Teoria

Fala aí, você acabou de chegar no Responde Aí. E aqui, vamos tirar a sua dúvida sobre Vetores.

Grandeza escalar e vetorial

Quando você vai à padaria e diz “Me dê 10 pães”, a pessoa entende exatamente o que você quer, e você não precisa indicar qual é a “direção do pão”. Isso acontece pois é uma grandeza escalar.

Uma grandeza escalar, expressa a quantidade de alguma coisa. Algumas grandezas escalares famosas são: temperatura, massa, tempo, etc.

Tempo, massa e temperatura são grandezas escalares.
Tempo, massa e temperatura são grandezas escalares.

Agora vamos pra outra situação. Você está completamente perdido, e alguém diz “em 500 m tem uma parada de ônibus”. Mas pra qual direção? Você tem que ir pra esquerda? Pra direita? Tem que continuar andando em frente ou tem que voltar?

Essa confusão acontece, pois, deslocamento é uma grandeza vetorial! Quando falamos de grandezas vetoriais sempre precisamos indicar a direção e sentido, além da intensidade.

Deslocamento é uma grandeza vetorial.
Deslocamento é uma grandeza vetorial.

Outras grandezas vetoriais são: velocidade, força, aceleração, etc.

O que são os vetores?

Os vetores são a forma de indicar as grandezas vetoriais. Na prática, um vetor é representado por uma seta!

Exemplo de vetor.
Exemplo de vetor.

A seta aponta a direção e sentido do vetor, e o tamanho da seta representa a intensidade.

A intensidade também é chamada de módulo.

Representando um vetor como uma seta.
Representando um vetor como uma seta.

Por exemplo. Se eu disse que o meu carro se move a na horizontal pra esquerda, a gente pode representar assim:

Carro a
Carro a

Representando vetores matematicamente

Quando a gente for fazer contas, a gente precisa de formas fáceis de escrever vetores numa equação.

A forma mais comum de escrever um vetor é colocar uma setinha em cima da variável:

Vetor
Vetor

Decomposição de vetores

Mas para que você possa fazer cálculos com os vetores, é importante que ele seja representado em termos de suas componentes.

E o que são componentes? Veja esse vetor aqui embaixo:

Ele pode ser decomposto em uma componente no eixo , que vamos chamar de , e outra componente no eixo , que vamos chamar de :

Decomposição do vetor
Decomposição do vetor

Podemos representar isso usando parênteses:

Se tivermos três dimensões nós usamos:

E como descobrimos o valor de e ? Você pode fazer isso notando que o vetor forma um triângulo retângulo com o eixo :

Ângulos entre
Ângulos entre

E com base nesses ângulos a gente calcula o módulo das componentes

Representando vetores usando vetores unitários

Outra forma de representar vetores é usando vetores unitários.

É bem simples, pra cada um dos três eixos existe uma letra que representa a direção e sentido desse eixo:

Vetores unitarios
Vetores unitarios

Então podemos representar um vetor da seguinte forma:

Módulo de um vetor

Outra coisa importante de se saber é como se calcula o módulo de um vetor, a partir de suas componentes.

Novamente, se você lembrar que o vetor forma um triângulo com suas componentes, vai perceber que podemos usar o teorema de Pitágoras para encontrar o módulo do vetor:

Exemplo:

Explique o vetor abaixo e calcule o seu módulo:

Esse é um vetor de duas dimensões. Que aponta 20 unidades na direção de e 15 unidades na direção contrária de .

O módulo é:

Soma e subtração entre vetores

Quando a gente têm as componentes dos vetores, então não tem segredo: é só somar ou subtrair as componentes iguais uma com a outra.

Exemplo: Some o vetor com o vetor

Porém, as vezes nós não temos as componentes do vetor, mas temos o ângulo entre dois vetores. Nesses casos usamos a regra do paralelogramo

Caso de uso da regra do paralelogramo
Caso de uso da regra do paralelogramo

E se for uma subtração, então usamos:

Produtos entre vetores

Existem duas formas de multiplicar vetores. O Produto escalar e o produto vetorial

Produto escalar ()

O produto escalar pode ser feito através do produto de termo a termo de cada vetor, dessa forma:

Mas se não temos as componentes do vetor, mas temos o ângulo entre dois vetores, podemos usar a fórmula:

Importante: O resultado desse produto é sempre uma grandeza escalar e não vetorial.

