Vetores

Teoria Completa

Introdução

Você certamente já ficou doente, né?

Imagine que você pegou um termômetro para medir a sua temperatura e viu que está com 40°C. Essa informação é suficiente para você saber que está com febre, não é mesmo?

Agora imagine que você esteja navegando em alto-mar e precise ir até uma ilha. Então, você abre o seu GPS e vê que ele diz que a ilha está a 3   k m de distância. A primeira coisa que você vai fazer é se perguntar: 3   k m para onde?

Somente a informação que a ilha está a 3   k m de distância não é suficiente para você chegar até ela, é preciso dar a direção e o sentido que você precisa seguir.

Por que compreendemos algumas grandezas somente com um valor número e uma unidade e outras precisamos de mais informações?

É isso que veremos neste tópico... Então, bora!

Diferença entre escalar e vetor

Quando você vai à padaria comprar pão, você apenas diz: ”Eu gostaria de n pães”. E a pessoa entende o que você quer sem precisar de mais nenhuma informação, não é mesmo?

Quando é necessário apenas um valor numérico e uma unidade para representar alguma coisa, dizemos que ela é uma grandeza de escalar. Como por exemplo, o número n e a temperatura medida no termômetro.

Uma grandeza escalar, de forma geral, expressa quantidade ou variação de algo. Algumas grandezas escalares famosas são: as próprias quantidades, temperatura, massa, tempo, etc.

Quando somente o valor numérico e a unidade não bastam para dar uma informação completa, dizemos que se trata de uma grandeza vetorial.

Se no nosso exemplo inicial fosse informado que a ilha está a 3   k m de distância à noroeste do ponto onde você está, aí sim você iria conseguir chegar até ela. Esta grandeza que estamos tratando é um vetor deslocamento que indica a distância, a direção e o sentido que você deve percorrer para chegar ao seu destino.

Vetor é um segmento de reta com uma seta em sua extremidade:

Todo vetor deve possuir:

  • Direção: representada pelo segmento de reta
  • Sentido: indicado pela setinha na extremidade
  • Módulo: indicado pelo tamanho do segmento de reta

Vamos aprender como representá-los e fazer algumas operações com eles, o que vai ser muito importante em Mecânica!

Representação e componentes

O símbolo padrão pra se representar um vetor é colocando uma setinha em cima da variável, por exemplo:

V →

Mas para que você possa fazer cálculos com os vetores, é importante que ele seja representado em termos de suas componentes. E o que são componentes? Veja esse vetor aqui embaixo:

Ele pode ser decomposto em uma componente no eixo x , que vamos chamar de F → x , e outra componente no eixo y , que vamos chamar de F → y :

Dois ou mais vetores cuja soma é igual ao vetor F → chamamos de componentes:

F → = F → x + F → y

Podemos representar isso usando parênteses:

F → = F x , F y

Ou se tivéssemos três dimensões:

F → = F x , F y , F z

Ou podemos representar um vetor pelo que chamamos de vetores unitários. Vetores unitários são vetores de módulo 1 e que possuem direção e sentido que coincidem com os eixos cartesianos:

O vetor i ^ é o vetor unitário na direção do eixo x . O vetor j ^ é o vetor unitário da dire��ão do eixo y . E o vetor k ^ é o vetor unitário na direção do eixo z .

Então a representação do nosso vetor F → usando os unitários fica assim:

F → = F x i ^ + F y j ^

E caso ele tivesse três dimensões ficaria:

F → = F x i ^ + F y j ^ + F z k ^

Beleza?

E como se obtêm as componentes de um vetor? Bom, existem várias formas, mas uma forma comum é através do ângulo que o vetor faz com algum dos eixos. Por exemplo, se a força F → faz um ângulo θ com o eixo x , podemos dizer que o módulo da componente x é dada por:

F → x = F → cos ⁡ θ x

Onde θ x é o ângulo que o vetor faz com o eixo x .

Você pode ver isso notando que o vetor F → forma um triângulo retângulo com o eixo x :

E a direção? A direção é dada pelo vetor unitário i ^ :

F → x = F → cos ⁡ θ x i ^

Se tivéssemos uma força apontando para o sentido negativo do eixo x teríamos que colocar um sinal de menos ali na frente, beleza?

