Vetores

Resumo Completo

Introdução

Você certamente já ficou doente, né?

Imagine que você pegou um termômetro para medir a sua temperatura e viu que está com 40°C. Essa informação é suficiente para você saber que está com febre, não é mesmo?

Agora imagine que você esteja navegando em alto-mar e precise ir até uma ilha. Então, você abre o seu GPS e vê que ele diz que a ilha está a 3   k m de distância. A primeira coisa que você vai fazer é se perguntar: 3   k m para onde?

Somente a informação que a ilha está a 3   k m de distância não é suficiente para você chegar até ela, é preciso dar a direção e o sentido que você precisa seguir.

Por que compreendemos algumas grandezas somente com um valor número e uma unidade e outras precisamos de mais informações?

É isso que veremos neste tópico... Então, bora!

Diferença entre escalar e vetor

Quando você vai à padaria comprar pão, você apenas diz: ”Eu gostaria de n pães”. E a pessoa entende o que você quer sem precisar de mais nenhuma informação, não é mesmo?

Quando é necessário apenas um valor numérico e uma unidade para representar alguma coisa, dizemos que ela é uma grandeza de escalar. Como por exemplo, o número n e a temperatura medida no termômetro.

Uma grandeza escalar, de forma geral, expressa quantidade ou variação de algo. Algumas grandezas escalares famosas são: as próprias quantidades, temperatura, massa, tempo, etc.

Quando somente o valor numérico e a unidade não bastam para dar uma informação completa, dizemos que se trata de uma grandeza vetorial.

Se no nosso exemplo inicial fosse informado que a ilha está a 3   k m de distância à noroeste do ponto onde você está, aí sim você iria conseguir chegar até ela. Esta grandeza que estamos tratando é um vetor deslocamento que indica a distância, a direção e o sentido que você deve percorrer para chegar ao seu destino.

Vetor é um segmento de reta com uma seta em sua extremidade:

Todo vetor deve possuir:

  • Direção: representada pelo segmento de reta
  • Sentido: indicado pela setinha na extremidade
  • Módulo: indicado pelo tamanho do segmento de reta

Vamos aprender como representá-los e fazer algumas operações com eles, o que vai ser muito importante em Mecânica!

Representação e componentes

O símbolo padrão pra se representar um vetor é colocando uma setinha em cima da variável, por exemplo:

V

Mas para que você possa fazer cálculos com os vetores, é importante que ele seja representado em termos de suas componentes. E o que são componentes? Veja esse vetor aqui embaixo:

Ele pode ser decomposto em uma componente no eixo x , que vamos chamar de F x , e outra componente no eixo y , que vamos chamar de F y :

Dois ou mais vetores cuja soma é igual ao vetor F chamamos de componentes:

F = F x + F y

Podemos representar isso usando parênteses:

F = F x , F y

Ou se tivéssemos três dimensões:

F = F x , F y , F z

Ou podemos representar um vetor pelo que chamamos de vetores unitários. Vetores unitários são vetores de módulo 1 e que possuem direção e sentido que coincidem com os eixos cartesianos:

O vetor i ^ é o vetor unitário na direção do eixo x . O vetor j ^ é o vetor unitário da dire��ão do eixo y . E o vetor k ^ é o vetor unitário na direção do eixo z .

Então a representação do nosso vetor F usando os unitários fica assim:

F = F x i ^ + F y j ^

E caso ele tivesse três dimensões ficaria:

F = F x i ^ + F y j ^ + F z k ^

Beleza?

E como se obtêm as componentes de um vetor? Bom, existem várias formas, mas uma forma comum é através do ângulo que o vetor faz com algum dos eixos. Por exemplo, se a força F faz um ângulo θ com o eixo x , podemos dizer que o módulo da componente x é dada por:

F x = F cos θ x

Onde θ x é o ângulo que o vetor faz com o eixo x .

Você pode ver isso notando que o vetor F forma um triângulo retângulo com o eixo x :

E a direção? A direção é dada pelo vetor unitário i ^ :

F x = F cos θ x i ^

Se tivéssemos uma força apontando para o sentido negativo do eixo x teríamos que colocar um sinal de menos ali na frente, beleza?

Da mesma forma, podemos encontrar as componentes y e z , sendo θ y e   θ z os ângulos que o vetor faz com os respectivos eixos:

F y = F cos θ y j ^

F z = F cos θ z k ^

Os termos cos θ x , cos θ y ,   cos θ z são chamados de cossenos diretores.