Produto vetorial ()

O produto vetorial é um pouco mais complicado. Podemos calculá-lo através de um determinante:

Mas se não temos as componentes do vetor, mas temos o ângulo entre dois vetores, podemos usar a fórmula:

E para determinar a direção e sentido do vetor usamos a regra da mão direita.

Regra da mão direita
Regra da mão direita

Videoaula

Quer saber mais sobre vetores? Então dá uma olhada nessa aula sobre o assunto:

Agora dá uma olhada aqui em baixo e vamos fazer uns exercícios 👇

Representando vetores matematicamente

Soma e subtração entre vetores

Produtos entre vetores

Videoaula

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine os ângulos feitos pelo vetor V → = - 50 i + 10 j com o eixo positivo dos x e dos y .

Passo 1

Vamos, antes de mais nada, calcular a o módulo desse vetor:

V → = V x 2 + V y 2 = - 50 2 + 10 2 = 2600 = 10 26

Passo 2

Pra calcular os ângulos, a gente pode seguir o seguinte procedimento:

Calcular cos ⁡ θ x   e cos ⁡ θ y , onde θ x   e θ y são os ângulos que queremos achar, sabendo que:

V → x = V → cos ⁡ θ x

Então, vamos ter que:

cos ⁡ θ x = V x V → = - 50 10 26 = - 5 26

E a mesma coisa para y :

cos ⁡ θ y = V y V → = 10 10 26 = 1 26

Com os valores encontrados, vamos usar a função a r c c o s pra descobrir os ângulos.

Assim:

c o s θ x = - 5 26 → θ x = arccos ⁡ - 5 26

θ x = 168,69 °

E:

c o s θ y = 1 26 → θ y = arccos ⁡ 1 26    

θ y = 78,69 °

Eiiiiii! Atenção aqui! Esse é um vetor no segundo quadrante (componente x negativa e componente y positiva). O valor que encontramos pra θ x é o ângulo entre o eixo x positivo e o nosso vetor. Já o valor que encontramos pra θ y é o ângulo entre o eixo y positivo e o nosso vetor.

Isso significa que se você subtrair um do outro TEM QUE DAR 90 GRAUS. Tendeu?

Observe que dividimos as componentes pelo módulo do vetor completo. Basicamente, é como se estivéssemos calculando o cosseno em um triângulo retângulo.

Resposta

θ x = 168,69 °

θ y = 78,69 °

Exercício Resolvido #2

Uma força é especificada pelo vetor F = 160 i + 80 j - 120 k   N . Calcule os ângulos entre F e os eixos positivos x ,   y   e   z .

Passo 1

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor:

V → = V x 2 + V y 2 + V z 2 = 160 2 + 80 2 + - 120 2 = 215 N

Passo 2

Assim:

c o s θ x = 160 215 → θ x = 42,0 °

c o s θ y = 80 215 → θ y = 68,2 °

c o s θ z = - 120 215 → θ z = 123,9 °

Resposta

θ x = 42,0 °

θ y = 68,2 °

θ z = 123,9 °

Exercício Resolvido #3

Determine o valor da soma vetorial V → = V 1 → + V 2 → e do ângulo θ x que V → faz com o eixo positivo x . Complete tanto a solução gráfica quanto a algébrica.

Passo 1

Pra resolver isso de forma algébrica, podemos escrever ambos os vetores em termos de suas componentes.

O vetor V 1 → fica:

V 1 → = 27 c o s 30 ° i + 27 s e n 30 ° j = 23,3 8 i + 13,5 j

E quanto vale o ângulo que o vetor V 2 → faz com x positivo?

Bom, temos um triângulo semelhante ao triângulo formado pelo vetor e o eixo logo abaixo do mesmo na figura:

Tirando o arco tangente desse triângulo:

a r c t g 4 3 = 53,1 3 °

Opa, mas o vetor tá orientado no sentido contrário ao eixo, certo? Então devemos tomar o ângulo suplementar a esse ângulo, ou seja:

θ 2 = 180 - 53,1 3 ° = 126,87 °

Assim:

V 2 → = 21 cos ⁡ 126,87 ° i + 21 s e n 126,87 ° j = - 12,6 i + 16,8 j

Passo 2

E pra achar o vetor resultante? Bem, só somar componente a componente:

V → = V 1 → + V 2 → = 23,3 8 - 12,6 i + 13,5 + 16,8 j = 10,7 8 i + 30,3 j

Passo 3

O vetor resultante faz um ângulo θ x com x :

Pra achar esse ângulo, basta a gente tirar o arco tangente das componentes do vetor:

θ x = a r c t g 30,3 10,7 8 ≅ 70 , 42 °

É como se tivéssemos tirado o arco tangente do triângulo formado pelas componentes:

Passo 4

Vamos resolver essa questão agora usando a regra do paralelogramo. Como sabemos os ângulos que cada vetor faz com o eixo x , podemos descobrir o ângulo que um vetor faz com o outro, já que a soma de todos os ângulos deve ser igual a 180 ° :

Assim:

180 = 53,1 3 + 30 + θ v e t o r e s → θ v e t o r e s = 96,87 °

Maaaass a gente precisa achar α ... e já que num paralelogramo os ângulos opostos são iguais e somando todos dá 360°:

2 α + 2 θ v e t o r e s = 360

2 α + 2 × 96,87 = 360

α = 83,13

E agora sim vamos aplicar a lei dos cossenos pra achar a resultante:

V → 2 = 21 2 + 27 2 - 2 × 21 × 27 × cos ⁡ 83,13 °

V → = 32,16

Resposta

V → = 10,7 8 i + 30,3 j

V → = 32,16

θ x = 70,42 °

Exercício Resolvido #4

Para os vetores V → 1 e V → 2 abaixo, determine a ) o módulo da diferença vetorial V ' → = V → 2 - V → 1 e o b )   ângulo θ x que V ' → faz com o eixo positivo x . Complete tanto a solução gráfica quanto a algébrica.

Passo 1

Escrevendo os vetores em termos de suas componentes, temos que:

V → 1 = 27 cos ⁡ 30 ° i + 27 s e n   30 ° j

V → 1 = 23,3 i + 13,5 j

E para o vetor V → 2 , temos:

t g   β = 4 3       →           β = 53,13 °

Então:

V → 2 = - 21 cos ⁡ 53,13 ° i + 21 s e n   53,13 ° j

V → 2 = - 12,6 i + 16,8 j

Pra resolver a questão algebricamente, vamos apenas subtrair componente a componente dos vetores:

V → 1 = 23,3 i + 13,5 j

V → 2 = - 12,6 i + 16,8 j

Assim:

V → = - 12,6 - 23,3 i + 16,8 - 13,5 j = - 35,9 i + 3,3 j

E:

V → = - 35,9 2 + 3,3 2   = 36,05

E pra descobrir o ângulo que o vetor faz com o eixo x , basta calcular o a r c t g usando os valores das componentes:

θ x = a r c t g 3,3 - 35,9 = - 5,2 °

Mas como queremos o correspondente desse ângulo no 2° quadrante, temos que achar o correspondente dele subtraindo de 180°. Então:

θ x = 174,8 °

Passo 2

Antes de tudo, lembre-se que uma subtração de vetores é o equivalente a uma soma com um dos vetores com o sentido contrário (com o sinal de menos na frente):

V ' → = V → 2 - V → 1 = V → 2 + - V → 1

Assim, os nossos vetores vão ficar assim ó:

Perceba agora uma coisa: Antes, tínhamos um ângulo α entre os vetores. Agora, o ângulo entre os vetores V → 2 e - V → 1 tem que ser o complementar do antigo ângulo. Repare que o ângulo α será:

α = 60 ° + 36,87 ° = 96,87 °

Então:

180 ° - α = 180 ° - 96,87 ° = 83,13 °

Assim, basta a gente aplicar a regra do paralelogramo:

V ' → = 27 2 + 21 2 + 2.21.27 cos ⁡ 83,13 ° ≅ 36,1

Uma diferença pequena para o encontrado no outro método.

Resposta

a )   V → = 36,05

b )   θ x = 174,8 °

Exercício Resolvido #5

Dados os vetores: v → = 1,2   e   u → = ( 2,1 ) , encontre o cosseno do ângulo entre os vetores.

Passo 1

O que podemos fazer é o seguinte:

v → ⋅ u → = u → v → c o s θ → c o s θ = v → ⋅ u → u → v →

Passo 2

O que podemos fazer, agora, é calcular o produto escalar e depois os módulos de cada vetor:

v → ⋅ u → = 1,2 ⋅ 2,1 = 4

u → = 1 2 + 2 2 = 5

v → = 2 2 + 1 2 = 5

Assim:

c o s θ = 4 5 . 5 = 4 5 = 0,8

Resposta

0,8

Exercício Resolvido #6

Se u → × v → = 3 3 ,   u → = 3   e 60 ° é o ângulo entre u →   e   v → , determinar v →

Passo 1

Vamos usar

u → × v → = u → v → s e n θ

Passo 2

Sabemos que:

θ = 60 °

u → × v → = 3 3

u → = 3

Assim:

u → × v → = u → v → s e n θ

3 3 = 3 . v → s e n 60 °

3 3 = 3 . v → 3 2 → v → = 2

Resposta

v → = 2

Exercício Resolvido #7

Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:

  1. j → × 2 i →
  2. 3 i → × 2 k →

Passo 1

Vamos usar a regra da mão direita pra resolver esse problema.

