Binários e Resultantes

Teoria Completa

Introdução

Imagine que temos uma barra, onde estejam atuando três forças assim:

O que podemos fazer para facilitar a nossa vida? Podemos calcular a força resultante...

Vamos supor que após somar todas essas forças, a resultante ficou assim:

Mas onde esta força resultante vai estar localizada na peça? Será assim:

Ou será que ela está mais para baixo?

É isso que vamos aprender aqui. Partiu?

Sistema força-binário equivalente

Um binário é um conjunto de duas forças de mesmo módulo e direção, mas com sentidos contrários:

A soma das forças nesse corpo é nula:

R → = F → + - F → = 0

Porém, a soma dos momentos não é nula. Olhando pra figura, ambas as forças estão a uma distância de d do centro do círculo e isto acaba gerando um momento que podemos calcular assim (tomando como positivo o sentido horário):

M = F . d + F d = 2 F d

Perceba que as duas forças fazem o círculo rodar em torno do seu centro no sentido horário. E isso que é o diferencial nos binários: eles fazem um corpo girar em somente um sentido.

O momento de um binário não depende do ponto de referência é sempre calculado pelo módulo de cada força multiplicado pela distância entre elas. Dizemos que o momento de um binário pode ser representado em qualquer posição do corpo, já que independe do ponto de referência.

M = F d

Essa propriedade vai nos permitir representar um sistema de forças por um sistema equivalente chamado de força-binário. Por exemplo, imagine que existe uma única força aplicada no ponto A do corpo:

Como a gente faria para representar o efeito dessa força no ponto B ? Essa força gera uma tendência no corpo de se mover na sua direção e também de girar. Então, para representar o efeito da força F → no ponto B é só levarmos a força (mantendo seu sentido e direção) e de quebra o momento que ela faz com relação este ponto:

Essa representação nos diz que o corpo tende a girar em torno de B e a se mover na direção do vetor F → . O momento F . d é o binário do sistema força-binário equivalente.

Localização das Resultantes

Você já sabe achar a resultante de um conjunto de forças: basta somar todas elas, né?

Mas existe um problema: o que você acha nesse processo é o vetor força resultante, que indica uma direção e um sentido, maaaas você não sabe exatamente onde esta força está localizada.

Imagine que a barra abaixo sofre a ação de F → 1 = 5 N ,   F → 2 = 9 N   e F → 3 = 4 N :

A resultante vai ser:

F → r e s = F → 1 + F → 2   + F → 3

F r e s = 5 + 9 - 4 = 10   N

Mas onde ela vai estar localizada em relação ao ponto O ?

É isso que vamos aprender a fazer:

O primeiro passo é calcular o momento resultante em relação ao ponto O , ou seja, o somatório de todos os momentos:

M r e s = ∑ M o

Então vem o pulo do gato: O momento exercido pela força resultante é igual ao momento resultante. Ou seja:

F r e s . d = ∑ M 0

Com isso, você consegue achar o d :

d = ∑ M 0 F r e s

Simples né? Então, o que você deve fazer é:

  • Calcular a força e o momento resultante em relação a algum ponto, o que equivale a achar o sistema força-binário equivalente.
  • Usar a relação momento causado pela força resultante e momento resultante abaixo:

F r e s . d = ∑ M 0

Com isso, você consegue achar d e localizar a força resultante.

O somatório dos momentos das forças inciais era:

Lembre-se que vamos considerar o sentido anti-horário positivo:

∑ M 0 = F 1 × 5,5 + F 2 × 3 - F 3 × 5

∑ M 0 = 5 × 5,5 + 9 × 3 - 4 × 5

∑ M 0 = 34,5   N . m

Agora é só igualar ao momentod a força resultante:

34,5 = 10 . x

x = 3,45   m

Bora praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 40,2/57

O conjunto roda/suporte está submetido ao par de forças de 400   N mostrado. Determine o momento associado a essas forças.

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Passo 1

Primeira coisa: as forças são iguais, certo? Além disso, eles tendem a girar a roda no mesmo sentido, certo?

Então, temos um binário cujo momento será dado multiplicando o módulo da força pela distância entre elas:

M = F d       →           M = 400 ( 0,035 )

M = 14   N . m

Não acredita em mim? Podemos calcular o momento da maneira tradicional, ou seja, multiplicando cada força pela sua respectiva distância até o ponto O :

M = 400 . 0,0175 + 400 . 0,0175 = 400 . 0,035 = 14   N . m

Beleza! Se a gente adotar como positivo rotações no sentido anti-horário, então teremos

M = - 14   N ⋅ m

Isso por que essas forças tendem a fazer a roda girar no sentido horário!

Se quiséssemos escolher como positivo rotações no sentido horário, então teríamos M positivo 😉

Resposta

M = - 14   N . m

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 41,2/65

Uma chave de roda é usada para apertar um parafuso de cabeça quadrada. Se forças de 250 N forem aplicadas a chave, como mostrado, determine o módulo F das forças iguais exercidas nos quatro pontos de contato na cabeça de 25 m m do parafuso, de modo que seu efeito externo sobre o parafuso seja equivalente ao das duas forças de 250 N . Considere que as duas forças são perpendiculares aos lados planos da cabeça do parafuso.

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Passo 1

O sistema de forças inicial é esse aqui:

Não importa muito o sinal do momento. Queremos apenas saber depois quais forças vão gerar um torque equivalente a esse.

Assim, o momento, em módulo, pode ser calculado por:

M = 2 . 250 . 0,350 = 175   N . m

Notou que multiplicamos por dois pois as duas forças giram a peça no mesmo sentido, né?

Passo 2

Agora o nosso sistema é esse aqui:

Beleza? Não sabemos o módulo de F → , mas sabemos que ela produz o mesmo torque que antes. Assim:

M = F ( 0,025 ) + F ( 0,025 )

175 = F . 0,05

F = 3500   N

Resposta

F = 3500   N

Exercício Resolvido #3

P1, Estácio

A chave é usada pra soltar um parafuso, conforme a figura abaixo. Determine o momento de cada força sobre o eixo do parafuso passando pelo ponto O .

  1. M F 1 = 27   N . m     e   M F 2 = 30   N . m
  2. M F 1 = 24,1   N . m   e   M F 2 = 14,5   N . m
  3. M F 1 = 26   N . m   e   M F 2 = 31   N . m
  4. M F 1 = 37   N . m   e   M F 2 = 20   N . m
  5. M F 1 = 17   N . m   e   M F 2 = 10   N . m
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Passo 1

Perceba que se formos usarmos o teorema de Varignon, o momento da componente F x da força vai ser nulo, pra ambas as forças.

Por quê? Dá uma olhad ano desenho: a linha de ação dessas forças passa pelo centro O :

Show? Então, facilitando a nossa vida, vamos apenas calcular as componentes verticais e multiplicar pelas distâncias ao ponto O .

Passo 2

Assim:

F 1 y = 100 cos ⁡ 15 ° = 96,5   N

F 2 y = 80 s e n 65 ° = 72,5   N

Perceba que na segunda força usamos o seno.

Como a questão não tá pedindo os sinais dos momentos, vamos apenas calcular os módulos:

M F 1 = 96,5 . 250.10 - 3 = 24,1 N . m

M F 2 = 72,5 . 200.10 - 3 = 14,5 N . m

Assim, a resposta é a letra b )

Resposta

b )   M F 1 = 24,1   N . m   e   M F 2 = 14,5   N . m

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 41,2/66

Durante uma curva suave para a direita, uma pessoa exerce as forças mostradas sobre o volante. Observe que cada força consiste em uma componente tangencial e em uma componente radial direcionada para dentro. Determine o momento exercido em relação à coluna de volante O .

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Passo 1

Nós apenas precisamos lidar com o ângulo de 30 ° , afinal de contas, ele é o ângulo que a força faz com a tangente ao círculo. A partir dele, vamos decompor a força em um vetor na direção do raio (radial) e que não realiza momento, e uma componente tangencial que realiza o momento.

Passo 2

A linha pontilhada representa a direção tangencial ao círculo:

Assim, podemos perceber que a componente tangencial é dada por:

F t g = F c o s 30 °

E a radial:

F r = F s e n 30 °

A componente na direção radial não realiza momento, então:

M = F . 375.10 - 3 2 cos ⁡ 30 ° + F 375.10 - 3 2 cos ⁡ 30 °

M = F 375.10 - 3 cos ⁡ 30 °

Perceba que somamos os momentos das duas forças, pois eles tem o mesmo sinal.

Então:

M = 8 . 375.10 - 3 cos ⁡ 30 ° = 2,59   N . m

Resposta

M = 2,59   N . m

Exercício Resolvido #5

FASETAC, Lista 8

O tubo A B está fixo em A . Substituir as duas forças aplicadas por um sistema força-binário na seção C .

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Passo 1

Pra achar a força resultante, vamos considerar como sentido positivo de y o que foi indicado na figura. Assim, a força resultante é:

F r e s = 120 - 80 = 40   N

Passo 2

Ambas as forças tendem a girar a barra no mesmo sentido, no caso, o sentido horário. Assim, podemos dizer que o momento resultante vale:

M = 120 ( 200.10 - 3 ) + 80 ( 300.10 - 3 ) = 48   N . m

O sinal é esse mesmo? Não, pela regra da mão direita, a rotação nesse sentido vai gerar um vetor na direção contrária ao eixo z .   E n t ã o :

M = - 48 N . m

Passo 3

Podemos representar o sistema força-binário resultante por:

Resposta

Exercício Resolvido #6

FASETAC, lista 8

Três forças horizontais F = 800   N , Q = 400   N e T = 600   N são aplicadas, como ilustrado, a um suporte vertical de ferro fundido. Substitua as três forças F ,   Q   e   T por um sistema força-binário na seção que contém o ponto A .

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Passo 1

Primeiramente, vamos calcular a força resultante do sistema. Tomando o sentido de Q   e   T como o positivo, podemos dizer que:

F → r e s = Q + T - F = 600 + 400 - 800 = 200   N

Passo 2

Agora vamos calcular o momento resultante. Considerando o sentido anti-horário como o positivo, percebemos que Q   e   T exercem momentos positivos, já F exerce um momento negativo. Podemos dizer então que:

M r e s = 600 0,6 + 400 . 0,6 + 0,8 - 800 . 0,8 + 0,8 + 0,6 = - 840   N . m

Perceba que não contabilizamos a distância de 0,2   m , já que o ponto que estamos analisando é o ponto A que está a 0,2   m da base.

Passo 3

Assim, o sistema pode ser representado por:

Resposta

Exercício Resolvido #7

FASETAC, lista 8

Duas forças são aplicadas de 60   N são aplicadas, como ilustrado, aos vértices A   e   C de uma placa quadrada de 200   m m de lado. Determine o momento do binário formado pelas duas forças.

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Passo 1

Primeiro perceba que as forças têm módulos iguais, mas sentidos contrários. Assim, a força resultante é nula:

F → r e s = 0 →

Passo 2

Bora calcular o momento agora. Vamos decompor cada uma das forças em uma componente tangencial e uma perpendicular. As forças tangenciais realizarão um trabalho de sinal igual ao das forças normais. Veja na figura abaixo:

Passo 3

Assim, o momento pode ser dado por:

M = 60 cos ⁡ 60 ° 200.10 - 3 + 60 s e n 60 ° 200.10 - 3 = 16,39   N . m

Resposta

M = 16,39   N . m

Exercício Resolvido #8

FASETAC, lista 8

Quatro pinos de 25 m m de diâmetro são presos a uma tábua. Dois barbantes, apoiados nos pinos são tracionados, como ilustrado.

a Determine o binário resultante na tábua.

b Se apenas um barbante é usado, em quais pinos deverá ser apoiado e em que direções deverão ser tracionados a fim de que se produza o mesmo binário com uma força de tração mínima?

c Qual o valor dessa força de tração mínima?

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Passo 1

A resultante das forças é zero, afinal de contas, existem forças de mesmo módulo e sentidos contrários.

Em relação ao momento resultante, perceba que existem dois pares de forças que são igualmente espaçadas do centro da placa. Repare que a distância do ponto de aplicação da força até o centro do parafuso deve considerar o raio do parafuso. 25662

Assim, podemos calcular o momento resultante por:

M r e s = 156 ( 152 + 25 ) 10 - 3 + 111 203 + 25 10 - 3 = 52,92   N . m

Esse será o nosso momento do binário resultante:

M b i n á r i o = M r e s = 52,92   N . m

Passo 2

Podemos apoiar em A D   ou   C B :

Os sentidos das tensões devem ser sempre contrários.

Passo 3

No caso de C B , a distância entre as forças vale ( 203 + 25 ) m m . Assim:

T ( 203 + 25 ) . 10 - 3 = 52,92 → T = 232,1   N

Ou seja, o par de forças T precisa exercer o mesmo momento que o binário, por isso a igualdade acima.

E no caso A D :

T ( 152 + 25 ) . 10 - 3 = 52,92 → T = 298,98   N

Assim, a tensão mínima vale T = 232,1   N e é gerada na configuração C B .

Resposta

a )   M b i n á r i o = 52,92   N . m

b )   V e r   i m a g e n s   a c i m a

c )   T = 232,1   N

Exercício Resolvido #9

FASETAC, lista 8

Um momento de 4   N . m é aplicado pela mão do operário. Determine o binário de forças F , que age na mão do operário e P que atua na ponta da chave da fenda.

  1. F = 97,8 N ;   P = 189 N
  2. F = 97,8   N   ; P = 807 N
  3. F = 133 N   ; P = 800 N
  4. F = 197,8 N ; P = 180 N
  5. F = 197,8 N ; P = 820 N
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Passo 1

Já temos o binário equivalente e, nesse sistema força-binário, claramente a resultante das forças é zero, já que as forças apontam em sentidos contrários e tem o mesmo módulo.

Para o caso F , temos que a distância entre as forças vale d = 30   m m , assim:

F 30.10 - 3 = 4           →             F = 133 N

Passo 2

E no caso de P , d = 5   m m :

P 5.10 - 3 = 4           →           P = 800 N

Resposta

c )   F = 133 N   ; P = 800 N

Exercício Resolvido #10

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 42,2/72

O suporte está preso a uma coluna por meio de dois rebites, A   e   B , e suporta uma força de 2   k N . Substitua essa força por uma força atuando ao longo da mediatriz dos rebites e por um binário. Em seguida, redistribua essa força e o binário, substituindo-os por duas forças, uma em A   e outra em B , e determine as forças suportadas pelos rebites.

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Passo 1

Para representar o sistema por um sistema força-binário, temos que calcular primeiro o momento que a força faz na mediatriz de A B .

Pra isso, temos que usar a distância entre o ponto de aplicação da força e a mediatriz de A B :

O momento é dado por:

M = 2.10 3 225.10 - 3 = 450   N . m

Passo 2

Assim, o sistema binário-resultante é dado por:

Passo 3

Pra redistribuir a força e o binário, primeiro vamos calcular o par de forças que sozinhas gerariam o momento desse binário:

F 2 d = 450 N . m

Quem é essa distância? É a distância de cada parafuso até a mediatriz:

F . 2 . 125.10 - 3 = 450           →       F = 450 250.10 - 3

F = 1800 N

Entendeu o motivo de ser 2 d ?