Da mesma forma, podemos encontrar as componentes y e z , sendo θ y e   θ z os ângulos que o vetor faz com os respectivos eixos:

F → y = F → cos ⁡ θ y j ^

F → z = F → cos ⁡ θ z k ^

Os termos cos ⁡ θ x , cos ⁡ θ y ,   cos ⁡ θ z são chamados de cossenos diretores.

Outra coisa importante de se saber é como se calcula o módulo de um vetor, a partir de suas componentes. Você vai usar a equação abaixo, que é derivada do teorema de Pitágoras:

F → = F x 2 + F y 2 + F z 2

Soma entre vetores

A forma mais simples de se somar vetores é somar componente a componente de cada vetor. Por exemplo:

v → 1 = 1 i ^ + 2 j ^ + 3 k ^

v → 2 = 1 i ^ + 3 j ^ + 5 k ^

v → = v → 1 + v → 2

v → = 1 i ^ + 2 j ^ + 3 k ^ + 1 i ^ + 3 j ^ + 5 k ^

v → = 2 i ^ + 5 j ^ + 8 k ^

Outra forma bem usada é a regra do paralelogramo: Pra usar essa regra, você precisa conhecer o ângulo entre os vetores. Nesse caso, no entanto, você obtêm apenas o módulo do vetor resultante:

E a fórmula é:

v → 2 = v → 1 2 + v → 2 2 + 2 . v → 1 v → 2 cos ⁡ α

E se quisermos fazer uma subtração?

Bom, com o método das componentes é muito simples: basta subtrair componente a componente. Naquele nosso exemplo ficaria assim:

v → 1 = 1 i ^ + 2 j ^ + 3 k ^

v → 2 = 1 i ^ + 3 j ^ + 5 k ^

v → = v → 1 - v → 2

v → = 1 i ^ + 2 j ^ + 3 k ^ - 1 i ^ + 3 j ^ + 5 k ^

v → = 0 i ^ - 1 j ^ - 2 k ^

Já com a regra do paralelogramo, você deve notar que realizar uma subtração é o mesmo que somar um dos vetores com o sentido contrário:

v → = v → 1 - v → 2 = v → 1 + - v → 2

Então, se a informação que você tinha era que o ângulo entre os vetores era α , você terá que usar α ' = 180 ° - α na formulinha que aprendemos:

v → 2 = v → 1 2 + v → 2 2 + 2 . v → 1 v → 2 cos ⁡ 180 ° - α

Como cos ⁡ 180 ° - α = - cos ⁡ α :

v → 2 = v → 1 2 + v → 2 2 - 2 . v → 1 v → 2 cos ⁡ α

Produtos

Temos dois tipos de produtos entre vetores: produto escalar e produto vetorial.

  • Produto Escalar
  • O produto escalar pode ser feito através do produto de termo a termo de cada vetor, dessa forma:

    v →   ⋅   u → = v 1 , v 2 , v 3 . u 1 , u 2 , u 3 = v 1 . u 1 + v 2 . u 2 + v 3 . u 3

    Ou através da fórmula:

    v → ⋅ u → = v → u → cos ⁡ α

    Onde α é o ângulo entre os vetores.

    Importante: O resultado desse produto é sempre uma grandeza escalar e não vetorial.

  • Produto vetorial

O produto vetorial é um pouco mais complicado. Podemos calculá-lo através de um determinante:

v → × u → = i ^ j ^ k ^ v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3

Uma forma simples de se calcular esse determinante é usando a regra de Laplace (calma, isso não tá virando álgebra).