Mas antes, vamos localizas os nossos vetores unitários lembrando que os vetores i ^ , j ^   e   k ^ representam os vetores unitários dos eixos x , y   e   z , respectivamente.

Passo 2

O primeiro produto vetorial é:

j → × 2 i →

Então, vamos achar a direção através da regra da mão direita:

Logo, o vetor resultante é para baixo:

Assim:

j ^ × 2 i ^ = - 2 k ^

E como achamos o módulo? O módulo do vetor vai ser a multiplicação dos módulos! Ou seja:

1 × 2 = 2

Ou então, basta lembrar que:

v → × u → = v → u → s e n   θ

Só que estamos lidando apenas com vetores perpendiculares s e n   90 ° = 1 . Assim:

v → x u → = v → u →

Então, nessa questão, pra achar o módulo é só multiplicar os módulos de cada vetor!

Passo 3

Agora:

3 i ^ × 2 k ^

Então vamos fazer novamente a regra da mão direita

Logo, o sentido do vetor resultante será para a esquerda:

Como o módulo é a multiplicação de cada módulo anterior:

2 × 3 = 6

Vamos ter:

3 i ^ × 2 k ^ = - 6 j ^

Resposta

a ) - 2 k ^

b ) - 6 j ^

Exercício Resolvido #8

Dados os vetores a → = 1,2 , 1 e   b → = ( 2,1 , 0 ) , calcular:

  1. 2 a → × a → + b →
  2. a → + 2 b → × ( a → - 2 b → )

Passo 1

a)

Primeiro vamos realizar a soma dos vetores mias internos e depois vamos usar o produto vetorial com o determinante:

2 1,2 , 1 × 1,2 , 1 + 2,1 , 0 = 2 . 1,2 , 1 × 3,3 , 1 =

= 2 i j k 1 2 1 3 3 1 = 2 i ^ . 2 1 3 1 - j ^ 1 1 3 1 + k ^ 1 2 3 3 = 2 - 1 i ^ + 2 j ^ - 3 k ^

= - 2 i ^ + 4 j ^ - 6 k ^ = ( - 2,4 , - 6 )

Passo 2

b)

Da mesma forma:

1,2 , 1 e   b → = ( 2,1 , 0 ) ,

1,2 , 1 + 2 . 2,1 , 0 × 1,2 , 1 - 2 . 2,1 , 0 = 5,4 , 1 x - 3,0 , 1

i j k 5 4 1 - 3 0 1 = i ^ 4 1 0 1 - j ^ 5 1 - 3 1 + k ^ 5 4 - 3 0 = 4 i ^ - 8 j ^ + 12 k ^ = ( 4 , - 8,12 )

Resposta

a)

- 2,4 , - 6

b)

( 4 , - 8,12 )

Exercício Resolvido #9

Dados os pontos A 2 , - 1,2 ,   B 1,2 , - 1 e   C ( 3,2 , 1 ) , determinar o valor de C B → × B C → - 2 C A →

Passo 1

Os vetores desse exercício são segmentos que ligam os pontos. Assim, para os gerar, devemos realizar as seguintes operações:

C B → = B - C = 1,2 , - 1 - 3,2 , 1 = - 2,0 , - 2

B C → = C - B = 3,2 , 1 - 1,2 , - 1 = 2,0 , 2

C A → = A - C = 2 , - 1,2 - 3,2 , 1 = ( - 1 , - 3,1 )

Passo 2

Agora basta a gente aplicar as operações:

C B → × B C → - 2 C A → = - 2,0 , - 2 × ( 2,0 , 2 - 2 . - 1 , - 3,1 )

= - 2,0 , - 2 × 4,6 , 0

= i j k - 2 0 - 2 4 6 0 = i ^ 0 - 2 6 0 - j ^ - 2 - 2 4 0 + k ^ - 2 0 4 6 = 12 i ^ - 8 j ^ - 12 k ^

= ( 12 , - 8,12 )

Resposta

( 12 , - 8 , - 12 )

Exercício Resolvido #10

Dados os vetores v → = a ,   5 b ,   - c 2