Teoria Completa
Introdução
Você certamente já ficou doente, né?
Imagine que você pegou um termômetro para medir a sua temperatura e viu que está com 40°C. Essa informação é suficiente para você saber que está com febre, não é mesmo?
Agora imagine que você esteja navegando em alto-mar e precise ir até uma ilha. Então, você abre o seu GPS e vê que ele diz que a ilha está a de distância. A primeira coisa que você vai fazer é se perguntar: para onde?
Somente a informação que a ilha está a de distância não é suficiente para você chegar até ela, é preciso dar a direção e o sentido que você precisa seguir.
Por que compreendemos algumas grandezas somente com um valor número e uma unidade e outras precisamos de mais informações?
É isso que veremos neste tópico... Então, bora!
Diferença entre escalar e vetor
Quando você vai à padaria comprar pão, você apenas diz: ”Eu gostaria de pães”. E a pessoa entende o que você quer sem precisar de mais nenhuma informação, não é mesmo?
Quando é necessário apenas um valor numérico e uma unidade para representar alguma coisa, dizemos que ela é uma grandeza de escalar. Como por exemplo, o número e a temperatura medida no termômetro.
Uma grandeza escalar, de forma geral, expressa quantidade ou variação de algo. Algumas grandezas escalares famosas são: as próprias quantidades, temperatura, massa, tempo, etc.
Quando somente o valor numérico e a unidade não bastam para dar uma informação completa, dizemos que se trata de uma grandeza vetorial.
Se no nosso exemplo inicial fosse informado que a ilha está a de distância à noroeste do ponto onde você está, aí sim você iria conseguir chegar até ela. Esta grandeza que estamos tratando é um vetor deslocamento que indica a distância, a direção e o sentido que você deve percorrer para chegar ao seu destino.
Vetor é um segmento de reta com uma seta em sua extremidade:
Todo vetor deve possuir:
- Direção: representada pelo segmento de reta
- Sentido: indicado pela setinha na extremidade
- Módulo: indicado pelo tamanho do segmento de reta
Vamos aprender como representá-los e fazer algumas operações com eles, o que vai ser muito importante em Mecânica!
Representação e componentes
O símbolo padrão pra se representar um vetor é colocando uma setinha em cima da variável, por exemplo:
Mas para que você possa fazer cálculos com os vetores, é importante que ele seja representado em termos de suas componentes. E o que são componentes? Veja esse vetor aqui embaixo:
Ele pode ser decomposto em uma componente no eixo , que vamos chamar de , e outra componente no eixo , que vamos chamar de :
Dois ou mais vetores cuja soma é igual ao vetor chamamos de componentes:
Podemos representar isso usando parênteses:
Ou se tivéssemos três dimensões:
Ou podemos representar um vetor pelo que chamamos de vetores unitários. Vetores unitários são vetores de módulo e que possuem direção e sentido que coincidem com os eixos cartesianos:
O vetor é o vetor unitário na direção do eixo . O vetor é o vetor unitário da dire��ão do eixo . E o vetor é o vetor unitário na direção do eixo .
Então a representação do nosso vetor usando os unitários fica assim:
E caso ele tivesse três dimensões ficaria:
Beleza?
E como se obtêm as componentes de um vetor? Bom, existem várias formas, mas uma forma comum é através do ângulo que o vetor faz com algum dos eixos. Por exemplo, se a força faz um ângulo com o eixo , podemos dizer que o módulo da componente é dada por:
Onde é o ângulo que o vetor faz com o eixo .
Você pode ver isso notando que o vetor forma um triângulo retângulo com o eixo
E a direção? A direção é dada pelo vetor unitário
Se tivéssemos uma força apontando para o sentido negativo do eixo teríamos que colocar um sinal de menos ali na frente, beleza?
Da mesma forma, podemos encontrar as componentes e , sendo e os ângulos que o vetor faz com os respectivos eixos:
Os termos , , são chamados de cossenos diretores.
Outra coisa importante de se saber é como se calcula o módulo de um vetor, a partir de suas componentes. Você vai usar a equação abaixo, que é derivada do teorema de Pitágoras:
Soma entre vetores
A forma mais simples de se somar vetores é somar componente a componente de cada vetor. Por exemplo:
Outra forma bem usada é a regra do paralelogramo: Pra usar essa regra, você precisa conhecer o ângulo entre os vetores. Nesse caso, no entanto, você obtêm apenas o módulo do vetor resultante:
E a fórmula é:
E se quisermos fazer uma subtração?
Bom, com o método das componentes é muito simples: basta subtrair componente a componente. Naquele nosso exemplo ficaria assim:
Já com a regra do paralelogramo, você deve notar que realizar uma subtração é o mesmo que somar um dos vetores com o sentido contrário:
Então, se a informação que você tinha era que o ângulo entre os vetores era , você terá que usar na formulinha que aprendemos:
Como
Produtos
Temos dois tipos de produtos entre vetores: produto escalar e produto vetorial.
- Produto Escalar
- Produto vetorial
O produto escalar pode ser feito através do produto de termo a termo de cada vetor, dessa forma:
Ou através da fórmula:
Onde é o ângulo entre os vetores.
Importante: O resultado desse produto é sempre uma grandeza escalar e não vetorial.
O produto vetorial é um pouco mais complicado. Podemos calculá-lo através de um determinante:
Uma forma simples de se calcular esse determinante é usando a regra de Laplace (calma, isso não tá virando álgebra).