Como usar Laplace nesse caso? Muito simples, para cada elemento da primeira linha, exclua a linha e coluna que ele ocupa. Multiplique o determinante reduzido pelo seu respectivo unitário. Por exemplo:

Faça isso com todos e inclua um sinal de menos na frente do termo j ^ :

i ^ j ^ k ^ v 1 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 = i ^ v 2 v 3 u 2 u 3 - j ^ v 1 v 3 u 1 u 3 + k ^ v 1 v 2 u 1 u 2

Aí é só calcular aqueles determinantes 2 x 2 e pronto, você terá o vetor resultante (:

Outra forma muito legal é usar a fórmula abaixo pra se obter o módulo do vetor resultante:

v → × u → = v → u → s e n   α

Onde α é o ângulo entre eles. E pra determinar a direção do vetor? Usamos a regra da mão direita:

Vamos definir três partes da sua mão:

  • Dedão
  • O seu dedão vai ficar no sentido do primeiro vetor do produto vetorial

  • Os seus 4 dedos (exceto seu dedão)
  • Seus 4 dedos vão ficar no sentido do segundo vetor do produto vetorial

  • Palma da mão
  • A palma da sua mão vai indicar o sentido do vetor resultando do produto vetorial

    Você também pode fazer uma “volta” com os seus dedos no sentido do primeiro para o segundo vetor, usando o seu dedão pra indicar a direção do vetor resultante:

    Propriedades especiais dos produtos:

    Os produtos que vimos tem algumas propriedades especiais quando se tratam de vetores paralelos ou vetores perpendiculares. Perceba que vetores paralelos são aqueles que fazem um ângulo de 0 ° entre eles:

    E perpendiculares, um ângulo de 90 ° :

    Então:

  • Produtos escalares:
  • São nulos quando os vetores são perpendiculares entre si ( cos ⁡ 90 ° = 0 ) :

    v → ⋅ u → = v → u → cos ⁡ 90 ° = 0

    E máximos quando são paralelos ( cos ⁡ 0 ° = 1 ):

    v → ⋅ u → = v → u → cos ⁡ 0 ° = v → u →

    Além disso, perceba que eles podem ser antiparalelos (podem fazer um ângulo de 180 ° entre si), ou seja, são “paralelos”, mas apontam em sentidos contrários:

    v → ⋅ u → = v → u → cos ⁡ 180 ° = v → u → cos ⁡ 180 ° = - v → u →

  • Produtos vetoriais:

São nulos quando os vetores são paralelos ( s e n   0 ° = 0 ) :

v → × u → = v → u → s e n   0 ° = 0

Ou quando são antiparalelos s e n   180 ° = 0 :

v → × u → = v → u → s e n 180 ° = 0

E são máximos quando são perpendiculares ( s e n   90 ° = 1 ) :

v → × u → = v → u → s e n 90 ° = v → u →

E é isso!!!

Vamos praticar um pouco agora.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Determine os ângulos feitos pelo vetor V → = - 50 i + 10 j com o eixo positivo dos x e dos y .

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Passo 1

Vamos, antes de mais nada, calcular a o módulo desse vetor:

V → = V x 2 + V y 2 = - 50 2 + 10 2 = 2600 = 10 26

Passo 2

Pra calcular os ângulos, a gente pode seguir o seguinte procedimento:

Calcular cos ⁡ θ x   e cos ⁡ θ y , onde θ x   e θ y são os ângulos que queremos achar, sabendo que:

V → x = V → cos ⁡ θ x

Então, vamos ter que:

cos ⁡ θ x = V x V → = - 50 10 26 = - 5 26

E a mesma coisa para y :

cos ⁡ θ y = V y V → = 10 10 26 = 1 26

Com os valores encontrados, vamos usar a função a r c c o s pra descobrir os ângulos.

Assim:

c o s θ x = - 5 26 → θ x = arccos ⁡ - 5 26

θ x = 168,69 °

E:

c o s θ y = 1 26 → θ y = arccos ⁡ 1 26    

θ y = 78,69 °

Eiiiiii! Atenção aqui! Esse é um vetor no segundo quadrante (componente x negativa e componente y positiva). O valor que encontramos pra θ x é o ângulo entre o eixo x positivo e o nosso vetor. Já o valor que encontramos pra θ y é o ângulo entre o eixo y positivo e o nosso vetor.

Isso significa que se você subtrair um do outro TEM QUE DAR 90 GRAUS. Tendeu?

Observe que dividimos as componentes pelo módulo do vetor completo. Basicamente, é como se estivéssemos calculando o cosseno em um triângulo retângulo.

Resposta

θ x = 168,69 °

θ y = 78,69 °

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 15. 1/4

Uma força é especificada pelo vetor F = 160 i + 80 j - 120 k   N . Calcule os ângulos entre F e os eixos positivos x ,   y   e   z .