Outra coisa importante de se saber é como se calcula o módulo de um vetor, a partir de suas componentes. Você vai usar a equação abaixo, que é derivada do teorema de Pitágoras:

F = F x 2 + F y 2 + F z 2

Soma entre vetores

A forma mais simples de se somar vetores é somar componente a componente de cada vetor. Por exemplo:

v 1 = 1 i ^ + 2 j ^ + 3 k ^

v 2 = 1 i ^ + 3 j ^ + 5 k ^

v = v 1 + v 2

v = 1 i ^ + 2 j ^ + 3 k ^ + 1 i ^ + 3 j ^ + 5 k ^

v = 2 i ^ + 5 j ^ + 8 k ^

Outra forma bem usada é a regra do paralelogramo: Pra usar essa regra, você precisa conhecer o ângulo entre os vetores. Nesse caso, no entanto, você obtêm apenas o módulo do vetor resultante:

E a fórmula é:

v 2 = v 1 2 + v 2 2 + 2 . v 1 v 2 cos α

E se quisermos fazer uma subtração?

Bom, com o método das componentes é muito simples: basta subtrair componente a componente. Naquele nosso exemplo ficaria assim:

v 1 = 1 i ^ + 2 j ^ + 3 k ^

v 2 = 1 i ^ + 3 j ^ + 5 k ^

v = v 1 - v 2

v = 1 i ^ + 2 j ^ + 3 k ^ - 1 i ^ + 3 j ^ + 5 k ^

v = 0 i ^ - 1 j ^ - 2 k ^

Já com a regra do paralelogramo, você deve notar que realizar uma subtração é o mesmo que somar um dos vetores com o sentido contrário:

v = v 1 - v 2 = v 1 + - v 2

Então, se a informação que você tinha era que o ângulo entre os vetores era α , você terá que usar α ' = 180 ° - α na formulinha que aprendemos:

v 2 = v 1 2 + v 2 2 + 2 . v 1 v 2 cos 180 ° - α

Como cos 180 ° - α = - cos α :

v 2 = v 1 2 + v 2 2 - 2 . v 1 v 2 cos α

Produtos

Temos dois tipos de produtos entre vetores: produto escalar e produto vetorial.

  • Produto Escalar
  • O produto escalar pode ser feito através do produto de termo a termo de cada vetor, dessa forma:

    v     u = v 1 , v 2 , v 3 . u 1 , u 2 , u 3 = v 1 . u 1 + v 2 . u 2 + v 3 . u 3

    Ou através da fórmula:

    v u = v u cos α

    Onde α é o ângulo entre os vetores.

    Importante: O resultado desse produto é sempre uma grandeza escalar e não vetorial.

  • Produto vetorial

O produto vetorial é um pouco mais complicado. Podemos calculá-lo através de um determinante:

v × u = i ^ j ^ k ^ v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3

Uma forma simples de se calcular esse determinante é usando a regra de Laplace (calma, isso não tá virando álgebra).

Como usar Laplace nesse caso? Muito simples, para cada elemento da primeira linha, exclua a linha e coluna que ele ocupa. Multiplique o determinante reduzido pelo seu respectivo unitário. Por exemplo:

Faça isso com todos e inclua um sinal de menos na frente do termo j ^ :

i ^ j ^ k ^ v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 = i ^ v 2 v 3 u 2 u 3 - j ^ v 1 v 3 u 1 u 3 + k ^ v 1 v 2 u 1 u 2

Aí é só calcular aqueles determinantes 2 x 2 e pronto, você terá o vetor resultante (:

Outra forma muito legal é usar a fórmula abaixo pra se obter o módulo do vetor resultante:

v × u = v u s e n   α

Onde α é o ângulo entre eles. E pra determinar a direção do vetor? Usamos a regra da mão direita:

Vamos definir três partes da sua mão:

  • Dedão
  • O seu dedão vai ficar no sentido do primeiro vetor do produto vetorial

  • Os seus 4 dedos (exceto seu dedão)
  • Seus 4 dedos vão ficar no sentido do segundo vetor do produto vetorial

  • Palma da mão
  • A palma da sua mão vai indicar o sentido do vetor resultando do produto vetorial

    Você também pode fazer uma “volta” com os seus dedos no sentido do primeiro para o segundo vetor, usando o seu dedão pra indicar a direção do vetor resultante:

    Propriedades especiais dos produtos:

    Os produtos que vimos tem algumas propriedades especiais quando se tratam de vetores paralelos ou vetores perpendiculares. Perceba que vetores paralelos são aqueles que fazem um ângulo de 0 ° entre eles:

    E perpendiculares, um ângulo de 90 ° :

    Então:

  • Produtos escalares:
  • São nulos quando os vetores são perpendiculares entre si ( cos 90 ° = 0 ) :

    v u = v u cos 90 ° = 0

    E máximos quando são paralelos ( cos 0 ° = 1 ):

    v u = v u cos 0 ° = v u

    Além disso, perceba que eles podem ser antiparalelos (podem fazer um ângulo de 180 ° entre si), ou seja, são “paralelos”, mas apontam em sentidos contrários:

    v u = v u cos 180 ° = v u cos 180 ° = - v u

  • Produtos vetoriais:

São nulos quando os vetores são paralelos ( s e n   0 ° = 0 ) :

v × u = v u s e n   0 ° = 0

Ou quando são antiparalelos s e n   180 ° = 0 :

v × u = v u s e n 180 ° = 0

E são máximos quando são perpendiculares ( s e n   90 ° = 1 ) :

v × u = v u s e n 90 ° = v u

E é isso!!!

Vamos praticar um pouco agora.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração própria

Determine os ângulos feitos pelo vetor V = - 50 i + 10 j com o eixo positivo dos x e dos y .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos, antes de mais nada, calcular a o módulo desse vetor:

V = V x 2 + V y 2 = - 50 2 + 10 2 = 2600 = 10 26

Passo 2

Pra calcular os ângulos, a gente pode seguir o seguinte procedimento:

Calcular cos θ x   e cos θ y , onde θ x   e θ y são os ângulos que queremos achar, sabendo que:

V x = V cos θ x

Então, vamos ter que:

cos θ x = V x V = - 50 10 26 = - 5 26

E a mesma coisa para y :

cos θ y = V y V = 10 10 26 = 1 26

Com os valores encontrados, vamos usar a função a r c c o s pra descobrir os ângulos.

Assim:

c o s θ x = - 5 26 θ x = arccos - 5 26

θ x = 169,2 °

E:

c o s θ y = 1 26 θ y = arccos 1 26    

θ y = 7 9,2 °

Eiiiiii! Atenção aqui! Esse é um vetor no segundo quadrante (componente x negativa e componente y positiva). O valor que encontramos pra θ x é o ângulo entre o eixo x positivo e o nosso vetor. Já o valor que encontramos pra θ y é o ângulo entre o eixo y positivo e o nosso vetor.

Isso significa que se você subtrair um do outro TEM QUE DAR 90 GRAUS. Tendeu?

Observe que dividimos as componentes pelo módulo do vetor completo. Basicamente, é como se estivéssemos calculando o cosseno em um triângulo retângulo.

Resposta

θ x = 169,2 °

θ y = 79,2 °

Exercício Resolvido #2

Enunciado

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 15. 1/4

Uma força é especificada pelo vetor F = 160 i + 80 j - 120 k   N . Calcule os ângulos entre F e os eixos positivos x ,   y   e   z .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor:

V = V x 2 + V y 2 + V z 2 = 160 2 + 80 2 + - 120 2 = 215 N

Passo 2

Assim:

c o s θ x = 160 215 θ x = 42,0 °

c o s θ y = 80 215 θ y = 68,2 °

c o s θ z = - 120 215 θ z = 123,9 °

Resposta

θ x = 42,0 °

θ y = 68,2 °

θ z = 123,9 °

Exercício Resolvido #3

Enunciado

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 15. 1/2

Determine o valor da soma vetorial V = V 1 + V 2 e do ângulo θ x que V faz com o eixo positivo x . Complete tanto a solução gráfica quanto a algébrica.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Pra resolver isso de forma algébrica, podemos escrever ambos os vetores em termos de suas componentes.

O vetor V 1 fica:

V 1 = 27 c o s 30 ° i + 27 s e n 30 ° j = 23,3 i + 13,5 j

E quanto vale o ângulo que o vetor V 2 faz com x positivo?

Bom, temos um triângulo semelhante ao triângulo formado pelo vetor e o eixo logo abaixo do mesmo na figura:

Tirando o arco tangente desse triângulo:

a r c t g 4 3 = 53,1 °

Opa, mas o vetor tá orientado no sentido contrário ao eixo, certo? Então devemos tomar o ângulo suplementar a esse ângulo, ou seja:

θ 2 = 180 - 53,1 ° = 126,87 °

Assim:

V 2 = 21 cos 126,87 ° i + 21 s e n 126,87 ° j = - 12,6 i + 16,8 j

Passo 2

E pra achar o vetor resultante? Bem, só somar componente a componente:

V = V 1 + V 2 = 23,3 - 12,6 i + 13,5 + 16,8 j = 10,7 i + 30,3 j

Passo 3

O vetor resultante faz um ângulo θ x com x :

