^ .

Pra isso, vamos determinar o vetor unitário da linha de ação da força. Esse vetor é o vetor unitário da distância entre B   e   A :

A B → = 40,10 - - 15 , - 20 = 55,30

Assim:

n ^ = 1   55 2 + 30 2 . 55,30 = 55   55 2 + 30 2 i ^ + 30   55 2 + 30 2 j ^

Assim, a força é esse vetor multiplicado pelo módulo:

F → = 50 . 55   55 2 + 30 2 i ^ + 30   55 2 + 30 2 j ^ = 43,9 i ^ + 23,9 j ^

Passo 2

Vamos aplicar o teorema de varignon pra calcular o momento:

Observe a decomposição da força no ponto. Olhando o sentido de giro de cada componente( F x gira no sentido anti-horário e F y no horário) e adotando o sentido anti-horário como o positivo, temos:

M o = 43,9 . 20 - 23,9 . 15 = 519,5 N . m m

Passo 3

b)

Agora queremos saber em relação ao ponto C . Vamos usar um enfoque vetorial, ou seja:

M → = r → x F →

E vamos usar a distância entre B e C como o braço de alavanca:

r → B C = 0,25 - 40,10 = - 40,15