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Passo 1

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor:

V → = V x 2 + V y 2 + V z 2 = 160 2 + 80 2 + - 120 2 = 215 N

Passo 2

Assim:

c o s θ x = 160 215 → θ x = 42,0 °

c o s θ y = 80 215 → θ y = 68,2 °

c o s θ z = - 120 215 → θ z = 123,9 °

Resposta

θ x = 42,0 °

θ y = 68,2 °

θ z = 123,9 °

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 15. 1/2

Determine o valor da soma vetorial V → = V 1 → + V 2 → e do ângulo θ x que V → faz com o eixo positivo x . Complete tanto a solução gráfica quanto a algébrica.

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Passo 1

Pra resolver isso de forma algébrica, podemos escrever ambos os vetores em termos de suas componentes.

O vetor V 1 → fica:

V 1 → = 27 c o s 30 ° i + 27 s e n 30 ° j = 23,3 i + 13,5 j

E quanto vale o ângulo que o vetor V 2 → faz com x positivo?

Bom, temos um triângulo semelhante ao triângulo formado pelo vetor e o eixo logo abaixo do mesmo na figura:

Tirando o arco tangente desse triângulo:

a r c t g 4 3 = 53,1 °

Opa, mas o vetor tá orientado no sentido contrário ao eixo, certo? Então devemos tomar o ângulo suplementar a esse ângulo, ou seja:

θ 2 = 180 - 53,1 ° = 126,87 °

Assim:

V 2 → = 21 cos ⁡ 126,87 ° i + 21 s e n 126,87 ° j = - 12,6 i + 16,8 j

Passo 2

E pra achar o vetor resultante? Bem, só somar componente a componente:

V → = V 1 → + V 2 → = 23,3 - 12,6 i + 13,5 + 16,8 j = 10,7 i + 30,3 j

Passo 3

O vetor resultante faz um ângulo θ x com x :

Pra achar esse ângulo, basta a gente tirar o arco tangente das componentes do vetor:

θ x = a r c t g 30,3 10,7 ≅ 70,5 °

É como se tivéssemos tirado o arco tangente do triângulo formado pelas componentes:

Passo 4

Vamos resolver essa questão agora usando a regra do paralelogramo. Como sabemos os ângulos que cada vetor faz com o eixo x , podemos descobrir o ângulo que um vetor faz com o outro, já que a soma de todos os ângulos deve ser igual a 180 ° :

Assim:

180 = 53,1 + 30 + θ v e t o r e s → θ v e t o r e s = 96,9 °

Assim, usando a regra do paralelogramo, conseguimos determinar o módulo de V → :

V → = 21 2 + 27 2 + 2.21.27 . cos ⁡ 96,9 ° = 32,1

Resposta

V → = 10,7 i + 30,3 j

V → = 32,1

θ x = 70,5 °

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 15. 1/3

Para os vetores V → 1 e V → 2 abaixo, determine a ) o módulo da diferença vetorial V ' → = V → 2 - V → 1 e o b )   ângulo θ x que V ' → faz com o eixo positivo x . Complete tanto a solução gráfica quanto a algébrica.

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Passo 1

Escrevendo os vetores em termos de suas componentes, temos que:

V → 1 = 27 cos ⁡ 30 ° i + 27 s e n   30 ° j

V → 1 = 23,3 i + 13,5 j

E para o vetor V → 2 , temos:

t g   β = 4 3       →           β = 53,13 °

Então:

V → 2 = - 21 cos ⁡ 53,13 ° i + 21 s e n   53,13 ° j

V → 2 = - 12,6 i + 16,8 j

Pra resolver a questão algebricamente, vamos apenas subtrair componente a componente dos vetores:

V → 1 = 23,3 i + 13,5 j

V → 2 = - 12,6 i + 16,8 j

Assim:

V → = - 12,6 - 23,3 i + 16,8 - 13,5 j = - 35,9 i + 3,3 j

E:

V → = - 35,9 2 + 3,3 2   = 36,05

E pra descobrir o ângulo que o vetor faz com o eixo x , basta calcular o a r c t g usando os valores das componentes:

θ x = a r c t g 3,3 - 35,9 = - 5,2 °