Pra achar esse ângulo, basta a gente tirar o arco tangente das componentes do vetor:

θ x = a r c t g 30,3 10,7 70,5 °

É como se tivéssemos tirado o arco tangente do triângulo formado pelas componentes:

Passo 4

Vamos resolver essa questão agora usando a regra do paralelogramo. Como sabemos os ângulos que cada vetor faz com o eixo x , podemos descobrir o ângulo que um vetor faz com o outro, já que a soma de todos os ângulos deve ser igual a 180 ° :

Assim:

180 = 53,1 + 30 + θ v e t o r e s θ v e t o r e s = 96,9 °

Assim, usando a regra do paralelogramo, conseguimos determinar o módulo de V :

V = 21 2 + 27 2 + 2.21.27 . cos 96,9 ° = 32,1

Resposta

V = 10,7 i + 30,3 j

V = 32,1

θ x = 70,5 °

Exercício Resolvido #4

Enunciado

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 15. 1/3

Para os vetores V 1 e V 2 abaixo, determine a ) o módulo da diferença vetorial V ' = V 2 - V 1 e o b )   ângulo θ x que V ' faz com o eixo positivo x . Complete tanto a solução gráfica quanto a algébrica.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Escrevendo os vetores em termos de suas componentes, temos que:

V 1 = 27 cos 30 ° i + 27 s e n   30 ° j

V 1 = 23,3 i + 13,5 j

E para o vetor V 2 , temos:

t g   β = 4 3                 β = 53,13 °

Então:

V 2 = - 21 cos 53,13 ° i + 21 s e n   53,13 ° j

V 2 = - 12,6 i + 16,8 j

Pra resolver a questão algebricamente, vamos apenas subtrair componente a componente dos vetores:

V 1 = 23,3 i + 13,5 j

V 2 = - 12,6 i + 16,8 j

Assim:

V = - 12,6 - 23,3 i + 16,8 - 13,5 j = - 35,9 i + 3,3 j

E:

V = - 35,9 2 + 3,3 2   = 36,05

E pra descobrir o ângulo que o vetor faz com o eixo x , basta calcular o a r c t g usando os valores das componentes:

θ x = a r c t g 3,3 - 35,9 = - 5,2 °

Mas como queremos o correspondente desse ângulo no 2° quadrante, temos que achar o correspondente dele subtraindo de 180°. Então:

θ x = 174,8 °

Passo 2

Antes de tudo, lembre-se que uma subtração de vetores é o equivalente a uma soma com um dos vetores com o sentido contrário (com o sinal de menos na frente):

V ' = V 2 - V 1 = V 2 + - V 1

Assim, os nossos vetores vão ficar assim ó:

Perceba agora uma coisa: Antes, tínhamos um ângulo α entre os vetores. Agora, o ângulo entre os vetores V 2 e - V 1 tem que ser o complementar do antigo ângulo. Repare que o ângulo α será:

α = 60 ° + 36,87 ° = 96,87 °

Então:

180 ° - α = 180 ° - 96,87 ° = 83,13 °

Assim, basta a gente aplicar a regra do paralelogramo:

V ' = 27 2 + 21 2 + 2.21.27 cos 83,13 ° 36,1

Uma diferença pequena para o encontrado no outro método.

Resposta

a )   V = 36,05

b )   θ x = 174,8 °

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Elaboração própria

Dados os vetores: v = 1,2   e   u = ( 2,1 ) , encontre o cosseno do ângulo entre os vetores.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

O que podemos fazer é o seguinte:

v u = u v c o s θ c o s θ = v u u v

Passo 2

O que podemos fazer, agora, é calcular o produto escalar e depois os módulos de cada vetor:

v u = 1,2 2,1 = 4

u = 1 2 + 2 2 = 5

v = 2 2 + 1 2 = 5

Assim:

c o s θ = 4 5 . 5 = 4 5 = 0,8

Resposta

0,8

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987.

Se u × v = 3 3 ,   u = 3   e 60 ° é o ângulo entre u   e   v , determinar v

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos usar

u × v = u v s e n θ

Passo 2

Sabemos que:

θ = 60 °

u × v = 3 3

u = 3

Assim:

u × v = u v s e n θ

3 3 = 3 . v s e n 60 °

3 3 = 3 . v 3 2 v = 2

Resposta

v = 2

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987.

Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:

  1. j × 2 i
  2. 3 i × 2 k
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos usar a regra da mão direita pra resolver esse problema.