Como usar Laplace nesse caso? Muito simples, para cada elemento da primeira linha, exclua a linha e coluna que ele ocupa. Multiplique o determinante reduzido pelo seu respectivo unitário. Por exemplo:
Faça isso com todos e inclua um sinal de menos na frente do termo
Aí é só calcular aqueles determinantes e pronto, você terá o vetor resultante (:
Outra forma muito legal é usar a fórmula abaixo pra se obter o módulo do vetor resultante:
Onde é o ângulo entre eles. E pra determinar a direção do vetor? Usamos a regra da mão direita:
Vamos definir três partes da sua mão:
- Dedão
- Os seus 4 dedos (exceto seu dedão)
- Palma da mão
- Produtos escalares:
- Produtos vetoriais:
O seu dedão vai ficar no sentido do primeiro vetor do produto vetorial
Seus 4 dedos vão ficar no sentido do segundo vetor do produto vetorial
A palma da sua mão vai indicar o sentido do vetor resultando do produto vetorial
Você também pode fazer uma “volta” com os seus dedos no sentido do primeiro para o segundo vetor, usando o seu dedão pra indicar a direção do vetor resultante:
Propriedades especiais dos produtos:
Os produtos que vimos tem algumas propriedades especiais quando se tratam de vetores paralelos ou vetores perpendiculares. Perceba que vetores paralelos são aqueles que fazem um ângulo de entre eles:
E perpendiculares, um ângulo de
Então:
São nulos quando os vetores são perpendiculares entre si (
E máximos quando são paralelos ():
Além disso, perceba que eles podem ser antiparalelos (podem fazer um ângulo de entre si), ou seja, são “paralelos”, mas apontam em sentidos contrários:
São nulos quando os vetores são paralelos (
Ou quando são antiparalelos
E são máximos quando são perpendiculares (
E é isso!!!
Vamos praticar um pouco agora.
Exercício Resolvido #1
Determine os ângulos feitos pelo vetor com o eixo positivo dos e dos .
Passo 1
Vamos, antes de mais nada, calcular a o módulo desse vetor:
Passo 2
Pra calcular os ângulos, a gente pode seguir o seguinte procedimento:
Calcular e , onde e são os ângulos que queremos achar, sabendo que:
Então, vamos ter que:
E a mesma coisa para :
Com os valores encontrados, vamos usar a função pra descobrir os ângulos.
Assim:
E:
Eiiiiii! Atenção aqui! Esse é um vetor no segundo quadrante (componente x negativa e componente y positiva). O valor que encontramos pra é o ângulo entre o eixo x positivo e o nosso vetor. Já o valor que encontramos pra é o ângulo entre o eixo y positivo e o nosso vetor.
Isso significa que se você subtrair um do outro TEM QUE DAR 90 GRAUS. Tendeu?
Observe que dividimos as componentes pelo módulo do vetor completo. Basicamente, é como se estivéssemos calculando o cosseno em um triângulo retângulo.
Resposta
Exercício Resolvido #2
Uma força é especificada pelo vetor . Calcule os ângulos entre e os eixos positivos
Passo 1
Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor:
Passo 2
Assim:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Determine o valor da soma vetorial e do ângulo que faz com o eixo positivo . Complete tanto a solução gráfica quanto a algébrica.
Passo 1
Pra resolver isso de forma algébrica, podemos escrever ambos os vetores em termos de suas componentes.
O vetor fica:
E quanto vale o ângulo que o vetor faz com positivo?
Bom, temos um triângulo semelhante ao triângulo formado pelo vetor e o eixo logo abaixo do mesmo na figura:
Tirando o arco tangente desse triângulo:
Opa, mas o vetor tá orientado no sentido contrário ao eixo, certo? Então devemos tomar o ângulo suplementar a esse ângulo, ou seja:
Assim:
Passo 2
E pra achar o vetor resultante? Bem, só somar componente a componente:
Passo 3
O vetor resultante faz um ângulo com
Pra achar esse ângulo, basta a gente tirar o arco tangente das componentes do vetor:
É como se tivéssemos tirado o arco tangente do triângulo formado pelas componentes:
Passo 4
Vamos resolver essa questão agora usando a regra do paralelogramo. Como sabemos os ângulos que cada vetor faz com o eixo , podemos descobrir o ângulo que um vetor faz com o outro, já que a soma de todos os ângulos deve ser igual a
Assim:
Assim, usando a regra do paralelogramo, conseguimos determinar o módulo de
Resposta
Exercício Resolvido #4
Para os vetores e abaixo, determine o módulo da diferença vetorial e o ângulo que faz com o eixo positivo Complete tanto a solução gráfica quanto a algébrica.
Passo 1
Escrevendo os vetores em termos de suas componentes, temos que:
E para o vetor , temos:
Então:
Pra resolver a questão algebricamente, vamos apenas subtrair componente a componente dos vetores:
Assim:
E:
E pra descobrir o ângulo que o vetor faz com o eixo , basta calcular o usando os valores das componentes:
Mas como queremos o correspondente desse ângulo no 2° quadrante, temos que achar o correspondente dele subtraindo de 180°. Então:
Passo 2
Antes de tudo, lembre-se que uma subtração de vetores é o equivalente a uma soma com um dos vetores com o sentido contrário (com o sinal de menos na frente):
Assim, os nossos vetores vão ficar assim ó: