Binários e Resultantes

Teoria Completa

Introdução

Imagine que temos um disco, onde estejam atuando um monte de forças assim:

Confuso, não é mesmo? O que podemos fazer para facilitar a nossa vida? Podemos calcular a força resultante...

Vamos supor que após somar todas essas forças, a resultante ficou assim:

Mas onde esta força resultante vai estar localizada no nosso disco? Será assim:

Ou será que ela está mais para baixo?

É isso que vamos aprender aqui. Partiu?

Sistema força-binário equivalente

Um binário é um conjunto de duas forças de mesmo módulo e direção, mas com sentidos contrários:

A soma das forças nesse corpo é nula:

R → = F → + - F → = 0

Porém, a soma dos momentos não é nula. Olhando pra figura, ambas as forças estão a uma distância de d do centro do círculo e isto acaba gerando um momento que podemos calcular assim (tomando como positivo o sentido horário):

M = F . d + F d = 2 F d

Perceba que as duas forças fazem o círculo rodar em torno do seu centro no sentido horário. E isso que é o diferencial nos binários: eles fazem um corpo girar em somente um sentido.

O momento de um binário não depende do ponto de referência é sempre calculado pelo módulo de cada força multiplicado pela distância entre elas. Dizemos que o momento de um binário pode ser representado em qualquer posição do corpo, já que independe do ponto de referência.

M = F d

Essa propriedade vai nos permitir representar um sistema de forças por um sistema equivalente chamado de força-binário. Por exemplo, imagine que existe uma única força aplicada no ponto A do corpo:

Como a gente faria para representar o efeito dessa força no ponto B ? Essa força gera uma tendência no corpo de se mover na sua direção e também de girar. Então, para representar o efeito da força F → no ponto B é só levarmos a força (mantendo seu sentido e direção) e de quebra o momento que ela faz com relação este ponto:

Essa representação nos diz que o corpo tende a girar em torno de B e a se mover na direção do vetor F → . O momento F . d é o binário do sistema força-binário equivalente.

Localização das Resultantes

Você já sabe achar a resultante de um conjunto de forças: basta somar todas elas, né?

Mas existe um problema: o que você acha nesse processo é o vetor força resultante, que indica uma direção e um sentido, maaaas você não sabe exatamente onde esta força está localizada.

Imagine que a barra abaixo sofre a ação de F → 1 ,   F → 2   e F → 3 :

A resultante vai ser: F → r e s = F → 1 + F → 2   + F → 3 . Mas onde ela vai estar localizada em relação ao ponto O ?

É isso que vamos aprender a fazer:

O primeiro passo é calcular o momento resultante em relação ao ponto O , ou seja, o somatório de todos os momentos:

M r e s = ∑ M o

Então vem o pulo do gato: O momento exercido pela força resultante é igual ao momento resultante. Ou seja:

F r e s . d = ∑ M 0

Com isso, você consegue achar o d :

d = ∑ M 0 F r e s

Simples né? Então, o que você deve fazer é:

  • Calcular a força e o momento resultante em relação a algum ponto, o que equivale a achar o sistema força-binário equivalente.
  • Usar a relação momento causado pela força resultante e momento resultante abaixo:

F r e s . d = ∑ M 0

Com isso, você consegue achar d e localizar a força resultante.

Bora praticar?

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 40,2/57

O conjunto roda/suporte está submetido ao par de forças de 400   N mostrado. Determine o momento associado a essas forças.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeira coisa: as forças são iguais, certo? Além disso, eles tendem a girar a roda no mesmo sentido, certo?

Então, temos um binário cujo momento será dado multiplicando o módulo da força pela distância entre elas:

M = F d       →           M = 400 ( 0,035 )

M = 14   N . m

Não acredita em mim? Podemos calcular o momento da maneira tradicional, ou seja, multiplicando cada força pela sua respectiva distância até o ponto O :

M = 400 . 0,0175 + 400 . 0,0175 = 400 . 0,035 = 14   N . m

Beleza! Se a gente adotar como positivo rotações no sentido anti-horário, então teremos

M = - 14   N ⋅ m

Isso por que essas forças tendem a fazer a roda girar no sentido horário!