Mas antes, vamos localizas os nossos vetores unitários:

Passo 2

O primeiro produto vetorial é:

j × 2 i

Então, vamos ter o seguinte:

Assim:

j ^ × 2 i ^ = - 2 k ^

E como achamos o módulo?

Basta lembrar que:

v × u = v u s e n   θ

Só que estamos lidando apenas com vetores perpendiculares s e n   90 ° = 1 . Assim:

v x u = v u

Então, nessa questão, pra achar o módulo é só multiplicar os módulos de cada vetor!

Passo 3

Agora:

3 i ^ × 2 k ^

Assim:

3 i ^ × 2 k ^ = - 6 j ^

Resposta

a ) - 2 k ^

b ) - 6 j ^

Exercício Resolvido #8

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987.

Dados os vetores a = 1,2 , 1 e   b = ( 2,1 , 0 ) , calcular:

  1. 2 a × a + b
  2. a + 2 b × ( a - 2 b )
MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a)

Primeiro vamos realizar a soma dos vetores mias internos e depois vamos usar o produto vetorial com o determinante:

2 1,2 , 1 × 1,2 , 1 + 2,1 , 0 = 2 . 1,2 , 1 × 3,3 , 1 =

= 2 i j k 1 2 1 3 3 1 = 2 i ^ . 2 1 3 1 - j ^ 1 1 3 1 + k ^ 1 2 3 3 = 2 - 1 i ^ + 2 j ^ - 3 k ^

= - 2 i ^ + 4 j ^ - 6 k ^ = ( - 2,4 , - 6 )

Passo 2

b)

Da mesma forma:

1,2 , 1 e   b = ( 2,1 , 0 ) ,

1,2 , 1 + 2 . 2,1 , 0 × 1,2 , 1 - 2 . 2,1 , 0 = 5,4 , 1 x - 3,0 , 1

i j k 5 4 1 - 3 0 1 = i ^ 4 1 0 1 - j ^ 5 1 - 3 1 + k ^ 5 4 - 3 0 = 4 i ^ - 8 j ^ + 12 k ^ = ( 4 , - 8,12 )

Resposta

a)

- 2,4 , - 6

b)

( 4 , - 8,12 )

Exercício Resolvido #9

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987.

Dados os pontos A 2 , - 1,2 ,   B 1,2 , - 1 e   C ( 3,2 , 1 ) , determinar o valor de C B × B C - 2 C A

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Os vetores desse exercício são segmentos que ligam os pontos. Assim, para os gerar, devemos realizar as seguintes operações:

C B = B - C = 1,2 , - 1 - 3,2 , 1 = - 2,0 , - 2

B C = C - B = 3,2 , 1 - 1,2 , - 1 = 2,0 , 2

C A = A - C = 2 , - 1,2 - 3,2 , 1 = ( - 1 , - 3,1 )

Passo 2

Agora basta a gente aplicar as operações:

C B × B C - 2 C A = - 2,0 , - 2 × ( 2,0 , 2 - 2 . - 1 , - 3,1 )

= - 2,0 , - 2 × 4,6 , 0

= i j k - 2 0 - 2 4 6 0 = i ^ 0 - 2 6 0 - j ^ - 2 - 2 4 0 + k ^ - 2 0 4 6 = 12 i ^ - 8 j ^ - 12 k ^

= ( 12 , - 8,12 )

Resposta

( 12 , - 8 , - 12 )

Exercício Resolvido #10

Enunciado

Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle, Geometria Analítica, 2ª ed, São Paulo: McGrawHill, 1987.

Dados os vetores v = a ,   5 b ,   - c 2 e w = ( - 3 a , x , y ) , determinar x   e   y para que   v × w = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Basta a gente aplicar:

v × w = i j k a 5 b - c 2 - 3 a x y

Passo 2

v × w = i j k a 5 b - c 2 - 3 a x y

= i ^ 5 b - c 2 x y - j ^ a - c 2 - 3 a y + k ^ a 5 b - 3 a x

= i ^ 5 b y + x c 2 - j ^ y . a - 3 a c 2 + k ^ x . a + 15 a b = 0

Como o vetor resultante é nulo, todas as suas componentes são nulas:

5 b y + x c 2 = 0

y . a - 3 a c 2 = 0

x . a + 15 a b = 0

Assim, da última e da segunda equação:

x = - 15 b

y = 3 c 2

Passo 3

Para verificarmos se estamos corretos, vamos colocar os valores de x e de y na primeira equação!

5 b 3 c 2 + c 2 - 15 b = 15 b c 2 - 15 b c 2 = 0

Ótimo, então está correto!

Resposta

x = - 15 b

y = 3 c 2

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