Se quiséssemos escolher como positivo rotações no sentido horário, então teríamos M positivo 😉

Resposta

M = - 14   N . m

Exercício Resolvido #2

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 41,2/65

Uma chave de roda é usada para apertar um parafuso de cabeça quadrada. Se forças de 250 N forem aplicadas a chave, como mostrado, determine o módulo F das forças iguais exercidas nos quatro pontos de contato na cabeça de 25 m m do parafuso, de modo que seu efeito externo sobre o parafuso seja equivalente ao das duas forças de 250 N . Considere que as duas forças são perpendiculares aos lados planos da cabeça do parafuso.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O sistema de forças inicial é esse aqui:

Não importa muito o sinal do momento. Queremos apenas saber depois quais forças vão gerar um torque equivalente a esse.

Assim, o momento, em módulo, pode ser calculado por:

M = 2 . 250 . 0,350 = 175   N . m

Notou que multiplicamos por dois pois as duas forças giram a peça no mesmo sentido, né?

Passo 2

Agora o nosso sistema é esse aqui:

Beleza? Não sabemos o módulo de F → , mas sabemos que ela produz o mesmo torque que antes. Assim:

M = F ( 0,025 ) + F ( 0,025 )

175 = F . 0,05

F = 3500   N

Resposta

F = 3500   N

Exercício Resolvido #3

P1, Estácio

A chave é usada pra soltar um parafuso, conforme a figura abaixo. Determine o momento de cada força sobre o eixo do parafuso passando pelo ponto O .

  1. M F 1 = 27   N . m     e   M F 2 = 30   N . m
  2. M F 1 = 24,1   N . m   e   M F 2 = 14,5   N . m
  3. M F 1 = 26   N . m   e   M F 2 = 31   N . m
  4. M F 1 = 37   N . m   e   M F 2 = 20   N . m
  5. M F 1 = 17   N . m   e   M F 2 = 10   N . m
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Perceba que se formos usarmos o teorema de Varignon, o momento da componente F x da força vai ser nulo, pra ambas as forças.

Por quê? Dá uma olhad ano desenho: a linha de ação dessas forças passa pelo centro O :

Show? Então, facilitando a nossa vida, vamos apenas calcular as componentes verticais e multiplicar pelas distâncias ao ponto O .

Passo 2

Assim:

F 1 y = 100 cos ⁡ 15 ° = 96,5   N

F 2 y = 80 s e n 65 ° = 72,5   N

Perceba que na segunda força usamos o seno.

Como a questão não tá pedindo os sinais dos momentos, vamos apenas calcular os módulos:

M F 1 = 96,5 . 250.10 - 3 = 24,1 N . m

M F 2 = 72,5 . 200.10 - 3 = 14,5 N . m

Assim, a resposta é a letra b )

Resposta

b )   M F 1 = 24,1   N . m   e   M F 2 = 14,5   N . m

Exercício Resolvido #4

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 41,2/66

Durante uma curva suave para a direita, uma pessoa exerce as forças mostradas sobre o volante. Observe que cada força consiste em uma componente tangencial e em uma componente radial direcionada para dentro. Determine o momento exercido em relação à coluna de volante O .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nós apenas precisamos lidar com o ângulo de 30 ° , afinal de contas, ele é o ângulo que a força faz com a tangente ao círculo. A partir dele, vamos decompor a força em um vetor na direção do raio (radial) e que não realiza momento, e uma componente tangencial que realiza o momento.

Passo 2

A linha pontilhada representa a direção tangencial ao círculo:

Assim, podemos perceber que a componente tangencial é dada por:

F t g = F c o s 30 °

E a radial:

F r = F s e n 30 °